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2025-2026七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.3分式的乘除七大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ）
①将化为最简分式为；
②同时使得及的值都为整数的共有6种情况．
A．只有结论①正确 B．只有结论②正确
C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确
5．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知，则A表示的分式是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：可化为最简分式；：当时，．
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
8．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．若，，则的值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
10．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作：
第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，；
第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，；
依次进行上述操作，下列说法：
①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，；
②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同；
③第2024次操作后得到的代数式串之积为；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．计算________．
12．如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是__________．（写出一个即可）
13．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____．
14．若的值为3，则的值为______．
15．使式子有意义的x的取值范围是________．
16．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即 ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为_______．
17．观察下列算式：
， ， ， ，
按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示）
18．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示：
（1）________，________；
（2）是的________倍．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
20．如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，
化简：的结果为________．
若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式．
21．有甲、乙两筐水果，甲筐水果有，乙筐水果有，售完后，两筐水果都卖了120元．
(1)哪筐水果的单价更高？
(2)单价高的水果价格是单价低的多少倍？
22．阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2．
(1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ；
(2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值
23．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
．
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______；
(2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
(3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值．
24．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大．
证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)，
因为，显然当越小时，积越大．
所以当，即时，取最大值．
（1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）．
①，②，③，④；
（2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【实际应用】
洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的．
序号 第一次 第二次
用水量 污物残存量 用水量 污物残含量
1 5 15
2 8 12
3 10 10
4 11 9
5 14 6
小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）．
（3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026七年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题5.3分式的乘除七大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查幂的运算法则及完全平方公式的应用，根据相关法则逐一计算各选项判断正误即可．
【详解】解：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴，故A选项正确；
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，故B选项错误；
∵完全平方公式为，
∴，故C选项错误；
∵分式的乘方，分子分母分别乘方，
∴，故D选项错误．
故选：A．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对分式乘方进行展开，再将除式的分子分母分别因式分解，接着把除法转化为乘法并取除式的倒数，最后通过约去分子分母的公因式，得到最简分式．
【详解】解：
．
3．已知大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的除法运算．工作效率定义为单位时间内完成的工作量，分别计算大拖拉机和小拖拉机的工作效率，再求倍数关系，即可作答．
【详解】解：∵大拖拉机m天耕地，小拖拉机n天耕地，
∴大拖拉机和小拖拉机的工作效率分别是
则大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍数为，
故选：B．
4．已知，关于结论①②，下列判断正确的是（ ）
①将化为最简分式为；
②同时使得及的值都为整数的共有6种情况．
A．只有结论①正确 B．只有结论②正确
C．结论①和②都正确 D．结论①和②都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了分式的除法运算，分式的求值，分式有意义的条件，先化简，得到最简分式验证结论①；再求使和均为整数的值，排除分母为零的情况，验证结论②．
【详解】解：由题意可知，且，
解得且且，
，
∴结论①正确；
∵，且为整数，为整数，
∴，
∴，
，
∴值为共5种，
∴ 结论②错误．
综上，只有结论①正确．
故选：A．
5．如图，老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则分析即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故其中出现错误的同学是乙，
故选：B．
6．已知，则A表示的分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：A．
7．已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（ ）
甲：可化为最简分式；：当时，．
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】C
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的除法法则进行计算，求出时的函数值，进行判断即可．
【详解】解：
；
当时，，分式无意义，
故甲正确，乙不正确；
故选C．
8．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴；
故选C．
9．若，，则的值可能为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先列式，结合分式有意义的条件进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
∵，
∴，
∵，
故A选项不符合题意；
∴当时，则（舍去），
∴当时，则（舍去），
∴当时，则，
故选：D
10．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作：
第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，；
第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，；
依次进行上述操作，下列说法：
①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，；
②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同；
③第2024次操作后得到的代数式串之积为；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可．
【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确；
依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，
第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，
第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，
第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，，
……
观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误；
观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1，
第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：，
第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误；
综上可知，正确的个数是1，
故选B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．计算________．
【答案】
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
先计算乘方，再将除法转化为乘法，利用分式的乘法法则进行运算，最后约分得到结果 ．
【详解】解：
＝÷·
．
故答案为：．
12．如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是__________．（写出一个即可）
【答案】答案不唯一
【分析】本题主要考查分式的除法运算及整式的判断条件，关键在于通过分式运算后的结果不含分母，即分母需被完全约去．
将除法运算转化为乘法后化简，根据结果为整式的要求，可知被遮挡的式子需包含因子．
【详解】原式化为乘法：，
因式分解：，
代入得：，
由于运算结果为整式，因此 必须为整式，即整除，故必须包含作为因子，
令，则为整式，符合条件．
故答案为：．
13．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____．
【答案】米/分
【分析】本题考查列代数式，分式乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键．
平均速度是总路程与总时间的比值，设从家到学校的距离为s米，则总路程为2s米，总时间为分钟，通过计算可得平均速度
【详解】解：设从家到学校的距离为s米，依题意，得
平均速度为
（米/分）．
故答案为：米/分．
14．若的值为3，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
本题根据分式的乘除运算法则，结合因式分解对分子分母进行分解后约分，对原式进行化简，得到化简后的分式形式，进而结合已知的化简结果，可解决求值的问题．
【详解】解：由题可知：，
，
，
解得：，
故答案为：．
15．使式子有意义的x的取值范围是________．
【答案】，且
【分析】本题主要考查了分式除法运算以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的除法法则以及分式有意义条件是解题关键．根据分式除法运算法则及分式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
∴，且，
故答案为：，且．
16．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即 ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为_______．
【答案】
【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键．
根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数．
【详解】解：，
故答案为： ．
17．观察下列算式：
， ， ， ，
按照以上规律，写出第个算式_____（用含正整数的算式表示）
【答案】
【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
按照以上规律可知：．
故答案为： ．
18．如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为和．用含的式子表示：
（1）________，________；
（2）是的________倍．
【答案】
【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．
先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量即可．
【详解】解：由题意得：
“丰收1号”的面积为；
“丰收2号”的面积为
则“丰收1号”的单位面积产量为；
“丰收2号”的单位面积产量为
因此，所求的倍数为
故答案为：， ，．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键．
（1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可；
（3）根据分式的乘除法运算法则求解即可；
（4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可；
（5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可；
（6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
20．如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，
化简：的结果为________．
若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．有甲、乙两筐水果，甲筐水果有，乙筐水果有，售完后，两筐水果都卖了120元．
(1)哪筐水果的单价更高？
(2)单价高的水果价格是单价低的多少倍？
【答案】(1)甲筐水果的单价更高，理由见解析
(2)单价高的水果价格是单价低的倍
【分析】首先计算甲、乙两筐水果的单价，比较其大小，再求倍数关系．
【详解】（1）解：甲筐水果的单价为元，乙筐水果的单价为元．
，
．
．
．
∴甲筐水果的单价更高．
（2）解：，
，
．
【点睛】本题考查了分式的运算以及比较大小，解题关键是熟练掌握分式的乘除法法则以及因式分解的方法，准确进行分式的运算和大小比较．
22．阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2．
(1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ；
(2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值
【答案】(1)6，3
(2)，最小值
【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键．
（1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解；
（2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解；
【详解】（1）解：∵，
∴，
当，即（不合题意，舍去）时，有最小值为6．
故答案为：6，3．
（2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，
∴x为正数，则的最小值为，此时，
解得：或（不符合题意，舍去）；
即时，原式有最小值．
23．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：
．
(1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______；
(2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和；
(3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值．
【答案】(1)真；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
（1）根据材料中的方法即可判定是真分式，根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，即可求解；
（3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为正整数即可得出的值．
【详解】（1）在中，分子的次数为，分母的次数为，，
是真分式；
；
故答案为；真；；
（2）；
（3）；
分式为正整数，
为整数且，
或，
或，
即的值为或．
24．小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大．
证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)，
因为，显然当越小时，积越大．
所以当，即时，取最大值．
（1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）．
①，②，③，④；
（2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【实际应用】
洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的．
序号 第一次 第二次
用水量 污物残存量 用水量 污物残含量
1 5 15
2 8 12
3 10 10
4 11 9
5 14 6
小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）．
（3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由．
【答案】
（1）④；（2）存在最大值，最大值为16；（3）两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少．
【分析】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键．
（1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答；
（2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答；
（3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答．
【详解】解：∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且，，
∴，
∴④的值最大，
故答案为：④；
（2）∵为定值，
∴当与的差的绝对值越小积越大，即时，存在最大值，
∴时，存在最大值，
∴当，存在最大值，最大值为；
（3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下：
设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，
由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的，
第二次用水斤，污物减少为原来的，
∵为定值，
∴当时，的值最大，即的值最小，
∴时，的值最小，
答：两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少．
