浙教版数学七年级下册 3.1 同底数幂的乘法 培优卷
一、选择题
1．（2024七下·印江月考） 计算式子的结果用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·北仑期中）计算：（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2025七下·龙港期中） 下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算的结果是（ ）.
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
5．（2024七下·新田期中）如果是方程组的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2021七下·台儿庄期中）若3×9m×27m=311，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．2
7．（2025七下·象山竞赛）已知4x=18，8y=3，则 52x-6y的值为（ ）
A．5 B．10 C．25 D．50
8．（2025七下·浙江期中）如果（为整数），那么用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022七下·桂平期中）已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a
10．（2025七下·浦江月考）我们知道：若am=an(a＞0且a≠1)，则m=n．设5m=3，5n=15，5p=75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n；②m+n=2p﹣1；③n2﹣mp=1．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
11．已知 为正整数，那么 的值是 .
12． 已知 是自然数， 且满足 ， 则 的取值可能是
13．（2024七下·祁阳期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为，类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算填空，若，那么 ．
14．（2025七下·竞赛）我们定义：三角形=ab·ac，五角星=z·(xm·yn)；若=4，则= .
15．（2024七下·永寿期中）已知，，其中m、n均为正整数，则的结果为 ．（用含a，b的式子表示）
三、解答题
16．（2024七下·滕州期中）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
（2）写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：
=_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
17．（2024七下·祁阳期中） 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】由于与是一对倒数，而恰好是的立方，因此可利用幂的乘方的逆运算先把幂的底数转化为，再利用积的乘方的逆运算进行简化运算即可．
3．【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵（ab2）3=a3b6，∴选项A错误；
B、∵（3cd）3=27c3d3，∴选项B错误；
C、∵（-2a3b）2=4a6b2，∴选项C正确；
D、∵（-3a3）2=9a6，∴选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方的法则和幂的乘方的法则分别计算出各选项，即可得到正确答案.
4．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先根据乘方计算，然后根据幂的乘方法则解答即可.
5．【答案】D
【知识点】积的乘方运算的逆用；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴.
得，解得.
将代入①，有，解得.
∴.
故答案为：D.
【分析】将代入，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，再把a，b的值代入 计算即可.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
∴1+2m+3m=11，
解得m=2.
故答案为：D.
【分析】由幂的乘方与同底数幂的乘法，可得，可得方程1+2m+3m=11，解之即可。
7．【答案】A
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即 ，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】先根据幂的乘方得到，然后整体代入计算解答即可.
8．【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
则y=(x-1)2+2，
故答案为：C.
【分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，将3m代入，即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
，，
又∵，
∴，
∴b＞c＞a＞d；
故答案为：C.
【分析】逆用幂的乘方运算法则将几个数变形为指数相同的幂的形式，根据幂的意义，底数越大，其幂就越大即可判断得出答案.
10．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故此结论正确；
故此结论错误；
故此结论正确；
故正确的是：①③.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出，再利用同底数幂的乘法的计算方法可得，再将，代入计算即可.
12．【答案】4或5或6或7
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵，而192=26×3，
∴根据题意有.
∴.
已知 是自然数 ，
则a、b、c可能取值为：、或、或、或.
所以 的取值可能是4、5、6、7.
故答案为：或5或6或7.
【分析】由条件得出a、b、c的方程组，然后根据 是自然数的条件，找出符合a、b、c的值，分别相加即可.
13．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由h(1)代入新运算定义中，
则有，
，
，
......
.....
，
∴.
故填：.
【分析】通过由已知条件代入新运算规则中可先计算，同时在该基础上发现一般性规律，结合同底数幂运算法则即可得出结果.
14．【答案】32
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵=4，
∴3x·32y=4
∴3x+2y=4
∴=2×(9x·81y)
=2×[(32)x·(34)y]
=2×(32x·34y)
=2×32x+4y
=2×32(x+2y)
=2×[3(x+2y)]2
=2×42
=2×16
=32
故答案为：32.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
15．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： ==
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，即可求得.
16．【答案】（1）2；4；6
（2）
（3）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据对数的定义， 若），则n叫做以a为底b的对数，得到=n，进行计算求解，即可得到答案；
（2）由（1）中各个式子的值，找到规律：4×16＝64，进而得到，即可求解；
（3）由（2）中的计算规律，结合特殊到一般，得出结论：，即可求解．
（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
17．【答案】（1）解：令①
将等式两边同时乘2得
②
②①得
（2）解：令4T=，
则T=，①
将等式两边同时乘3得
则3T=，②
由②-①得，
2T=，
则=4T=.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】(1)类比参考材料解题思路，通过构造新的数，使得与原数相减消除中间项；
(2)此处需注意为形成材料中的结构需先对每一项提因数4，后同材料处理方式形成错位相减即可计算出结果；
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一、选择题
1．（2024七下·印江月考） 计算式子的结果用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法计算方法分析求解即可.
2．（2024七下·北仑期中）计算：（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】由于与是一对倒数，而恰好是的立方，因此可利用幂的乘方的逆运算先把幂的底数转化为，再利用积的乘方的逆运算进行简化运算即可．
3．（2025七下·龙港期中） 下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵（ab2）3=a3b6，∴选项A错误；
B、∵（3cd）3=27c3d3，∴选项B错误；
C、∵（-2a3b）2=4a6b2，∴选项C正确；
D、∵（-3a3）2=9a6，∴选项D错误.
故答案为：C.
【分析】根据积的乘方的法则和幂的乘方的法则分别计算出各选项，即可得到正确答案.
4．计算的结果是（ ）.
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先根据乘方计算，然后根据幂的乘方法则解答即可.
5．（2024七下·新田期中）如果是方程组的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算的逆用；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴.
得，解得.
将代入①，有，解得.
∴.
故答案为：D.
【分析】将代入，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，再把a，b的值代入 计算即可.
6．（2021七下·台儿庄期中）若3×9m×27m=311，则m的值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
∴1+2m+3m=11，
解得m=2.
故答案为：D.
【分析】由幂的乘方与同底数幂的乘法，可得，可得方程1+2m+3m=11，解之即可。
7．（2025七下·象山竞赛）已知4x=18，8y=3，则 52x-6y的值为（ ）
A．5 B．10 C．25 D．50
【答案】A
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
即 ，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】先根据幂的乘方得到，然后整体代入计算解答即可.
8．（2025七下·浙江期中）如果（为整数），那么用含的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
则y=(x-1)2+2，
故答案为：C.
【分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，将3m代入，即可得出答案.
9．（2022七下·桂平期中）已知，，，，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a
【答案】C
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，，
，，
又∵，
∴，
∴b＞c＞a＞d；
故答案为：C.
【分析】逆用幂的乘方运算法则将几个数变形为指数相同的幂的形式，根据幂的意义，底数越大，其幂就越大即可判断得出答案.
10．（2025七下·浦江月考）我们知道：若am=an(a＞0且a≠1)，则m=n．设5m=3，5n=15，5p=75．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p=2n；②m+n=2p﹣1；③n2﹣mp=1．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：
故此结论正确；
故此结论错误；
故此结论正确；
故正确的是：①③.
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系.
二、填空题
11．已知 为正整数，那么 的值是 .
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先求出，再利用同底数幂的乘法的计算方法可得，再将，代入计算即可.
12． 已知 是自然数， 且满足 ， 则 的取值可能是
【答案】4或5或6或7
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵，而192=26×3，
∴根据题意有.
∴.
已知 是自然数 ，
则a、b、c可能取值为：、或、或、或.
所以 的取值可能是4、5、6、7.
故答案为：或5或6或7.
【分析】由条件得出a、b、c的方程组，然后根据 是自然数的条件，找出符合a、b、c的值，分别相加即可.
13．（2024七下·祁阳期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为，类似地，我们规定关于任意正整数的一种新运算：，请根据这种新运算填空，若，那么 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由h(1)代入新运算定义中，
则有，
，
，
......
.....
，
∴.
故填：.
【分析】通过由已知条件代入新运算规则中可先计算，同时在该基础上发现一般性规律，结合同底数幂运算法则即可得出结果.
14．（2025七下·竞赛）我们定义：三角形=ab·ac，五角星=z·(xm·yn)；若=4，则= .
【答案】32
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵=4，
∴3x·32y=4
∴3x+2y=4
∴=2×(9x·81y)
=2×[(32)x·(34)y]
=2×(32x·34y)
=2×32x+4y
=2×32(x+2y)
=2×[3(x+2y)]2
=2×42
=2×16
=32
故答案为：32.
【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.
15．（2024七下·永寿期中）已知，，其中m、n均为正整数，则的结果为 ．（用含a，b的式子表示）
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： ==
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，即可求得.
三、解答题
16．（2024七下·滕州期中）阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
一般地，若（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为（即=n）． 如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算以下各对数的值：=_________，=_________，=_________．
（2）写出（1）、、之间满足的关系式_________________________；
（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：
=_________ ．（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
【答案】（1）2；4；6
（2）
（3）
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】（1）根据对数的定义， 若），则n叫做以a为底b的对数，得到=n，进行计算求解，即可得到答案；
（2）由（1）中各个式子的值，找到规律：4×16＝64，进而得到，即可求解；
（3）由（2）中的计算规律，结合特殊到一般，得出结论：，即可求解．
（1）解：（1）∵22=4，24=16，26=64
∴，
故答案为：2，4，6；
（2）∵4×16＝64，＝2，＝4，＝6，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，
故答案为：．
17．（2024七下·祁阳期中） 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：令①
将等式两边同时乘2得
②
②①得
（2）解：令4T=，
则T=，①
将等式两边同时乘3得
则3T=，②
由②-①得，
2T=，
则=4T=.
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】(1)类比参考材料解题思路，通过构造新的数，使得与原数相减消除中间项；
(2)此处需注意为形成材料中的结构需先对每一项提因数4，后同材料处理方式形成错位相减即可计算出结果；
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