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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册第2章 二元一次方程组
1．甲、乙两人各有书若干本，如果甲送乙10本，那么两人所有的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的两倍．问原来甲、乙各有书多少本？
2．实验表明，某种气体的体积V(L)随着温度t(℃)的改变而改变，它的体积可用公式V=pt+q计算.已测得当t=0℃时，V=100L；当t=10℃时，V=103.5 L.
（1） 求 p，q 的值.
（2） 当温度为 30℃时，求该气体的体积.
3．列二元一次方程组解决问题：
随着地铁2号线一期的开通，太原正式进入地铁时代．已知2号线一期采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为6元，学生可享受半价．周日，八年级某班师生共36人从始发站“西桥”乘地铁至终点站“尖草坪”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用126元．求他们购买全价票与半价票各多少张？
4．某市的出租车收费标准如下：起步价所允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．
甲说：“我乘出租车走了千米，付车费元．”
乙说：“我乘出租车走了千米，付车费元．”
问：
（1）出租车起步价是多少元？超过3千米的部分每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车走了7千米，应付车费多少元？
5． 某工厂有甲、乙、丙三个车间， 已知甲车间人数比丙车间人数少 ， 而丙车间人数比乙车间人数多 ， 且又比甲、乙两车间人数和的 少 4 人． 三个车间共有多少人？
6． 某茶叶店经销某品牌茶叶．第一次购进了 种茶叶 30 盒， 种茶叶 20 盒， 共花费 6000 元．第二次购进时， 两种茶叶每盒的价格都提高了 ， 该店又购进了 种茶叶 20 盒， 种茶叶 15 盒， 共花费 5100 元． 求第一次购进的 两种茶叶每盒的价格．
7．王老师的数学课采用小组合作的学习方式，把班上40名学生分成若干小组，如果要求每个小组只能是5人或6人，则有几种分组方案？
8．先阅读，然后解方程组．
解方程组 时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入②
得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得 ．这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组： ．
9．《一千零一夜》中：有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的 ；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
10．已知方程组 甲由于看错了方程（1）中的 ，得到方程组的解为 是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的 ，得到方程组的解为 是方程（1）的解．若按正确的计算，求 的值．
11．用如图（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图（2）所示的竖式和横式两种无盖纸盒。现仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
12．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？
阶梯 电量 电价
一档 0﹣180度 0.6元/度
二档 181﹣400度 二档电价
三档 401度及以上 三档电价
13．解方程组：
（1）
（2）
14．在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，求m的取值范围，并在数轴上表示出来．
15．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为．
（1）求每块小长方形墙砖的长和宽；
（2）求电视背景墙的面积．
16．小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了如下表格.
小明 小华 小芳
笔记本/本 15 24 27
钢笔/支 25 40 45
总价/元 330 528 585
聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了，那么这个算错的人是谁
17．（1）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．
18．现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花.
（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长.
（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为α和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y.
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式.（不含a，b）
19．某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解）
20．某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品，销售完成后共获利2200元，其中甲种商品每件进价60元，售价70元；乙种商品每件进价50元，售价65元．
（1）求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，且购进甲、乙商品的数量分别与第一次相同，甲种商品按原售价出售，而乙种商品降价销售，要使第二次购进的两种商品全部售出后，获利不少于1800元，乙种商品最多可以降价多少元？
21．若 是方程组 的解，试求 3m-2n 的值
22． 已知二元一次方程3x+2y=19.
（1）用含x的代数式表示y.
（2）写出此方程的正整数解.
23．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
型货车辆数
型货车辆数
累计运货量
根据以上信息，解答下列问题：
（1）辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？
（2）该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案．
（3）在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
24．小明同学解方程组的过程如下：
解：①，得，③
③一②，得，
，
把代入①，得，
所以这个方程组的解是
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
25．学完二元一次方程组的应用之后，老师写出了一个方程组如下： ，要求把这个方程组赋予实际情境．
小军说出了一个情境：学校有两个课外小组，书法组和美术组，其中书法组的人数的二倍比美术组多5人，书法组平均每人完成了4幅书法作品，美术组平均每人完成了3幅美术作品，两个小组共完成了40幅作品，问书法组和美术组各有多少人？
小明通过验证后发现小军赋予的情境有问题，请找出问题在哪？
26．已知二元一次方程
（1）用含x的代数式表示y.
（2）用含y的代数式表示x.
（3）用适当的数填空是该方程的一个解.
27． 某市出租车起步价所包含的行驶里程为0~3km，超过3km的部分按一定标准另外收取里程费. 张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为7 km，起步价和里程费共计17.2元； 第二次乘车行驶的路程为13 km，起步价和里程费共计28元. 你能由此计算出出租车的起步价和超过3km后的里程费收费标准吗
28．某风景区的门票价格如下表所示：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
票价 100元/人 80元/人 50元/人
某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付9200元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付5150元．问：甲、乙两班分别有多少人？
29．某幼儿园计划买一些玩具，已知买5件甲种玩具与3件乙种玩具共需231元，买2件甲种玩具与3件乙种玩具共需 141元
（1）求甲，乙两种玩具的单价分别是多少元？
（2）如果买甲种玩具有优惠，其优惠方法是：买甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠，而买乙种玩具无优惠，并且幼儿园决定在甲、乙两种玩具中购买一种， 且数量为40件，那么你认为幼儿园选择买哪一种玩具更省 钱，为什么？
30．小悦买书需用 48 元钱，付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张．设所用的 1 元的纸币为 张， 5 元的纸币为 张， 请根据题意列出方程组， 并用列表尝试的方法求两种纸币的数量．
31．已知方程组和有相同的解，求a+b的值．
32．在阿斯塔纳进行的2019国际象棋世界团体锦标赛当地时间14日落幕，中国女队以全胜战绩（八连胜）完美夺冠，中国队与俄罗斯队的对决尤为激烈，双方苦战15轮，最终中国队净胜俄罗斯队3分，比赛的积分规则是胜得1分，负得0分，和棋各得0.5分，问中国队与俄国斯队的积分各是多少？
33．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：解：①，得．③……第一步③②，得．……第二步．……第三步将代入①，得．……第四步所以，原方程组的解为……第五步
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
34．解方程组：
（1）
（2）
35．一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如下表所示（每辆车都装满货物）.
第一次 第二次
甲货车辆数 3 2
乙货车辆数 4 3
累计运货吨数 36 26
（1）一辆甲货车和一辆乙货车一次分别运货多少吨
（2）若货主现有30 吨货物，计划租用甲货车a辆，乙货车b辆（两种货车都租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物.
①请你帮助货主设计租车方案；
②若甲货车每辆租金 100 元，乙货车每辆租金120元，请选出最省钱的租车方案.
36．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
37．小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？
38．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满.求该校的大小寝室每间各住多少人？
39．已知方程组求x+y+z的值.
40．列二元一次方程组解应用题：学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买 个 奖品和 个 奖品共需 元；购买 个 奖品和 个 奖品共需 元.求 ， 两种奖品的单价.
41．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛；大器一小器五容二斛．”大致意思是有两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米
（1）求大桶和小桶各可盛多少斛米？
（2）若打算购买大桶和小桶共12个，要求大桶的数量不多于小桶的2倍，且大小桶所盛米之和不少于5斛米，则有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案能使所盛米的量最多？
42．某公园的门票价格如下表所示：
某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲、乙两班分别有多少人
43．“褚橙”是云南特色水果之一，不仅味道独具一格，营养价值也十分高． 某水果店在开业期间购进甲、乙两种型号的“褚橙”共 箱．为了提升销量，对这两种“褚橙”进行打折出售．打折后甲型号“褚橙”每箱 元，乙型号“褚橙”每箱 元，这两种“褚橙”全部销售完后．销售总收入为 元．请问甲、乙两种型号的“褚橙”各有多少箱？
44．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）已知实数的两个平方根是的立方根是n，求的算术平方根．
45．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下
超过17吨但不超过30吨的部分
超过30吨的部分
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费）
已知小王家年月用水吨，交水费元．月份用水吨，交水费元．
（1）求、的值；
（2）如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
46．某市无偿捐助新鲜蔬菜120t运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（t/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部蔬菜可用甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送；
（2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送（每种至少一辆），已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
47．某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及单价如下表（单位：元）
备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单价（元） 50 40 25
（1）若400元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10件，问篮球和羽毛球拍各购买多少件？
（2）若400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？（若能实现直接写出一种答案即可，若不能请说明理由.）
48．通过对一份中学生营养快餐的检测得到以下信息：
①快餐总质量为 ；
②快餐的成分： 蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪的含量占 ； 矿物质的含量是脂肪含量的 2 倍； 蛋白质和碳水化合物的含量占 ．
（1） 设其中蛋白质的质量是 ， 脂肪的质量是 ，请用含 或 的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量；
（2） 求每份营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量．
49．已 知 关 于 x，y的 方 程 组
（1）请写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一组固定的解，请求出这组解；
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
50． 已知： 现有的 A 型车和 B 型车载满货物一次可运货情况如下表．
型车/辆 型车/辆 共运货/t
3 2 17
2 3 18
某物流公司现有 货物， 计划同时租用 型车 辆， B 型车 辆，一次运完， 且恰好每辆车都载满货物， 根据以上信息， 解答下列问题：
（1） 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满货物，一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若 型车每辆需租金 300 元/次， B 型车每辆需租金 320 元/次， 请选出最省钱的租车方案， 并求出最少租车费．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册第2章 二元一次方程组
1．甲、乙两人各有书若干本，如果甲送乙10本，那么两人所有的书相等；如果乙送给甲10本，那么甲所有的书就是乙剩的书的两倍．问原来甲、乙各有书多少本？
【答案】解：设甲原有书x本，乙原有书y本，根据题意得：
，
解得．
答：原来甲有书70本，乙有书50本．
【解析】【分析】设甲原有书x本，乙原有书y本，由“ 甲送乙10本两人所有的书相等 ”可得x-10=y+10，由“ 乙送给甲10本，甲所有的书就是乙剩的书的两倍 ”可得x+10=2(y-10)，联立两方程求解即可.
2．实验表明，某种气体的体积V(L)随着温度t(℃)的改变而改变，它的体积可用公式V=pt+q计算.已测得当t=0℃时，V=100L；当t=10℃时，V=103.5 L.
（1） 求 p，q 的值.
（2） 当温度为 30℃时，求该气体的体积.
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：.
（2）解：由（1）得：v=0.35t+100，
把t=30℃代入上式可得：v=0.35×30+100=110.5.
答： 当温度为 30℃时，该气体的体积为110.5L.
【解析】【分析】（1）由题意把t、v的两组值代入V=pt+q可得关于p、q的方程组，解之可求解；
（2）由（1）的结论可得v与t之间的关系式，把t=30℃代入式中计算即可求解.
3．列二元一次方程组解决问题：
随着地铁2号线一期的开通，太原正式进入地铁时代．已知2号线一期采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为6元，学生可享受半价．周日，八年级某班师生共36人从始发站“西桥”乘地铁至终点站“尖草坪”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用126元．求他们购买全价票与半价票各多少张？
【答案】解：设他们购买全价票x张，半价票y张，
依题意得：，解得：．
答：他们购买全价票6张，半价票30张．
【解析】【分析】设他们购买全价票x张，半价票y张，根据共36人可得x+y=36；根据单程共付车票费用126元可得6x+×6y=126，联立求解即可.
4．某市的出租车收费标准如下：起步价所允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．
甲说：“我乘出租车走了千米，付车费元．”
乙说：“我乘出租车走了千米，付车费元．”
问：
（1）出租车起步价是多少元？超过3千米的部分每千米收费多少元？
（2）小张乘出租车走了7千米，应付车费多少元？
【答案】（1）解：设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元．依题意，得
解得
答：出租车的起步价是6元，超过3千米后每千米收费元
（2）解：（元）
答：小张乘出租车走了7千米，应付车费元．
【解析】【分析】⑴、列二元一次方程组解实际问题，根据收费标准及甲、乙 二人的表述分别建立相等关系列方程组，可求解。
⑵、利用（1）小题求得起步价以及超过3千米部分每千米的单价，按标准计算即可。
5． 某工厂有甲、乙、丙三个车间， 已知甲车间人数比丙车间人数少 ， 而丙车间人数比乙车间人数多 ， 且又比甲、乙两车间人数和的 少 4 人． 三个车间共有多少人？
【答案】解：设丙车间人数是x人，那么甲车间人数是x×（1-）人，乙车间人数是x÷（1＋）人
x＋4＝[x×（1-）＋x÷（1＋）]×
x＋4＝[x＋x]×
x＋4＝x
x＝4×30
x＝120
x×（1-）
＝120×
＝90
x÷（1＋）
＝120÷
＝96
90＋96＋120＝306（人）
答：三个车间共有306人.
【解析】【分析】设丙车间人数是x人，那么甲车间人数是x×（1-）人，乙车间人数是x÷（1＋）人，再根据丙车间人数＋4＝甲、乙两车间人数和的，列出方程即可解答.
6． 某茶叶店经销某品牌茶叶．第一次购进了 种茶叶 30 盒， 种茶叶 20 盒， 共花费 6000 元．第二次购进时， 两种茶叶每盒的价格都提高了 ， 该店又购进了 种茶叶 20 盒， 种茶叶 15 盒， 共花费 5100 元． 求第一次购进的 两种茶叶每盒的价格．
【答案】解：设第一次则进 种茶每盒 元， 种茶每 元，根据题意．得
解得
答： 种茶每盒100 元， 种茶每盒 150 元．
【解析】【分析】设第一次则进A种茶每盒x元， B种茶每盒y元，根据茶叶升价前后不同的数量以及对应的花费，得到关于x、y的二元一次方程组，求解即可.
7．王老师的数学课采用小组合作的学习方式，把班上40名学生分成若干小组，如果要求每个小组只能是5人或6人，则有几种分组方案？
【答案】解：设5人小组有x组，6人小组有y组，则5x+6y=40因为x，y是自然数，所以列表如下：
x 8 2
y 0 5
所以有两种分组方案.
【解析】【分析】 设5人小组有x组，6人小组有y组， 根据总人数为40人建立二元一次方程，结合 x，y是自然数，找出符合题意的方案即可.
8．先阅读，然后解方程组．
解方程组 时，可由①得x﹣y=1③，然后再将③代入②
得4×1﹣y=5，求得y=﹣1，从而进一步求得 ．这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组： ．
【答案】解：由①得，2x﹣3y=2③，
代入②得， +2y=9，
解得y=4，
把y=4代入③得，2x﹣3×4=2，
解得，x=7．
故原方程组的解为 ．
【解析】【分析】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
9．《一千零一夜》中：有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的 ；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
【答案】解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，由题意得
，解得 ，
答：树上有7只鸽子，树下有5只鸽子．
【解析】【分析】设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，根据“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的 ；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了”列出二元一次方程组即可。
10．已知方程组 甲由于看错了方程（1）中的 ，得到方程组的解为 是方程（2）的解；乙由于看错了方程（2）中的 ，得到方程组的解为 是方程（1）的解．若按正确的计算，求 的值．
【答案】解：将 ， 代入（2）得： ，
∴ ；
将 ， 代入（1）得： ，
∴ ，
∴原方程组为
①×10+②得： ，
∴
把 代入①得：
∴ ．
【解析】【分析】利用二元一次方程组的解的定义，将 ， 代入（2）得 ；将 ， 代入（1）得，即可得出原方程组，再利用加减消元法解此方程组得到x和y的值，再计算即可。
11．用如图（1）中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图（2）所示的竖式和横式两种无盖纸盒。现仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
【答案】解：设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个。根据题意可得：
解得
经检验，这个解满足方程组，且符合题意
答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存纸板用完。
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，准确找出等量关系，列方程组求解.
12．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？
阶梯 电量 电价
一档 0﹣180度 0.6元/度
二档 181﹣400度 二档电价
三档 401度及以上 三档电价
【答案】解：设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，
根据题意得，
，
解得，
答：二档电价是0.7元/度、三档电价是0.9元/度．
【解析】【解答】设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，根据题意列出方程组求解即可．
【分析】此题考查了实际问题与二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列方程求解.
13．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把y=1代入①方程，得，
故方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
故方程组的解为．
【解析】【分析】（1）观察方程组中的两个方程，①方程已经用含y的式子表示出了x，故利用代入消元法求解较为简单；首先把①代入②消去x求出y的值，再将y的值代入①方程，即可求出x的值，从而得到方程组的解；
（2）用①×3-②×2消去x求出y的值，再将y的值代入①方程，即可求出x的值，从而得到方程组的解.
14．在方程组中，若未知数x、y满足x+y＞0，求m的取值范围，并在数轴上表示出来．
【答案】解：①+②得3（x+y）=3﹣m，
∴x+y=m+1，
∵x+y＞0，
∴m+1＞0，
∴m＜3，
用数轴表示为：
【解析】【分析】运用①+②可得x+y的表示式，再运用x+y＞0即可解得m的范围．
15．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为．
（1）求每块小长方形墙砖的长和宽；
（2）求电视背景墙的面积．
【答案】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为，
依题意得，解得，
答：一块长方形墙砖的长为，宽为；
（2）解：求电视背景墙的面积为，
答：电视背景墙的面积为．
【解析】【分析】
（1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组，求解即可得到答案；
（2）利用面积公式求解即可得到答案．
16．小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了如下表格.
小明 小华 小芳
笔记本/本 15 24 27
钢笔/支 25 40 45
总价/元 330 528 585
聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了，那么这个算错的人是谁
【答案】解：设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元.
小明：15x+25y=330，整理，得3x+5y=66.
小华：24x+40y=528，整理，得3x+5y=66.
小芳：27x+45y=585，整理，得3x+5y=65.
小明与小华的结果相同，故小芳错误.
答：这个算错的人是小芳
【解析】【分析】 根据“购买笔记本费用+购买钢笔费用=总价”列方程即可.
17．（1）已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的值；
（2）在（1）的条件下，求出方程组的解．
【答案】（1）解：①－②，得，
，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵，原方程组为，①×2－②，得，
，解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴这个方程组的解是．
【解析】【分析】（1）利用等式的基本性质可直接得出，直接求出a的值即可；
（2）把a代入得出关于x、y的方程组，用加减消元法解方程组即可．
（1）解：
①－②，得，
，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵，原方程组为，
①×2－②，得，
，解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴这个方程组的解是．
18．现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花.
（1）如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长.
（2）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为α和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y.
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求x和y满足的关系式.（不含a，b）
【答案】（1）解：设小长方形宽为x，长为 y，依题意，
得 解得
∴小长方形的相邻两边长是 10m，25 m.
（2）解：①∵1个小长方形的周长为2(x+y)，
1个大长方形的周长为2(2x+y+x+2y)=6(x+y)，
∴1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值.
②依题意，得，
化简得
x和y 满足的关系式为
【解析】【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长.
（2）①分别求出1个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；
②根据长方形的面积公式，由种植鲜花的面积是整块草坪面积的列二元一次方程，即可得到x和y的关系式.
19．某地要在规定的时间内安置一批居民，若每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务，问要安置多少户居民？规定时间为多少个月？（列方程（组）求解）
【答案】解：设安置x户居民，规定时间为y个月．
则： ，
解得： ．
答：需要安置80户居民，规定时间为6个月．
【解析】【分析】抓住关键的已知条件： 每个月安置12户居民，则在规定时间内只能安置90%的居民户；若每个月安置16户居民，则可提前一个月完成安置任务，包含了两个等量关系，设未知数，列方程组，求出方程组的解即可。
20．某商场第一次用10000元购进甲、乙两种商品，销售完成后共获利2200元，其中甲种商品每件进价60元，售价70元；乙种商品每件进价50元，售价65元．
（1）求该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，且购进甲、乙商品的数量分别与第一次相同，甲种商品按原售价出售，而乙种商品降价销售，要使第二次购进的两种商品全部售出后，获利不少于1800元，乙种商品最多可以降价多少元？
【答案】解：（1）设商场购进甲x件，乙购进y件．则
，
解得 ．
答：该商场购进甲、乙两种商品分别是100件、80件；
（3）设乙种商品降价z元，则
10×100+（15﹣z）×80≥1800，
解得 z≤5．
答：乙种商品最多可以降价5元．
【解析】【分析】（1）设商场购进甲x件，乙购进y件．则根据“用10000元购进甲、乙两种商品、销售完成后共获利2200元”列出方程组；
（2）设乙种商品降价z元，则由“要使第二次购进的两种商品全部售出后，获利不少于1800元”列出不等式．
21．若 是方程组 的解，试求 3m-2n 的值
【答案】解：把代入，得
，
由①×2＋②，得5m=10，
∴m=2，
把m=2代入①，得n=3，
∴，
当m=2，n=3时，
3m-2n=3×2-2×3=0.
【解析】【分析】根据方程组解的定义，分别将x=2与y=1代入方程组中的每一个方程可得关于字母m、n的方程组，然后由①×2＋②求出m的值，再将m的值代入①求出n的值，最后将m、n的值代入代数式计算即可.
22． 已知二元一次方程3x+2y=19.
（1）用含x的代数式表示y.
（2）写出此方程的正整数解.
【答案】（1）解：∵3x+2y=19，
∴2y=19-3x，
（2）解：当x=1时，y=8；当x=3时，y=5；当x=5时，y=2
∴正整数解为
【解析】【分析】（1）用含x的代数式表示y意思就是将原方程变形为y=含x的代数式；
（2）单独的一个二元一次方程的解理论上讲有无数个，但限定在正整数解范围内往往就是有限个了，只要用枚举法逐一列举出来即可，注意两个未知数都必须是正整数才符合题意。
23．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
型货车辆数
型货车辆数
累计运货量
根据以上信息，解答下列问题：
（1）辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？
（2）该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案．
（3）在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意得，，解得，
答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨
（2）解：由（1）得，，
，
，都是正整数，
或或，
有种租车方案：
方案一：型车辆，型车辆；
方案二：型车辆，型车辆；
方案三：型车辆，型车辆
（3）解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，
方案一需租金：元；
方案二需租金：元；
方案三需租金：元；
，
最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元．
答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与二元一次方程组的实际应用.（1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据两次货运量列方程组求解；
（2）结合两型号车的运量列出，再由，都是正整数得到租车方案；
（3）计算各方案的租金，比较得出最省钱的方案．
（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意得，，解得，
答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨．
（2）解：由（1）得，，
，
，都是正整数，
或或，
有种租车方案：
方案一：型车辆，型车辆；
方案二：型车辆，型车辆；
方案三：型车辆，型车辆．
（3）解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，
方案一需租金：元；
方案二需租金：元；
方案三需租金：元；
，
最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元．
答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元．
24．小明同学解方程组的过程如下：
解：①，得，③
③一②，得，
，
把代入①，得，
所以这个方程组的解是
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
【答案】解：错误；解题如下：
①，得，③
③-②，得，
，
．
把代入①，得，
，
这个方程组的解为
【解析】【分析】由第二步③一②，得，可知他的计算错误，可判断解法错误；用①×2－②可以消除未知数x，求出y的值，再将y的值代入①可求出x的值，即可求出方程组的解.
25．学完二元一次方程组的应用之后，老师写出了一个方程组如下： ，要求把这个方程组赋予实际情境．
小军说出了一个情境：学校有两个课外小组，书法组和美术组，其中书法组的人数的二倍比美术组多5人，书法组平均每人完成了4幅书法作品，美术组平均每人完成了3幅美术作品，两个小组共完成了40幅作品，问书法组和美术组各有多少人？
小明通过验证后发现小军赋予的情境有问题，请找出问题在哪？
【答案】解：设书法组有x人，美术组有y人，
根据题意得：
解得：
∵人数只能是非负整数，而x＝5.5
∴小军不能以人数为未知数进行情境创设
【解析】【分析】这是一道根据算式或方程， 赋予实际情境编写应用题的题目。先编写应用题，再进行解答分析讨论，实际问题 人数只能是非负整数 ，得出结论。
26．已知二元一次方程
（1）用含x的代数式表示y.
（2）用含y的代数式表示x.
（3）用适当的数填空是该方程的一个解.
【答案】（1）解：∵
∴
（2）解：∵
∴
（3）解：把代入方程中，则
∴是该方程的一个解.
【解析】【分析】（1）将x看作常数，根据二元一次方程的解法计算即可；
（2）将y看作常数，根据二元一次方程的解法计算即可；
（3）将代入二元一次方程即可求出y的值，进而求解.
27． 某市出租车起步价所包含的行驶里程为0~3km，超过3km的部分按一定标准另外收取里程费. 张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为7 km，起步价和里程费共计17.2元； 第二次乘车行驶的路程为13 km，起步价和里程费共计28元. 你能由此计算出出租车的起步价和超过3km后的里程费收费标准吗
【答案】解： 设出租车的起步价为x元，超过3km后的里程费收费标准为y元/km ，根据题意可列方程组
，解得，
答：出租车的起步价为10元，超过3km后的里程费收费标准为1.8元/km.
【解析】【分析】设出租车的起步价为x元，超过3km后的里程费收费标准为y元/km ，根据题意可列方程组，求得方程组的解即可知出租车的起步价和超过3km后的里程费收费标准.
28．某风景区的门票价格如下表所示：
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
票价 100元/人 80元/人 50元/人
某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付9200元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付5150元．问：甲、乙两班分别有多少人？
【答案】解：设甲、乙两班分别有x人、y人，由题意，得
，
解得：．
答：甲、乙两班分别有55人、48人．
【解析】【分析】解：设甲、乙两班分别有x人、y人，根据题干就有方程80x+100y=9200和50x+50y=5150，从而构成方程组求出其解即可．
29．某幼儿园计划买一些玩具，已知买5件甲种玩具与3件乙种玩具共需231元，买2件甲种玩具与3件乙种玩具共需 141元
（1）求甲，乙两种玩具的单价分别是多少元？
（2）如果买甲种玩具有优惠，其优惠方法是：买甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠，而买乙种玩具无优惠，并且幼儿园决定在甲、乙两种玩具中购买一种， 且数量为40件，那么你认为幼儿园选择买哪一种玩具更省 钱，为什么？
【答案】（1）解：设每件甲种玩具的单价为x元，乙种玩具的单价为y元，由题意，
得
解得：
答：每件甲种玩具的单价为30元，乙种玩具的单价为27元；
（2）解：购买甲种玩具的花费为：20×30+（40-20）×30×0.7=1020（元）；
购买乙种玩具的花费为：27×401080（元），
∵1020＜1080，
∴购买甲种玩具更省钱.
【解析】【分析】（1）设每件甲种玩具的单价为x元，乙种玩具的单价为y元，由“ 买5件甲种玩具与3件乙种玩具共需231元，买2件甲种玩具与3件乙种玩具共需141元 ”列出方程组，求解即可；
（2）根据题意计算出购买种玩具的花费及购买乙种玩具的花费，再比大小即可.
30．小悦买书需用 48 元钱，付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张．设所用的 1 元的纸币为 张， 5 元的纸币为 张， 请根据题意列出方程组， 并用列表尝试的方法求两种纸币的数量．
【答案】解：由题意可得，
列表如下所示：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
x+5y 56 52 48 44 40 36 32 28 24 20 16
∴ 方程组的解为，
∴ 1元纸币3张，5元纸币9张.
【解析】【分析】根据等量关系列出二元一次方程组，用列表法进行求解即可.
31．已知方程组和有相同的解，求a+b的值．
【答案】解：解方程组得：，
把代入得：，
解得：a=14，b=2，
所以a+b=16．
【解析】【分析】先求出两方程组中的两个方程组成的方程组的解，代入另两个方程组成的方程组，即可求出a、b的值，代入求出即可．
32．在阿斯塔纳进行的2019国际象棋世界团体锦标赛当地时间14日落幕，中国女队以全胜战绩（八连胜）完美夺冠，中国队与俄罗斯队的对决尤为激烈，双方苦战15轮，最终中国队净胜俄罗斯队3分，比赛的积分规则是胜得1分，负得0分，和棋各得0.5分，问中国队与俄国斯队的积分各是多少？
【答案】解：设中国队与俄罗斯队的积分各是x分、y分，根据题意得：
∴ ，
解得： ，
答：中国队与俄罗斯队的积分各是9分、6分．
【解析】【分析】设中国队与俄罗斯队的积分各是x分、y分，根据题意列出方程组，解方程组即可．
33．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：解：①，得．③……第一步③②，得．……第二步．……第三步将代入①，得．……第四步所以，原方程组的解为……第五步
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ．
（2）第 步开始出现错误．
（3）直接写出该方程组的正确解： ．
【答案】（1）加减消元；等式的基本性质
（2）二
（3）
【解析】【解答】（1）这种解法叫做加减代入消元法，第一步的依据是：等式的基本性质.
故答案为：加减消元；等式的基本性质；
（2）第二步开始出现错误，
故答案为：二
（3）正确解题步骤：
①，得．③
③②，得．
将代入①，得．
所以，原方程组的解为.
故答案为：.
【分析】（1）（2）知道代入消元法和加减消元法的区别即可正确解决问题；等式的基本性质使方程左右两边同时变形；（3）正确解方程即知出问题的地方.注意两式相减时的顺序问题.
34．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
由②得：x+y=2③，
①－③×3得：2y－3y=10－6，
解得：y=﹣4.
把y=﹣4代入③得：x－4=2，
解得：x=6.
则方程组的解为；
（2）解：，
①×8-②×7得：-5x=﹣30，
解得：x=6.
把x=6代入①得：12－7y=5，
解得：y=1，
则方程组的解为．
【解析】【分析】（1）②变形为x+y=2③，再利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法即可求得方程组的解．
（1）解：，
把②代入①得：3x+2（2-x）=10，
解得：x=6，
把x=6代入②得：y=2-6=-4，
则方程组的解为；
（2），
①×3-②×2得：-5y=-5，
解得：y=1，
把y=1代入①得：2x-7=5，
解得：x=6，
则方程组的解为．
35．一批货物要运往某地，货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种汽车运货的情况如下表所示（每辆车都装满货物）.
第一次 第二次
甲货车辆数 3 2
乙货车辆数 4 3
累计运货吨数 36 26
（1）一辆甲货车和一辆乙货车一次分别运货多少吨
（2）若货主现有30 吨货物，计划租用甲货车a辆，乙货车b辆（两种货车都租用），一次运完，且恰好每辆车都装满货物.
①请你帮助货主设计租车方案；
②若甲货车每辆租金 100 元，乙货车每辆租金120元，请选出最省钱的租车方案.
【答案】（1）解：设甲种货车每辆一次装货物x吨，乙种货车每辆一次装货物y吨，
由题意得：
解得：
∴一辆甲货车一次运货4吨，一辆乙货车一次运货6吨.
（2）解：①∵由题意得：4a+6b=30，
∴
∵a，b都是正整数
∴a=6，b=1或a=3，b=3
∴货主有两种租车方案：租甲种货车6辆，乙种货车1辆；租甲种货车3辆，乙种货车3辆；
②当a=6，b=1时，租车费用是：100×6+120×1=720(元)；
当a=3，b=3时，租车费用是：100×3+120×3=660(元)；
720>660
∴租甲种货车3辆，乙种货车3辆时最省钱.
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组，再求出即可解答；
(2)①根据题意可得方案一：租用甲货车3辆，租用乙货车3辆；方案二：租用甲货车6辆，租用乙货车1辆；
②分别计算方案一，方案二的费用，进而即可得到结果.
36．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
【答案】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
，
解得 ，
答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件
【解析】【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．
37．小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：这两个苹果的重量分别为多少g？
【答案】解：设大苹果的重量为x（g），小苹果的重量为y（g），
由题意得， ，
解得： ．
答：大苹果的重量为200g，小苹果的重量为150g
【解析】【分析】设大苹果的重量为x（g），小苹果的重量为y（g），根据图示可得：大苹果的重量=小苹果+50g，大苹果+小苹果=300g+50g，据此列方程组求解．
38．某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满.求该校的大小寝室每间各住多少人？
【答案】解：设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，由题意得：
，解得： .
答：该校的大寝室每间住8人，小寝室每间住6人.
【解析】【分析】 设该校的大寝室每间住x人，小寝室每间住y人，根据“该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满”可列方程55x+50y=740；根据“女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满.”可列方程50x+55y=730；据此可得方程组，解出方程组即可.
39．已知方程组求x+y+z的值.
【答案】解：将原方程组整理得：
②-①，得：x+3y=7，③
把③代入①得：x+y+z=6.
【解析】【分析】通过观察分析，把原方程分别变形成2（x+3y）+（x+y+z）=20①和3（x+3y）+（x+y+z）=27②的形式，然后相减可得x+3y的值，再把x+3y的值代入①，可以求出x+y+z的值.
40．列二元一次方程组解应用题：学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买 个 奖品和 个 奖品共需 元；购买 个 奖品和 个 奖品共需 元.求 ， 两种奖品的单价.
【答案】解：设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
∴ ，
∴A的单价30元，B的单价15元
【解析】【分析】设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组 ，即可求解；
41．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛；大器一小器五容二斛．”大致意思是有两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米
（1）求大桶和小桶各可盛多少斛米？
（2）若打算购买大桶和小桶共12个，要求大桶的数量不多于小桶的2倍，且大小桶所盛米之和不少于5斛米，则有几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案能使所盛米的量最多？
【答案】（1）解：设1个大桶可盛斛米，1个小桶各可盛斛米、依题意得，
解这个方程组，得
答：1个大桶、1个小桶分别可以盛米斛，斛．
（2）解：设购买大桶个，则购买小桶个
根据题意，得
解得，
∵的取值为整数
∴可取6，7，8，即有3种购买方案；
（3）解：由（2）可得，方案一：买6个大桶，6个小桶，
所盛米的总量为：（解）；
方案二：买7个大桶，5个小桶，
所盛米的总量为：（解）；
方案三：买8个大桶，4个小桶，
所盛米的总量为：（解）；
∵
∴买8个大桶，4个小桶所盛米的量最多.
【解析】【分析】（1）设1个大桶盛x斛米，1个小桶盛y斛米，根据5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛米，列出方程组，求解即可；
（2）设购买大桶m个，则购买小桶（12-m)个，根据大桶的数量不多于小桶的2倍，且大小桶所盛米之和不少于5斛米，列出不等式组，求解即可．
（3）分别计算三种方案中，每种方案盛米的总量，再比较即可．
42．某公园的门票价格如下表所示：
某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付515元，问甲、乙两班分别有多少人
【答案】解：设甲班x人，乙班y人，由题意建立二元一次方程组： ，解得： ，∴甲班55人，乙班48人
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由两个班共100多人，100人以上每人5元，不足100人每人8元，列出二元一次方程组，求出 甲、乙两班分别有多少人.
43．“褚橙”是云南特色水果之一，不仅味道独具一格，营养价值也十分高． 某水果店在开业期间购进甲、乙两种型号的“褚橙”共 箱．为了提升销量，对这两种“褚橙”进行打折出售．打折后甲型号“褚橙”每箱 元，乙型号“褚橙”每箱 元，这两种“褚橙”全部销售完后．销售总收入为 元．请问甲、乙两种型号的“褚橙”各有多少箱？
【答案】解：设购进甲型号的“褚橙” 箱，购进乙型号的“褚橙” 箱．
由题意得： ，
解得： ，
答：购进甲型号的“褚橙” 80 箱，购进乙型号的“褚橙” 120 箱．
【解析】【分析】 设购进甲型号的“褚橙” 箱，购进乙型号的“褚橙” 箱． 根据“ 甲、乙两种型号的“褚橙”共 箱 ； 销售总收入为 元 ”列出方程组求解即可。
44．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）已知实数的两个平方根是的立方根是n，求的算术平方根．
【答案】（1）解：根据题意，联立，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
解得．
∴这个相同的解为．
（2）解：将代入，得，
③④，得，
把代入③，得，
解得．
∴，
∴；
∴，即，
∴，
∴，
∵4的算术平方根是2．
∴的算术平方根为2．
【解析】【分析】（1）根据方程组有相同的解，联立方程组，求得x，y的值，即可得到方程组的解，得到答案．
（2）将代入，得到关于m，n的二元一次方程组，求得m和n的值，结合题意，得到a和b的值，将其代入，进行计算求值，即可得到答案.
（1）解：根据题意，
联立，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
解得．
∴这个相同的解为．
（2）解：将代入，
得，
③④，得，
把代入③，得，
解得．
∴，
∴；
∴，即，
∴，
∴，
∵4的算术平方根是2．
∴的算术平方根为2．
45．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下
超过17吨但不超过30吨的部分
超过30吨的部分
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费）
已知小王家年月用水吨，交水费元．月份用水吨，交水费元．
（1）求、的值；
（2）如果小王家月份上交水费元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家月份忘记了去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨，其中月份用水超过吨，一共交水费元，其中包含元滞纳金，求小王家月份用水多少吨？（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【答案】（1）解：由题意得：
解①，得：，
将代入②，解得：，
．
（2），
设小王家这个月用水吨（），由题意得：
，
解得：，
答：小王家这个月用水吨．
（3）设小王家11月份用水吨，
当时，，
解得：；
当时，
解得(舍去)，
答：小王家11月份用水吨．
【解析】【分析】
（1）根据题意，列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设小王家这个月用水吨（），根据小王家9月份上交水费元可列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）设小王家11月份用水吨，分两种情况，①当时，②当时，分别列出方程，即可求解．
（1）由题意得：
解①，得：，
将代入②，解得：，
．
（2），
设小王家这个月用水吨（），由题意得：
，
解得：，
答：小王家这个月用水吨．
（3）设小王家11月份用水吨，
当时，，
解得：；
当时，
解得(舍去)，
答：小王家11月份用水吨．
46．某市无偿捐助新鲜蔬菜120t运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（t/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）全部蔬菜可用甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送；
（2）若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）该地打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送（每种至少一辆），已知它们的总辆数为16辆，你能分别求出运费最省时三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
【答案】（1）5
（2）解：设分别需甲、乙两种车型x辆，y辆，由题意得
解得
答：需甲车型8辆甲车型10辆
（3）解：设分别需甲、乙两种车型m辆，n辆，则丙型车（16-m-n）辆可得
5m+8n+10（16-m-n）=120
化简得 5m+2n=40
满足题意整数解为
或
①当甲型6辆，乙型5辆，丙型4辆时，总费用为
6×400+5×500+4×600=7300（元）
②当甲型4辆，乙型10辆，丙型2辆时，总费用为
4×400+10×500+2×600=7800（元）
7300＜7800
答：当甲型6辆，乙型5辆，丙型4辆时，总费用最省为7300元
【解析】【解答】解：（1）全部蔬菜可用甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车a辆来运送，
由题意可得5×6+8×5+10a=120，
解得a=5，
答：全部蔬菜可用甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车5辆来运送；
故答案为：5；
【分析】（1）根据每辆汽车的运载量×汽车的辆数=总运载量，结合“ 甲型车6辆运载量+乙型车5辆运载量+丙型车a辆的运载量=120”列出方程，求解即可；
（2）设分别需甲、乙两种车型x辆，y辆，根据每辆汽车的运载量×汽车的辆数=总运载量，结合“ 甲型车x辆运载量+乙型车y辆运载量=120”列出方程5x+8y=120，根据每辆汽车的运费×汽车的辆数=总运费，及“甲型车x辆运费+乙型车y辆运费=8200”列出方程400x+500y=8200，联立两方程，求解即可；
（3）设分别需甲、乙两种车型m辆，n辆，则丙型车（16-m-n）辆，根据每辆汽车的运载量×汽车的辆数=总运载量，结合“ 甲型车m辆运载量+乙型车n辆运载量+丙型车(16-m-n)辆的运载量=120”列出方程，求出满足m、n及16-m-n都是正整数得解即可得到运输方案，进而再计算每一种方案需要的运费，最后比较运费的大小即可得出答案.
47．某校为了做好大课间活动，计划用400元购买10件体育用品，备选体育用品及单价如下表（单位：元）
备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍
单价（元） 50 40 25
（1）若400元全部用来购买篮球和羽毛球拍共10件，问篮球和羽毛球拍各购买多少件？
（2）若400元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍三种共10件，能实现吗？（若能实现直接写出一种答案即可，若不能请说明理由.）
【答案】（1）解：设购买篮球x件，则购买羽毛球（10-x）件.列式：50x+25（10-x）=400.
解得x=6，所以购买篮球6件，羽毛球4件.
（2）解：设购买篮球x件，购买排球y件，购买羽毛球拍z件.
，把（1）式×50-（2）式=10y+25z=100.（y+z＜10）用列举排除法求值.
当y=1，2，3，4，5…求出当y=5时，z=2.x=3.
【解析】【分析】（1） 设购买篮球x件，则购买羽毛球（10-x）件 根据购买篮球的总价+购买羽毛球拍的总价=400即可列出方程，求解即可；
（2） 设购买篮球x件，购买排球y件，购买羽毛球拍z件 ，根据购买篮球数量+购买排球的数量+购买羽毛球拍的数量=10， 购买篮球的总价+购买排球的总价+购买羽毛球拍的总价=400， 列出方程，然后根据x，y，z都是正整数，求出该方程组的正整数解即可.
48．通过对一份中学生营养快餐的检测得到以下信息：
①快餐总质量为 ；
②快餐的成分： 蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪的含量占 ； 矿物质的含量是脂肪含量的 2 倍； 蛋白质和碳水化合物的含量占 ．
（1） 设其中蛋白质的质量是 ， 脂肪的质量是 ，请用含 或 的代数式分别表示碳水化合物和矿物质的质量；
（2） 求每份营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪和矿物质的质量．
【答案】（1）解：由题意得，碳水化合物的质量为：85%×300-x=(255-x)g，
矿物质的质量为2yg；
答：矿物质的质量为 2yg， 质量为
（2）解： 由题意得：，
解得：，
所以2y=30（g），255-x=15（g）
所以每份营养快餐中蛋白质的质量为 ， 碳水化合物的质量为 ， 脂肪的质量为 ， 矿物质的质量为
【解析】【分析】（1）根据题目中的已知信息可以将碳水化合物的质量用含x的代数式表达，将矿物质的质量用含有y的代数式表达；
（2） 根据（1）中的代数式、设出来的未知数以及题目中已知的等量关系式可以列出关于x、y的二元一次方程组，求解二元一次方程组，即可解得蛋白质的质量，脂肪的质量，再将x与y的值代入（1）中的代数式，即可求得碳水化合物与矿物质的质量.
49．已 知 关 于 x，y的 方 程 组
（1）请写出方程x+2y-6=0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一组固定的解，请求出这组解；
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
【答案】（1）解：由x+2y-6=0，得x=6-2y，
当y=1时，x=4；
当y=2时，x=2.
∴方程 x+2y-6 =0 的所有正整数解为
（2）解：由题意，得
解得
把 代入x-2y+ mx+5=0，
解得
（3）解：由x-2y+ mx+5=0，得(1+m)x-2y=-5，
当x=0时，y=2.5，
即固定的解为
（4）解：
①+②，得2x-6+ mx+5=0，
整理，得
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1，
解得m=-1或m=-3
【解析】【分析】⑴对于二元一次方程的正整数解，只有同时满足x，y都是正整数即可.
⑵求参数的值时，关键是要通过条件列出关于参数的方程或者方程组，进而求解.
⑶ 方程x-2y+mx+5=0的固定的解，即方程的解与参数m无关，据此得出这组解.
⑷求参数的值时，关键是要通过条件列出关于参数的方程或者方程组，进而求解.
50． 已知： 现有的 A 型车和 B 型车载满货物一次可运货情况如下表．
型车/辆 型车/辆 共运货/t
3 2 17
2 3 18
某物流公司现有 货物， 计划同时租用 型车 辆， B 型车 辆，一次运完， 且恰好每辆车都载满货物， 根据以上信息， 解答下列问题：
（1） 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满货物，一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若 型车每辆需租金 300 元/次， B 型车每辆需租金 320 元/次， 请选出最省钱的租车方案， 并求出最少租车费．
【答案】（1）解：设1 辆 A 型车载满货物一次可运货x吨， 1 辆 B 型车载满货物，一次可运货y吨，依题意得：
解得：
答：1 辆 A 型车载满货物一次可运货3吨， 1 辆 B 型车载满货物，一次可运货4吨.
（2）解：设租用A型车a辆，B型车b辆，依题意得：
3a+4b=35，
3a=35-4b，
a=，
∵a、b都是正整数，
∴当或或
答：共有3中租车方案。分别是：
方案1：租用A型车1辆。B型车8辆；
方案2：租用A型车5辆。B型车5辆；
方案3：租用A型车9辆。B型车2辆.
（3）解：方案1费用为：1×300+8×320=2860（元）；
方案2费用为：5×300+5×320=3100（元）；
方案3费用为：9×300+2×320=3340（元）；
∵3340>3100>2860
∴选择方案1.
答：租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元.
【解析】【分析】（1）由已知可设1 辆 A 型车载满货物一次可运货x吨， 1 辆 B 型车载满货物，一次可运货y吨.由表中的信息可列方程组得：，解方程组，求出x、y的值，即可得到 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都载满货物，一次可分别运货多少吨 .
(2)由已知可设租用A型车a辆，B型车b辆，依题意得：3a+4b=35，a=，因为a、b都是正整数，
所以或或所以共有3中租车方案。分别是：方案1：租用A型车1辆。B型车8辆； 方案2：租用A型车5辆。B型车5辆；方案3：租用A型车9辆。B型车2辆.
（3）结合（2）通过计算可以求得：方案1费用为：1×300+8×320=2860（元）；方案2费用为：5×300+5×320=3100（元）；方案3费用为：9×300+2×320=3340（元）；所以选择方案1.所以可知租用A型车1辆，B型车8辆最省钱，最少租车费为2860元.
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