浙教版七（下）数学第五章 分式 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·滨江期末） 下列等式变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方式；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
故选项B错误；
故选项C错误；
故选项D正确.
故答案为： D.
【分析】根据分式的基本性质，完全平方公式，整式的除法运算法则进行解答即可.
2．（2025八上·纳溪期末）若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：若关于的方程有增根，则为增根．
把方程去分母可得，
把代入可得，
解得．
故答案为：A．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
3．（2025八上·播州期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；分式方程的解及检验；解分式方程；解含分数系数的一元一次方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入可得：，
解得：．
故答案为：A．
【分析】
根据分式方程解的定义：将代入得到关于a的方程，计算即可解答．
4．（2024八上·泰山期中）关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同乘得：
移项合并同类项得：
解得：
∵方程有整数解，且m也为整数，
∴2-m=±1或2-m=±2，且，
∴m的值为3、0、4.
故答案为：C．
【分析】将m作为参数，解分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据分式方程的解为整数且m为整数列出关于字母m的混合组，求解即可得出m的值.
5．（2024八上·长沙期末）若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（ ）
A．1 B． C．0 D．4
【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得，
由分式方程无解，得到，
即，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当，整式方程无解，
解得，
故m的值为1或4或．
故答案为：C．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，综合两种情况求解即可．
6．（2025七下·义乌月考）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 -2 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A．m=2 B．n=6 C．a=-4 D．b=-3
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式无意义及分母为0即可求出m的值如下：
当x=-2时，分式无意义，
∴x+m=0，即-2+m=0，
∴m=2，
故A选项不符合题意；
此时分式为，
当x=2时，分式的值为0，
∴，
∴n=6，
故B选项不符合题意；
此时分式为
当分式的值为1时，，
解得x=4，即a=4，
故C选项错误，符合题意，
当x=0时，，
故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式无意义及分母为0即可求出m的值，根据当x=2时分式的值为0即可求出n的值，根据分式的值为1即可求出a的值，根据x=0即可求出b的值.
7．（2025八上·武安期末）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，
根据题意可得方程为，
整理为：，
故选：A．
【分析】
设实际每天植树x万棵，先根据实际与原计划每天植树棵数的关系求出原计划每天的植树量， 原计划每天植树万棵， 再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别算出原计划和实际完成任务所需的时间，最后依据“提前4天完成任务”这一条件建立方程即可．
8．（2025七下·钱塘期末） 某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度 ▲ ．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“ ▲ ”表示的缺失条件为（ ）
A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务
B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务
C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务
D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设实际每天铺设管道x米，则1.5x表示实际每天铺设管道比原计划增加了50%，
根据方程，
可知题中用“______”表示的缺失条件为比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．
故选：A．
【分析】根据题意“原计划每天铺设管道x米“，1.5x表示“实际每天铺设管道比原计划增加了50%“，4表示“现在比原计划少的天数”，结合题目给出的条件即可得出正确的判断．
9．（2025八上·泊头月考）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；判断是否为分式方程的解
【解析】【解答】解：根据图可知：，即解得：，
经检验，是原分式方程的解，故A、C错误，B正确.
同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，
则，解得：，
经检验，是原分式方程的解，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据图列方程，解得：，故A、C错误，B正确，设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，则，解得：，可判断D错误.
10．（2025八上·自贡期末）对于正数x，规定，例如，，，，计算： （ ）
A．602 B．601 C．600 D．599
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
．
故选：B．
【分析】通过计算，进而分组计算得到原式为 ，进而即可求解.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·河西期末）已知，则 ， ．
【答案】；
【知识点】解二元一次方程组；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
解得，，
故答案：，．
【分析】先通分计算分式减法运算得，再解二元一次方程组即可求得.
12．（2025八上·正定期中）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是 ．
【答案】1
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
方程去分母得，
整理得，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
故答案为：1．
【分析】将原方程去分母得，整理得，若方程无解，那么它有增根，代入即可求解．
13．（2025八上·定西期末）若分式方程有增根，则a的值是 ．
【答案】2
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边乘得：，
∴，
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】去分母转换为整式方程，解方程可得，再根据方程有增根，建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2025八上·怀柔期末）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有尺，
由题意得：，
故答案为：
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
15．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是
【答案】乙和丁
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵==
∴甲正确，乙出现错误；
∵=
∴丙正确；
∵=，
∴丁出现错误.
∴出现错误的是乙和丁.
故答案为：乙和丁.
【分析】计算把除法运算转化为乘法运算，看看结果和甲的是否一样，如果一样，那么甲计算正确，反正，甲计算错误；再把甲的式子看能否变相为乙，如果能那么乙正确，反正，乙错误；同样的方法，把乙中的分子因式分解，看看能否变形为丙的形式，把丙通过约分能否变形为丁的形式，分别判断每一步是否正确.
16． 为加快城市群的建设与发展， 在 两城市间新建一条城际铁路， 建成后， 铁路运行里程由现在的 缩短至 ． 城际铁路的设计平均时速要比现行平均时速快 ， 设计运行时间仅是现行运行时间的 ， 则城际铁路建成以后从 地到 地所花费的时间为 小时．
【答案】0.6
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设城际铁路现行速度是x km/h，则设计速度是（x+110）km/h.
由题意得，即.
解得x=80.
经检验，x=80是原方程的根，且符合题意.
则， 城际铁路建成以后从 地到 地所花费的时间0.6小时.
故答案为：0.6.
【分析】设城际铁路现行速度是x km/h，则设计速度是（x+110）km/h，根据题意列出分式方程，解方程即可求解.
三、解答题（共8题，共72分）
17． 不改变分式的值， 把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
【知识点】分式基本性质的应用-系数化整
【解析】【分析】（1）分子、分母同时乘以100即可得到结果；
（2）分子、分母同时乘以12即可得到结果.
18．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
（4）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的约分；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法因式分解，然后约分即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式因式分解，然后约分即可；
（3）先通分，化成同分母分式，然后根据分式减法法则求解即可.
（4）先通分，化成同分母分式，然后根据分式减法法则求解即可.
19．（2026八上·广州月考）解分式方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
解得．
检验：当时，．
∴原分式方程无解．
（2）解：
经检验，是原方程的解．
∴原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先将的分母通过平方差公式变形为，同时将变为，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，最后检验以免产生增根；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，最后检验以免产生增根．
（1）解：，
，解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程无解．
（2）解：，
，
，
，
．
经检验，是原方程的解．
所以，原分式方程的解为．
20．（2025七下·兰溪期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为 （填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
【答案】（1）真分式
（2）解：
（3）解：，
当为整数时，也为整数，
∴x+1可取得的整数值为±1，±3，
∴x的可能整数值为0，-2，2，-4.
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）分子的次数为1，分母的次数为2，1<2，故分式为真分式.
故填：真分式.
【分析】(1)根据题意不难得出此分式分子的次数小于分母的次数，则为真分式.
(2)根据题意，进行变形，转化为分子一项与分母相同，再拆项即可得出答案.
(3)先将其转化为带分式，再进行判断为整数时的取值即可得出答案.
21．（2026八上·番禺期末）【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，．
（1）【理解应用】方程的解为______，______．
（2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值；
（3）【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值．
【答案】（1）3，
（2）解：方程的解为，，
，，
；
（3）解：关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意可得的解为，，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理即可求出答案.
（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
（2）方程的解为，，
，，
；
（3）关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
22．（2024八上·房山期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
（1）在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
（2）若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
（3）若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
【答案】（1）①③
（2）解：∵数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，
∴，解得：，
∴ a的值为2.
（3）或
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；实数的混合运算（含开方）；判断是否为分式方程的解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解析】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”故①正确.
当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故②错误.
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故③正确.
故答案为：①③．
（3）解：∵数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，解得
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
【分析】（1）根据定义，计算当，时，使得关于的分式方程的解是成立，当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，当，时，使得关于的分式方程的解是成立，据此判断即可．
（2）根据数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”得，
，可得，解出即可.
（3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可．
（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，不是
成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故③正确；
故答案为：①③．
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得．
（3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，
整理，得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
23．为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额加 400元”与“每次定量加40 升”.如果自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢 请以两种加油方式各加油两次予以说明.
（1）分析问题：“更合算”指的是两次加油后平均油价更低.由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升.
①两次加油，每次加 400 元的平均油价为 元/升.
②两次加油，每次加 40 升的平均油价为 元/升.
（2）解决问题：请比较两种加油方式的平均油价，并通过计算说明哪种加油方式更合算.
【答案】（1）；
（2）解：-=，
∵（x-y）2≥0，x>0，y>0，
∴-(x-y）2≤0，
∴，
即≤（当且仅当x=y是取得等号），
因此，当x=y时，两种加油方式均价相等；当x≠y时，每次加400 元的加油方式更合算.
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1） ①两次加油，每次加 400 元的总加油量为 （）升，故 每次加 400 元的平均油价为元/升；
② 两次加油，每次加 40 升的总费用为（40x+40y）元，故 每次加 40 升的平均油价为=元/升.
故答案为：；.
【分析】（1）根据“平均油价=总油费÷加油总量”计算即可.
（2）对-化简，根据结果作出判定即可.
24．（2024七下·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务
素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废） 方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根； 方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根； 方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根．
任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值．
【答案】任务一：5，3，1；
解：任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，
按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，依据题意得：
，
解得：．
答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的相应数量的用料．
任务三：依据题意得，
解得：，
经检验，是该方程的解．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：方法①：(根)
当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根．
方法②：，
当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根．
方法③：，
当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠1根．
【分析】任务一：利用围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；
任务二：利用方法②与方法③列出方程组，解方程组即可求解；
任务三：利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，列出分式方程求解．
1 / 1浙教版七（下）数学第五章 分式 单元测试培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·滨江期末） 下列等式变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·纳溪期末）若分式方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
3．（2025八上·播州期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4．（2024八上·泰山期中）关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024八上·长沙期末）若关于x的分式方程无解，则m的值不可能为（ ）
A．1 B． C．0 D．4
6．（2025七下·义乌月考）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 -2 2 a 0
分式的值 无意义 0 1 b
A．m=2 B．n=6 C．a=-4 D．b=-3
7．（2025八上·武安期末）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·钱塘期末） 某工程队铺设一段长为米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度 ▲ ．设原计划每天铺设管道米，可得方程．根据此情境，题中用“ ▲ ”表示的缺失条件为（ ）
A．比原计划增加了，结果提前4天完成任务
B．比原计划增加了，结果推迟4天完成任务
C．比原计划减少了，结果提前4天完成任务
D．比原计划减少了，结果推迟4天完成任务
9．（2025八上·泊头月考）将两把不同刻度的直尺和直尺，分别按图-1和图-2的方式紧贴在一起，根据图中数据，下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．直尺中的刻度18正对直尺中的刻度22
10．（2025八上·自贡期末）对于正数x，规定，例如，，，，计算： （ ）
A．602 B．601 C．600 D．599
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025八上·河西期末）已知，则 ， ．
12．（2025八上·正定期中）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是 ．
13．（2025八上·定西期末）若分式方程有增根，则a的值是 ．
14．（2025八上·怀柔期末）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 .
15．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是
16． 为加快城市群的建设与发展， 在 两城市间新建一条城际铁路， 建成后， 铁路运行里程由现在的 缩短至 ． 城际铁路的设计平均时速要比现行平均时速快 ， 设计运行时间仅是现行运行时间的 ， 则城际铁路建成以后从 地到 地所花费的时间为 小时．
三、解答题（共8题，共72分）
17． 不改变分式的值， 把下列各式的分子与分母中各项的系数化为整数：
（1）
（2） ．
18．计算：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
19．（2026八上·广州月考）解分式方程．
（1）；
（2）．
20．（2025七下·兰溪期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，.我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）.
例如：①；
②.
（1）判断为 （填真分式或假分式）；
（2）仿照例子，将分式化为带分式.
（3）若分式的值为整数，求x的整数值.
21．（2026八上·番禺期末）【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，．
（1）【理解应用】方程的解为______，______．
（2）【知识迁移】若方程的解为，，求的值；
（3）【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值．
22．（2024八上·房山期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”．
例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”．
（1）在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”．
（2）若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值．
（3）若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值．
23．为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额加 400元”与“每次定量加40 升”.如果自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢 请以两种加油方式各加油两次予以说明.
（1）分析问题：“更合算”指的是两次加油后平均油价更低.由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升.
①两次加油，每次加 400 元的平均油价为 元/升.
②两次加油，每次加 40 升的平均油价为 元/升.
（2）解决问题：请比较两种加油方式的平均油价，并通过计算说明哪种加油方式更合算.
24．（2024七下·嘉兴期末）根据以下素材，探索完成任务
素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废） 方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根； 方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根； 方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根．
任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方式；分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
故选项B错误；
故选项C错误；
故选项D正确.
故答案为： D.
【分析】根据分式的基本性质，完全平方公式，整式的除法运算法则进行解答即可.
2．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：若关于的方程有增根，则为增根．
把方程去分母可得，
把代入可得，
解得．
故答案为：A．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
3．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；分式方程的解及检验；解分式方程；解含分数系数的一元一次方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入可得：，
解得：．
故答案为：A．
【分析】
根据分式方程解的定义：将代入得到关于a的方程，计算即可解答．
4．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同乘得：
移项合并同类项得：
解得：
∵方程有整数解，且m也为整数，
∴2-m=±1或2-m=±2，且，
∴m的值为3、0、4.
故答案为：C．
【分析】将m作为参数，解分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据分式方程的解为整数且m为整数列出关于字母m的混合组，求解即可得出m的值.
5．【答案】C
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
整理得，
由分式方程无解，得到，
即，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当，整式方程无解，
解得，
故m的值为1或4或．
故答案为：C．
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，综合两种情况求解即可．
6．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式无意义及分母为0即可求出m的值如下：
当x=-2时，分式无意义，
∴x+m=0，即-2+m=0，
∴m=2，
故A选项不符合题意；
此时分式为，
当x=2时，分式的值为0，
∴，
∴n=6，
故B选项不符合题意；
此时分式为
当分式的值为1时，，
解得x=4，即a=4，
故C选项错误，符合题意，
当x=0时，，
故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式无意义及分母为0即可求出m的值，根据当x=2时分式的值为0即可求出n的值，根据分式的值为1即可求出a的值，根据x=0即可求出b的值.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，
根据题意可得方程为，
整理为：，
故选：A．
【分析】
设实际每天植树x万棵，先根据实际与原计划每天植树棵数的关系求出原计划每天的植树量， 原计划每天植树万棵， 再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别算出原计划和实际完成任务所需的时间，最后依据“提前4天完成任务”这一条件建立方程即可．
8．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设实际每天铺设管道x米，则1.5x表示实际每天铺设管道比原计划增加了50%，
根据方程，
可知题中用“______”表示的缺失条件为比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．
故选：A．
【分析】根据题意“原计划每天铺设管道x米“，1.5x表示“实际每天铺设管道比原计划增加了50%“，4表示“现在比原计划少的天数”，结合题目给出的条件即可得出正确的判断．
9．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用；判断是否为分式方程的解
【解析】【解答】解：根据图可知：，即解得：，
经检验，是原分式方程的解，故A、C错误，B正确.
同理：设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，
则，解得：，
经检验，是原分式方程的解，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据图列方程，解得：，故A、C错误，B正确，设直尺中的刻度18正对直尺中的刻度为y，则，解得：，可判断D错误.
10．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
．
故选：B．
【分析】通过计算，进而分组计算得到原式为 ，进而即可求解.
11．【答案】；
【知识点】解二元一次方程组；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
解得，，
故答案：，．
【分析】先通分计算分式减法运算得，再解二元一次方程组即可求得.
12．【答案】1
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
方程去分母得，
整理得，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
故答案为：1．
【分析】将原方程去分母得，整理得，若方程无解，那么它有增根，代入即可求解．
13．【答案】2
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边乘得：，
∴，
∵方程有增根，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】去分母转换为整式方程，解方程可得，再根据方程有增根，建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设绫布有x尺，则罗布有尺，
由题意得：，
故答案为：
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
15．【答案】乙和丁
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵==
∴甲正确，乙出现错误；
∵=
∴丙正确；
∵=，
∴丁出现错误.
∴出现错误的是乙和丁.
故答案为：乙和丁.
【分析】计算把除法运算转化为乘法运算，看看结果和甲的是否一样，如果一样，那么甲计算正确，反正，甲计算错误；再把甲的式子看能否变相为乙，如果能那么乙正确，反正，乙错误；同样的方法，把乙中的分子因式分解，看看能否变形为丙的形式，把丙通过约分能否变形为丁的形式，分别判断每一步是否正确.
16．【答案】0.6
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设城际铁路现行速度是x km/h，则设计速度是（x+110）km/h.
由题意得，即.
解得x=80.
经检验，x=80是原方程的根，且符合题意.
则， 城际铁路建成以后从 地到 地所花费的时间0.6小时.
故答案为：0.6.
【分析】设城际铁路现行速度是x km/h，则设计速度是（x+110）km/h，根据题意列出分式方程，解方程即可求解.
17．【答案】（1）解：原式 .
（2）解：原式 .
【知识点】分式基本性质的应用-系数化整
【解析】【分析】（1）分子、分母同时乘以100即可得到结果；
（2）分子、分母同时乘以12即可得到结果.
18．【答案】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：
（4）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的约分；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）利用提公因式法因式分解，然后约分即可；
（2）利用完全平方公式、平方差公式因式分解，然后约分即可；
（3）先通分，化成同分母分式，然后根据分式减法法则求解即可.
（4）先通分，化成同分母分式，然后根据分式减法法则求解即可.
19．【答案】（1）解：
解得．
检验：当时，．
∴原分式方程无解．
（2）解：
经检验，是原方程的解．
∴原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先将的分母通过平方差公式变形为，同时将变为，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，最后检验以免产生增根；
（2）先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，最后检验以免产生增根．
（1）解：，
，解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程无解．
（2）解：，
，
，
，
．
经检验，是原方程的解．
所以，原分式方程的解为．
20．【答案】（1）真分式
（2）解：
（3）解：，
当为整数时，也为整数，
∴x+1可取得的整数值为±1，±3，
∴x的可能整数值为0，-2，2，-4.
【知识点】分式的概念；分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解：（1）分子的次数为1，分母的次数为2，1<2，故分式为真分式.
故填：真分式.
【分析】(1)根据题意不难得出此分式分子的次数小于分母的次数，则为真分式.
(2)根据题意，进行变形，转化为分子一项与分母相同，再拆项即可得出答案.
(3)先将其转化为带分式，再进行判断为整数时的取值即可得出答案.
21．【答案】（1）3，
（2）解：方程的解为，，
，，
；
（3）解：关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
【分析】（1）根据题意即可求出答案.
（2）根据题意可得，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意可得的解为，，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理即可求出答案.
（1）解：的解为，，
，即，的解为，，
故答案为：3，；
（2）方程的解为，，
，，
；
（3）关于的方程的解为，，
的解为，，
，，
，，
，
整理得：
将代入，得
，
22．【答案】（1）①③
（2）解：∵数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，
∴，解得：，
∴ a的值为2.
（3）或
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；实数的混合运算（含开方）；判断是否为分式方程的解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解析】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”故①正确.
当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故②错误.
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”，故③正确.
故答案为：①③．
（3）解：∵数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，
∴，解得
∴，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
【分析】（1）根据定义，计算当，时，使得关于的分式方程的解是成立，当，时，使得关于的分式方程的解是，不使成立，当，时，使得关于的分式方程的解是成立，据此判断即可．
（2）根据数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”得，
，可得，解出即可.
（3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可．
（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故①正确；
当，时，使得关于的分式方程的解是，不是
成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故②错误；
当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”
故③正确；
故答案为：①③．
（2）解：根据定义，分式方程的解为，
故．
解得．
（3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，
整理，得，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∵方程的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴
当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
故或．
23．【答案】（1）；
（2）解：-=，
∵（x-y）2≥0，x>0，y>0，
∴-(x-y）2≤0，
∴，
即≤（当且仅当x=y是取得等号），
因此，当x=y时，两种加油方式均价相等；当x≠y时，每次加400 元的加油方式更合算.
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1） ①两次加油，每次加 400 元的总加油量为 （）升，故 每次加 400 元的平均油价为元/升；
② 两次加油，每次加 40 升的总费用为（40x+40y）元，故 每次加 40 升的平均油价为=元/升.
故答案为：；.
【分析】（1）根据“平均油价=总油费÷加油总量”计算即可.
（2）对-化简，根据结果作出判定即可.
24．【答案】任务一：5，3，1；
解：任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，
按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，依据题意得：
，
解得：．
答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的相应数量的用料．
任务三：依据题意得，
解得：，
经检验，是该方程的解．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【解答】解：任务一：方法①：(根)
当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根．
方法②：，
当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根．
方法③：，
当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠1根．
【分析】任务一：利用围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；
任务二：利用方法②与方法③列出方程组，解方程组即可求解；
任务三：利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，列出分式方程求解．
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