中小学教育资源及组卷应用平台
【精选热题·50道解答题专练】
浙教版数学七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，已知∠1=70°，∠2=50°，∠D=70°，AE∥BC，求∠C的度数．
2．如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB于E，请说明
AE=BE．
3．如图，MN∥PQ，将两个直角三角形按如下方式进行摆放，其中∠E=∠ABC=90°，∠EAD=30°，∠BAC=45 恰好满足∠NAC=20°，∠MAE=∠CBQ.
（1）求∠CBQ的度数；
（2）试判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由.
4．如图，已知AB∥CD，∠B=∠D.BE与DF平行吗？为什么？
5．如图，已知l1∥l2，把等腰直角△ABC如图放置，A点在l1上，点B在l2上，若∠1＝30°，求∠2的度数.
6．如图，已知AB∥CD，BE∥FG．
（1）如果∠1=53°，求∠2和∠3的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，使用文字语言表达出来；
（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍小30°，求这两个角的大小．
7．如图，已知DE∥BC，∠ADE=∠EFC，试说明∠1=∠2的理由．
8． 如图， 已知 是直线 上的一点， 平分 ， 射线 ， ．
（1） 求 的度数．
（2） 若 ， 说明： ．
9．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
10．如图，已知 ， ，垂足分别为 、 ， ，试说明： .请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由.
解： ， （已知）
，
_▲_ .
又 （已知），
，
_▲_（内错角相等，两直线平行）
11．如图，∠APB=90°，顶点 P 在直线b上，一边与直线a交于点A，且∠1+∠2=90°.说明直线a∥b的理由.
12．已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD是∠BAC的角平分线，试说明∠E=∠3．
13．如图，一块平面反光镜在∠AOB的边OA上，∠AOB=40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，由科学实验知道：∠OQP=∠AQR，求∠QPB的度数．
14． 如图，直线，相交于点，，垂足为．
（1）若，求∠COB的度数
（2）若，求的度数．
15．完成推理填空：如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数.其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤.
解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（ ）
∴∠EOF＝_▲_°
又∵OF是∠AOE的角平分线（ ）
∴∠AOF＝_▲_＝56°（ ）
∴∠AOC＝∠_▲_—∠_▲_ ＝_▲_°
∴∠BOD＝∠AOC＝_▲_°（ ）
16．如图，直线PQ、MN被直线EF所截，交点分别为A、C，AB平分∠EAQ，CD平分∠ACN，如果PQ∥MN，那么AB与CD平行吗？为什么？
17．如图，直线，点在直线上，且，求的度数.
18．已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
19．如图，，分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，此时；光线经过镜面反射后的光线为，此时．试判断与的位置关系，并说明理由．
答：．
理由：延长射线交于点．
．
▲ （ ）
，（已知）
▲ （等量代换）
又，
（ ）
▲ （等量代换）
（ ）
20．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，说明CD∥FH.
小明是这样思考的：③
（ 1 ）∠1＝∠ACB DE∥BC ∠2＝∠DCF
（ 2 ）∠2＝∠3，∠2＝∠DCF→∠3=∠DCF CD∥FH
你能说明①、②、③各步的理由吗？
①、
②、
③、
21．完成下面的证明：
“如图，已知直线、被直线所截，平分，，求的度数．”
将该题解题过程补充完整：
解：因为（已知），所以（ ）．
所以（ ）．
因为（邻补角的意义），所以 ▲ °（等式性质）．
因为平分（已知），所以 ▲ （角平分线的意义）．
所以 ▲ °
所以 ▲ °
22．如图，D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点，DE∥AB，∠A＝∠1．
（1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BDE+∠CDF+∠1＝250°，求∠B+∠C的度数．
23．小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．这不，学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1=115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是多少呢？请你帮他计算出来．
24．如图，AB∥CD，∠1＝70°，∠2＝60°，求∠B的度数.
25．如图， 是三角形 的边 的延长线上一点， 若 与 互补， 平分 ． 判断 与 是否相等， 并说明理由．
26．如图，已知AC⊥BC，∠1与∠2互余，根据已知条件，你能判定哪两条直线平行？请说明理由．
27．如图，已知，，试说明．
28．如图，，，，，求，和的度数.
29．如图，已知直线，，，判断直线与的位置关系，并说明理由．
30．如图，于点D，于点F，，．（要求写明与平行线的性质和判定相关的推理根据）
（1）求的度数；
（2）求证：．
31．如图所示，已知AB∥CD，∠AOG=45°，∠CDE=80°，求∠GDE的度数．
32．已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，求∠AEB的度数．
33．完成下面的证明.
如图，，分别在和上，，与互余，于点.求证.
证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）.
∵（已知），
∴ ∥ （ ）.
∴（ ）.
又∵（已知），
（平角的定义），
∴.
∴ .
∴（ ）.
34．如图，将三角形ABC沿射线AB的方向移动2cm到三角形DEF的位置.
（1）写出图中所有平行的直线.
（2）写出图中与AD相等的线段，并直接写出其长度.
（3）若∠ABC=65°，求∠EFC的度数.
35．如图，直线相交于点O，平分，．
（1）图中的余角是 （把符合条件的角都填上）；
（2）如果， 求和的度数．
解： ∵平分，
（ ），
∴ ∠2=∠ = °（ ）.
又∵，
∴，
∴ = °．
36．如图，已知E是AB上的点，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．
37．如图，四边形中，，点在上，连接交延长线于点，，，，求的度数．
38．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？
39．如图所示，∠ABC=∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，试找出图中的各组平行线，并说明理由．
40．如图，直线、，相交于点O，，，求的度数以及的度数．
41．如图，AB∥CD，∠B=50°，CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数.
42．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，判断MQ与NP关系，并说明理由．
43．图1是一款少儿自行车，其U型车架如图2所示，已知，，，求出∠BED的度数．
44．已知 AB，CD 是两条平行线，E 为AB，CD所在平面上一点，请根据如图所示的几种情形，探究∠B，∠D 与∠BED 之间的数量关系.
（1）图1中， ；图2中， ；图3中， .
（2）请从所得的三个关系中，选择一个说明理由
45．酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且．
（1）______，_______；
（2）若灯射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动______秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）如图2，两灯同时转动秒，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点．
①______（用含的代数式表示）；
②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由．
46．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
47．已知点A，D分别在y轴正半轴和负半轴上，
（1）如图1，若，求∠CAD的度数.
（2）在∠BAO和∠DEO内作射线AM，EN，分别与过点O的直线交于第一象限内的点M和第三象限内的点N.
①如图2，若AM，EN恰好分别平分∠BAO和∠DEO，求的值；
②若当，求n的取值范围.
48．如图，直线，直线l3与直线、分别交于点C、点D，点A、点B分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点P在直线上．
（1）图1，若点P在线段上时，，请说明理由；
（2）图2，若点P在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由；
（3）图3，若点P在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系．
49．
（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由.
（2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为15°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线OC的夹角∠MOC)
（3）如图3，直线EF上有两点A、C分别引两条射线AB、CD， ∠BAF=160°，∠DCF=80°，射线AB、CD分别绕A点、C点以2°/s和5°/s的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t
50．如图， 将一副三角尺中的两个直角顶点 叠放在一起， 其中 ， ．
（1）若 ， 求 的度数．
（2）试猜想 与 之间的数量关系， 并说明理由．
（3） 若按住三角尺 不动， 绕顶点 转动三角尺 ， 试探究 等于多少度时， ， 并简要说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【精选热题·50道解答题专练】
浙教版数学七年级下册第1章 相交线与平行线
1．如图，已知∠1=70°，∠2=50°，∠D=70°，AE∥BC，求∠C的度数．
【答案】解：∵∠1=∠D=70°，
∴AB∥CD，
∵∠2=50°，
∴∠AED=∠2=50°，
∵AE∥BC，
∴∠C=∠AED=50°
【解析】【分析】根据平行线的判定推出AB∥CD，根据平行线的性质求出∠3=∠2=62°，根据平行线的性质求出∠C=∠3=62°即可．
2．如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB于E，请说明
AE=BE．
【答案】证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠CAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠BDE，
∴BE=DE，
∴AE=BE．
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠ADE=∠CAD，根据AD是∠BAC的平分线可以得到∠EAD=∠CAD，所以∠ADE=∠EAD，根据等角对等边的性质得AE=DE，又∠ADE+∠BDE=90°，∠EAD+∠ABD=90°，根据等角的余角相等的性质∠ABD=∠BDE，所以BE=DE，因此AE=BE．
3．如图，MN∥PQ，将两个直角三角形按如下方式进行摆放，其中∠E=∠ABC=90°，∠EAD=30°，∠BAC=45 恰好满足∠NAC=20°，∠MAE=∠CBQ.
（1）求∠CBQ的度数；
（2）试判断AB 与DE 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵ ∠NAC = 20°， ∠BAC = 45°，
∴ ∠NAB= 45°+ 20°= 65°.
∵ MN ∥PQ，
∴ ∠ABQ=180°-∠NAB=180°-65°=115°，
∴ ∠CBQ=∠ABQ-∠ABC=115°-90°=25°
（2）解：AB∥DE.
理由：
∵∠E=90°，∠EAD=30°，MN∥PQ 可得
∴ ∠ADE = 60°.
由 (1) 知， ∠ABQ = 115°，
∴ ∠ABD=180°-∠ABQ=180°-115°= 65°.
∵∠MAE=∠CBQ，
∴∠MAE=25°，
∴∠MAD=∠MAE+∠EAD=25°+30°=55°.
∵MN∥PQ，
∴ ∠ADP = 180°-55°= 125°，
∴ ∠EDP =∠ADP-∠ADE=125°-60°=65°，
∴∠ABD=∠EDP，
∴AB∥DE
【解析】【分析】(1)根据角之间的关系可得∠NAB=65°根据平行线的性质可知∠ABP=∠BAN=65°，根据邻补角的定义可以求出∠ABQ=115°，再根据角之间的关系求出∠CBQ的度数即可；
(2)由(1)可知，∠ABD=65°，根据∠MAE=∠CBQ=20°，∠EAD=30°，可以求出∠MAD=55°，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出∠ADP=125°，再利用∠EDP=65°，根据同位角相等两直线平行，可说明AB//DE.
4．如图，已知AB∥CD，∠B=∠D.BE与DF平行吗？为什么？
【答案】解：BE与DF平行
理由：∵AB∥CD（已知）
∴∠B=∠COE（两直线平行，同位角相等）
又∵∠B=∠D（已知）
∴∠D=∠COE（等量代换）
∴BE与DF平行（同位角相等，两直线平行）
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等可证得∠B=∠COE，再证明∠D=∠COE，然后根据同位角相等，两直线平行，可证得结论。
5．如图，已知l1∥l2，把等腰直角△ABC如图放置，A点在l1上，点B在l2上，若∠1＝30°，求∠2的度数.
【答案】解：△ABC是等腰直角三角形，则
过点C作CF// ，
l1∥l2，
则 // ，
【解析】【分析】 过点C作CF// ， 由平行线的传递性可得CF∥l2，根据平行线的性质可得∠ACF=∠1，∠2=∠BCF，由角的构成可得∠2=∠BCF=∠ACB-∠ACF即可求解。
6．如图，已知AB∥CD，BE∥FG．
（1）如果∠1=53°，求∠2和∠3的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，使用文字语言表达出来；
（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍小30°，求这两个角的大小．
【答案】解：（1）∵AB∥CD，∠1=53°，∴∠4=∠1=53°．∵BE∥FG，∴∠2=∠4=53°，∴∠3=180°﹣53°=127°；（2）由（1）中的规律可知，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（3）设一个角的度数为x，则x+（2x﹣30°）=180°或x=2x﹣30，解得x=70°或30°，∴这两个角的度数分别是70°，110°或30°，30°．
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由BE∥FG即可得出∠2的度数，根据补角的定义即可得出结论；
（2）根据（1）中的规律即可得出结论；
（3）设一个角的度数为x，则x+（2x﹣30°）=180°或x=2x﹣30，求出x的值即可．
7．如图，已知DE∥BC，∠ADE=∠EFC，试说明∠1=∠2的理由．
【答案】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠ADE=∠EFC ，
∴ ∠ABC=∠EFC ，
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，得∠ADE=∠ABC，结合已知，由等量代换得∠ABC=∠EFC ，然后根据同位角相等，两直线平行，得AB∥EF，进而根据两直线平行，内错角相等，得∠1=∠2.
8． 如图， 已知 是直线 上的一点， 平分 ， 射线 ， ．
（1） 求 的度数．
（2） 若 ， 说明： ．
【答案】（1）解： ∵，
∴ ∠FCA=∠2=58°，
∵，
∴ ∠ACE=90°- ∠FCA=90°- 58°=32°.
（2）证明：∵ 平分 ，
∴ ∠DCE=∠ACE=32°，
又∵，
∴ ∠1=∠DCE，
∴.
【解析】【分析】(1)先根据两直线平行，同位角相等得到∠FCA，再根据垂直得出即可.
(2)先根据角平分线的定义求出∠DCE，再根据内错角相等，两直线平行证出即可.
9．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质求出，再结合，可得，即可证出；
（2）先利用平行线的性质求出，，再利用角的运算求出即可.
10．如图，已知 ， ，垂足分别为 、 ， ，试说明： .请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由.
解： ， （已知）
，
_▲_ .
又 （已知），
，
_▲_（内错角相等，两直线平行）
【答案】解： ， （已知）
（垂直的定义），
（同位角相等两直线平行），
（两直线平行同旁内角互补），
又 （已知），
（同角的补角相等），
（内错角相等两直线平行），
（两直线平行同位角相等）.
【解析】【分析】由同位角相等两直线平行，得EF∥AD；由两直线平行同旁内角互补，求出∠1+∠2=180°；根据同角的补角相等，得出∠1=∠3； 根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥DG，最后根据两直线平行，同位角相等得出∠GDC=∠B.
11．如图，∠APB=90°，顶点 P 在直线b上，一边与直线a交于点A，且∠1+∠2=90°.说明直线a∥b的理由.
【答案】证明：如图，
∵∠APB=∠2+∠3=90°，
∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴a∥b.
【解析】【分析】由同角的余角相等得到∠1=∠3，再根据同位角相等，两直线平行可证a∥b.
12．已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，AD是∠BAC的角平分线，试说明∠E=∠3．
【答案】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，
∴∠4=∠5=90°，
∴AD∥EG，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠E
【解析】【分析】先由垂直的定义可得∠4=∠5=90°，然后根据同位角相等两直线平行可得：AD∥EG，然后根据平行线的性质可得∠1=∠E，∠2=∠3，然后根据角平分线的定义可得：∠1=∠2，然后根据等量代换可得∠3=∠E．
13．如图，一块平面反光镜在∠AOB的边OA上，∠AOB=40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，由科学实验知道：∠OQP=∠AQR，求∠QPB的度数．
【答案】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，
∴∠AQR=∠AOB=40°，
∵∠AOB的两边OA，OB都为平面反光镜，
∴∠OQP=∠AQR=40°，
∴∠QPB=∠AOB+∠OQP=40°+40°=80°．
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠AQR=∠AOB=40°，根据题意可得∠OQP=∠AQR=40°，再利用三角形外角的性质可得∠QPB=∠AOB+∠OQP=40°+40°=80°。
14． 如图，直线，相交于点，，垂足为．
（1）若，求∠COB的度数
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由垂线的定义可得∠AOE=90°，再根据角的和差求解即可；
（2）设∠AOC=3x，利用邻补角的性质建立方程求解即可。
15．完成推理填空：如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数.其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤.
解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（ ）
∴∠EOF＝_▲_°
又∵OF是∠AOE的角平分线（ ）
∴∠AOF＝_▲_＝56°（ ）
∴∠AOC＝∠_▲_—∠_▲_ ＝_▲_°
∴∠BOD＝∠AOC＝_▲_°（ ）
【答案】解：∵∠EOC=90°
∠COF=34° （已知）
∴∠EOF=90°-34°=56°，
∵OF是∠AOE的角平分线
∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线定义）
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22° （同角的余角相等），
【解析】【分析】 根据余角的性质可得∠EOF的度数，由角平分线的概念可得∠AOF＝∠EOF＝56°，进而求出∠AOC的度数，接下来利用对顶角的性质可得答案.
16．如图，直线PQ、MN被直线EF所截，交点分别为A、C，AB平分∠EAQ，CD平分∠ACN，如果PQ∥MN，那么AB与CD平行吗？为什么？
【答案】解：如果PQ∥MN，那么AB与CD平行．理由如下：
如图，∵PQ∥MN，
∴∠EAQ=∠ACN．
又∵AB平分∠EAQ，CD平分∠ACN，
∴∠1=∠EAQ，∠2=∠ACN，
∴∠1=∠2，
∴AB∥CD，
即 AB与CD平行．
【解析】【分析】首先由平行线的性质推知∠EAQ=∠ACN；然后根据角平分线的定义推知同位角∠1=∠2，则AB∥CD．
17．如图，直线，点在直线上，且，求的度数.
【答案】解：如图，
∵ ，
∴∠3=∠1=35°，
∴∠2=180°-∠ABC-∠3
=180°-90°-35°
=55°.
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠3的度数，再根据平角的定义列式求∠2的度数即可.
18．已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
【答案】解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
∴∠1=∠BCD（两直线平行，同位角相等）；
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠BCD；
∴BC∥DG（内错角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】要说明BC∥DG，需先确定与两直线都相交的第三线．图中有三条AB、AC、CD，很显然利用DC更为方便，在“三线八角”中，与已知∠1、∠2都相关的角为∠DCB．至此，证题途径已经明朗．
19．如图，，分别表示两个互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，此时；光线经过镜面反射后的光线为，此时．试判断与的位置关系，并说明理由．
答：．
理由：延长射线交于点．
．
▲ （ ）
，（已知）
▲ （等量代换）
又，
（ ）
▲ （等量代换）
（ ）
【答案】解：延长射线交于点．
．
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
（等量代换）
又，
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定。根据得，根据，可知，则，可得．
20．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，说明CD∥FH.
小明是这样思考的：③
（ 1 ）∠1＝∠ACB DE∥BC ∠2＝∠DCF
（ 2 ）∠2＝∠3，∠2＝∠DCF→∠3=∠DCF CD∥FH
你能说明①、②、③各步的理由吗？
①、
②、
③、
【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】证明：∵∠1＝∠ACB（已知） ，
∴ DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
∵∠2=∠3（已知），
∴∠3=∠DCF（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行.
【分析】由于同位角相等，两直线平行，得出DE∥BC；由于两直线平行，内错角相等，得出∠2＝∠DCF；由于同位角相等，两直线平行，得出CD∥FH.
21．完成下面的证明：
“如图，已知直线、被直线所截，平分，，求的度数．”
将该题解题过程补充完整：
解：因为（已知），所以（ ）．
所以（ ）．
因为（邻补角的意义），所以 ▲ °（等式性质）．
因为平分（已知），所以 ▲ （角平分线的意义）．
所以 ▲ °
所以 ▲ °
【答案】解：因为（已知），所以（同位角相等，两直线平行）．
所以（两直线平行，同旁内角互补）．
因为（邻补角的意义），所以100°（等式性质）．
因为平分（已知），所以（角平分线的意义）．
所以50°
所以130°．
【解析】【分析】 根据同位角相等，两直线平行得出 ； 两直线平行，同旁内角互补得出；根据邻补角的意义求出；再根据角平分线的意义求出，最后求出。
22．如图，D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点，DE∥AB，∠A＝∠1．
（1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠BDE+∠CDF+∠1＝250°，求∠B+∠C的度数．
【答案】（1）解：DF∥AC，理由如下：
∵DE∥AB，
∴∠1＝∠BFD，
∵∠A＝∠1，
∴∠A＝∠BFD，
∴DF∥AC
（2）解：∵∠BDF+∠1+∠CDE＝180°，
∴∠BDE+∠CDF+∠1＝∠BDF+∠1+∠CDE+∠1+∠1＝180°+2∠1＝250°，
解得：∠1＝35°，
∵DF∥AC，DE∥AB，
∴∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，
∴∠BDE+∠CDF+∠1＝∠BDF+∠1+∠CDE+∠1+∠1＝∠B+∠C+3∠1＝250°，
∴∠B+∠C＝250°﹣35×3＝145°
【解析】【分析】（1）先判断为平行，再说理.先利用平行线的性质证明∠1＝∠BFD，结合已知证得∠A＝∠BFD，再根据平行线的判定得出结论；
（2）先利用已知求得∠1，再利用平行线的性质证得∠B＝∠CDE，∠C＝∠BDF，得到关于∠B+∠C的方程求解.
23．小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．这不，学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1=115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是多少呢？请你帮他计算出来．
【答案】【解答】解：过点B作BE∥AD，
∵AD∥CF
∴AD∥BE∥CF，
∴∠1+∠ABE=180°，∠2+∠CBE=180°；
∴∠1+∠2+∠ABC=360°，
∵∠1=115°，∠ABC=90°，
∴∠2的度数为155°．
【解析】【分析】过点B作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出∠1+∠ABE+∠CBE+∠2=360°，再解答即可．
24．如图，AB∥CD，∠1＝70°，∠2＝60°，求∠B的度数.
【答案】解：如图，过点GH作GH∥AB，
∵AB∥CD（已知）
∴CD∥GH∥AB（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠B+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1＝70°（已知），
∴∠4＝70°（等量代换），
∵∠2＝60°（已知），
∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠4
＝180°﹣60°﹣70°
＝50°（平角的定义）
∴∠B＝180°﹣∠3
＝180°﹣50°
＝130°（等式性质）
【解析】【分析】此题应先根据平行于同一直线的两直线平行得出GH∥CD，据此得出∠1=∠4=70°，利用平角的概念得出∠3的度数，最后根据AB∥GH得出答案.
25．如图， 是三角形 的边 的延长线上一点， 若 与 互补， 平分 ． 判断 与 是否相等， 并说明理由．
【答案】解：∠A=∠C，理由如下：
∵ 平分 ．
∴∠CDE=∠EDB.
∵∠A+∠ADE=180°，
∴AC//DE，
∴∠C=∠CDE，∠A=∠EDB，
∴∠A=∠C.
【解析】【分析】利用角平分线的定义得∠CDE=∠EDB.证明AC//DE，得∠C=∠CDE，∠A=∠EDB，即可得到结论.
26．如图，已知AC⊥BC，∠1与∠2互余，根据已知条件，你能判定哪两条直线平行？请说明理由．
【答案】解：能判定AB∥CD，理由如下：
∵ AC⊥BC（已知），
∴∠ACB=90°（垂直定义），
∵∠2+∠ACB+∠ABC=180°（三角形内角和定义），
∴∠2+∠ABC=90°（等式性质），
∵ ∠1与∠2互余（已知），
∴∠1+∠2=90°（互余定义），
∴∠1=∠ABC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）.
【解析】【分析】能判定AB∥CD，理由如下：由垂直定义及三角形的内角和定理可推出∠2+∠ABC=90°，结合∠1+∠2=90°，由同角的余角相等得∠1=∠ABC，最后根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥CD.
27．如图，已知，，试说明．
【答案】解：AD与BC平行；理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定：两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行
28．如图，，，，，求，和的度数.
【答案】解：，，
，
，，
又，
，
∴∠D=110°，
.
答：，和的度数分别是、、.
【解析】【分析】根据平行公理及推论可得AB∥CD∥EF，由平行线的性质可得∠C=∠B=70°，∠E=∠D，∠C+∠D=180°，结合∠D的度数就可求出∠E的度数.
29．如图，已知直线，，，判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】解：，理由如下：
，
，
，
，
．
【解析】【分析】先利用二直线平行，内错角相等得到∠4的度数，进而得到∠1+∠4=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行证得c||d.
30．如图，于点D，于点F，，．（要求写明与平行线的性质和判定相关的推理根据）
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，，∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴；
（2）解：，
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，∴，
∴（内错角相等，两直线平行）
∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴
【解析】【分析】（1）根据垂线的性质得，根据平行线的判定得，平行线的性质得，根据进而求出的度数；
（2）由平行线的性质得，利用等量代换，由平行线的判定证明，，根据平行公理得出结论．
31．如图所示，已知AB∥CD，∠AOG=45°，∠CDE=80°，求∠GDE的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AOG=45°，
∵∠CDE=80°，
∴∠GDE=80°﹣45°=35°．
【解析】【分析】先根据平行线的性质，求得∠CDG的度数，再根据∠CDE的度数，求得∠GDE的度数即可．
32．已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，求∠AEB的度数．
【答案】解：过点E作EF∥AC，如图所示．
∵EF∥AC，
∴∠AEF=∠CAE=30°，
∵EF∥AC∥BD，
∴∠BEF=∠DBE=45°，
∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=75°
【解析】【分析】过点E作EF∥AC，由EF∥AC可得出∠AEF=∠CAE，由EF∥BD可得出∠BEF=∠DBE，再根据∠AEB=∠AEF+∠BEF即可得出结论．
33．完成下面的证明.
如图，，分别在和上，，与互余，于点.求证.
证明：∵（已知），
∴（垂直的定义）.
∵（已知），
∴ ∥ （ ）.
∴（ ）.
又∵（已知），
（平角的定义），
∴.
∴ .
∴（ ）.
【答案】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵（已知），
∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
又∵（已知），
180°（平角的定义），
∴，
∴∠3，
∴（内错角相等，两直线平行）.
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠CGF=90°，由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行，可得AF∥DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠4=∠CGF=90°，根据平角的定义可求出∠2+∠3=90°，结合，根据同角的余角相等可得∠C=∠3，根据内错角相等，两直线平行，即得结论.
34．如图，将三角形ABC沿射线AB的方向移动2cm到三角形DEF的位置.
（1）写出图中所有平行的直线.
（2）写出图中与AD相等的线段，并直接写出其长度.
（3）若∠ABC=65°，求∠EFC的度数.
【答案】（1）解：AE∥CF，AC∥DF，BC∥EF；
（2）解： AD=CF=BE=2cm；
（3）解：∵
∴
∵
∴
∴.
【解析】【解答】解：（1）∵三角形ABC沿射线AB的方向移动2cm到三角形DEF的位置，
∴
（2）∵三角形ABC沿射线AB的方向移动2cm到三角形DEF的位置，
∴
【分析】（1）（2）根据平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行 （或共线）且相等，据此即可求解；
（3）由（1）中的平行结合平行线的性质得到 进而即可求解.
35．如图，直线相交于点O，平分，．
（1）图中的余角是 （把符合条件的角都填上）；
（2）如果， 求和的度数．
解： ∵平分，
（ ），
∴ ∠2=∠ = °（ ）.
又∵，
∴，
∴ = °．
【答案】（1），
（2）解： ∵平分，（角平分线的定义），
（同角的补角相等）．
又∵，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）∵∴，
∴，
∵，
∴，
∴的余角是，．
故答案为：，；
【分析】（1）根据垂线定义，可知。因此，。再结合对顶角相等的关系，最终得出相应结论。
（2）根据角平分线定义，。利用补角性质可得。结合已知条件，进一步计算得到。
（1）解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的余角是，．
故答案为：，；
（2）解： ∵平分，
（角平分线的定义），
（同角的补角相等）．
又∵，
∴，
∴．
36．如图，已知E是AB上的点，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．
【答案】解：∠B=∠C， 理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC， ∴∠B=∠C.
【解析】【分析】由AD∥BC，可得∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，根据角平分线的定义，
证得∠EAD=∠DAC，等量代换可得∠B与∠C的大小关系.
37．如图，四边形中，，点在上，连接交延长线于点，，，，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∴的度数为．
【解析】【分析】先证明，再结合，，可得，从而得解。
38．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE与CD垂直吗？为什么？
【答案】解：因为∠AOC＝40°
所以
又
所以
因为OF平分∠BOE
所以
所以
所以
【解析】【分析】利用对顶角相等可求出∠BOD的度数，再利用∠BOF=∠BOD+∠DOF，可求出∠BOF的度数；再利用角平分线的定义求出∠EOF的度数；然后根据∠DOE=∠EOF+∠DOF，代入计算求出∠DOE的度数，利用垂直的定义可证得结论.
39．如图所示，∠ABC=∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，试找出图中的各组平行线，并说明理由．
【答案】证明：∵∠ABC=∠DEC，
∴AB∥DE；
∵BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，
∴∠ABC=2∠CBP，∠DEC=2∠CEF，
∴∠CBP=∠CEF，
∴BP∥EF.
图中的平行线有：AB∥DE，BP∥EF.
【解析】【分析】利用同位角相等，两直线平行，可得到AB∥DE；利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠CBP，∠DEC=2∠CEF，由此可推出∠CBP=∠CEF，利用同位角相等，两直线平行，可推出BP∥EF.
40．如图，直线、，相交于点O，，，求的度数以及的度数．
【答案】解：∵，（已知），
∴
∵（对顶角相等），
∴；
∵，
∴
故，．
【解析】【分析】利用角的运算求出，利用对顶角的性质可得，再利用邻补角求出即可。
41．如图，AB∥CD，∠B=50°，CF是∠BCE的平分线，求∠ECF的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，∠B=50°，
∴∠BCE=180°-∠B=130°，
∵CF是∠BCE的平分线，
∴∠ECF= ∠BCE=65°
【解析】【分析】首先由平行线的性质可得∠BCE的度数，然后根据角平分线的概念进行求解.
42．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，判断MQ与NP关系，并说明理由．
【答案】解：MQ∥NP，
∵∠BMN=∠DNF，
∴AB∥CD，
∴∠EMB=∠MND，
∵∠1=∠2，
∴∠EMB﹣∠1=∠MND﹣∠2，
∴∠EMQ=∠MNP，
∴MQ∥NP
【解析】【分析】首先利用∠BMN=∠DNF，可得AB∥CD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠EMB=∠MND，然后利用等式的性质可得∠EMQ=∠MNP，从而可得MQ∥NP．
43．图1是一款少儿自行车，其U型车架如图2所示，已知，，，求出∠BED的度数．
【答案】解：如图，过点E作EF∥AB，
则AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°，
∵∠ABE=110°，∠CDE=120°，
∴∠BEF=70°，∠DEF=60°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=130°．
【解析】【分析】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质求出∠BEF=70°，∠DEF=60°，再利用角的运算求出∠BED的度数即可。
44．已知 AB，CD 是两条平行线，E 为AB，CD所在平面上一点，请根据如图所示的几种情形，探究∠B，∠D 与∠BED 之间的数量关系.
（1）图1中， ；图2中， ；图3中， .
（2）请从所得的三个关系中，选择一个说明理由
【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D
（2）若证明∠B+∠D=∠BED，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB=∠B.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED=∠D.
∴∠B+∠D=∠FEB+∠FED=∠BED.
若证明∠B+∠D+∠BED=360°，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB+∠B=180°.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED+∠D=180°.
∴∠FEB+∠B+∠FED+∠D=∠B+∠BED+∠D=360°.
即∠B+∠BED+∠D=360°.
若证明∠B=∠BED+∠D，如图：
过点E作EF//AB，
∴∠FEB+∠B=180°.
∵AB//CD，
∴EF//CD.
∴∠FED+∠D=180°.
∴∠FEB+∠B=∠FED+∠D.
∴∠B=∠D+∠FED－∠FEB=∠D+∠BED.
即∠B=∠D+∠BED.
任选一个进行证明即可
【解析】【解答】解：（1）从图1可得∠B+∠D=∠BED；从图2可得∠B+∠D+∠BED=360°；从图3可得∠B=∠BED+∠D.
故答案为：∠B+∠D=∠BED；∠B+∠D+∠BED=360°；∠B=∠BED+∠D.
【分析】（1）根据图形得到结论即可；
（2）证明结论，先过点E作FE//AB，结合AB//CD，可得EF//CD，利用平行线的性质以及角的运算即可得到结论.
45．酷热的夏天之后汛期即将来临，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图一，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，且、满足．假定这一带盘龙江两岸河堤是平行的，即，且．
（1）______，_______；
（2）若灯射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动______秒时，两灯的光束第一次互相平行；
（3）如图2，两灯同时转动秒，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点．
①______（用含的代数式表示）；
②过作交于点，则在转动过程中，猜想：与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）3，1
（2）15
（3）解：①；
②，理由如下：
由题意可知，点一定在的右侧，，即，
，
，
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3，1；
（2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，
设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知，
解得；
∴转动15秒．
故答案为：15；
（3）①过点C作，
则
∵，
∴，
∴
∴，
即，
经过秒，，
故答案为：.
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质可得， 再求出a、b的值即可；
（2）设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，利用平行线的性质可得， 再求出x的值即可；
（3）① 过点C作， 利用平行线的性质可得 再利用角的运算和等量代换可得， 再利用角的运算求出即可；
②先求出， 再结合， 从而可得.
（1）解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：3，1；
（2）由（1）可知，灯A转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，
设灯A转动秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，
可知，
解得；
∴转动15秒．
故答案为：15；
（3）①过点C作，
则
∵，
∴，
∴
∴，
即，
经过秒，，
故答案为：；
②，理由如下：
由题意可知，点一定在的右侧，，即，
，
，
46．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
【答案】（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）解：
∠3=∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）解：
∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
证明：过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
（4）解：
过P作PQ∥l1∥l2；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1．
【解析】【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
47．已知点A，D分别在y轴正半轴和负半轴上，
（1）如图1，若，求∠CAD的度数.
（2）在∠BAO和∠DEO内作射线AM，EN，分别与过点O的直线交于第一象限内的点M和第三象限内的点N.
①如图2，若AM，EN恰好分别平分∠BAO和∠DEO，求的值；
②若当，求n的取值范围.
【答案】（1）∵AB∥DE，∴∠CAD=∠ODE，
解得m=4.
90°+∠OED=4∠OED，
∴∠OED=30°，∴∠ODE=60°，∴∠CAD=60°.
（2）①如图，过点M作MF∥x轴交y轴于点F，
∴∠AMN-∠ENM=∠AMF+∠FMO-∠ENM
∴∠AMN-∠ENM=45°.
即
由①知∠AMN-∠ENM
解得
【解析】【分析】(1)利用二次根式的性质求得m的值，根据三角形内角和定理结合已知条件构建方程，再利用平行线的性质即可求解；
(2)①过M作根据角平分线的性质，求得 再根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；
②根据①的解法即可求得 再解不等式组即可求解.
48．如图，直线，直线l3与直线、分别交于点C、点D，点A、点B分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点P在直线上．
（1）图1，若点P在线段上时，，请说明理由；
（2）图2，若点P在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由；
（3）图3，若点P在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系．
【答案】（1）解：过点P作
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：，理由：
过点P作
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）解：，理由：
过点P作
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
【解析】【分析】（1）过点P作PM∥l1，由平行线的性质得∠APM=∠CAP，根据平行于同一直线的两直线平行得PM∥l2，由平行线的性质得∠BPM=∠DBP，即可得解.
（1）过点P作PM∥l1，由平行线的性质得∠APM=∠CAP，根据平行于同一直线的两直线平行得PM∥l2，由平行线的性质得∠BPM=∠DBP，即可得解.
（1）过点P作PM∥l1，由平行线的性质得∠APM=∠CAP，根据平行于同一直线的两直线平行得PM∥l2，由平行线的性质得∠BPM=∠DBP，即可得解.
49．
（1）经过薄凸透镜光心的光线，其传播方向不变．如图1，光线a从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线b，由光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a是否平行于光线b？说明理由.
（2）由光学反射知识可知，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等．如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为15°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线OC的夹角∠MOC)
（3）如图3，直线EF上有两点A、C分别引两条射线AB、CD， ∠BAF=160°，∠DCF=80°，射线AB、CD分别绕A点、C点以2°/s和5°/s的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t
【答案】（1）解：如图：
光线a平行于光线b，理由如下：
∵ ∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠3-∠1=∠4-∠2，即∠ABC=∠BCD，
∴a//b.
（2）解：因为入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1=∠2
∵入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，
∴MN 与水平线的夹角为：
（3）解：存在，分三种情况讨论
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
要使AB∥CD ，
则，
解得t=-20(舍去)；
如图②，CD旋转到和AB都在EF的右侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即
解得t=40
此时，
，故成立；
如图③，CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
，
要使AB∥CD，则，
即；
解得 t=40 ，
此时 2t＞160
∴此情况不存在．
综上所述，t为40秒时，CD与AB平行
【解析】【分析】（1）反向延长射线a和射线b，由 ∠1=∠2，∠3=∠4可得∠ABC=∠BCD，根据平行线的判定定理即可得到结论.
（2）根据镜面反射的性质得∠1=∠2，根据入射光线a与水平线OC的夹角为15°，b垂直照射到井底，可得∠1+∠2=180°，于是可得∠1的度数，∠1+15°即为平面镜MN与水平线的夹角.
（3）分三种情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，同样分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解.
50．如图， 将一副三角尺中的两个直角顶点 叠放在一起， 其中 ， ．
（1）若 ， 求 的度数．
（2）试猜想 与 之间的数量关系， 并说明理由．
（3） 若按住三角尺 不动， 绕顶点 转动三角尺 ， 试探究 等于多少度时， ， 并简要说明理由．
【答案】（1）解：，
，
（2）解： +∠， 理由： ．
（3）解：当 或 时， ． 如图 1， 根据同旁内角互补， 两直线平行，
当 时， ， 此时 ； 如图 2 ， 根据内错角相等， 两直线平行， 当 时， ．
【解析】【分析】（1）由∠BCA=∠ECD=90°，得出∠DCA=∠BCD-∠BCA=60°，即可得出结果；
（2）由∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°+∠DCA，∠ACE=∠ECD-∠DCA=90°-∠DCA，即可得出结论；
（3）当CD∥AB时，∠B+∠BCD=180°，则∠BCD=180°-∠B=120°；当CD∥AB时，∠B=∠BCD=60°。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
