2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B B A B C B D
1．B
本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键在于准确理解二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且未知数的次数均为的方程是二元一次方程，据此逐一判断各选项．
解：、方程含，的次数为，不符合定义，故不是二元一次方程；
、方程含两个未知数和，且次数均为，符合定义，故是二元一次方程；
、方程含三个未知数，不符合定义，故不是二元一次方程；
、方程化简后为，只含一个未知数，不符合定义，故不是二元一次方程；
故选：．
2．D
本题考查二元一次方程组的定义：方程组需含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知项的最高次数为，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可.
解：A选项：方程组中含有三个未知数，
不是二元一次方程组，
故A选项不符合题意；
B选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是，
不是二元一次方程组，
故B选项不符合题意；
C选项：方程组中含有两个未知数，但是未知项的次数是，
不是二元一次方程组，
故C选项不符合题意；
D选项：方程组中含有两个未知数，未知项的最高次数是，
是二元一次方程组，
故D选项符合题意．
故选：D．
3．D
本题考查了二元一次方程组的解．将解代入方程，通过移项直接求解的值．
解：∵是方程的解，
∴代入得，
移项得，
∴．
故选：D．
4．B
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有辆车，乘车人数为人，根据今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：设有辆车，总人数为人，
依题意得：，
解得：，
即总人数为39人，
故选：B．
5．B
本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键．
将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数值即可求解．
解：变形为
由题意得：，
解得：．
故选：B．
6．A
本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．
解：∵，
∴，
解得，
∴，
故选：．
7．B
本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出a的值．
解：将代入方程，得：，
解得：，
故选：B．
8．C
本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键．
解：、将代入可知，，不符合题意；
、将代入可知，，不符合题意；
、将代入可知，，符合题意；
、将代入可知，，不符合题意；
故选：．
9．B
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长. 利用速度、时间和距离关系列方程．
解：设火车的速度为，长度为，
∵ 从开始上桥到完全过桥用时，行驶距离为，
．
∵ 完全在桥上用时，行驶距离为，
．
因此，方程组为．
故选：B．
10．D
此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可．
解：由题意得
②①得，解得
把 代入①得，解得，
所以，
因为 ，
甲：时，，解得，正确；
乙：则，即，正确；
丙：，正确；
故选：D．
11．3
二元一次方程要求两个未知数的次数均为1．
此题考查的是对二元一次方程的定义理解，熟练掌握是解决此题的关键．
解：由题意可知，
方程中的次数为1，因此的次数 必须为1，即，
解得．
故答案为：3．
12．
本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数．
解：把代入方程中，得，
把，代入方程中，得，
故答案为：．
13．11
本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键．
把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可．
解：把代入可得，
，
故答案为：11．
14．
本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案．
解：∵，
∴，
而关于，的方程组的解是，
∴，
解得：；
故答案为：．
15．2
本题主要考查了二元一次方程组的应用；
设小长方形的长为a，宽为b，根据大长方形的周长为28，小长方形的周长为12列方程组求出，然后设，可得，，则，故．
解：如图：
设小长方形的长为a，宽为b，
由题意得，，
解得：，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为：2．
16．3
本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出对应的方程组求解是解题的关键．根据内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等列出方程组求解即可．
解：由题意得，，
即，
两式相加得：
，
故答案为：3．
17．(1)
(2)
本题考查了方程的解以及解方程
（1）根据二元一次方程组的定义代入计算，即可得出答案；
（2）根据解方程的方法用含x的代数式即可表示y．
（1）由题意得，，
解得，．
（2）由得，．
18．(1)
(2)
本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
（1）解：
把②代入①得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解为；
（2）
得，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为．
19．(1)的关系式为，且；
(2)见解析；
(3)笔记本本，笔支时奖品总数最多．理由见解析
本题考查了二元一次方程组得应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意列出二元一次方程组即可；
（）由（）得，则，然后求出的正整数解即可；
（）根据（）得结果进行求解即可．
（1）解：由题意得，的关系式为，且；
（2）解：由（）得，，
∴，
∵均为正整数，
∴，即笔记本本，笔支，
，即笔记本本，笔支，
，即笔记本本，笔支，
，即笔记本本，笔支，
，即笔记本本，笔支；
（3）解：由（）可得：笔记本本，笔支，总数，
笔记本本，笔支，总数，
笔记本本，笔支，总数，
笔记本本，笔支，总数，
笔记本本，笔支，总数，
∴笔记本本，笔支时奖品总数最多．
20．(1)1
(2)8
本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用．
（1）根据进行求解即可；
（2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：设，
∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于s，t的方程组的解为，
∴，
∴．
21．(1)型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元
(2)共有3种购买方案，方案一；购进型玩具6个，型玩具5个；方案二：购进型玩具4个，型玩具10个；方案三：购进型玩具2个，型玩具15个
(3)购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元
本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元，根据“2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元”即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型玩具个，购进型玩具个，根据题意可得，再由m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）分别将三个方案的利润求出，再进行比较即可．
（1）解：设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元，
由题意，得
解得，
答：型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元；
（2）设购进型玩具个，购进型玩具个，
由题意，得，
解得，
因为m，n均为正整数，
所以或或，
所以共有3种购买方案，
方案一：购进型玩具6个，型玩具5个；
方案二：购进型玩具4个，型玩具10个；
方案三：购进型玩具2个，型玩具15个；
（3）方案一可获得利润：（元），
方案二可获得利润：（元），
方案三可获得利润：（元），
因为，
所以购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元．
22．（1）长方形的周长大于长方形的周长；（2）
本题考查了实数的大小比较，二元一次方程组．
（1）设长方形的周长为，长方形的周长为，计算，进而根据，即可求解；
（2）根据已知得出，再计算，即可求解．
解：（1）设长方形的周长为，长方形的周长为，
∴，，
∵，
∵，，
∴，则，
∴，即长方形的周长大于长方形的周长；
（2）∵，
∴得，解得，
∴，
∴．
23．(1)
(2)
本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键．
（1）根据材料提示方法计算即可；
（2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可．
（1）解：，
①②得，，
∴③，
①②得，④，
∴③④得，，
解得，，
把代入③得，
故答案为：；
（2）解：根据题意，得
①＋②，得，
．
②①，得，
解方程组得．
24．(1)长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台
(2)元
(3)节约元或元
（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是，两种日光灯的总价是，可得方程组，即可得解；
（2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额格力取暖器销售额总销售额，根据等量关系列出等式即可；
（3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的元的原价是否小于元．
（1）解：设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台．
（2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：，
答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元．
（3）当购买甲厂家台，共支付．
设在甲厂家购买了z台，则．
解得：．
若在乙厂家支付的元的原价小于元，
则可节约元．
若在乙厂家支付的元的原价大于元，
则可节约元．
答：商场可节约元或元．
本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价数量总价，(售价进价数量利润，利用公式解决问题．(共7张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第二章 二元一次方程组
单元测试·过关卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 1
较易 6
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.94 二元一次方程的定义
2 0.85 判断是否是二元一次方程组
3 0.75 二元一次方程的解
4 0.65 古代问题(二元一次方程组的应用)
5 0.65 二元一次方程组的特殊解法
6 0.65 已知字母的值 ，求代数式的值；加减消元法；绝对值非负性
7 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
8 0.65 判断是否是二元一次方程组的解
9 0.65 根据实际问题列二元一次方程组
10 0.64 数字问题(二元一次方程组的应用)
三、知识点分布
二、填空题 11 0.75 二元一次方程的定义
12 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
13 0.65 二元一次方程的解；已知式子的值，求代数式的值
14 0.65 二元一次方程组的特殊解法
15 0.65 几何问题(二元一次方程组的应用)
16 0.64 数字问题(二元一次方程组的应用)
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 一元一次方程解的综合应用；二元一次方程的解
18 0.75 代入消元法；加减消元法
19 0.65 二元一次方程的定义；二元一次方程的解
20 0.85 已知式子的值，求代数式的值；已知二元一次方程组的解求参数
21 0.65 方案问题(二元一次方程组的应用)；销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
22 0.65 加减消元法；实数的大小比较
23 0.65 二元一次方程组的特殊解法
24 0.4 销售、利润问题(二元一次方程组的应用)；有理数四则混合运算；销售盈亏(一元一次方程的应用)2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·过关卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是方程的一组解，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，书中记载这样一个问题：今有三人共车；二车空；二人共车，九人步，问人几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，恰好剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则总人数为（ ）
A．15人 B．39人 C．41人 D．20人
5．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．解为 的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
9．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为，火车的长度为，则所列方程组正确的（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下．
甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2．
下列判断正确的是（ ）
A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．已知是二元一次方程，则 ．
12．如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是 ．
13．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则 ．
14．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ．
15．如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为28，小长方形的周长为12，则与的差为 ．
16．我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．已知是二元一次方程的一个解．
(1)求m的值；
(2)用含x的代数式表示y．
18．解方程组
(1)；
(2)．
19．某班级恰好用元购买笔记本和笔作为奖品，笔记本每本元，笔每支元，要求笔的数量不多于笔记本的数量，设购买笔记本本，笔支（均为正整数）．
(1)求写出的关系式；
(2)求出所有可能的购买方案；
(3)若希望奖品总数最多，应选择哪种方案？说明理由．
20．运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题：
(1)若，则 _________；
(2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值．
21．随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元．
(1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元；
(2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案；
(3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？
22．【问题提出】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小．解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若，则；若，则；若，则．
例：已知，其中．求证：．
证明：．
，，．
【尝试应用】
（1）两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小．
【拓展提升】
（2）已知满足，试比较代数式与的大小．
23．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法．
(1)用轮换对称解法解方程，解得 ；
(2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）．
(3)
24．今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元．
甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示：
一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分
折扣数 打九折 打八五折
乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金．
出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元
返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元
(1)求11月份两种取暖器各购进多少台？
(2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
(3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？
