浙教版数学七年级下册 3.3 多项式的乘法 提升卷
一、选择题
1．（2026八上·德惠期末）若（x-1）（x+2）=ax2+bx+c，则代数式a+b+c的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-4
2．（2026八上·龙马潭期末）已知多项式 ax-3与x-1的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为( )
A．0 B．- 2 C．- 3 D．3
3．（2025八上·江汉期末）某地计划扩建一块边长为a米的正方形草坪，将一边增加8米，另一边增加5米，那么扩建后的草坪面积比原来增加了（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
4．小明想用若干张如图所示的卡片拼成一个长为a+3b，宽为a+b的大长方形，则需要甲、乙、丙三种卡片的数量各为 （ ）
A．2，4，2 B．3，3，2 C．1，3，4 D．1，5，2
5．（2023七下·蜀山期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七上·东莞期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，当阴影和阴影的面积和为定值时，的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
7．（2025七下·福田期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．（2025八上·唐山月考）已知有A，B，C三种类型的纸片若干张，现用这些纸片拼成相邻边长分别为、的矩形，对于拼接条件，甲、乙两名同学分别提出了自己的看法．
甲：需要C型纸片4张；
乙：需要三种类型的纸片合计41张；
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
9．（2025七下·来宾期末）规定，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2025八上·泸县期末）仔细观察，探索规律：
则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025八下·武侯月考）如果是多项式的一个因式，则m的值是 ．
12．（2025八上·东坡期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ．
13．（2024八上·永吉期末）随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数i，规定，并且新数i满足交换律、结合律和乘法分配律，则的运算结果是 ．
14．（2025七下·温州期中）已知关于x的多项式ax+b与3x2-x-2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为-7，则ab的值为 。
15．（2024七下·成都月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．若的展开式中不含的项，则代数式的值为 ．
三、解答题
16．（2020七下·郑州月考）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： .甲由于把第一个多项式中的“ ”看成了“ ”，得到的结果为 ；乙由于漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为 .
（1）求正确的 、 的值.
（2）计算这道乘法题的正确结果.
17．（2025八上·石家庄期中）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．
例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为．
任务：
（1）小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子．
（2）判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由．
（3）若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2=ax2+bx+c，得a=1，b=1，c=-2，
故a+b+c=0.
故答案为： B.
【分析】由多项式乘多项式可得x2+x-2=ax2+bx+c，即可得a、b、c的值，即可求值.
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：(ax-3)(x-1)=ax2+(-a-3)x+3，
由条件可知-a-3=0，
解得：a=-3，
故答案为：C.
【分析】(ax-3)(x-1)=ax2+(-a-3)x+3，根据题意得到-a-3=0，求解即可.
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵ 地计划扩建一块边长为a米的正方形草坪，将一边增加8米，另一边增加5米，
∴扩建后的草坪是长为米，宽为米的长方形，
∴ 扩建后的草坪面积 为平方米，
∴扩建后的草坪面积比原来增加了平方米，
故选：B．
【分析】根据题意，先用a表示出扩建后的草坪的长，宽，再根据长方形的面积公式计算．
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：拼成的大长方形的面积为(a+3b)(a+
所以需要甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片4张
故答案为：C
【分析】根据多项式乘多项式化简，结合长方形面积即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得：
阴影的面积，
阴影的面积，
阴影的面积阴影的面积
；
阴影与阴影的面积和不会随着的变化而变化，
，
，
故答案为：D
【分析】本题考查图形面积的计算与多项式的应用，解题的核心是推导阴影面积和的表达式并分析定值条件。已知小长方形较短边长为4cm，可先推出小长方形较长边长，进而得到阴影A和阴影B的边长表达式；计算阴影A的面积为(y-12)(x-8)，展开后与阴影B的面积相加，合并同类项后得到面积和的表达式为(x-20)y+240；因为面积和为定值，即与y的取值无关，所以y的系数必须为0，由此可列出x-20=0，求解得出x的值。
7．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴原式，
故答案为：D．
【分析】先根据多项式乘法法则计算得x2+3x-4，再乘以2将多项式整理为x(x+3)，再整体代入相应的值运算即可解答．
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意，可知A型纸片面积为，B型纸片面积为，C型纸片面积为，
∵，
∴拼成相邻边长分别为、的矩形，需要A型纸片15张，B型纸片4张，C型纸片23张，
∴需要三种类型的纸片合计张，
综上所述，甲、乙都错．
故答案为：D
【分析】本题需结合多项式乘多项式与图形面积对应关系解题，先明确A、B、C型纸片的面积分别对应、、。根据矩形面积公式，矩形的面积等于长乘宽，即，按照多项式乘多项式法则展开该式子，得到，合并同类项后为。式子中各项的系数分别对应所需A、C、B型纸片的数量，即15张A型、23张C型、4张B型，三种纸片总数为张，据此判断甲、乙的说法均错误。
9．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】本题是新定义运算问题，关键在于理解题目给定的行列式运算规则，将所给行列式按照此规则转化为整式运算，再通过等式变形求出的值 即可.
10．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】观察已知的等式，将所求式子前配上，再根据规律计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵是多项式的一个因式，
∴由二次项和常数项可得另一个因式为，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据多项式乘多项式得到另一个因式为，再求出，最后计算求解即可.
12．【答案】5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，
则原式，
∵结果中的一次项系数为，
∴，解得，
故答案为：5．
【分析】由题意，设，根据多项式乘以多项式的运算法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”将原式展开，根据一次项系数等于可列关于a的方程，解方程即可求解．
13．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则化简求解即可。
14．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为
解得
故答案为：3.
【分析】根据题意，把 展开合并后，其二次项的系数为0，一次项的系数为 求得a，b的值，得到结果.
15．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴
展开式中项为：，
根据题意得：，即，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】
本题核心考察杨辉三角的应用、多项式乘法法则、降次法求代数式的值. 先利用杨辉三角形或二项式定理展开，再将其与相乘，精准定位项的系数；令该系数为0，得到关于a的方程，最后通过降次法(用低次幂表示高次幂）代入目标代数式求值.
16．【答案】（1）解：
①，
，
②），
由①和②组成方程组，
解得： ，
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】(1)按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值； (2)把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果.
17．【答案】（1）解：
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（2）解：多项式，，，是一组平衡多项式．
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（3）解：需分三种情况讨论：
①
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，
．
②
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
③
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
综上所述，m的值为或7或．
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式去括号，再合并同类项化简，再根据平衡因子的定义即可求出答案.
（2）根据平衡多项式的定义，结合多项式乘多项式化简计算即可求出答案.
（3）分情况讨论，结合多项式乘多项式化简，再根据平衡多项式的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（2）多项式，，，是一组平衡多项式．
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（3）需分三种情况讨论：
①
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，
．
②
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
③
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
综上所述，m的值为或7或．
1 / 1浙教版数学七年级下册 3.3 多项式的乘法 提升卷
一、选择题
1．（2026八上·德惠期末）若（x-1）（x+2）=ax2+bx+c，则代数式a+b+c的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-4
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：(x-1)(x+2)=x2+2x-x-2=x2+x-2=ax2+bx+c，得a=1，b=1，c=-2，
故a+b+c=0.
故答案为： B.
【分析】由多项式乘多项式可得x2+x-2=ax2+bx+c，即可得a、b、c的值，即可求值.
2．（2026八上·龙马潭期末）已知多项式 ax-3与x-1的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为( )
A．0 B．- 2 C．- 3 D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：(ax-3)(x-1)=ax2+(-a-3)x+3，
由条件可知-a-3=0，
解得：a=-3，
故答案为：C.
【分析】(ax-3)(x-1)=ax2+(-a-3)x+3，根据题意得到-a-3=0，求解即可.
3．（2025八上·江汉期末）某地计划扩建一块边长为a米的正方形草坪，将一边增加8米，另一边增加5米，那么扩建后的草坪面积比原来增加了（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵ 地计划扩建一块边长为a米的正方形草坪，将一边增加8米，另一边增加5米，
∴扩建后的草坪是长为米，宽为米的长方形，
∴ 扩建后的草坪面积 为平方米，
∴扩建后的草坪面积比原来增加了平方米，
故选：B．
【分析】根据题意，先用a表示出扩建后的草坪的长，宽，再根据长方形的面积公式计算．
4．小明想用若干张如图所示的卡片拼成一个长为a+3b，宽为a+b的大长方形，则需要甲、乙、丙三种卡片的数量各为 （ ）
A．2，4，2 B．3，3，2 C．1，3，4 D．1，5，2
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：拼成的大长方形的面积为(a+3b)(a+
所以需要甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片4张
故答案为：C
【分析】根据多项式乘多项式化简，结合长方形面积即可求出答案.
5．（2023七下·蜀山期中）已知，若，均为整数，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】
得a+b=c，ab=-8，
a，b均为整数，
a和b是-8的因数，
则a的值可以是-1，-2，-4，1，2，4，8，
而对应b的值是8，4，2，-8，-4，-2，-1，
则c=a+b=-1+8=7
或-2+4=2
或-4+2=-2
或1+（-8）=-7
所以，c的值可以是，不可能是4
故答案是A
【分析】本题考查多项式相乘法则：多项式乘以多项式，先用第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加。用公式表示：（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。根据每一项对应相等，得到c和a、b的数量关系即可。
6．（2024七上·东莞期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，当阴影和阴影的面积和为定值时，的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得：
阴影的面积，
阴影的面积，
阴影的面积阴影的面积
；
阴影与阴影的面积和不会随着的变化而变化，
，
，
故答案为：D
【分析】本题考查图形面积的计算与多项式的应用，解题的核心是推导阴影面积和的表达式并分析定值条件。已知小长方形较短边长为4cm，可先推出小长方形较长边长，进而得到阴影A和阴影B的边长表达式；计算阴影A的面积为(y-12)(x-8)，展开后与阴影B的面积相加，合并同类项后得到面积和的表达式为(x-20)y+240；因为面积和为定值，即与y的取值无关，所以y的系数必须为0，由此可列出x-20=0，求解得出x的值。
7．（2025七下·福田期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴原式，
故答案为：D．
【分析】先根据多项式乘法法则计算得x2+3x-4，再乘以2将多项式整理为x(x+3)，再整体代入相应的值运算即可解答．
8．（2025八上·唐山月考）已知有A，B，C三种类型的纸片若干张，现用这些纸片拼成相邻边长分别为、的矩形，对于拼接条件，甲、乙两名同学分别提出了自己的看法．
甲：需要C型纸片4张；
乙：需要三种类型的纸片合计41张；
则下列判断正确的是（ ）
A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意，可知A型纸片面积为，B型纸片面积为，C型纸片面积为，
∵，
∴拼成相邻边长分别为、的矩形，需要A型纸片15张，B型纸片4张，C型纸片23张，
∴需要三种类型的纸片合计张，
综上所述，甲、乙都错．
故答案为：D
【分析】本题需结合多项式乘多项式与图形面积对应关系解题，先明确A、B、C型纸片的面积分别对应、、。根据矩形面积公式，矩形的面积等于长乘宽，即，按照多项式乘多项式法则展开该式子，得到，合并同类项后为。式子中各项的系数分别对应所需A、C、B型纸片的数量，即15张A型、23张C型、4张B型，三种纸片总数为张，据此判断甲、乙的说法均错误。
9．（2025七下·来宾期末）规定，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：B．
【分析】本题是新定义运算问题，关键在于理解题目给定的行列式运算规则，将所给行列式按照此规则转化为整式运算，再通过等式变形求出的值 即可.
10．（2025八上·泸县期末）仔细观察，探索规律：
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】观察已知的等式，将所求式子前配上，再根据规律计算即可求解．
二、填空题
11．（2025八下·武侯月考）如果是多项式的一个因式，则m的值是 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵是多项式的一个因式，
∴由二次项和常数项可得另一个因式为，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据多项式乘多项式得到另一个因式为，再求出，最后计算求解即可.
12．（2025八上·东坡期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为 ．
【答案】5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，
则原式，
∵结果中的一次项系数为，
∴，解得，
故答案为：5．
【分析】由题意，设，根据多项式乘以多项式的运算法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”将原式展开，根据一次项系数等于可列关于a的方程，解方程即可求解．
13．（2024八上·永吉期末）随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数i，规定，并且新数i满足交换律、结合律和乘法分配律，则的运算结果是 ．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴原式
，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则化简求解即可。
14．（2025七下·温州期中）已知关于x的多项式ax+b与3x2-x-2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为-7，则ab的值为 。
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为
解得
故答案为：3.
【分析】根据题意，把 展开合并后，其二次项的系数为0，一次项的系数为 求得a，b的值，得到结果.
15．（2024七下·成都月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．若的展开式中不含的项，则代数式的值为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴
展开式中项为：，
根据题意得：，即，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】
本题核心考察杨辉三角的应用、多项式乘法法则、降次法求代数式的值. 先利用杨辉三角形或二项式定理展开，再将其与相乘，精准定位项的系数；令该系数为0，得到关于a的方程，最后通过降次法(用低次幂表示高次幂）代入目标代数式求值.
三、解答题
16．（2020七下·郑州月考）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题： .甲由于把第一个多项式中的“ ”看成了“ ”，得到的结果为 ；乙由于漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为 .
（1）求正确的 、 的值.
（2）计算这道乘法题的正确结果.
【答案】（1）解：
①，
，
②），
由①和②组成方程组，
解得： ，
（2）解：
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【分析】(1)按甲乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值； (2)把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果.
17．（2025八上·石家庄期中）阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式
定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子．
例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为．
任务：
（1）小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子．
（2）判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由．
（3）若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值．
【答案】（1）解：
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（2）解：多项式，，，是一组平衡多项式．
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（3）解：需分三种情况讨论：
①
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，
．
②
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
③
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
综上所述，m的值为或7或．
【知识点】多项式乘多项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式去括号，再合并同类项化简，再根据平衡因子的定义即可求出答案.
（2）根据平衡多项式的定义，结合多项式乘多项式化简计算即可求出答案.
（3）分情况讨论，结合多项式乘多项式化简，再根据平衡多项式的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（2）多项式，，，是一组平衡多项式．
，
该组平衡多项式的平衡因子是．
（3）需分三种情况讨论：
①
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，
．
②
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
③
，
这组多项式是一组平衡多项式，
，．
综上所述，m的值为或7或．
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