第二章二元一次方程组培优卷（含答案）浙教版2025—2026学年七年级数学下册

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第二章二元一次方程组培优卷浙教版2025—2026学年七年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程组的解是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种都有）．如果没有剩余，那么截法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．童童购买7块橡皮、5个作业本共花费19元；购买10块橡皮、8个作业本共花费28元；若购买3块橡皮、3个作业本则要花费（ ）元
A．11 B．10 C．9 D．8
6．小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（ ）
A．2，2 B．2， C．8， D．8，2
7．若方程组的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
8．在解关于的二元一次方程组时，若可直接消去未知数，则和满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____．
10．若方程的解满足，则______．
11．若对于实数x和y，定义一种运算“△”：，其中a，b，c为常数．例如：，已知，，，则的值为________．
12．如果方程组的解，则方程组的解为______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程组：
(1)； (2)．
14．某商贸公司有、两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如表所示：
体积（立方米/件） 质量（吨/件）
型商品
型商品
(1)已知一批商品有、两种型号，体积一共是立方米，质量一共是吨，求、两种型号商品各有几件？
(2)物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重吨，容积为立方米，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元；
②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元．
现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？
15．我们规定：关于的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福方程”．例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福方程”．把两个“幸福方程”合在一起叫“幸福方程组”．
(1)若关于的方程组是“幸福方程组”，求的值．
(2)解“幸福方程组”．
16．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
17．如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图）
(1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽；
(2)求图中阴影部分的面积．
18．若关于的二元一次方程变形为的形式（是常数），则其中一对常数称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为___________；
(2)已知是关于的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求的值；
(3)关于的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．D
4．A
5．C
6．A
7．A
8．C
二、填空题
9．1
10．
11．－10
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：
把②代入①，得，
解得：．
把代入②，得．
所以原方程组的解为：；
（2），
②①，得，
解得：，
把代入①中，得
解得：，
所以原方程组的解为．
14．【详解】（1）解：设A、B两种型号商品各x件、y件，
，
解得，
答：种型号商品有5件，种型号商品有8件；
（2）①按车收费：（辆），但是车辆的容积，
∴3辆车不够，需要4辆车，
（元）；
②按吨收费：（元）；
③一辆车：5件A型1件B型，按车收费；两辆车：各3件B型，按车收费一辆车：1件B型，按吨收费一次运输，共付费（元），
∵，
∴先按车收费用3辆车运送，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为元．
15．【详解】（1）由题意，得，
整理，得：，
解得：．
（2）由（1），得原方程组为，
解得．
16．【详解】（1）根据题意，可得
，解得；
（2）由上题，得，
①②，得，即，
把代入②，可得：，
解得，
原方程组的正确解是
17．【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得，解得，
答：小长方形的长为10，宽为3.
（2）解：．
18．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴二元一次方程的“相伴系数对”为，
故答案为：；
（2）解：∵方程的“相伴系数对”为，
∴该方程为，
∵是关于、的二元一次方程的一个解，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2，
∴，
整理得，
即．
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