第二章二元一次方程组单元检测（拔尖卷·含答案）浙教版2025—2026学年七年级下册

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第二章二元一次方程组单元检测（拔尖卷）浙教版2025—2026学年七年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知是二元一次方程的解，则的值是( )
A．2 B． C．4 D．
2．为了补充学习备品，周日下午，小琳同学到文化用品商店进行购买．她计划拿出50元全部用于购买单价为5元的笔记本和单价为2元的圆珠笔（两种商品都购买），则购买方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3．关于x，y的二元一次方程组的解为，则和代表的数分别为（ ）
A．和 B．9和1 C．和 D．和1
4．《九章算术》卷七“盈不足”中（一四）题：“今有大器五，小器一容三斛；大器一，小器五容二斛，问大，小器各容几何？”其译文是：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛.问大容器，小容器的容积各是多少？”如果设大容器容积为x，小容器容积为y，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
6．如图，在长方形中放入八个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则长方形的面积为（ ）
A．352 B．279 C．365 D．296
7．如果是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．2 B．2或 C．1 D．
8．已知关于x、y的方程组，给出下列说法正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的一个解；
②若，则；
③当x与y互为相反数时，；
④不论a取什么实数，的值始终不变．
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知满足方程组，则的值为_______．
10．阳光学校的同学们为此次爱心助学活动组织了一场广场义演，售出单人票和双人票共1000张，筹得票款6950元．已知双人票每张8元，单人票每张5元，则单人票售出了________ 张．
11．若方程组的解是，则方程组的解是______．
12．若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值为______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程组与拓展：
(1)
(2)已知，求的平方根
14．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？
(2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？
15．某学校组织爱心义卖，七（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案：
方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠
方案二 购买玩偶满50个时，立减10元
(1)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？
(2)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案．
16．已知关于x，y的方程组与的解相同．
(1)求a，b的值．
(2)求的值．
17．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)求正确的，，的值；
(2)求原方程组的解；
(3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解．
18．阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”．
(1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值；
(3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．A
4．A
5．A
6．A
7．D
8．C
二、填空题
9．
10．350
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：
得，
即，
解得：，
将代入得，
解得：，
解得：
（2）解：∵，
∴，，
即，
解得：，
∴，
∴的平方根为．
14．【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，解得
答：放入的大球为4个，放入的小球为6个．
（2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个，
由题意得：，变形为，
∵为正整数，为奇数，
∴当时，；当时，．
答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球．
15．【详解】（1）解：设班委购买了钥匙扣x个、玩偶y个，
由题意得：
解得：，
答：班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个；
（2）解：设购买钥匙扣个、玩偶个，
由题意得：，
，
是正整数，且，，
或 或 ，
共有以下3种购买方案：
方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；
方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；
方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个．
16．【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组
解得
把代入方程与中，
得
解得
（2）解：由（1）得
17．【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了，
∴是方程组的解，
∴，
解得：，
∵乙看错了方程组中的，得解为，
∴，
解得：．
（2）解：∵，，，
∴原方程组为，
①+②得，，
解得：，
把代入②得，，
解得：，
∴原方程组的解为．
（3）解：把，，代入得，，
∵的解为，
∴，
解得：．
18．【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下：
，
，得，
将代入得，，
解得，
∴，
∴方程组的解具有“单位差”；
（2）解：，
得，，
∴，
∴由可得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，
∴，
解得或；
（3）解：，
得，，
∴，
将代入得，，
解得，
∴
∴解距，
∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，
∴或，
解得或或或
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