浙教版数学七年级下册 3.4 乘法公式 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·杭州期中）已知实数，满足，．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·唐山月考）若a，b的值使得成立，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
3．（2026·黔南期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2026八上·临夏期末）如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·吴兴期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为2和16，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
6． 的值是( ).
A．24n-1 B．24n+1 C．22n-1 D．2"-1
7．利用乘法公式判断下列等式，其中成立的是( ).
A． B．
C． D．
8．（2025七下·青羊月考）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（）．则①；②；③中，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
9．（2025八上·凭祥月考）如图，边长为9的正方形中放置两个长和宽分别为a，（，）的长方形，若长方形的周长为24，面积为35.75，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．18.5 B．21.5 C．27.5 D．35.5
10．（2023八上·沙坪坝开学考）一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．在多项式 中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 (只写出一个即可).
12．（2025七下·柯桥期中）若，，则用的代数式表示 ．
13．（2025七下·慈溪期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=12，ab=32，那么阴影部分的面积是 .
14．（2025八上·固安月考）若将多项式加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
15．（2025七下·巴州月考）已知，，，则代数式的值为 ．
三、解答题
16．（2024七上·普陀期中）阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得．
得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
17．（2025七下·福田期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．
（2）利用（1）中所得到的结论，
已知，，求的值．
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．
①用含，的式子表示阴影部分的面积______
②若，，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】将等式a+b=4两边同时平方，展开后结合a2+b2=10可求出ab=3，然后根据完全平方公式将(a-b)2展开后整体代入计算可得答案.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】本题需通过完全平方公式展开与同类项系数对应求解。首先将左边的按完全平方公式展开，得到。由于等式两边的多项式相等，对应的同类项系数必须相等，因此将展开式与右边的对比，可得关于的一次项系数满足，常数项满足。先求解的值，再代入求出，最后计算的值。
3．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在方案①中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案②中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积（a＋b）2 （a b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a 2b＝4ab，
可得：（a＋b）2 （a b）2＝2a 2b，不可以验证平方差公式．
能验证平方差公式的是①②，
故答案为：B．
【分析】利用不同的表示方法分别求出三种方案中的阴影部分的面积，再判断即可.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a b）2，
图2中阴影部分的面积a2 2ab＋b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a b）2＝a2 2ab＋b2．
故答案为：C．
【分析】利用不同的表达式表示两个图形中的阴影部分的面积即可得到公式.
5．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
根据题意得，图①阴影部分的面积为：（a-b）2=2，图②阴影部分的面积为：（a+b）2-a2-b2=16，
∵（a+b）2-a2-b2=16，
∴a2+2ab+b2-a2-b2=16，
∴2ab=16，
∴ab=8，
∵（a-b）2=2，
∴a2-2ab+b2=2，
∴a2-2×8+b2=2，
∴a2+b2=18，
∴图②所示的大正方形的面积为（a+b）2=a2+2ab+b2=18+16=34.
故答案为：B.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意得（a-b）2=2，
（a+b）2-a2-b2=16，然后进行化简求出ab，a2+b2的值再代入计算即可.
6．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】提示：原式
=…
故答案为：A.
【分析】乘以(2-1)，然后根据平方差公式依次计算即可.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：选项A：2482+248×52+522不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为2×248×52，所以不符合题意；
选项B：2482-248×48-482不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为+482，所以不符合题意；
选项C：2482+2×248×52+522=(248+52)2=3002，所以符合题意；
选项D：2482-2×248×48-482=2002不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为+482，所以不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算.
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】①根据图示分析可得：，该结论正确。②图示表明：，推导得出：，因此：，该结论正确。③图示显示：，结合①中，根据平方差公式：，即：，该结论正确。综上所述，正确的结论是①②③，故选：A。
【分析】本题通过几何图形验证了平方差公式和完全平方公式的变形应用：结论①直接由图形关系得出；结论②通过面积差与矩形面积的关系推导；结论③运用平方差公式进行代数转换。解题关键在于理解、和之间的相互转换关系。
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为24，面积为35.75，
∴，，
∴，
∵ 正方形的边长为9，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】本题先根据条件“长方形的周长为24，面积为35.75”，可以先得出得到，，然后根据完全平方公式推导求出；结合图形得出并化简得出，最后代入中计算即可。
10．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：①∵，
∴3是81的四次方根，①正确；
②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；
③∵
，
则S的三次方根是，③正确；
④由已知得：，
即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048，
又由，
故整数，
则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确；
故应选：C．
【分析】
本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点．
对于①：因为，根据n次方根的定义可知：3是81的四次方根，所以该说法正确；
对于②：对于任意实数a和正奇数n，方程都有且只有一个实数解，所以该说法正确；
对于③：我们用平方差公式对S的式子进行化简可得：，因此S的三次方根是，所以该说法正确；
对于④：根据二次根式的性质化简得：，根据绝对值的定义可知：数轴上点a 到 2023 和 2025 的距离之和为4048，所以 2023和2025两点间的距离为2025-( 2023)=4048，因此 a 的取值范围是 2023≤a≤2025，所以在此范围内的整数个数为：2025 ( 2023)+1=4049 个，所以该说法错误；
综上：正确的是：①②③，共计3个，由此可得出答案．
11．【答案】4x
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：添加的单项式是4x(答案不唯一)，
理由：
4x2+4x+1
=(2x)2+2·2x·1+12
=(2x+1)2
故答案为：4x(答案不唯一).
【分析】根据完全平方式的结构特征，分析现有多项式的项，确定添加的单项式使整体符合(a±b)2=a2±2ab+b2的形式.
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴用的代数式表示为：，
故答案为：.
【分析】先得到，，然后利用幂的乘方及其逆运算法则得到，即可代入得出用的代数式表示即可．
13．【答案】24
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：24.
【分析】阴影部分面积=两个正方形面积之和-直角边长为b、（a+b）的三角形面积-直角边长为a的等腰直角三角形面积.
14．【答案】，，，．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
∴原式-2a，即可成为一个完全平方公式，
故答案为：。
【分析】本题答案不唯一，还可以根据完全平方式，把看成一个平方项，把看成二倍两项积，则该完全平方式可以是，此时这个单项式可以是 ；若把1看成一个平方项，把看成二倍两项积，则该完全平方式可以是， 这个单项式可以是 ．
15．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
【分析】通过观察可发现a，b，c都有，只需要将其两两作差就可以得到a，b，c之间的关系式，再将原式进行变形，构造出完全平方式，再代入求解即可.
16．【答案】（1）解：
∴
∴
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先将原式变形为，再利用完全平方公式展开求出，最后求出即可；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）
（2）解：，
.
（3）①；
②由①知阴影部分面积为，
原式.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：由图可知：．
故答案为：.
（3）①
故答案为：.
【分析】（1）结合图形并利用长方形的面积公式列出代数式即可得到等式；
（2）利用（1）的等式直接求解即可；
（3）①利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
②利用直接代入计算即可.
（1）解：由图可知：．
故答案为：
（2）解：，
（3）解：①
②由①知阴影部分面积为，
原式
1 / 1浙教版数学七年级下册 3.4 乘法公式 培优卷
一、选择题
1．（2025七下·杭州期中）已知实数，满足，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】将等式a+b=4两边同时平方，展开后结合a2+b2=10可求出ab=3，然后根据完全平方公式将(a-b)2展开后整体代入计算可得答案.
2．（2025八上·唐山月考）若a，b的值使得成立，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】本题需通过完全平方公式展开与同类项系数对应求解。首先将左边的按完全平方公式展开，得到。由于等式两边的多项式相等，对应的同类项系数必须相等，因此将展开式与右边的对比，可得关于的一次项系数满足，常数项满足。先求解的值，再代入求出，最后计算的值。
3．（2026·黔南期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在方案①中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案②中，可得：a2 b2＝（a＋b）（a b），可以验证平方差公式；
在方案③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积（a＋b）2 （a b）2＝4ab，右边阴影部分面积＝2a 2b＝4ab，
可得：（a＋b）2 （a b）2＝2a 2b，不可以验证平方差公式．
能验证平方差公式的是①②，
故答案为：B．
【分析】利用不同的表示方法分别求出三种方案中的阴影部分的面积，再判断即可.
4．（2026八上·临夏期末）如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a b）2，
图2中阴影部分的面积a2 2ab＋b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a b）2＝a2 2ab＋b2．
故答案为：C．
【分析】利用不同的表达式表示两个图形中的阴影部分的面积即可得到公式.
5．（2024七下·吴兴期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为2和16，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．32 B．34 C．36 D．38
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
根据题意得，图①阴影部分的面积为：（a-b）2=2，图②阴影部分的面积为：（a+b）2-a2-b2=16，
∵（a+b）2-a2-b2=16，
∴a2+2ab+b2-a2-b2=16，
∴2ab=16，
∴ab=8，
∵（a-b）2=2，
∴a2-2ab+b2=2，
∴a2-2×8+b2=2，
∴a2+b2=18，
∴图②所示的大正方形的面积为（a+b）2=a2+2ab+b2=18+16=34.
故答案为：B.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意得（a-b）2=2，
（a+b）2-a2-b2=16，然后进行化简求出ab，a2+b2的值再代入计算即可.
6． 的值是( ).
A．24n-1 B．24n+1 C．22n-1 D．2"-1
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】提示：原式
=…
故答案为：A.
【分析】乘以(2-1)，然后根据平方差公式依次计算即可.
7．利用乘法公式判断下列等式，其中成立的是( ).
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：选项A：2482+248×52+522不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为2×248×52，所以不符合题意；
选项B：2482-248×48-482不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为+482，所以不符合题意；
选项C：2482+2×248×52+522=(248+52)2=3002，所以符合题意；
选项D：2482-2×248×48-482=2002不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为+482，所以不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算.
8．（2025七下·青羊月考）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x（）．则①；②；③中，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】①根据图示分析可得：，该结论正确。②图示表明：，推导得出：，因此：，该结论正确。③图示显示：，结合①中，根据平方差公式：，即：，该结论正确。综上所述，正确的结论是①②③，故选：A。
【分析】本题通过几何图形验证了平方差公式和完全平方公式的变形应用：结论①直接由图形关系得出；结论②通过面积差与矩形面积的关系推导；结论③运用平方差公式进行代数转换。解题关键在于理解、和之间的相互转换关系。
9．（2025八上·凭祥月考）如图，边长为9的正方形中放置两个长和宽分别为a，（，）的长方形，若长方形的周长为24，面积为35.75，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．18.5 B．21.5 C．27.5 D．35.5
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵长方形的周长为24，面积为35.75，
∴，，
∴，
∵ 正方形的边长为9，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】本题先根据条件“长方形的周长为24，面积为35.75”，可以先得出得到，，然后根据完全平方公式推导求出；结合图形得出并化简得出，最后代入中计算即可。
10．（2023八上·沙坪坝开学考）一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：①∵，
∴3是81的四次方根，①正确；
②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；
③∵
，
则S的三次方根是，③正确；
④由已知得：，
即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048，
又由，
故整数，
则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确；
故应选：C．
【分析】
本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点．
对于①：因为，根据n次方根的定义可知：3是81的四次方根，所以该说法正确；
对于②：对于任意实数a和正奇数n，方程都有且只有一个实数解，所以该说法正确；
对于③：我们用平方差公式对S的式子进行化简可得：，因此S的三次方根是，所以该说法正确；
对于④：根据二次根式的性质化简得：，根据绝对值的定义可知：数轴上点a 到 2023 和 2025 的距离之和为4048，所以 2023和2025两点间的距离为2025-( 2023)=4048，因此 a 的取值范围是 2023≤a≤2025，所以在此范围内的整数个数为：2025 ( 2023)+1=4049 个，所以该说法错误；
综上：正确的是：①②③，共计3个，由此可得出答案．
二、填空题
11．在多项式 中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 (只写出一个即可).
【答案】4x
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：添加的单项式是4x(答案不唯一)，
理由：
4x2+4x+1
=(2x)2+2·2x·1+12
=(2x+1)2
故答案为：4x(答案不唯一).
【分析】根据完全平方式的结构特征，分析现有多项式的项，确定添加的单项式使整体符合(a±b)2=a2±2ab+b2的形式.
12．（2025七下·柯桥期中）若，，则用的代数式表示 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴用的代数式表示为：，
故答案为：.
【分析】先得到，，然后利用幂的乘方及其逆运算法则得到，即可代入得出用的代数式表示即可．
13．（2025七下·慈溪期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=12，ab=32，那么阴影部分的面积是 .
【答案】24
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：24.
【分析】阴影部分面积=两个正方形面积之和-直角边长为b、（a+b）的三角形面积-直角边长为a的等腰直角三角形面积.
14．（2025八上·固安月考）若将多项式加上一个单项式成为一个完全平方式，则这个单项式可以是 ．（只要写出符合条件的一个）
【答案】，，，．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
∴原式-2a，即可成为一个完全平方公式，
故答案为：。
【分析】本题答案不唯一，还可以根据完全平方式，把看成一个平方项，把看成二倍两项积，则该完全平方式可以是，此时这个单项式可以是 ；若把1看成一个平方项，把看成二倍两项积，则该完全平方式可以是， 这个单项式可以是 ．
15．（2025七下·巴州月考）已知，，，则代数式的值为 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
【分析】通过观察可发现a，b，c都有，只需要将其两两作差就可以得到a，b，c之间的关系式，再将原式进行变形，构造出完全平方式，再代入求解即可.
三、解答题
16．（2024七上·普陀期中）阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得．
得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：
∴
∴
.
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先将原式变形为，再利用完全平方公式展开求出，最后求出即可；
（2）先将代数式变形为，再将代入计算即可.
（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
17．（2025七下·福田期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．
（2）利用（1）中所得到的结论，
已知，，求的值．
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．
①用含，的式子表示阴影部分的面积______
②若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：，
.
（3）①；
②由①知阴影部分面积为，
原式.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：由图可知：．
故答案为：.
（3）①
故答案为：.
【分析】（1）结合图形并利用长方形的面积公式列出代数式即可得到等式；
（2）利用（1）的等式直接求解即可；
（3）①利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
②利用直接代入计算即可.
（1）解：由图可知：．
故答案为：
（2）解：，
（3）解：①
②由①知阴影部分面积为，
原式
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