浙教版数学七年级下册 3.4 乘法公式 提升卷
一、选择题
1．（ ），括号内应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
括号内应填，
故选：C．
【分析】根据(a+b)(a-b)=a2-b2进行作答.
2．若（x＋3y)2＝（x－3y)2＋M，则M为（ )
A．6xy B．12xy C．－6xy D．－12xy
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
=12xy.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式计算即可.
3．（2024八上·增城期末）已知是完全平方式，则的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，由完全平方式式的性质得k=.
故答案为：D.
【分析】根据“首平方尾平方，两倍乘积放中间”的规则，直接计算出k的值.
4．（2026八上·关岭期末）若，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴．
故选：．
【分析】根据完全平方公式，平方差化简计算即可求出答案.
5． 若 ，则 =（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35
∴[(a2+b2)+1][(a2+b2)-1]=35，
(a2+b2)2-1=35，
(a2+b2)2=36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2=6.
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式即可求解.
6．（2025八上·威远期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴等式为，
故选：．
【分析】分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式.
7．（2026八上·饶平期末）已知，，，当，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
展开得：，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据题干信息由含C的代数式分别表示出a，b得，然后代入转化为关于c的方程，解方程求解，解答即可．
8．（2026八上·黔东南期末）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式中的每一项都可以写成：
因此可以改写为：
原式
．
故答案为：C。
【分析】这道题的核心是利用平方差公式 ，把每一项拆成两个分数相乘，然后通过错位约分，让中间的大量项相互抵消，最后得到一个简洁的结果。
9．（2024八下·南宁月考）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∴．
故选D．
【分析】表示面积，，然后根据题意得到，然后整理得到a，b的关系解答即可．
10．（2024八下·南宁开学考）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
∴，
要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．
，即，
若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，
故答案为：C．
【分析】先求出大正方形的面积和三个小正方形的面积，得到系数即为所需张数，再根据多项式乘多项式展开，取系数即可．
二、填空题
11．简便计算： .
【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式：=2 0252-(2025-1)(2025+1)
=
故答案为：1.
【分析】根据平方差公式，进行简便运算即可。
12．（2025七下·成都期中）若，则 ．
【答案】解：∵，
∴，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式展开，然后整体代入计算解题．
13．（2024八上·广州期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ；
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为大正方形面积减去四个长方形的面积可得，
阴影部分的面积还可以表示为小正方形的面积，
由图形面积得：，
故答案为：．
【分析】分别利用两种方法表示出阴影部分的面积，进而求解.
14．若，则代数式的值为 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即 ，
解得：．
故答案为：3．
【分析】借助x-40 与 x-39、x-41之间关系，将等式变形为，展开化简得.
15．（2024八上·孝昌月考）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ．
【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
S为“完全式”，
，
，
故答案为：34．
【分析】根据配方法化简，结合题意建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题
16． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式= ( 2 x3 2 x ) + ( x3 2 x ) = ( 2 x3 x3 ) + ( 2 x 2 x ) =
（2）解：原式=( x4 18 x2 + 81 ) ( x4 + 2 x2 + 1 )
=x4 18 x2 + 81 x4 2 x2 1 =
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】
（1）根据单项式乘以多项式法则将原多项式展开得到( 2 x3 2 x ) + ( x3 2 x )，再合并同类项化简即可解答；
（2）先利用平方差公式计算( x 3 ) ( x + 3 ) = x2 9，再利用完全平方公式展开得到( x4 18 x2 + 81 ) ( x4 + 2 x2 + 1 )去掉括号，合并同类项化简即可解答.
17．（2026八上·红花岗期末）综合实践
探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成．
计算发现 （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ．
尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明．
发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值．
【答案】解：（），，；
（）设，则，，，
，
∴的结果是定值；
（）∵，，
∴，
∵，
∴（负值已舍去），
联立，解得：，
∴，，
答：的值分别为．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（）根据题意可得：，，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据日历特征计算即可求出答案.
（2）设，则，，，代入代数式，结合多项式乘多项式，单项式乘多项式化简计算即可求出答案.
（3）根据完全平方公式可得2ab，a+b，联立方程组，解方程组即可求出答案.
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一、选择题
1．（ ），括号内应填（ ）
A． B． C． D．
2．若（x＋3y)2＝（x－3y)2＋M，则M为（ )
A．6xy B．12xy C．－6xy D．－12xy
3．（2024八上·增城期末）已知是完全平方式，则的值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
4．（2026八上·关岭期末）若，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5． 若 ，则 =（ ）
A．3 B．6 C． D．
6．（2025八上·威远期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026八上·饶平期末）已知，，，当，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
8．（2026八上·黔东南期末）计算的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·南宁月考）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·南宁开学考）设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
11．简便计算： .
12．（2025七下·成都期中）若，则 ．
13．（2024八上·广州期末）学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系 ；
14．若，则代数式的值为 ．
15．（2024八上·孝昌月考）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为 ．
三、解答题
16． 计算：
（1）
（2）
17．（2026八上·红花岗期末）综合实践
探究主题 月历中的数学：月历不仅仅是一个记录日期的工具，它还蕴含着许多有趣的数学规律和奥秘．爱学小组借助月历，进行了系列探究，请你随爱学小组一起完成．
计算发现 （1）乐乐用图所示的四个小正方形框住月历中的四个数（如图中的阴影部分），四个小正方形对应位置上的数分别用表示．则 ， ， ．
尝试说理 （2）亮亮多次尝试用图所示的四个小正方形框住月历中任意位置的四个数，发现结果是一个定值．请你设未知数，利用整式运算的有关知识，对这一规律进行说明．
发散提问 （3）晶晶提出了一个新问题：用图中的四个小正方形框住某月月历中的四个数，如图所示，若，请求出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
括号内应填，
故选：C．
【分析】根据(a+b)(a-b)=a2-b2进行作答.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
=12xy.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，由完全平方式式的性质得k=.
故答案为：D.
【分析】根据“首平方尾平方，两倍乘积放中间”的规则，直接计算出k的值.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴．
故选：．
【分析】根据完全平方公式，平方差化简计算即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35
∴[(a2+b2)+1][(a2+b2)-1]=35，
(a2+b2)2-1=35，
(a2+b2)2=36，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2=6.
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式即可求解.
6．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴等式为，
故选：．
【分析】分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
展开得：，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据题干信息由含C的代数式分别表示出a，b得，然后代入转化为关于c的方程，解方程求解，解答即可．
8．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式中的每一项都可以写成：
因此可以改写为：
原式
．
故答案为：C。
【分析】这道题的核心是利用平方差公式 ，把每一项拆成两个分数相乘，然后通过错位约分，让中间的大量项相互抵消，最后得到一个简洁的结果。
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
整理，得，
∴，
∴．
故选D．
【分析】表示面积，，然后根据题意得到，然后整理得到a，b的关系解答即可．
10．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：，
∴，
要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．
，即，
若要拼一个长为，宽为的矩形，则需要类纸片的张数为8张，
故答案为：C．
【分析】先求出大正方形的面积和三个小正方形的面积，得到系数即为所需张数，再根据多项式乘多项式展开，取系数即可．
11．【答案】1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式：=2 0252-(2025-1)(2025+1)
=
故答案为：1.
【分析】根据平方差公式，进行简便运算即可。
12．【答案】解：∵，
∴，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式展开，然后整体代入计算解题．
13．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：阴影部分的面积为大正方形面积减去四个长方形的面积可得，
阴影部分的面积还可以表示为小正方形的面积，
由图形面积得：，
故答案为：．
【分析】分别利用两种方法表示出阴影部分的面积，进而求解.
14．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即 ，
解得：．
故答案为：3．
【分析】借助x-40 与 x-39、x-41之间关系，将等式变形为，展开化简得.
15．【答案】34
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
S为“完全式”，
，
，
故答案为：34．
【分析】根据配方法化简，结合题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式= ( 2 x3 2 x ) + ( x3 2 x ) = ( 2 x3 x3 ) + ( 2 x 2 x ) =
（2）解：原式=( x4 18 x2 + 81 ) ( x4 + 2 x2 + 1 )
=x4 18 x2 + 81 x4 2 x2 1 =
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】
（1）根据单项式乘以多项式法则将原多项式展开得到( 2 x3 2 x ) + ( x3 2 x )，再合并同类项化简即可解答；
（2）先利用平方差公式计算( x 3 ) ( x + 3 ) = x2 9，再利用完全平方公式展开得到( x4 18 x2 + 81 ) ( x4 + 2 x2 + 1 )去掉括号，合并同类项化简即可解答.
17．【答案】解：（），，；
（）设，则，，，
，
∴的结果是定值；
（）∵，，
∴，
∵，
∴（负值已舍去），
联立，解得：，
∴，，
答：的值分别为．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（）根据题意可得：，，
∴，
故答案为：，，；
【分析】（1）根据日历特征计算即可求出答案.
（2）设，则，，，代入代数式，结合多项式乘多项式，单项式乘多项式化简计算即可求出答案.
（3）根据完全平方公式可得2ab，a+b，联立方程组，解方程组即可求出答案.
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