浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 2.4.1 二元一次方程组的应用
一、二元一次方程组的实际应用-配套问题
1．（2024七下·北仑期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七下·杭州期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200 B．201 C．202 D．203
3．（2025八上·余姚期末）学校计划购进一批笔记本电脑和投影仪，经过市场考察得知，购买1台笔记本电脑和2台投影仪需要3.8万元，购买两台笔记本和一台投影仪需要3.4万元。
（1）求每台笔记本电脑，每台投影仪各多少万元：
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和投影仪共 30 台，如果总费用不超过 40 万元，那么至少购进笔记本电脑多少台？
4．（2024七下·温州期中）根据以下素材，完成任务．
解决挖掘机的租用和保养问题
素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号挖掘土石方量单位：台时租金单位：元台时甲型乙型
素材 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元．
问题解决
任务 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务 确定保养费用 基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元用含的代数式表示．
二、二元一次方程组的实际应用-销售问题
5．（2025·宁海模拟）动画电影《哪吒》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为元/个，人物卡片单价为元/包，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026七上·宁波期末）某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
价格类型 甲种 乙种
进价 (元/件) 30 60
标价(元/件) 50 90
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件
（2）若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2640元，求a的值.
7．（2025七下·绍兴期末）根据如表素材，探索完成任务.
背景 某社团去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品.
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元.
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料.
问题解决
⑴任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
⑵任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有哪几种购买方案？
⑶任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的.则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
三、二元一次方程组的应用-数字问题
8．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，则这个两位数是（ ）
A．34 B．43 C．25 D．52
9．（2022七下·青田月考）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18.
（1）原来的两位数为 ，新的两位数为 .（用含有、的代数式表示）
（2）根据题意，列出二元一次方程组为 .
（3）求原来的两位数.
四、二元一次方程组的应用-和差倍分问题
10．（2024七下·拱墅月考）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·浙江模拟）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
12．（2024七下·奉化期中）把一些糖果分给小朋友，如果每人分5粒，分完后还剩4粒，如果每人分6粒，最后一个人只分到1粒，设小朋友的总人数为x人，共有糖果y粒，以下方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024七下·东阳月考）李明一家自驾旅行，车上备了一些矿泉水，如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶．设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
五、二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
14．（2017八上·西安期末）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（北师大版数学八年级上册5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数同步练习）十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（ ）
A．300元 B．310元 C．320元 D．330元
16．（2023七下·温州期末）根据以下素材，探索解决任务.
确定什锦糖的销售量
素材1：某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克.
素材2：商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示.小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元.
素材3：小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖.
问题解决
（1）确定A型单价，每份什锦糖A需要多少元？
（2）确定B型配比，每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
（3）确定销售量，本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
六、二元一次方程组的应用-几何问题
17．（2025七下·浙江月考）列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ）
A．34 B．43 C．50 D．54
18．（2025七下·温州期中）如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 .
19．（2024七下·江北期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 .
20．（2025七下·余姚期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区。如图（1）为大棚，设计方案如图（2），要求两个大棚之间有间隔4m的路，已知每个大棚的周长为44m
（1）求每个大棚的长和宽各是多少？
（2）当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二：每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由。
七、二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
21．（2025七下·龙港期中）根据以下素材，探索解决任务.
购买方案的设计
素材1 2025年全运会乒乓球资格赛在浙江进行.某校30位同学计划利用周末时间去现场观看比赛，门票分为A、B、C三个档次，购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元；一张C档门票需要 80 元.
素材2 购票平台有优惠活动，每购买1张A档门票就赠送1张C档门票.
问题解决
任务1 求A档和 B档门票的价格.
任务2 初步统计，有8人购买A档门票，12人购买B档门票，其余同学购买C档门票，请计算票价需要多少元。
任务3 最终购买门票共花了3600元，且C档门票总数多于A档门票数。请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程。
22．（2025八上·义乌开学考）根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 2分
合格 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 1分
23．（2025七下·滨江期末） 某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动：
人数x/人
收费标准/元 50 45 40
经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加入数多于100人、少于200人，八年级参加入数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？
24．（2025七下·安吉期中）根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案
素材1 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装。
素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车。
素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资。
问题解决
任务一： 分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二： 确定可行方案 如果工厂招聘n（0任务三： 选取最优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人 名.（直接写出答案）
25．（2025七下·杭州期中）装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
由题意得，，
故选A．
【分析】先确定等量关系：（1）盒身的个数盒底的个数；（2）制作盒身的铁皮张数＋制作盒底的铁皮张数，再列出方程组即可．
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴的值可能是200.
故答案为：A.
【分析】设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据共有m张正方形纸板可得x+2y=m，根据共有n张长方形纸板可得4x+3y=n，两式相减可得m+n=5(x+y)，则m+n一定是5的倍数，据此判断.
3．【答案】（1）解：设每台笔记本电脑x万元，每台投影仪y万元。
，解得
∴每台笔记本电脑1万元，每台投影仪1.4万元。
（2）解：设至少购进笔记本电脑n台，则投影仪购进（30-n）台。
n+1.4（30-n）≤40，解得n≥5，
∴至少购进笔记本电脑5台。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题可以用未知数x和y来表示笔记本电脑的单价和投影仪的单价，然后列出二元一次方程组求解即可；
（2）题可以用未知数n来表示至少购进笔记本的数量，然后列出不等式，求解即可。
4．【答案】解：任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
解得：．
答：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
又，均为正整数，
或或，
共有种租用方案，
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
任务当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元．
，
租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机时租金最少．
所需弹簧数量为根，
所需钢球数量为颗．
设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，
根据题意得：，
，
，
元．
实际保养费用为元．
故答案为：．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程组解题即可；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程，求出正整数解即可解题；
任务求出2中租金最少得方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意得到，的二元一次方程组此处将看成常数，即可得到，将其代入解题即可．
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
故答案为：D.
【分析】根据“购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元”，即可得出关于x， y的二元一次方程组.
6．【答案】（1）解：设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
根据题意得：
解得：
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件.
（2）解：根据题意得：(50-a-30)×80+(90×0.8-60)×120=2640，
解得：a=5.
答：a的值为5.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合该超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用总利润=每件甲商品的销售利润×购进数量+每件乙商品的销售利润×购进数量，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论.
7．【答案】解：⑴任务 1 设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元。
由题意得
解得
∴A 款单价是 10 元，B 款单价是 12 元.
⑵任务 2 设购买 A 种款式的奶茶 m 杯，购买 B 种款式的奶茶 n 杯。
由题意得10m+12n=220
整理得
∵m、n均为正整数
∴ 或 或 .
∴有3种购买方案。
⑶任务 3 设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了(3a-a-b)杯，即(2a-b)杯。
由题意得10a+12b+(12+2)(2a-b)=380
整理得b=19a-190
∵a、b、3a-a-b均为正整数
∴
∴2a-b=3
∴B 款加料的奶茶买了 3 杯
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意分别可以得到两个二元一次方程，组成一个方程组，求解即可；
（2）根据题意结合（1）可以列出关于m、n的一个二元一次方程，再用枚举法逐一列举出它的所有正整数解即可；
（3）注意到A款加料奶茶和B款不加料奶茶单价是相同的，等量关系为：单价为10元的奶茶钱数+单价为12元的奶茶钱数+单价为14元的奶茶钱数=380，可以列出一个二元一次方程，再根据实际情况求出方程的正整数解即可。
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】解：设个位数为x，十位数为y，
由题意得，，
解得： ，
则这个两位数是为34．
故选A．
【分析】设个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解．
9．【答案】（1）10x+y；10y+x
（2）
（3）解：由（2）可得：
整理为：
解得：
故原两位数是35.
【知识点】用字母表示数；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：（1）原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x；
故答案为： 10x+y，10y+x；
（2）由题意可列出二元一次方程组为：
.
故答案为：
【分析】（1）根据十位数字×10+个位数字可表示出两位数；
（2）根据新的两位数比原来的两位数大18可得(10y+x)-(10x+y)=18，根据十位数字与个位数字之和为8可得x+y=8，联立可得方程组；
（3）根据加减消元法求解（2）中的方程组可得x、y的值， 进而可得原两位数.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，
由题意可得：，
故选：D．
【分析】设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，根据 小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树可列方程组 ．
11．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
①－②×2得：y=60－26×2=8.
把y=8代入②，可得x=18.
故1艘大船可以满载游客的人数为人，1艘小船可以满载游客的人数为8人，
故答案为：C
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意可得等量关系：2艘大船可载的人数+3艘小船可载的人数＝，1艘大船可载的人数＋1艘小船可载的人数＝．据此列出二元一次方程组并求解即可．
12．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设小朋友的总人数为x人，共有糖果y粒，
依题意的： .
故答案为：A.
【分析】 设小朋友的总人数为x人，共有糖果y粒， 由“ 每人分5粒，分完后还剩4粒 ”可列方程y=5x+4，由“ 如果每人分6粒，最后一个人只分到1粒”可得方程y=6(x-1)+1，继而得解.
13．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，则：
，
故答案为：B．
【分析】本题考查列二元一次方程组解实际问题．设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，根据题意：如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶，据此可列出方程组．
14．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得，
．
故选：D．
【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．
15．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】设大人门票为x，小孩门票为y，由题意，得： ，解得： ，则3x+2y=320．即王斌家计划去3个大人和2个小孩，需要320元的门票．故选：C．
【分析】设大人门票为x，小孩门票为y，根据题目给出的等量关系建立方程组，然后解出x、y的值，再代入计算即可．
16．【答案】（1）解：什锦糖A价格为元.
（2）解：设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，
由题意可列方程：，
解得，
∴B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克.
（3）解：设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，
可得方程，
∵m，n为整数，
解得，，
∴①若A型1份，B型10份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果.
②若A型9份，B型3份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价即可算出由2千克甲糖果与2千克乙糖果配置成的A什锦糖的单价；
（2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，根据“ B型什锦糖，每份重5千克，价格80元 ”建立方程组，求解可得答案；
（3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，根据单价乘以数量等于总价及销售m份什锦糖A的钱数+销售n份什锦糖B钱数=870元，建立二元一次方程，求出方程的正整数解即可解决此题.
17．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
∴阴影部分的面积之和为．
故答案为：D.
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于的二元一次方程组，求解，再利用阴影部分的面积之和＝大长方形的面积小长方形的面积计算即可．
18．【答案】21
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），
由题意可得
由①得a+b=10，
∴a=10-b③
把③代入②整理得b2-10b+21=0，
解得b1=3，b2=7，
当b=3时，a=7，
当b=7时，a=3，
∵a＞b
∴a=7，b=3，
∴每个小正方形的面积为ab=3×7=21.
故答案为：21.
【分析】设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），则大长方形的长为2a+b，宽为a+2b，根据大长方形的周长为60列出方程2(2a+b+a+2b)=60，根据长方形面积计算公式由阴影部分的面积=大长方形面积-五个小长方形面积列出方程(2a+b)(a+2b)-5ab=116，联立两方程求解得出a、b的值，进而再算出小长方形面积即可.
19．【答案】11
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
把原方程整理得：
∴
∴2xy=49-27
∴xy=11
∴一张小长方形的面积为11，故答案为11.
【分析】由图可知：大长方形的长为2y+x，宽为2x+y，根据大长方形的周长为42， 列出方程：2y+x+2x+y=21，再根据阴影部分的面积为大长方形的面积减去5个小长方形的面积，列出：（2y+x）（2x+y）-5xy=54，最后根据完全平方公式：求出xy的值即可.
20．【答案】（1）解：设大棚的宽为a米，长为b米，根据题意可得：
，
解得：
答：大棚的宽为14米，长为8米
（2）解：大棚的面积为：2×14×8=224(平方米)，
若按照方案一计算，大棚的造价为：224×60 500=12940(元)，
若按照方案二计算，大棚的造价为：224×70(1 20%)=12544(元)
显然：12544＜12940，所以选择方案二更好
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】 (1)设大棚的宽为a米，长为b米，分别利用大棚的周长为44米，长比宽多6米，列出方程组求解即可；
(2)先判断面积是否超过100平方米 ，超过了再分别求出两种方案的造价进而得出答案，通过比较大小即可选出最佳方案.
21．【答案】解：任务1：设档门票为元， 档门票为元。由题意得：
解得
答：A档门票为280元，档门票为180元。
任务2：8×280+12×180+2×80=4560元
任务3：设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，
由题意得
化简得
解得
①②③
三种购买方案如下
方案1：购买A门票10张，B门票0张，C门票10张；
方案2：购买A门票5张，B门票6张，C门票14张；
方案3；购买A门票0张，B门票12张，C门票18张
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1张A档门票为元，1张B档门票为元，然后由 购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元； 分别列方程，组成方程组，解出此方程组，求出x、y的值即可.
（2）由已知：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票可知，送了8张C档门票。由（1）可知：1张A档门票为280元，1张B档门票为180元 ，一张C档门票需要 80 元. ，然后分别算出8张A档门票，12张B档门票，C档门票应该买30-8-12=10张，但是由于买A档送了8张所以只需购买2张C档门票即可。最后把这三类门票的总费用加起来即可.
（3）设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，由题意得 ，化简得： ，所以。由于a、b为正整数，所以求出方程的正整数解，即可得到购买方案.
22．【答案】（1）解：(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，则，
解得
∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做了面小旗子.
（2）解：①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，
则5x+3(x+y)=60，
∴8x+3y=60，
∴
∵x，y为正整数，
∴或
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元
当时，则费用为3×4+12×3=12+36=48(元)，
当时，则费用为6×4+4×3=24+12=36(元)
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为36元.
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，
此时费用为16×4=64<65.
设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子，(16-n)张做小灯笼.
∴
解得：，
∴A卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，B卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子(面) 小灯笼(个) 小旗子(面) 小灯笼(个)
30 30 30 12
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和了张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可：
(2)①设购买A卡纸x张，B卡纸v张，则赠送了B卡纸x张，可得5x+3(x+y)=60，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；
②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸，可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送E卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子(16-n)张做小灯笼，再建立方程组可得答案.
23．【答案】解：设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，
(元)，
根据题意得：
解得：
答：该校七年级参观该景点的学生人数是160人，八年级参观该景点的学生人数是80人.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，根据“若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论.
24．【答案】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，∴解得：，，∴每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
任务二：设抽调熟练工m名，招聘新工人n名，∴，即，∵m和n都是正整数，且∴① 抽调熟练工3名，招聘新工人4名。② 抽调熟练工4名，招聘新工人2名。
任务三：2
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务三：方案①中，发放工资为：
方案②中，发放工资为：
∵41600＜43200
∴为了节省成本，应该选择方案②，
即抽调熟练工4名，招聘新工人2名，
故答案为：2．
【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据＂2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车＂列出方程：；根据＂3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车＂列出方程：，联立得到方程组解此方程组即可求解；
任务二：设抽调熟练工m名，招聘新工人n名，根据＂ 计划一年生产安装240辆 ＂据此得到方程，然后结合实际情况得到两个方案① 抽调熟练工3名，招聘新工人4名。② 抽调熟练工4名，招聘新工人2名。
任务三：分别计算两种方案所需工资，进而比较即可．
25．【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
，解得，
答：购进A种纪念品每件需150元，B种纪念品每件需100元.
（2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，
，
化简得，
，
当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，
答：共有4种方案：购进A种纪念品12件，B种纪念品22件；购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元可得10x+5y=2000；根据购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元可得5x+3y=1050，进而解得.
(2)设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品可列出二元一次方程，再根据各纪念品至少购进12件可得当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，故共有3种方案：购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
1 / 1浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 2.4.1 二元一次方程组的应用
一、二元一次方程组的实际应用-配套问题
1．（2024七下·北仑期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
由题意得，，
故选A．
【分析】先确定等量关系：（1）盒身的个数盒底的个数；（2）制作盒身的铁皮张数＋制作盒底的铁皮张数，再列出方程组即可．
2．（2021七下·杭州期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200 B．201 C．202 D．203
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴的值可能是200.
故答案为：A.
【分析】设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据共有m张正方形纸板可得x+2y=m，根据共有n张长方形纸板可得4x+3y=n，两式相减可得m+n=5(x+y)，则m+n一定是5的倍数，据此判断.
3．（2025八上·余姚期末）学校计划购进一批笔记本电脑和投影仪，经过市场考察得知，购买1台笔记本电脑和2台投影仪需要3.8万元，购买两台笔记本和一台投影仪需要3.4万元。
（1）求每台笔记本电脑，每台投影仪各多少万元：
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和投影仪共 30 台，如果总费用不超过 40 万元，那么至少购进笔记本电脑多少台？
【答案】（1）解：设每台笔记本电脑x万元，每台投影仪y万元。
，解得
∴每台笔记本电脑1万元，每台投影仪1.4万元。
（2）解：设至少购进笔记本电脑n台，则投影仪购进（30-n）台。
n+1.4（30-n）≤40，解得n≥5，
∴至少购进笔记本电脑5台。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题可以用未知数x和y来表示笔记本电脑的单价和投影仪的单价，然后列出二元一次方程组求解即可；
（2）题可以用未知数n来表示至少购进笔记本的数量，然后列出不等式，求解即可。
4．（2024七下·温州期中）根据以下素材，完成任务．
解决挖掘机的租用和保养问题
素材 “迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号挖掘土石方量单位：台时租金单位：元台时甲型乙型
素材 为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换现预估保养费用为元，若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还缺元；若购买根弹簧和颗钢球，则保养费用还剩元．
问题解决
任务 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共台，恰好完成每小时的挖掘量甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？
任务 探究租用方案 若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？
任务 确定保养费用 基于任务中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备根弹簧和颗钢球，并额外购买根弹簧和颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元用含的代数式表示．
【答案】解：任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
解得：．
答：租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，
根据题意得：，
又，均为正整数，
或或，
共有种租用方案，
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
方案：租用台甲型挖掘机，台乙型挖据机；
任务当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元；
当，时，所需租金为元．
，
租用台甲型挖掘机，台乙型挖掘机时租金最少．
所需弹簧数量为根，
所需钢球数量为颗．
设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，
根据题意得：，
，
，
元．
实际保养费用为元．
故答案为：．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程组解题即可；
任务设租用甲型挖掘机台，乙型挖掘机台，根据题意列，的二元一次方程，求出正整数解即可解题；
任务求出2中租金最少得方案，设弹簧的单价为元，钢球的单价为元，根据题意得到，的二元一次方程组此处将看成常数，即可得到，将其代入解题即可．
二、二元一次方程组的实际应用-销售问题
5．（2025·宁海模拟）动画电影《哪吒》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为元/个，人物卡片单价为元/包，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
故答案为：D.
【分析】根据“购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元”，即可得出关于x， y的二元一次方程组.
6．（2026七上·宁波期末）某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
价格类型 甲种 乙种
进价 (元/件) 30 60
标价(元/件) 50 90
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件
（2）若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2640元，求a的值.
【答案】（1）解：设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
根据题意得：
解得：
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件.
（2）解：根据题意得：(50-a-30)×80+(90×0.8-60)×120=2640，
解得：a=5.
答：a的值为5.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合该超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用总利润=每件甲商品的销售利润×购进数量+每件乙商品的销售利润×购进数量，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论.
7．（2025七下·绍兴期末）根据如表素材，探索完成任务.
背景 某社团去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品.
素材1 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元.
素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料.
问题解决
⑴任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
⑵任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有哪几种购买方案？
⑶任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的.则其中B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：⑴任务 1 设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元。
由题意得
解得
∴A 款单价是 10 元，B 款单价是 12 元.
⑵任务 2 设购买 A 种款式的奶茶 m 杯，购买 B 种款式的奶茶 n 杯。
由题意得10m+12n=220
整理得
∵m、n均为正整数
∴ 或 或 .
∴有3种购买方案。
⑶任务 3 设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了b杯，则B款加料的奶茶买了(3a-a-b)杯，即(2a-b)杯。
由题意得10a+12b+(12+2)(2a-b)=380
整理得b=19a-190
∵a、b、3a-a-b均为正整数
∴
∴2a-b=3
∴B 款加料的奶茶买了 3 杯
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意分别可以得到两个二元一次方程，组成一个方程组，求解即可；
（2）根据题意结合（1）可以列出关于m、n的一个二元一次方程，再用枚举法逐一列举出它的所有正整数解即可；
（3）注意到A款加料奶茶和B款不加料奶茶单价是相同的，等量关系为：单价为10元的奶茶钱数+单价为12元的奶茶钱数+单价为14元的奶茶钱数=380，可以列出一个二元一次方程，再根据实际情况求出方程的正整数解即可。
三、二元一次方程组的应用-数字问题
8．一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，则这个两位数是（ ）
A．34 B．43 C．25 D．52
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】解：设个位数为x，十位数为y，
由题意得，，
解得： ，
则这个两位数是为34．
故选A．
【分析】设个位数为x，十位数为y，根据十位上的数与个位上的数之和是7，新的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，据此列方程组求解．
9．（2022七下·青田月考）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18.
（1）原来的两位数为 ，新的两位数为 .（用含有、的代数式表示）
（2）根据题意，列出二元一次方程组为 .
（3）求原来的两位数.
【答案】（1）10x+y；10y+x
（2）
（3）解：由（2）可得：
整理为：
解得：
故原两位数是35.
【知识点】用字母表示数；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：（1）原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x；
故答案为： 10x+y，10y+x；
（2）由题意可列出二元一次方程组为：
.
故答案为：
【分析】（1）根据十位数字×10+个位数字可表示出两位数；
（2）根据新的两位数比原来的两位数大18可得(10y+x)-(10x+y)=18，根据十位数字与个位数字之和为8可得x+y=8，联立可得方程组；
（3）根据加减消元法求解（2）中的方程组可得x、y的值， 进而可得原两位数.
四、二元一次方程组的应用-和差倍分问题
10．（2024七下·拱墅月考）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，
由题意可得：，
故选：D．
【分析】设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，根据 小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树可列方程组 ．
11．（2024·浙江模拟）年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
①－②×2得：y=60－26×2=8.
把y=8代入②，可得x=18.
故1艘大船可以满载游客的人数为人，1艘小船可以满载游客的人数为8人，
故答案为：C
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意可得等量关系：2艘大船可载的人数+3艘小船可载的人数＝，1艘大船可载的人数＋1艘小船可载的人数＝．据此列出二元一次方程组并求解即可．
12．（2024七下·奉化期中）把一些糖果分给小朋友，如果每人分5粒，分完后还剩4粒，如果每人分6粒，最后一个人只分到1粒，设小朋友的总人数为x人，共有糖果y粒，以下方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设小朋友的总人数为x人，共有糖果y粒，
依题意的： .
故答案为：A.
【分析】 设小朋友的总人数为x人，共有糖果y粒， 由“ 每人分5粒，分完后还剩4粒 ”可列方程y=5x+4，由“ 如果每人分6粒，最后一个人只分到1粒”可得方程y=6(x-1)+1，继而得解.
13．（2024七下·东阳月考）李明一家自驾旅行，车上备了一些矿泉水，如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶．设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，则：
，
故答案为：B．
【分析】本题考查列二元一次方程组解实际问题．设这一行人共有人，矿泉水一共瓶，根据题意：如果每人分2瓶，则多出4瓶，如果每人分3瓶，则有一人少一瓶，据此可列出方程组．
五、二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
14．（2017八上·西安期末）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得，
．
故选：D．
【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．
15．（北师大版数学八年级上册5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数同步练习）十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（ ）
A．300元 B．310元 C．320元 D．330元
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【解答】设大人门票为x，小孩门票为y，由题意，得： ，解得： ，则3x+2y=320．即王斌家计划去3个大人和2个小孩，需要320元的门票．故选：C．
【分析】设大人门票为x，小孩门票为y，根据题目给出的等量关系建立方程组，然后解出x、y的值，再代入计算即可．
16．（2023七下·温州期末）根据以下素材，探索解决任务.
确定什锦糖的销售量
素材1：某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克.
素材2：商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示.小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元.
素材3：小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖.
问题解决
（1）确定A型单价，每份什锦糖A需要多少元？
（2）确定B型配比，每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
（3）确定销售量，本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？
【答案】（1）解：什锦糖A价格为元.
（2）解：设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，
由题意可列方程：，
解得，
∴B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克.
（3）解：设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，
可得方程，
∵m，n为整数，
解得，，
∴①若A型1份，B型10份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果.
②若A型9份，B型3份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价即可算出由2千克甲糖果与2千克乙糖果配置成的A什锦糖的单价；
（2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，根据“ B型什锦糖，每份重5千克，价格80元 ”建立方程组，求解可得答案；
（3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，根据单价乘以数量等于总价及销售m份什锦糖A的钱数+销售n份什锦糖B钱数=870元，建立二元一次方程，求出方程的正整数解即可解决此题.
六、二元一次方程组的应用-几何问题
17．（2025七下·浙江月考）列二元一次方程组解应用题：如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ）
A．34 B．43 C．50 D．54
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设每个小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，
解得：，
．
∴阴影部分的面积之和为．
故答案为：D.
【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于的二元一次方程组，求解，再利用阴影部分的面积之和＝大长方形的面积小长方形的面积计算即可．
18．（2025七下·温州期中）如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 .
【答案】21
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），
由题意可得
由①得a+b=10，
∴a=10-b③
把③代入②整理得b2-10b+21=0，
解得b1=3，b2=7，
当b=3时，a=7，
当b=7时，a=3，
∵a＞b
∴a=7，b=3，
∴每个小正方形的面积为ab=3×7=21.
故答案为：21.
【分析】设小长方形的长为a，宽为b（a＞b），则大长方形的长为2a+b，宽为a+2b，根据大长方形的周长为60列出方程2(2a+b+a+2b)=60，根据长方形面积计算公式由阴影部分的面积=大长方形面积-五个小长方形面积列出方程(2a+b)(a+2b)-5ab=116，联立两方程求解得出a、b的值，进而再算出小长方形面积即可.
19．（2024七下·江北期末）如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为 .
【答案】11
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
把原方程整理得：
∴
∴2xy=49-27
∴xy=11
∴一张小长方形的面积为11，故答案为11.
【分析】由图可知：大长方形的长为2y+x，宽为2x+y，根据大长方形的周长为42， 列出方程：2y+x+2x+y=21，再根据阴影部分的面积为大长方形的面积减去5个小长方形的面积，列出：（2y+x）（2x+y）-5xy=54，最后根据完全平方公式：求出xy的值即可.
20．（2025七下·余姚期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区。如图（1）为大棚，设计方案如图（2），要求两个大棚之间有间隔4m的路，已知每个大棚的周长为44m
（1）求每个大棚的长和宽各是多少？
（2）当面积超过100平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米60元，总价优惠500元；方案二：每平方米70元，总价优惠20%，试问选择哪种方案更优惠？说明理由。
【答案】（1）解：设大棚的宽为a米，长为b米，根据题意可得：
，
解得：
答：大棚的宽为14米，长为8米
（2）解：大棚的面积为：2×14×8=224(平方米)，
若按照方案一计算，大棚的造价为：224×60 500=12940(元)，
若按照方案二计算，大棚的造价为：224×70(1 20%)=12544(元)
显然：12544＜12940，所以选择方案二更好
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】 (1)设大棚的宽为a米，长为b米，分别利用大棚的周长为44米，长比宽多6米，列出方程组求解即可；
(2)先判断面积是否超过100平方米 ，超过了再分别求出两种方案的造价进而得出答案，通过比较大小即可选出最佳方案.
七、二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
21．（2025七下·龙港期中）根据以下素材，探索解决任务.
购买方案的设计
素材1 2025年全运会乒乓球资格赛在浙江进行.某校30位同学计划利用周末时间去现场观看比赛，门票分为A、B、C三个档次，购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元；一张C档门票需要 80 元.
素材2 购票平台有优惠活动，每购买1张A档门票就赠送1张C档门票.
问题解决
任务1 求A档和 B档门票的价格.
任务2 初步统计，有8人购买A档门票，12人购买B档门票，其余同学购买C档门票，请计算票价需要多少元。
任务3 最终购买门票共花了3600元，且C档门票总数多于A档门票数。请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程。
【答案】解：任务1：设档门票为元， 档门票为元。由题意得：
解得
答：A档门票为280元，档门票为180元。
任务2：8×280+12×180+2×80=4560元
任务3：设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，
由题意得
化简得
解得
①②③
三种购买方案如下
方案1：购买A门票10张，B门票0张，C门票10张；
方案2：购买A门票5张，B门票6张，C门票14张；
方案3；购买A门票0张，B门票12张，C门票18张
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1张A档门票为元，1张B档门票为元，然后由 购买1张A档门票和3张B档需要820元；购买2张A档门票和1张B档门票需要740元； 分别列方程，组成方程组，解出此方程组，求出x、y的值即可.
（2）由已知：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票可知，送了8张C档门票。由（1）可知：1张A档门票为280元，1张B档门票为180元 ，一张C档门票需要 80 元. ，然后分别算出8张A档门票，12张B档门票，C档门票应该买30-8-12=10张，但是由于买A档送了8张所以只需购买2张C档门票即可。最后把这三类门票的总费用加起来即可.
（3）设有A档门票有a人，B档门票有b人，C档门票有人，由题意得 ，化简得： ，所以。由于a、b为正整数，所以求出方程的正整数解，即可得到购买方案.
22．（2025八上·义乌开学考）根据以下素材，探索完成任务．
有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．
（1）求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．
（2）由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子．
①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．
②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于65元）．
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个）
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 2分
合格 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 1分
【答案】（1）解：(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，则，
解得
∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做了面小旗子.
（2）解：①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，
则5x+3(x+y)=60，
∴8x+3y=60，
∴
∵x，y为正整数，
∴或
∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元
当时，则费用为3×4+12×3=12+36=48(元)，
当时，则费用为6×4+4×3=24+12=36(元)
∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为36元.
②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸.
∴尽可能多买A卡纸，
当购买A卡纸16张，则赠送B卡纸16张，
此时费用为16×4=64<65.
设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子，(16-n)张做小灯笼.
∴
解得：，
∴A卡纸16张有6张做小旗子，10张做小灯笼，B卡纸16张有10张做小旗子，6张做小灯笼，
制作分配方案如下：
由A卡纸制作 由B卡纸制作
小旗子(面) 小灯笼(个) 小旗子(面) 小灯笼(个)
30 30 30 12
方案评价表
方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分
优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分
良好 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 2分
合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和了张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可：
(2)①设购买A卡纸x张，B卡纸v张，则赠送了B卡纸x张，可得5x+3(x+y)=60，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；
②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸，可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸16张，则赠送E卡纸16张，此时费用为16×4=64<65，设A卡纸16张有m张做小旗子，(16-m)张做小灯笼，B卡纸16张有n张做小旗子(16-n)张做小灯笼，再建立方程组可得答案.
23．（2025七下·滨江期末） 某校为了让学生感受祖国的大好河山，计划组织学生参观某景点．该景点面向学生团队出游推出以下优惠活动：
人数x/人
收费标准/元 50 45 40
经核算，若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元．其中，该校七年级参加入数多于100人、少于200人，八年级参加入数少于100人．问该校七年级、八年级参观该景点的学生人数分别是多少？
【答案】解：设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，
(元)，
根据题意得：
解得：
答：该校七年级参观该景点的学生人数是160人，八年级参观该景点的学生人数是80人.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】设该校七年级参观该景点的学生人数是m人，八年级参观该景点的学生人数是n人，根据“若七年级、八年级学生单独组团共需花费11200元；若两个年级学生联合组团只需花费9600元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论.
24．（2025七下·安吉期中）根据以下信息，探索完成任务：
如何设计招聘方案
素材1 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装。
素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车。
素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资。
问题解决
任务一： 分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二： 确定可行方案 如果工厂招聘n（0任务三： 选取最优方案 在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人 名.（直接写出答案）
【答案】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，∴解得：，，∴每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
任务二：设抽调熟练工m名，招聘新工人n名，∴，即，∵m和n都是正整数，且∴① 抽调熟练工3名，招聘新工人4名。② 抽调熟练工4名，招聘新工人2名。
任务三：2
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务三：方案①中，发放工资为：
方案②中，发放工资为：
∵41600＜43200
∴为了节省成本，应该选择方案②，
即抽调熟练工4名，招聘新工人2名，
故答案为：2．
【分析】任务一：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据＂2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车＂列出方程：；根据＂3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车＂列出方程：，联立得到方程组解此方程组即可求解；
任务二：设抽调熟练工m名，招聘新工人n名，根据＂ 计划一年生产安装240辆 ＂据此得到方程，然后结合实际情况得到两个方案① 抽调熟练工3名，招聘新工人4名。② 抽调熟练工4名，招聘新工人2名。
任务三：分别计算两种方案所需工资，进而比较即可．
25．（2025七下·杭州期中）装商店决定购进A、B两种纪念品，若购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元；若购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元。
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品，其中各纪念品至少购进12件，那么该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，
，解得，
答：购进A种纪念品每件需150元，B种纪念品每件需100元.
（2）解：设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，
，
化简得，
，
当a=12时，b=22；当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，
答：共有4种方案：购进A种纪念品12件，B种纪念品22件；购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设购进A种纪念品每件需x元，B种纪念品每件需y元，根据购进种纪念品10件，种纪念品5件，需要2000元可得10x+5y=2000；根据购进种纪念品5件，种纪念品3件，需要1050元可得5x+3y=1050，进而解得.
(2)设购进A种纪念品a件，B种纪念品b件，根据该商店决定出4000元全部用来购进这两种纪念品可列出二元一次方程，再根据各纪念品至少购进12件可得当a=14时，b=19；当a=16时，b=16；当a=18时，b=13，故共有3种方案：购进A种纪念品14件，B种纪念品19件；购进A种纪念品16件，B种纪念品16件；购进A种纪念品18件，B种纪念品13件.
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