2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·真题重组卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B B A B D A
1．C
本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键．将各选项代入方程，验证是否成立．
A、，，左边，右边，，不成立，故本选项不符合题意；
B、，，左边，右边，，不成立，故本选项不符合题意；
C、，，左边，右边，，成立，故本选项符合题意；
D、，，左边，右边，，不成立，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．D
本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
解：A. 是一元一次方程，不符合题意；
B. 2是二元三次方程，不符合题意；
C. 是分式方程，不符合题意；
D. 是二元一次方程，符合题意；
故选：D．
3．B
本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意；
B．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故B符合题意；
C．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故C不符合题意；
D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意．
故选：B．
4．A
本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程．
利用二元一次方程组的定义判断即可．
解：A. 该方程组是二元一次方程组，选项符合题意；
B.方程 ，含未知数的项的次数是2次，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
C. 该方程组含有三个未知数，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
D.方程不是整式方程，故该方程组不是二元一次方程组，选项不符合题意；
故选：A．
5．B
本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程站与站的距离千米，列车小时行驶的路程站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得
，
解得：，
（小时），
故答案：B．
6．B
本题考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，能根据二元一次方程的定义得出且是解此题的关键．根据二元一次方程的定义得出且，再求出、即可．
解：是二元一次方程，
，
解得：．
故选：B．
7．A
此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，幂的乘方，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．本题属于基础题型，难度不大．
把代入方程组求出解，即可判断①；由题意得，变形后代入方程组求出的值，即可判断②；若，代入方程组，变形得关于的方程，即可判断③；解方程组得，从而得到，根据题中等式得，进而可求出的值，即可判断④．
解：①把代入方程组得：
解得：，故①正确；
②当，的值互为相反数时，
即：
代入方程组得：
解得：，故②错误；
③若，则有
可得：，则，
∴当时，
故③错误；
④∵
得
把代入①得
∴
∵
∴
∴
得
∴，故④正确；
综上，正确的有①④
故选：A．
8．B
首先把代入，求出的值，然后把、的值代入，求出的值即可．
解：∵方程组的解为，
，
解得：，
，
，
被和遮盖的两个数分别为2，．
故选：B
此题主要考查了二元一次方程组的解的含义和应用，解答此题的关键是求出y的值．
9．D
本题主要考查了二元一次方程的应用，正确得到，是解题的关键；
围绕长方形与内部小长方形的边长、面积关系，结合所给，及长方形周长公式，对选项逐一分析．
解：∵长方形周长为60，，，
∴
整理得
小长方形面积，
A．若，
则，，
所以，该选项不符合题意；
B．若，
则，，
所以，故该选项不符合题意；
C．若，代入：
小长方形面积，故该选项不符合题意；
D．由，得，
因为，需是的倍数，
当时，，满足，此时；
当时，，不满足，舍去．
故当、为整数时，，故该选项不符合题意；
故选：D．
10．A
本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意，得：．
故选：A．
11．
本题主要考查了二元一次方程，
先移项，再两边都除以2，即可得出答案．
解：移项，得，
两边都除以，得．
故答案为：．
12．
根据方程的解的定义，将代入求出a的值即可．
本题主要考查了二元一次方程的解的定义，能够使方程成立的一组未知数的值叫做方程的解．理解方程的解的定义是解题的关键．
解：把代入，
得，
解得：．
故答案为：．
13．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义，掌握方程组解的意义是解决本题的关键．
把和看作整体，根据二元一次方程组的解的意义可得，再解方程组即可．
解：方程组的解是，
对于方程组，可得，
．
故答案为：．
14．9
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入方程组，得到关于的二元一次方程组，求出的值，代入代数式进行求解即可．
解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
15．
本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出a、b的值，再代值计算即可得到答案．
解：∵关于，的二元一次方程组的解为，
∴，
解得，
∴，
故答案为；．
16． 6 3
本题考查了解二元一次方程组的意义，设小长方形的长为a，宽为b，则由题意得，可得到，解得：，设，则，，则，据此可得答案．
解：如图：
设小长方形的长为a，宽为b，
则由题意得，
解得：，
设，则，，
∴，
∴，
故答案为：3．
17．(1)；
(2)．
本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可．
（1）解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
整理得：，
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
18．
本题考查二元一次方程组的解的应用，解题的关键是将已知的解代入方程组中相应方程求解未知量．
先将已知的值代入含x，y的方程求出的值，再将x，y的值代入另一个方程求出被遮住的数．
将代入方程得：，
解得：，
将代入方程中，
，
所以．
19．(1)
(2)是“等解”方程组，理由见解析
本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解．
（1）根据“等解”方程组的定义得，即可得，解方程组即可求出m的值；
（2）方程组中的两个方程相减得，整理后可得，再由得，，进而得，根据“等解”方程组的定义即可得出结论．
（1）解：∵关于x，y的方程组为“等解”方程组，
∴，
∴，
解得，
即m的值为；
（2）解：是“等解”方程组，理由如下：
，
得，
整理得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组．
20．(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
(2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可．
（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步
由题意可得
因为m、n为正整数，n为15的整数倍，
，，
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
21．(1)③④
(2)
(3)2或3
本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义．
（1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可；
（2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可；
（3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可．
（1）解：①，
，
，
∴，
∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意；
②，
，
，
∴，
∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意；
③化为：，
，
，
∴，
∴是“阶梯方程”，故③符合题意；
④，
，
，，
∴，
∴是“阶梯方程”，故④符合题意，
故答案为：③④；
（2）解：∵，
∴，
∴变为：，
，
，
∵等式a为任意数时都成立，
∴，
由②得：，
把代入①得：，
∴这组解为：；
（3）解：∵，
∴，
∴方程组化为，
由②得：，③代入①得：
，
，
，
，
，
把代入③得：，
∵y为整数，
∴或，
解得：或或2或3，
∵，，
∴或2或3，
当时，，此情况不存在；
当时，；
当时，；
∴a的整数值为：2或3．
22．(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工
(2)需要安排初级工5人，高级工人
(3)应安排初级工名，高级工8名
本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键．
（1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可；
（2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可；
（3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案．
（1）解：设需要安排名初级工，
根据题意得：，
解得：，
答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工．
（2）解：设安排初级工x人，高级工y人
，解得
答：需要安排初级工5人，高级工人．
（3）解：设参与生产的初级工人，高级工人
则，化简得，
则为5的倍数，可列表如下：
0 5
5
参与指导的高级工人数 8 6 4 2
高级工人数 8
费用
∴应安排初级工29名，高级工8名．
23．(1)
(2)
(3)
本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便．
（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解；
（2）由已知得，求解即可得答案；
（3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值．
（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为，
解得，，
即，
解得，；
（2）解：根据题意得，
解得，；
（3）设，，则原方程组可化为，
解得，，
∴，
解得，．
24．[任务1]，，；[任务2]35
本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）33张标准卡纸通过剪裁得到158张小长方形，而一张可以剪裁6个小长方形，先算出总的小长方形，减去158，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以2即可求解n，根据1个竖式叠盖纸盒可以需要4个小长方形和3个正方形，1个横式叠盖纸盒5个小长方形和2个小正方形，即可建立二元一次方程组求解；
（2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，则，求其整数解，判断的最大值即可．
解：任务1：由题意得，，
，
解得：；
任务2：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形，
∴，
∴整数解为：或，
∵，
∴的最大值为35．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第二章 二元一次方程组 单元测试·真题重组卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列各组数中，可以作为方程的一个解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．2 C． D．
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列各组数是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）下列各组方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（ ）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
6．（23-24七年级下·浙江金华·期中）若是二元一次方程，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（24-25七年级下·浙江温州·月考）已知关于的方程组，则下列结论中：①当时，方程组的解是；②当的值互为相反数时，；③不存在实数，使得；④若，则．其中正确的是（ ）．
A．①④ B．①③ C．①②④ D．②③
8．（22-23七年级下·浙江金华·月考）方程组的解为则被和遮盖的两个数分别为（ ）
A．，6 B．2， C．2，6 D．10，
9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在周长为60的长方形中放入6个相同的小长方形，若小长方形面积为S，长为x，宽为，则（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若为整数，则
10．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）将方程变形成用x的代数式表示y，则y＝ ．
12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为 ．
13．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ．
14．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程组的解，则的值为 ．
15．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ．
16．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为 ，与的差为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）解二元一次方程组：
(1)．
(2)．
18．（24-25七年级下·浙江·月考）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，求这两个数．
19．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组．
(1)若关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值．
(2)判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗 并说明理由．
20．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
21．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”．
(1)下列方程是“阶梯方程”的是 ．
① ② ③ ④
(2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解．
(3)若方程组的解为整数，求整数的值．
22．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践．
【素材1】某工厂计划日生产件零件．
【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下：
工种 初级工 高级工
日生产量（件/人）
日薪酬（元/人）
【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划．
【问题】
(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？
(2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？
(3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案．
23．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题．
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．
运用以上知识解决下列问题：
(1)求方程组的解．
(2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ．
(3)举一反三：方程组的解为 ．
24．（24-25七年级下·浙江温州·月考）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多．
素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成6张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形．
素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作横式叠盖和竖式叠盖纸盒，如图3是横式叠盖和竖式叠盖纸盒的平面展开图．
素材3：数学实践小组一共有33张标准卡纸通过剪裁一共得到m张小长方形和n张小正方形，做成x个横式叠盖纸盒和y个竖式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完．
【任务1】若， 求n， x， y的值；
【任务2】求的最大值．(共7张PPT)
浙教版2024 七年级下册
第二章 二元一次方程组
单元测试·真题重组卷分析
一、试题难度
整体难度：中等
难度 题数
容易 3
较易 4
适中 16
较难 1
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二元一次方程的解
2 0.94 二元一次方程的定义
3 0.85 判断是否是二元一次方程组的解
4 0.75 判断是否是二元一次方程组
5 0.65 行程问题(二元一次方程组的应用)
6 0.65 二元一次方程的定义；构造二元一次方程组求解
7 0.65 幂的乘方运算；加减消元法；已知二元一次方程组的解的情况求参数
8 0.65 二元一次方程的解；已知二元一次方程组的解求参数
9 0.65 几何问题(二元一次方程组的应用)
10 0.64 根据几何图形列二元一次方程组
三、知识点分布
二、填空题
11 0.94 二元一次方程的定义
12 0.75 二元一次方程的解
13 0.65 已知二元一次方程组的解求参数；二元一次方程组的特殊解法
14 0.65 已知二元一次方程组的解求参数
15 0.65 已知二元一次方程组的解求参数；已知字母的值 ，求代数式的值
16 0.64 几何问题(二元一次方程组的应用)
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 加减消元法
18 0.75 已知二元一次方程组的解求参数
19 0.65 加减消元法；已知二元一次方程组的解的情况求参数
20 0.65 二元一次方程的解；行程问题(二元一次方程组的应用)
21 0.65 二元一次方程的解；方程组相同解问题；二元一次方程的定义
22 0.65 配套问题(一元一次方程的应用)；二元一次方程的解；分配问题(二元一次方程组的应用)
23 0.65 二元一次方程组的特殊解法
24 0.4 几何问题(二元一次方程组的应用)
