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专题5.1&5.2分式的意义和基本性质八大题型（二）（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍
C．不变 D．缩小到原来的6倍
【答案】A
【分析】将扩大后的结果代入原分式，化简后和原分式比较即可得到结论．
【详解】解：将同时扩大为原来的3倍后，
新分式为，
所以新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍．
2．下列说法正确的是（ ）
A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得
C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得
【答案】A
【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式，
∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意；
B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意；
C．若分式有意义，则，得，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意；
D．，
∴原说法不正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
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3．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果．
【详解】解：∵，
∴括号中应填．
4．下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，
∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意；
、，又，故该选项变形正确，符合题意；
、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意；
、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意；
故选：．
5．如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（ ）
的值 … 0 …
的值 … 无意义 …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值．
通过分式无意义的条件确定的符号，再根据时分式值为负确定m和异号，结合的符号得出的符号．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
即，
∵，
∴，
∵当时，分式值，
∴，
∴和异号，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．是有理数，则的值不能是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．根据分式值为零的条件是分子为，分母不为，因为分式的分子不为，所以分式的值不能为，即可解答．
【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意；
B、当时，，故选项不符合题意；
C、因为分式的分子，所以分式值不可能为，故选项符合题意；
D、当时，，故选项不符合题意；
故选：C．
7．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆柱体体积公式在实际问题中的应用，解题的关键是明确饮料瓶正放时饮料的体积与倒放时空置部分的体积均可用“底面积高度”表示，且瓶的容积等于饮料体积与空置部分体积之和．
设瓶底底面积为，先根据圆柱体体积公式分别求出正放时饮料体积为、倒放时空置部分体积为，进而得出瓶的容积为，最后计算饮料体积与容积的比值即可得到结果．
【详解】解：设瓶底的底面积为S，正立时，饮料的体积，倒立时，
空置部分的体积，
则瓶子的总体积，
所以瓶内剩余饮料的体积占总体积的比例为：．
故选：A．
8．已知．甲：“A的计算结果为．”乙：“当时，．”丙：“当时，A的值为正数．”关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ）
A．乙的说法错，丙的说法对
B．甲、乙的说法都对
C．甲的说法对，丙的说法错
D．甲的说法错，丙的说法对
【答案】C
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先进行化简，同时注意分母不等于零即可对甲、乙、丙的说法进行判断．
【详解】解：．故甲说法正确；
当时，这时，分式无意义，故乙说法错误；
当时，，这时的值为负数，即的值为负数，故丙说法错误．
故选：．
9．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A、，故选项A符合题意；
B、的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：A．
10．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0；
结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式的化简及性质，掌握最简公分母不为零是解题的关键．
由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确．
【详解】解：，
由化简过程可知，，，
，
；
由题意可知，若使的值为整数且为整数，则，
，
综上所述，．
所以，Ⅰ不对Ⅱ对．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则______．
【答案】
【分析】设，（），代入求值即可．
【详解】解：由，设，（），
则．
故答案为：．
12．已知，那么________．
【答案】14
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，分式的求值，根据题意可得，把所给等式两边同时除以m得到，再根据计算求解即可．
【详解】解：当时，，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：14．
13．若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在线段_____处．（请从①②③④中选择正确的答案填在横线上）
【答案】③
【分析】本题主要考查了分式的求值，有理数与数轴，化简分式可得原式，再把代入分式中计算求值．
【详解】解：
，
原式，
又，
表示的点落在线段③处．
故答案为：③．
14．已知，则分式的值为________．
【答案】
【分析】本题考查非负数的性质，分式的求值，根据非负性求出的值，代入分式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15．填空：
（1）．括号内为：______．
（2）．括号内为：______．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题时，首先要观察已知的分子或分母的变化，再根据分式的基本性质进行求解．
（1）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同乘以a；
（2）观察分式中分母的变化，显然只需分式的分子和分母同除．
【详解】解：（1）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘以a，则分式的分子变为，负号提前，
故答案为：；
（2）根据分式的基本性质，分式的分子和分母同除，则分式的分子变为c，
故答案为：c．
16．若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有______个．
【答案】2
【分析】本题考查了分式的值为整数的条件，熟练掌握分离常数法是解题的关键．由，可知为998的因数，从而得到答案．
【详解】解：
为整数
为998的因数
或998
正整数n共有2个．
故答案为：2．
17．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______．
【答案】
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变．
【详解】解：原式，
故答案为：．
18．如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若，则____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，求比值，解题的关键是理解题意，根据，得出，求出，设，则，得出，求出，即可求出结果．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
整理得：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可；
（2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
20．已知，求和的值．
【答案】，
【分析】本题考查分式的求值．
根据已知比例，将a用b表示、c用d表示；分别将表达式中的字母替换，化简分式即可得到结果．
【详解】由，得．
代入：
由，得．
代入：
．
21．已知分式，．
(1)化简A；
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
(3)当x为何值时，A的值为零？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的值、约分及分式有意义的条件，熟练掌握分式的值、约分及分式有意义的条件是解题的关键；
（1）根据分式的性质可进行求解；
（2）由（1）及分式有意义的条件可进行求解；
（3）根据分式的值为0的条件可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由（1）可知：，
∵，
∴恒成立，
∵分式有意义，即，
∴当时，A与B的值相等．
（3）解：当时，则且．
解得，
∴当时，A的值为零．
22．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题：
(1)①当，时，分式的值为__________；
②当，时，分式的值为__________；
(2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？
【答案】(1)，
(2)将变为原来的倍
【分析】本题考查分式的值；
（1）把x，y的值代入计算解答即可；
（2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计算即可．
【详解】（1）解：当，时，，
当，时，；
故答案为：，；
（2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，，
∴分式的值将变为原来的倍.
23．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________；
(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(3)若分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或0
【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键．
（1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可；
（2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可；
（3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值．
【详解】（1）解：
，
答案为：；
（2）解：
；
（3）解：．
分式的值为整数，且为整数，
，
或0．
24．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)如果分式的值为整数，求x的整数值；
(4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______．
【答案】(1)减小，减小
(2)当时，无限接近于2
(3)或；
(4)
【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键．
（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可；
（2）根据材料整理得即可求解；
（3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可；
（4）由，配合即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）解：，
∵分式的值为整数，
∴，
∴或；
（4）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1&5.2分式的意义和基本性质八大题型（二）（一课一练）
【浙教版】
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的倍
C．不变 D．缩小到原来的6倍
2．下列说法正确的是（ ）
A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得
C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得
3．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（ ）
A． B． C． D．
4．下列变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（ ）
的值 … 0 …
的值 … 无意义 …
A． B． C． D．
6．是有理数，则的值不能是（ ）
A．1 B． C．0 D．
7．如图，一个瓶身为圆柱体的饮料瓶，瓶内剩下高为的部分饮料，若将瓶盖拧紧倒置，饮料高为，空置部分高为，则瓶内剩余饮料的体积约占饮料瓶容积的（ ）
A． B． C． D．
8．已知．甲：“A的计算结果为．”乙：“当时，．”丙：“当时，A的值为正数．”关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是（ ）
A．乙的说法错，丙的说法对
B．甲、乙的说法都对
C．甲的说法对，丙的说法错
D．甲的说法错，丙的说法对
9．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）
A． B．
C． D．
10．根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0；
结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知，则______．
12．已知，那么________．
13．若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在线段_____处．（请从①②③④中选择正确的答案填在横线上）
14．已知，则分式的值为________．
15．填空：
（1）．括号内为：______．
（2）．括号内为：______．
16．若的分子、分母同时加上正整数时，该分数成为整数，这样的正整数共有______个．
17．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______．
18．如图，将一张矩形卡片按图1所示的方式分成四块后，恰好能拼成图2所示的矩形，若，则____________．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
(1)；
(2)．
20．已知，求和的值．
21．已知分式，．
(1)化简A；
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
(3)当x为何值时，A的值为零？
22．某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题：
(1)①当，时，分式的值为__________；
②当，时，分式的值为__________；
(2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？
23．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，．
(1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________；
(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；
(3)若分式的值为整数，求整数x的值．
24．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
… 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)如果分式的值为整数，求x的整数值；
(4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______．
