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专题5.3分式的乘除七大题型（一课一讲）
【浙教版】
知识点一：分式的乘法核心知识点
分式乘法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
步骤：
①先判断各分母不为0；
②分子乘分子，分母乘分母；
③最后约分，化为最简分式或整式。
知识点二：分式的除法核心知识点
分式除法法则
除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
步骤：
①变除为乘，同时将除式的分子分母颠倒；
②再按分式乘法法则计算；
③最后约分，化为最简形式。
题型一：分式的乘除判断自变量的取值范围
（25-26八年级下·全国·课后作业）使式子有意义的的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．，且
【变式训练1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且且
【变式训练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若式子有意义，则x满足的条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
【变式训练3】（25-26八年级上·四川南充·周测）若分式有意义，则的取值范围是______．
题型二：分式的乘除中求参数问题
（25-26八年级下·全国·课后作业）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B． C． D．4
【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
题型三：利用分式乘除判断变形是否正确
（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1】（24-25八年级上·北京顺义·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．= B．
C．= －1 D．
【变式训练2】（25-26八年级上·北京·月考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3】（2026八年级下·全国·专题练习）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5】（25-26八年级上·广东广州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：分式乘除的混合运算
（25-26八年级下·全国·课后作业）化简下列分式．
(1)；
(2)．
【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【变式训练3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
【变式训练4】（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算：
(1)
(2)
【变式训练5】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）计算：
(1)；
(2)．
题型五：判断分式乘除运算过程是否正确
（24-25八年级下·贵州毕节·月考）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式 ①
②
③
(1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【变式训练1】（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式 ①
②
③
(1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【变式训练2】（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡．
(1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）；
(2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由；
①你知道小王为什么这样判断吗？
②小王的说法全面吗？
【变式训练3】（25-26八年级上·全国·周测）下面是斌斌同学的一道作业题，请仔细观察他的解题过程，然后按要求回答问题．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
(1)上述变形过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)请你写出正确的解题过程．
【变式训练4】（25-26八年级下·河北张家口·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程．
题型六：分式乘除的实际应用
（25-26九年级下·陕西宝鸡·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍．
【变式训练1】（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（）？
【变式训练3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
(1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
(2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？
(3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．
【变式训练4】（24-25八年级下·陕西安康·期中）甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？
【变式训练5】（25-26八年级上·全国·课后作业）有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元．甲的单价是乙的单价的多少倍？
题型七：分式乘除中新定义类问题
（25-26八年级下·全国·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________．
【变式训练1】（22-23七年级上·上海·月考）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则___________（用含的代数式表示）．
【变式训练2】（2024八年级上·全国·专题练习）定义两种运算：，，则_________．
【变式训练3】（2025八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则______．
【变式训练4】（25-26八年级上·全国·课堂例题）对，定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)化简：；
(2)若令，且，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.3分式的乘除七大题型（一课一讲）
【浙教版】
知识点一：分式的乘法核心知识点
分式乘法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
步骤：
①先判断各分母不为0；
②分子乘分子，分母乘分母；
③最后约分，化为最简分式或整式。
知识点二：分式的除法核心知识点
分式除法法则
除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数。
步骤：
①变除为乘，同时将除式的分子分母颠倒；
②再按分式乘法法则计算；
③最后约分，化为最简形式。
题型一：分式的乘除判断自变量的取值范围
（25-26八年级下·全国·课后作业）使式子有意义的的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．，且
【答案】D
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义要求分母不为0，且除法运算中除式不能为0，据此列出不等式即可得到x的取值范围．
【详解】解：依题意，
则，，，
解得，且，
故选：D．
【变式训练1】（25-26八年级上·北京海淀·期末）若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且且
【答案】D
【分析】代数式有意义需分母不为零且除数不为零，列不等式组求解即可；本题主要考查了分式有意义的条件是分母不为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：∵原式为有意义，
∴，
解得；
∴的取值范围为且且．
【变式训练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若式子有意义，则x满足的条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式的除法，分式有意义的条件，正确理解定义是解题关键．
直接利用分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
，
且且，
故选：D．
【变式训练3】（25-26八年级上·四川南充·周测）若分式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
且 且
【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时，分式有意义是解题关键；
找出分式中的分母以及除数部分，然后当其不为0时，即可求解．
【详解】解：原式中作分母，作除数，
∴要使原分式有意义，故 ，，，
∴ ，，，
∴ 且 且 ，
故答案为： 且 且 ．
题型二：分式的乘除中求参数问题
（25-26八年级下·全国·课后作业）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将分式除法化为乘法并化简，再根据“结果为整式”的条件，判断“□”中的式子必须是含有因式的整式，从而选出正确选项．需要注意因式的定义：把一个整式写成几个整式的积的形式，这几个相乘的整式就叫做这个整式的因式．
【详解】解：设“□”中的式子为，
，
原式，
原式，
运算结果为整式，
需要为含有因式的整式．
故选：．
【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若“”可以进行分式的化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】先判断分母能否与分子的因式产生公因式，若不存在公因式则无法进行分式化简，据此分析各选项．
【详解】解：A、当时，，能化简，故该选项不符合题意；
B、当时，，能化简，故该选项不符合题意；
C、当时，，无法进行分式化简，故该选项符合题意；
D、当时，，能化简，故该选项不符合题意．
【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为．
【详解】解：∵ 原式 =
=
又 ∵
∴ 原式 =
=
= ．
又 ∵ 化简结果为 ．
∴
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解．
【变式训练3】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，规定，按此规定图2中处的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列代数式，分式的乘除混合运算．根据题意，用除法即可计算出的代数式．
【详解】解：
，
故选：C．
【变式训练4】（25-26八年级上·山东烟台·期中）若运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“■”代表的式子．
【详解】解：∵原式 ，
又∵，
∴原式
.
要求结果为整式，则的分母中不能含字母，即必须提供因式以约分，去掉分母中的.
所以只有A选项符合题 意，B、C、D选项不符合题 意．
故选：A．
【变式训练5】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）化简的结果为整式，其中是含有的一次二项式，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的除法，化简原式，利用平方差公式分解分子和分母，约分后得到表达式 ．要求结果为整式，则必须能被分子中的某个因子约掉，即 必须是、 或之一进行判断即可．
【详解】解：原式 ，
∵结果为整式，
∴必为分子因子之一，即、 或．
∵不是分子因子，
故不可能是；
故选A．
题型三：利用分式乘除判断变形是否正确
（25-26八年级上·山东泰安·期中）下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意；
B、，故此选项式子不成立，不符合题意；
C、，故此选项式子成立，符合题意；
D、，故此选项式子不成立，不符合题意；
故选：C．
【变式训练1】（24-25八年级上·北京顺义·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．= B．
C．= －1 D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的基本性质和代数式的变形，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A和B的变形不符合分式的基本性质（分子分母必须同时乘以或除以同一个非零整式），选项D运算错误，选项C通过提取负号简化后成立．
【详解】解：A．此项不符合分式的基本性质，∴该选项错误，
B．此项不符合分式的基本性质，∴该选项错误，
C．∵（当时），∴该选项正确，
D．∵，∴该选项错误．
故选：C．
【变式训练2】（25-26八年级上·北京·月考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的运算，乘法公式．
根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可．
【详解】解：对于A：，错误；
对于B：，错误；
对于C：，正确；
对于D：，，错误；
故选：C．
【变式训练3】（2026八年级下·全国·专题练习）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误．
【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分，
选项A：，运算正确；
分式乘方需分子、分母分别乘方，
选项B：，运算错误；
，
选项C：，运算错误；
分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数，
选项D：，运算错误；
综上，正确答案为A．
【变式训练4】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键．
逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算．
【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意；
B、∵， ∴B错误，不符合题意；
C、∵，∴C错误，不符合题意；
D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意．
故选：D．
【变式训练5】（25-26八年级上·广东广州·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解．
【详解】解：A：∵ ，∴ A错误；
B：∵ ，∴ B错误；
C：∵ ，∴ C错误；
D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确．
故选：D．
题型四：分式乘除的混合运算
（25-26八年级下·全国·课后作业）化简下列分式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分式乘除法法则进行计算即可；
（2）根据分式乘除法法则把除法变换为乘法，进行因式分解后，再约分计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算乘方再运算乘法，即可作答．
（2）先运算乘方再运算乘法，即可作答．
（3）先运算乘方再运算乘法，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
【变式训练3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分．
（1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简．
（2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂．
（3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果．
（4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分．
（5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
．
【变式训练4】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键；
（1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可；
（2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式训练5】（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算．
（1）根据分式的乘除运算法则计算即可．
（2）先计算乘方，再计算乘除即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练6】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了分式的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答．
（2）根据分式的乘法法则进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型五：判断分式乘除运算过程是否正确
（24-25八年级下·贵州毕节·月考）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式 ①
②
③
(1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③
(2)
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
（1）从第③步开始出现错误，错误的原因是约分丢负号．
（2）根据分式的运算，正确计算即可，
【详解】（1）解：上面的运算过程中第③步开始出现了错误，
故答案为：③；
（2）解：原式
．
【变式训练1】（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程：
解：原式 ①
②
③
(1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)①
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
（1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分．
（2）根据分式的运算，正确计算即可，
【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误，
故答案为：①；
（2）原式
．
【变式训练2】（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡．
(1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）；
(2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由；
①你知道小王为什么这样判断吗？
②小王的说法全面吗？
【答案】(1)
(2)①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小王的说法不全面，见解析
【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答；
（2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可；
【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为，
根据题意可知，，
∴；
（2）解：①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0．
理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且，
∴且，
∴当时，，
∴小王认为“该分式的值不可能为6”；
②小王的说法不全面，
理由：∵，
∴，
即该分式的值也不可能为8．
【变式训练3】（25-26八年级上·全国·周测）下面是斌斌同学的一道作业题，请仔细观察他的解题过程，然后按要求回答问题．
计算：．
解：原式第一步
第二步
第三步
(1)上述变形过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)请你写出正确的解题过程．
【答案】(1)一；负数的奇数次幂是负数，漏掉了负号
(2)，过程见解析
【分析】本题考查了分式的乘方运算．
（1）根据负数的奇次幂是负数可找出错误之处；
（2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法，约分化简后再乘即可．
【详解】（1）解：从第一步开始出现错误，错误的原因是负数的奇数次幕是负数，漏掉了负号．
故答案为：一；负数的奇数次幂是负数，漏掉了负号．
（2）解：原式．
【变式训练4】（25-26八年级下·河北张家口·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程．
【答案】乙、丁同学在接力中出错，正确答案为
【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、分式的约分法则是解题的关键．
根据分式的乘除法法则计算即可．
【详解】解：乙、丁同学在接力中出错．
正确的过程：
．
题型六：分式乘除的实际应用
（25-26九年级下·陕西宝鸡·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．求“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的多少倍．
【答案】“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍
【详解】解：由题意得，
．
则“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦单位面积产量的倍．
【变式训练1】（25-26八年级上·广东广州·月考）如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】(1)丰收2号
(2)
【分析】本题考查分式的运算应用，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
（1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高；
（2）根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”进行计算求解即可．
【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是
“丰收2号”小麦的试验田面积是平方米，每平方米的产量是
，
，，，
∴
∴，
∵，
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．
【变式训练2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种颗花种，哪一个花坛的撒播密度大（）？
【答案】乙花坛的撒播密度大
【分析】本题考查分式除法的应用，列代数式，根据正方形和圆的面积公式分别表示出甲、乙两个花坛（阴影部分）的种花面积，再根据“”得到它们的撒播密度，然后计算它们的撒播密度比，即可求解．掌握分式的除法法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴甲花坛的撒播密度为：，
乙花坛的撒播密度为：，
∵，
∴乙花坛的撒播密度大．
【变式训练3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽是，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．
(1)请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；
(2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每50元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？
(3)是否存在一个正整数，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)元；
(3)存在，或7或5或1．
【分析】此题考查整式的混合运算，掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键．
（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；
（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；
（3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．
【详解】（1）解：原铁皮的面积是；
（2）油漆这个铁盒的表面积是：，
则油漆这个铁盒需要的钱数是：
元；
（3）铁盒的全面积是，
底面积是，
假设存在正整数n，使，
则，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时或7或5或1．
【变式训练4】（24-25八年级下·陕西安康·期中）甲、乙两个工程队合修一条公路．已知甲工程队每天修，乙工程队每天修（其中），则甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的多少倍？
【答案】甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍．
【分析】本题考查了分式除法的应用，由题意得甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为，则，然后根据分式运算法则进行求解即可，读懂题意，列出分式进行计算是解题的关键．
【详解】解：甲工程队修所用时间为，乙工程队修所用时间为，
故甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍．
【变式训练5】（25-26八年级上·全国·课后作业）有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中）．售完后，两筐水果都卖了150元．甲的单价是乙的单价的多少倍？
【答案】倍
【分析】此题考查了分式除法运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
用甲筐水果的单价除以乙筐水果的单价，再进行整理即可得出答案；
【详解】解：根据题意得： ，
甲的单价是乙的单价的倍．
题型七：分式乘除中新定义类问题
（25-26八年级下·全国·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________．
【答案】
【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可．
【详解】解：根据新定义运算：，，则，
∴
．
【变式训练1】（22-23七年级上·上海·月考）我们定义一种新运算：记，如果设为代数式，则___________（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】根据可得，据此把变形求解即可．
【详解】∵
，
∴可变形为：
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，以及分式的乘除混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
【变式训练2】（2024八年级上·全国·专题练习）定义两种运算：，，则_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．熟练掌握新定义运算，分式的乘除运算法则，是解题的关键．
先根据题意得出与的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练3】（2025八年级上·全国·专题练习）正数范围内定义一种运算“”，其规律是，则______．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算、分式乘法，根据新定义运算规则，把原式转化成分式运算是解题关键．
根据新定义运算，把原式化成分式乘法，按法则计算即可．
【详解】解：根据题意得：
．
故答案为：．
【变式训练4】（25-26八年级上·全国·课堂例题）对，定义一种新运算，规定，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)化简：；
(2)若令，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；
（1）根据题中所给新定义运算及分式的除法运算进行求解即可；
（2）先根据新定义运算进行求解，然后再利用整体思想进行求值即可
【详解】（1）解：∵，
∴
．
（2）解：．
∵，
∴，
∴，
∴．
