(共19张PPT)
专题特训二 巧作平行线解决“断木问题”
第1章 相交线与平行线
类型一 过一个拐点作平行线
1. ★（2025·凉山）如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED等于（ B ）
A. 30° B. 40° C. 60° D. 80°
B
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2. （2025·温州期中）如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，CF，BG交于点A，FG∥DE∥BC，∠FAG＝40°，AC平分∠BAD. 若设∠ADE＝x°，∠G＝y°，则x和y之间的关系是（ C ）
A. x＋2y＝180 B. x－2y＝60
C. x－y＝80 D. x＋y＝150
C
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3. 如图，∠F＋∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加以下一个条件：① ∠F＋∠FEA＝180°；② ∠F＋∠FGC＝180°；③ ∠FEB＋2∠FGD＝90°；④ ∠FGC－∠F＝90°.其中，能说明AB∥CD的是（ C ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
C
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4. 新情境·现实生活 如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB（即GH∥AB），EF与上拉杆CF形成的∠EFD＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度.当∠CDB＝35°时，点H，D，B在同一条直线上，则∠GHD的度数为 115° .
115°
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5. （2025·宁波慈溪段考）如图，AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为 30° .
30°
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6. 如图，AB∥CD.
（1） 如图①，试说明：∠B＋∠E＝∠D.
解：（1） 如图①，过点E作EF∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥CD∥EF. 所以∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF. 因为∠DEF＝∠BEF＋∠BED，所以∠B＋∠BED＝∠D.
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解：（2） 如图②，过点F作FH∥BE. 因为DG∥BE，所以BE∥FH∥DG. 所以∠E＝∠EFH＝30°，∠GDF＋∠HFD＝180°.因为∠EFD＝140°，所以∠HFD＝∠EFD－∠EFH＝110°.所以∠GDF＝180°－∠HFD＝70°.因为DG平分∠CDF，所以∠CDG＝∠GDF＝70°.因为AB∥CD，所以∠BGD＝∠CDG＝70°.因为BE∥DG，所以∠B＝∠BGD＝70°.
（2） 如图②，F为AB，CD之间的一点，∠E＝30°，∠EFD＝140°，DG平分∠CDF，交AB于点G. 若DG∥BE，求∠B的度数.
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类型二 过多个拐点作平行线
7. 如图，若AB∥CD，∠BEF＝60°，则∠ABE＋∠EFC＋∠FCD的度数为（ B ）
A. 215°
B. 240°
C. 320°
D. 无法确定
（第7题）
B
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8. 如图，MN∥PQ，AB平分∠MAC，DC平分∠PDB. 若2∠C－∠B＝60°，则∠MAC的度数为（ B ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
B
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9. 如图，直线l1∥l2.若∠1＝40°，∠2比∠3大10°，则∠4的度数为 30° .
30°
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10. 如图，∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，则AB与EF平行吗？请说明理由.
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解：AB∥EF. 理由：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥AB，则CG∥DH. 因为CG∥AB，∠B＝25°，所以∠BCG＝∠B＝25°.因为∠BCD＝45°，所以∠GCD＝∠BCD－∠BCG＝45°－25°＝20°.因为CG∥DH，所以∠CDH＝∠GCD＝20°.因为∠CDE＝30°，所以∠HDE＝∠CDE－∠CDH＝10°.因为∠E＝10°，所以∠HDE＝∠E. 所以DH∥EF. 所以AB∥EF.
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11. 如图，AB∥CD，则∠BEF＋∠DGF与∠B＋∠EFG＋∠D之间有何数量关系？为什么？
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解：∠BEF＋∠DGF＝∠B＋∠EFG＋∠D. 如图，过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥EM∥FN∥GH∥CD. 所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D. 所以∠BEF＋∠DGF＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
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12. 已知射线AB∥CD，P为一动点，连结PA，PC，∠BAP的平分线AE与∠DCP的平分线CE交于点E.
（1） 如图①，当点P在线段AC上运动时（不与点A，C重合），求∠AEC的度数.
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解：（1） 如答案图①，过点E作EF∥AB，交AC于点F. 因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD. 所以∠AEF＝∠BAE，∠CEF＝∠DCE，∠BAP＋∠DCP＝180°.因为AE，CE分别平分∠BAP，∠DCP，所以∠BAE＝ ∠BAP，∠DCE＝ ∠DCP. 所以∠BAE＋∠DCE＝ （∠BAP＋∠DCP）＝90°.所以∠AEF＋∠CEF＝90°，即∠AEC＝90°.
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解：（2） ∠AEC＝ ∠APC. 理由：如答案图②，过点E作EM∥AB，过点P作PN∥AB. 因为AB∥CD，所以AB∥EM∥CD∥PN. 所以∠BAE＝∠AEM，∠ECD＝∠MEC，∠APN＝∠BAP，∠NPC＝∠DCP. 因为AE，CE分别平分∠BAP，∠DCP，所以∠BAE＝ ∠BAP，∠ECD＝ ∠DCP. 所以∠AEC＝∠AEM＋∠MEC＝∠BAE＋∠ECD＝ （∠BAP＋∠DCP），∠APC＝∠APN＋∠NPC＝∠BAP＋∠DCP. 所以∠AEC＝ ∠APC.
（2） 当点P运动到图②的位置时，猜想∠AEC与∠APC之间的数量关系，并说明理由.
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（3） 当点P运动到图③的位置时，（2）中的结论还成立吗？若不成立，试猜想∠AEC与∠APC之间的数量关系（不要求说明理由）.
解：（3） 不成立.∠AEC＝180°－ ∠APC.
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12(共18张PPT)
第1课时 平行线的性质（1）
第1章 相交线与平行线
1.5 平行线的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·泸州）如图，直线a∥b，若∠1＝132°，则∠2等于（ B ）
A. 42° B. 48° C. 52° D. 58°
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2. （2025·台州椒江二模）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上.若∠1＝37°，则∠2的度数为（ B ）
A. 111° B. 127° C. 137° D. 143°
B
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3. （2025·温州期中）如图，直线m，n被直线l所截，m∥n.若∠1＝60°，则∠2的度数是 60° .
60°
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4. 如图，CD平分∠ACB，DE∥AC. 若∠2＝70°，则∠1的度数是 35° .
35°
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5. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°.求∠2的度数.
解：如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠ABC＝65°.因为BC平分∠ABD，所以∠ABD＝2∠ABC＝130°.所以∠3＝180°－∠ABD＝50°.因为AB∥CD，所以∠2＝∠3＝50°，即∠2的度数为50°.
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6. 如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B＝45°，∠C＝60°，则∠EFD的度数为（ B ）
A. 80° B. 75° C. 70° D. 65°
B
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7. （2025·自贡）如图，一束平行光穿过一张一组对边平行的纸板.若∠1＝115°，则∠2的度数为（ D ）
A. 75° B. 90° C. 100° D. 115°
D
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8. 如图，将一条两边互相平行的纸带折叠.若∠1∶∠2＝4∶3，则∠3的度数是（ C ）
A. 100° B. 105° C. 108° D. 144°
C
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9. 如图，直尺的一边AB与量角器的零刻度线CD平行.若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，则∠BEF的度数为 110° .
110°
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10. 如图，∠ACB＝90°，BD平分∠ABE，CD∥AB，交BD于点D，∠1＝20°，则∠2＝ 50 °.
50
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11. 如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON.
（1） 试说明：∠O＋∠ACM＝180°.
解：（1） 因为AB∥ON，所以∠O＝∠MCB. 因为∠MCB＋∠ACM＝180°，所以∠O＋∠ACM＝180°.
（第11题）
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（2） 若CD平分∠ACM，∠DCM＝α，求∠O的度数（用含α的代数式表示）.
解：（2） 因为CD平分∠ACM，∠DCM＝α，所以∠ACM＝2∠DCM＝2α.由（1）知，∠O＋∠ACM＝180°，所以∠O＝180°－∠ACM＝180°－2α.
（第11题）
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12. 如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，FC与BD相交于点H，∠GFH＋∠BHC＝180°.请判断∠1与∠2是否相等，并说明理由.
（第12题）
解：∠1＝∠2.理由：因为∠GFH＋∠BHC＝180°，∠BHC＝∠FHD，所以∠GFH＋∠FHD＝180°.所以FG∥BD. 所以∠1＝∠ABD. 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠2.所以∠1＝∠2.
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13. 新考法·探究题 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角之间的关系.
（1） 如图①，AB∥EF，BC∥DE，判断∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由.
解：（1） ∠1＝∠2.理由：如图①，因为AB∥EF，BC∥DE，所以∠1＝∠3，∠2＝∠3.所以∠1＝∠2.
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（2） 如图②，AB∥EF，BC∥DE，判断∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由.
（3） 由（1）（2），我们可以得到一个结论：如果 一个角的两边与另一个角的两边分别平行 ，那么 这两个角相等或互补 .
解：（2） ∠1＋∠2＝180°.理由：如图②，延长DE，作出∠4.因为AB∥EF，BC∥DE，所以∠1＝∠3，∠3＝∠4.所以∠1＝∠4.又因为∠2＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2＝180°.
一个角的两边与另一个
角的两边分别平行
这两个角相等或互补
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（4） 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，并且其中一个角比另一个角的3倍少20°，则这两个角的度数分别是多少？
解：（4） 设两个角分别为∠A，∠B. 由（3），得∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.① 当∠A＝∠B时，由∠A＝3∠B－20°，解得∠B＝10°.所以∠A＝10°.② 当∠A＋∠B＝180°时，由∠A＝3∠B－20°，解得∠B＝50°.所以∠A＝130°.
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专题特训一 平行线的判定和性质的综合应用
第1章 相交线与平行线
类型一 利用平行线的性质与判定求角或确定角的关系
1. 如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝66°，则∠C的度数是 （ A ）
A. 114° B. 124°
C. 134° D. 144°
A
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2. （2024·杭州西湖期末）如图，∠AEF＝∠C，∠AFD＋∠EDF＝180°，则下列结论中，一定正确的是（ B ）
A. ∠BFD＝∠A
B. ∠AFE＝∠EDC
C. ∠A＋∠AFD＝180°
D. ∠FDE＝∠CED
B
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3. （2025·杭州上城段考）如图，直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的平分线.若∠1＝∠2，∠2＋∠4＝120°，则∠3＝ 40° .
40°
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4. （2024·杭州拱墅期中）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2.若BC平分∠ABD，∠D＝112°，则∠C的度数为 34° .
34°
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5. 如图，AE与BC交于点F，AB∥CE，且∠AFC＝∠AED，DE⊥AE，∠C＝60°，求∠A的度数.
（第5题）
解：因为∠AFC＝∠AED，所以BC∥DE. 所以∠CED＝∠C＝60°.因为DE⊥AE，所以∠AED＝90°.所以∠CEF＝∠AED－∠CED＝90°－60°＝30°.因为AB∥CE，所以∠A＝∠CEF＝30°.
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6. （2024·杭州西湖期中）如图，BC∥DF，∠B＝∠D，A，F，B三点共线，连结AC交DF于点E.
（1） 试说明：∠A＝∠ACD.
解：（1） 因为BC∥DF，所以∠D＋∠BCD＝180°.因为∠B＝∠D，所以∠B＋∠BCD＝180°.所以AB∥CD. 所以∠A＝∠ACD.
（第6题）
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（2） 若FG∥AC，∠A＋∠B＝108°，求∠EFG的度数.
解：（2） 因为∠A＋∠B＝108°，所以∠ACB＝72°.因为FG∥AC，所以∠BGF＝∠ACB＝72°.因为BC∥DF，所以∠EFG＝∠BGF＝72°.
（第6题）
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类型二 利用平行线的性质与判定确定位置关系
7. 如图，AB∥DE，∠1＝∠2，则AE与DC的位置关系是（ B ）
A. 相交
B. 平行
C. 垂直
D. 无法确定
（第7题）
B
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8. （2025·杭州段考）如图，∠DEC＝90°，∠AGF＝∠ABC，∠1与∠2互补.试判断BF与AC的位置关系，并说明理由.
（第8题）
解：BF⊥AC. 理由：因为∠AGF＝∠ABC，所以GF∥BC. 所以∠1＝∠3.因为∠1与∠2互补，所以∠1＋∠2＝180°.所以∠3＋∠2＝180°.所以BF∥DE. 所以∠BFC＝∠DEC＝90°.所以BF⊥AC.
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9. （2025·宁波鄞州期中）如图，∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3.
（1） DE与BC平行吗？为什么？
解：（1） DE∥BC. 因为∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠ADG＝180°，所以∠ADG＝∠2.所以AB∥EF. 所以∠B＝∠EFC. 因为∠B＝∠3，所以∠3＝∠EFC. 所以DE∥BC.
（第9题）
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（2） 若∠C＝76°，∠AED＝2∠3，求∠CEF的度数.
解：（2） 因为DE∥BC，∠C＝76°，所以∠AED＝∠C＝76°，∠C＋∠DEC＝180°.所以∠DEC＝180°－∠C＝104°.因为∠AED＝2∠3，所以∠3＝38°.所以∠CEF＝∠DEC－∠3＝66°.
（第9题）
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10. 新情境·游戏活动 一个长方形台球桌面ABCD如图①所示.已知台球在与台球桌边碰撞的过程中，撞击路线与桌边的夹角等于反弹路线与桌边的夹角，如∠BFE＝∠AFO.
（1） 台球经过如图②所示的两次反弹后，撞击路线ES和第二次反弹路线TH是否平行？请给出你的结论，并说明理由.
解：（1） ES∥TH. 理由：由题意，知∠AST＝∠BSE，∠DTH＝∠CTS. 易知AB∥CD，所以∠AST＝∠CTS. 所以∠AST＝∠BSE＝∠DTH＝∠CTS. 所以∠TSE＝180°－∠AST－∠BSE＝180°－∠DTH－∠CTS＝∠STH. 所以ES∥TH.
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（2） 台球经过如图③所示的两次反弹后，撞击路线EM和第二次反弹路线NP是否平行？请给出你的结论，并说明理由.
解：（2） EM∥NP. 理由：由题意，知∠AMN＝∠BME，∠ANM＝∠DNP，∠A＝90°.所以∠AMN＋∠ANM＝90°，∠NME＝180°－2∠AMN，∠MNP＝180°－2∠ANM. 所以∠NME＋∠MNP＝360°－2（∠AMN＋∠ANM）＝360°－180°＝180°.所以EM∥NP.
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10(共20张PPT)
1.2 同位角、内错角、同旁内角
第1章 相交线与平行线
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·杭州西湖期中）电子屏幕上显示的数字“9”形状如图所示，其中∠2的同位角是（ B ）
A. ∠1 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
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2. （2025·杭州期中）如图，下列说法中，正确的是（ C ）
A. ∠A与∠2是同位角
B. ∠1与∠3是内错角
C. ∠3与∠B是同旁内角
D. ∠1与∠B是内错角
C
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3. （2024·宁波鄞州期中）如图，若∠2＝100°，则∠1的同位角的度数为 80 °，∠1的内错角的度数为 80 °，∠1的同旁内角的度数为 100 °.
80
80
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4. 如图，直线AB，AC被直线DE所截.
（1） 指出图中用数字表示的角中所有的同位角、内错角、同旁内角.
解：（1） 同位角：∠1与∠8，∠2与∠5，∠3与∠6，∠4与∠7；内错角：∠3与∠8，∠4与∠5；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠8.
（第4题）
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12
（2） ∠A与∠5，∠A与∠6，∠A与∠8分别是哪一条直线截哪两条直线形成的什么角？
解：（2） ∠A与∠5是直线AC截直线AB，DE形成的同旁内角；∠A与∠6是直线AC截直线AB，DE形成的内错角；∠A与∠8是直线AC截直线AB，DE形成的同位角.
（第4题）
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5. 如图，图中内错角有（ D ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
D
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6. 如图，给出下列四个判断：① ∠1的内错角只有∠3；② ∠A的同旁内角只有∠1，∠5；③ ∠2的内错角只有∠4；④ 图中的同位角有6对.其中，正确的有（ A ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
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7. 如图，∠1的同位角的个数为a，∠1的内错角的个数为b，则a与b的大小关系是 a＜b （用“＜”连接）.
a＜b
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8. 如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5和∠C中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则abc＝ 16 .
16
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9. 两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角.
（1） 根据上述条件，画出符合题意的示意图.
解：（1） 如图所示（画法不唯一）.
（2） 若∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度数.
解：（2） 因为∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，所以∠1＝9∠3.因为∠1＋∠3＝180°，所以9∠3＋∠3＝180°.所以∠3＝18°.所以∠1＝162°，∠2＝54°.
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10. ★如图，在用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？它们分别是由哪两条直线被哪条直线所截形成的？
（第10题）
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解：分别把这三类角所对应的基本图形从图中分离出来.如图①，∠1与∠2是直线BH，CG被直线BC所截形成的同旁内角；如图②，∠1与∠4是直线AD，BC被直线AB所截形成的内错角；
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如图③，∠2与∠5是直线AD，BC被直线FC所截形成的同位角；如图④，∠3与∠4是直线DE，AB被直线AD所截形成的同旁内角；如图⑤，∠3与∠5是直线DE，AF被直线AD所截形成的内错角；如图⑥，∠3与∠6是直线DA，EG被直线DE所截形成的同旁内角.
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11. 如图，在三角形ABC所在平面内画一条直线，使得∠C的同旁内角有3个.若∠C的同旁内角有4个，则该怎样画这条直线？
（第11题）
解：画法不唯一，如图①，∠C的同旁内角有3个，分别是∠CED，∠B，∠A. 如图②，∠C的同旁内角有4个，分别是∠CFG，∠B，∠CGF，∠A.
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12. 新情境·游戏活动 如图所示为一种“跳棋棋盘”，其游戏规则如下：一枚棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上（棋子的落点在相应角的顶点处）.如从起始位置∠1跳到终点位置∠3的路径有：
路径1：∠1 ∠9 ∠3.
路径2：∠1 ∠12
∠6 ∠10 ∠3.
……
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（1） 写出一条从∠1到∠8途经一个角的路径.
解：（1） 答案不唯一，如∠1 ∠9 ∠8.
（第12题）
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（2） 从起始位置∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点位置∠8？
解：（2） 能.∠1 ∠10 ∠5 ∠8.
（第12题）
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（3） 找出从起始位置∠1跳到终点位置∠8的路径，要求跳遍所有的角，且不能重复.
解：（3） 答案不唯一，如∠1 ∠9 ∠2 ∠10 ∠3 ∠4 ∠11 ∠5 ∠6 ∠12 ∠7 ∠8.
（第12题）
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12(共28张PPT)
第1章整合拔尖
第1章 相交线与平行线
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 与相交线有关的角的计算
典例1 （2025·济南历下二模）如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥OC，OF平分∠BOE. 若∠COF＝32°，则∠AOD的度数为（ B ）
A. 24° B. 26° C. 28° D. 30°
B
[变式]如图，直线AB和直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD. 若∠COE＝ ∠DOF，则∠COE的度数为 30° .
30°
考点二 同位角、内错角、同旁内角的识别
典例2 （2024·杭州西湖期中）如图，下列说法中，错误的是（ D ）
（典例2图）
D
A. ∠A与∠EDC是同位角
B. ∠A与∠ABF是内错角
C. ∠A与∠ADC是同旁内角
D. ∠A与∠C是同旁内角
[变式]如图，给出下列结论：① ∠2与∠3是内错角；② ∠2与∠B是同位角；③ ∠A与∠B是同旁内角；④ ∠A与∠ACB不是同旁内角.其中，正确的是 ①②③ （填序号）.
①②③
考点三 平行线的判定
典例3 如图，∠C＝∠1，∠2＋∠D＝90°，∠1＋∠D＝90°.试说明：AB∥CD.
（典例3图）
解：因为∠2＋∠D＝90°，∠1＋∠D＝90°，所以∠2＝∠1.因为∠C＝∠1，所以∠2＝∠C. 所以AB∥CD.
[变式]（2025·宁波鄞州段考）如图，下列说法正确的是（ C ）
A. 若∠1＝∠2，则BC∥DE
B. 若∠2＝∠4，则BC∥DE
C. 若∠1＋∠2＝180°，则BC∥DE
D. 若∠1＋∠3＝180°，则BC∥DE
C
考点四 平行线的性质
典例4 （2024·杭州上城期中）如图，C，F为直线AB上两点，在直线AB同侧有三条射线CE，CD，FG，CD平分∠ECB，CD∥FG.
（1） 若∠ACE＝50°，求∠BFG的度数.
解：（1） 因为∠ACE＝50°，所以∠BCE＝180°－∠ACE＝130°.因为CD平分∠ECB，所以∠DCB＝ ∠BCE＝65°.因为CD∥FG，所以∠BFG＝∠DCB＝65°.
（典例4图）
解：（2） 因为∠ACE＝m°，所以∠BCE＝180°－∠ACE＝180°－m°.因为CD平分∠ECB，所以∠DCB＝ ∠BCE＝90°－ m°.因为CD∥FG，所以∠BFG＝∠DCB＝90°－ m°.
（2） 若∠ACE＝m°，请用含m的代数式表示∠BFG的度数.
（典例4图）
[变式]（2024·宁波海曙期末）如图，AB∥EF∥CD，点G在AB上，GE∥BC，BC交EF于点P，GE的延长线交DC的延长线于点H，则图中与∠AGE相等的角（不含∠AGE）共有（ B ）
A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个
B
考点五 平行线的判定与性质的综合
典例5 （2025·杭州期中）如图，∠1＋∠BDE＝180°，∠2＋∠4＝180°.
（1） AD与EF平行吗？请说明理由.
解：（1） AD∥EF. 理由：因为∠1＋∠BDE＝180°，所以AC∥DE. 所以∠2＝∠ADE. 因为∠2＋∠4＝180°，所以∠ADE＋∠4＝180°.所以AD∥EF.
（典例5图）
解：（2） 因为AD∥EF，所以∠BAD＝∠3＝90°.因为∠2＋∠4＝180°，∠4＝140°，所以∠2＝40°.所以∠BAC＝90°－40°＝50°.
（2） 若∠3＝90°，∠4＝140°，求∠BAC的度数.
（典例5图）
[变式]（2025·金华义乌期中）如图，∠1＝∠C，BE⊥DF于点P.
（1） 若∠2＝55°，求∠B的度数.
解：（1） 因为∠1＝∠C，所以BE∥CF. 所以∠B＝∠2＝55°.
（2） 若∠2＋∠D＝90°，则直线AB与CD平行吗？请说明理由.
解：（2） AB∥CD. 理由：因为BE⊥DF，所以∠DPE＝90°.由（1），得BE∥CF，所以∠CFD＝∠DPE＝90°.所以∠2＋∠BFD＝180°－∠CFD＝90°.因为∠2＋∠D＝90°，所以∠BFD＝∠D. 所以AB∥CD.
考点六 运用平移的性质求图形的面积（或周长）
典例6 如图，某住宅小区内有一块长方形地，长为18m，宽为12m.现计划在这块长方形地里修同样宽的道路，余下部分进行绿化，道路的宽为2m，则绿化的面积为 160 m2.
160
因为进行绿化的面积比较分散，且有的是不规则图形，所以直接求其面积较困难.因为道路的宽相同，所以可以把道路平移到一起，这样绿化部分可变成一个新的长方形，只要求出新长方形的长和宽，就可得绿化的面积.
[变式]（2025·杭州萧山期中）如图，将三角形ABC沿边BC向右平移4cm得到三角形A'B'C'.已知四边形AA'C'B的周长为23cm，则三角形ABC的周长为 15cm .
15cm
1. （2024·杭州拱墅段考）如图，有下列说法：① 若DE∥AB，则∠DEF＋∠EFB＝180°；② 能与∠DEF构成内错角的角的个数为2；③ 能与∠BFE构成同位角的角的个数为2；④ 能与∠C构成同旁内角的角的个数为4.其中，正确的是（ A ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②④
A
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2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠BOD. 若∠AOC＋∠DOF＝39°，则∠EOF的度数为（ A ）
A. 77° B. 74° C. 67° D. 64°
A
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7
3. 如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（ D ）
A. ∠ABE＝3∠D B. ∠ABE＋∠D＝90°
C. ∠ABE＋3∠D＝180° D. ∠ABE＝2∠D
D
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7
4. 如图，在三角形ABC中，BC＝6cm，将三角形ABC以每秒1cm的速度沿线段BC所在直线向右平移，得到三角形DEF，设平移时间为ts（t≤6）.若在B，E，C三个点中，其中一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，三人的说法如下，甲：t的值为2或3；乙：t的值为2或3或4；丙：t的值为2或3或4或5.下列判断中，正确的是（ B ）
A. 甲对 B. 乙对 C. 丙对 D. 三人都错
B
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7
5. （2025·杭州滨江期中）如图，DA∥BC∥EF，CE平分∠BCF，∠DAC＝125°，∠ACF＝15°，则∠FEC的度数是 35° .
35°
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7
6. 分类讨论思想 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，其中点B，D重合，固定三角尺AOB，改变三角尺ACD的位置（其中点A的位置始终不变）.若∠BAD小于平角，则当AB∥CD时，∠BAD的度数为 150°或30° .
150°或30°
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7
7. （2025·绍兴诸暨期中）如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2＋∠3＝180°.
（1） 试判断EH与AD的位置关系，并说明理由.
解：（1） EH∥AD. 理由：因为∠1＝∠B，所以AB∥GD. 所以∠2＝∠BAD. 因为∠2＋∠3＝180°，所以∠BAD＋∠3＝180°.所以EH∥AD.
（第7题）
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7
（2） 若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4＋10°，求∠H的度数.
解：（2） 由（1），得AB∥GD，所以∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC. 因为∠DGC＝58°，所以∠BAC＝58°.因为EH∥AD，所以∠2＝∠H. 所以∠H＝∠BAD. 所以∠BAC＝∠BAD＋∠4＝∠H＋∠4＝58°.因为∠H＝∠4＋10°，所以∠4＋10°＋∠4＝58°.所以∠4＝24°.所以∠H＝∠4＋10°＝34°.
（第7题）
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7(共17张PPT)
第1课时 平行线的判定（1）
第1章 相交线与平行线
1.4 平行线的判定
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新情境·现实生活 如图，∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ C ）
A. ∠2＝90° B. ∠3＝90°
C. ∠4＝90° D. ∠5＝90°
C
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2. （2025·甘肃）如图①，三根木条a，b，c相交形成的∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A按顺时针方向转动至如图②所示的位置，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（ A ）
A. 30° B. 40° C. 60° D. 80°
A
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3. 如图，若∠MBG＝∠GCN，则 MB ∥ CN ；若∠FAE＝∠BCE，则 FA ∥ BC .
（第3题）
MB
CN
FA
BC
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10
4. 如图，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连结AB，若∠B＝∠ACB，试说明：AB∥CE.
（第4题）
解：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠DCF. 因为∠ACB＝∠DCF，∠B＝∠ACB，所以∠B＝∠DCF＝∠ECD. 所以AB∥CE.
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5. 如图，直线AB，CD被直线EF所截.如果要添加条件，使得MQ∥NP，那么下列条件中，能判定MQ∥NP的是（ D ）
A. ∠1＝∠2
B. ∠BMF＝∠DNF
C. ∠AMQ＝∠CNP
D. ∠1＝∠2，∠BMF＝∠DNF
D
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6. 如图，直线EF分别交CD，AB于点M，N，且∠EMC＝65°，∠MNB＝115°，则下列结论中，正确的是（ B ）
A. AE∥DF B. AB∥CD
C. ∠A＝∠D D. ∠E＝∠F
B
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7. 看图填空：
如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？
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10
解：因为∠1＝35°，∠2＝35°，
所以∠1＝∠2.
根据“ 同位角相等，两直线平行 ”，可得 AC ∥ BD .
已知 AC⊥AE，
根据“ 垂直的定义 ”，可得∠EAC＝90°.
所以∠EAB＝∠EAC＋∠1＝125°.
同理，可得∠FBG＝∠FBD＋∠2＝ 125° .
所以∠EAB＝∠FBG.
根据“ 同位角相等，两直线平行 ”，得 AE ∥ BF .
同位角相等，两直线平行
AC
BD
垂直的定义
125°
同位角相等，两直线平行
AE
BF
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8. 如图，∠1＝40°，∠2＝55°，∠3＝85°，那么直线l1与l2平行吗？为什么？
（第8题）
解：l1∥l2.因为∠2＝55°，所以∠4＝∠2＝55°.因为∠3＋∠4＋∠5＝180°，所以∠5＝180°－∠3－∠4＝180°－85°－55°＝40°.又因为∠1＝40°，所以∠1＝∠5.所以l1∥l2.
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9. 新考法·操作实践题 如图，在四边形ABCD中，你能用折纸的方法折出一条折痕MN，使MN∥BC吗？小明同学的做法如下：第一次折叠，使点C与点B重合，得折痕EF；第二次折叠，使点F与点E重合，得折痕MN，EF，MN交于点O，则MN即为所求.你觉得小明的做法对吗？如果对，请说明理由.
（第9题）
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解：小明的做法是对的.理由：因为第一次折叠，使点C与点B重合，得折痕EF，所以EF⊥BC. 所以∠EFC＝90°.因为第二次折叠，使点F与点E重合，得折痕MN，所以MN⊥EF，即∠EON＝90°.所以∠EON＝∠EFC. 所以MN∥BC.
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10. 分类讨论思想 如图，直线EF上有两点A，C，分别作两条射线AB，CD. ∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF的两侧.若∠DCF＝60°，射线AB，CD分别绕点A，C以1°/s和6°/s的速度同时按顺时针方向转动.在射线CD转动一周的时间内，第ts时，CD与AB平行，试求出t的值.
（第10题）
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解：分三种情况：① 如图①，当AB与CD在直线EF的异侧时，延长DC到点G. 根据题意，得∠GCF＝∠ACD＝180°－60°－（6t）°＝120°－（6t）°，∠BAC＝110°－t°.因为要使AB∥CD，须使∠GCF＝∠BAC，所以120°－（6t）°＝110°－t°，解得t＝2.因为（180°－60°）÷6°＝20，所以此时0＜t＜20.所以t＝2符合题意.
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② 如图②，当CD与AB都在直线EF的右侧时，根据题意，得∠DCF＝360°－（6t）°－60°＝300°－（6t）°，∠BAC＝110°－t°.因为要使AB∥CD，须使∠DCF＝∠BAC，所以300°－（6t）°＝110°－t°，解得t＝38.因为（360°－60°）÷6°＝50，所以此时20＜t＜50.所以t＝38符合题意.
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③ 如图③，当CD与AB都在直线EF的左侧时，根据题意，得∠DCF＝（6t）°－（180°－60°＋180°）＝（6t）°－300°，∠BAC＝t°－110°.因为要使AB∥CD，须使∠DCF＝∠BAC，所以（6t）°－300°＝t°－110°，解得t＝38.因为由②可知，此时t＞50，又因为38＜50，所以此情况不存在.综上所述，当t的值为2或38时，CD与AB平行.
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10(共17张PPT)
1.3 平 行 线
第1章 相交线与平行线
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列说法中，不正确的是（ A ）
A. 过任意一点可作已知直线的一条平行线
B. 在同一平面内，不相交的两条直线是平行线
C. 在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D. 在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行
A
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2. 如图，在同一平面内，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ B ）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
B
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3. 在如图所示的立体图形中，上、下底面都是长方形，各个侧面都是梯形，则该图形中与AB平行的线段有（ C ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
C
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4. 如图，把图中互相平行的线段一一写出来： GH∥MN，EF∥AB，CD∥PQ .
GH∥MN，EF∥AB，
CD∥PQ
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5. （2025·金华东阳段考）如图，在方格纸中，有两条线段AB，BC，利用方格纸完成相关操作：
（1） 过点A作BC的平行线.
（2） 过点C作AB的平行线.
（3） 过点B作AB的垂线.
解：（1）～（3） 如图所示.
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6. 若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（ C ）
A. 直线PQ可能与直线AB垂直
B. 直线PQ可能与直线AB平行
C. 过点P的直线一定能与直线AB相交
D. 过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
7. 易错题 已知P是∠AOB所在平面内任意一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（ D ）
A. 有且仅有一条 B. 有两条
C. 不存在 D. 有一条或不存在
C
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8. 如图，将一张长方形纸片对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（ C ）
A. 平行 B. 垂直
C. 平行或垂直 D. 无法确定
C
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9. 分类讨论思想 已知a，b，c是同一平面内任意三条直线，则它们的交点可以有（ B ）
A. 1个或2个或3个
B. 0个或1个或2个或3个
C. 1个或2个
D. 以上都不正确
B
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10. 有下列说法：① 过一点有且只有一条直线与已知直线平行；② 在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；③ 若两条直线没有交点，则这两条直线平行；④ 在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则直线CD与EF相交.其中，错误的是 ①②③ （填序号）.
①②③
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11. 如图，在方格纸中，有一只蚂蚁在点A的位置，它的爬行记录如下：向北偏东45°方向爬行到点B；向正北方向爬行6格到点C；向正东方向爬行4格到点D；向正南方向爬行8格到点E；直接爬行到点F.
（1） 请用粗线将蚂蚁经过的路线描出来，看看它像什么图形.
解：（1） 如图，它像汉字“几”.
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13
（2） 这个图形中有没有互相平行的线段？若有，请把它们表示出来.
解：（2） 这个图形中有互相平行的线段，即BC∥DE.
（3） 线段AB与EF平行吗？
解：（3） 线段AB与EF不平行.
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12. 对于同一平面内的三条直线，最多可将平面划分成 7 部分，最少可将平面划分成 4 部分.
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（1） 请从正面、上面、右面三个不同的方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来.
解：（1） 答案不唯一，如正面：AB∥EF；上面：A'B'∥AB；右面：DD'∥HR.
（第13题）
13. 书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，如图所示为书写的字母“M”.
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13
（2） EF与A'B'有何位置关系？
解：（2） EF∥A'B'.
（第13题）
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13
（3） 图中AB所在的直线与RH所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说这两条直线平行？你还能找出两组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？
解：（3） 没有公共点，不能说这两条直线平行.具有类似位置关系的直线还有直线EF与直线DD'，直线BB'与直线DH（答案不唯一）.可知在叙述平行线的概念时，必须要加上“在同一平面内”这一限制条件，即“在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线”.
（第13题）
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13(共17张PPT)
第2课时 平行线的性质（2）
第1章 相交线与平行线
1.5 平行线的性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·杭州临平段考）如图，AB∥CD，E是CD上一点，满足AE⊥BE. 若∠A＝55°，则∠BED的度数是（ B ）
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
B
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2. 如图，AB∥CD，BC∥DE. 若∠B＝72°28'，则∠D的度数是（ C ）
A. 72°28' B. 101°28'
C. 107°32' D. 127°32'
C
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3. （2025·浙江期中）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD. 若∠A＝120°，则∠AEC＝ 30° .
30°
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4. 如图，AB∥CD，∠B＝60°，EM平分∠BEC，∠MEN＝80°，求∠DEN的度数.
（第4题）
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解：因为AB∥CD，∠B＝60°，所以∠BEC＝180°－∠B＝120°，∠BED＝∠B＝60°.因为EM平分∠BEC，所以∠BEM＝ ∠BEC＝60°.因为∠MEN＝80°，所以∠BEN＝∠MEN－∠BEM＝80°－60°＝20°.所以∠DEN＝∠BED－∠BEN＝60°－20°＝40°.
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5. 新情境·现实生活 （2025·义乌段考）如图①所示为我国高铁的座位，图②为其结构示意图，座位AD和座椅靠背AE的夹角∠DAE＝105°，小桌板BC与座位AD平行，小桌板支撑杆AB与桌面BC的夹角∠ABC＝125°，则座椅靠背AE与小桌板支撑杆AB形成的夹角∠EAB的度数是（ C ）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
C
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6. 如图，AB∥DC∥EO，∠1＝75°，∠2＝35°，OG平分∠BOD，则∠BOG的度数为（ A ）
A. 55° B. 50°
C. 45° D. 25°
A
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11
7. 如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中，正确的是 （ D ）
A. ∠1＋∠2＋∠3＝180°
B. ∠1＋∠2－∠3＝90°
C. ∠1－∠2＋∠3＝180°
D. ∠2＋∠3－∠1＝180°
D
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11
8. 如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后（提示：在反射过程中∠ABM＝∠OBC，∠BCO＝∠DCN），反射光线CD与AB平行.当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为 55° .
55°
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9. （2024·台州温岭期末）如图，AB∥CD，过点B的直线EF交CD于点G，在AB，CD之间作射线BP，∠1与∠2互余.
（1） 试说明：BP⊥EF.
解：（1） 因为AB∥CD，所以∠ABG＋∠2＝180°，即∠1＋∠PBF＋∠2＝180°.因为∠1＋∠2＝90°，所以∠PBF＝180°－（∠1＋∠2）＝90°.所以BP⊥EF.
（第9题）
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11
（2） 作∠PBF的平分线交CD于点H，若∠BHD＝65°，求∠1的度数.
解：（2） 因为BH平分∠PBF，所以∠PBH＝ ∠PBF＝45°.因为AB∥CD，所以∠ABH＝∠BHD＝65°.所以∠1＝∠ABH－∠PBH＝20°.
（第9题）
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10. 如图，AB∥CD，∠ABC＝46°，∠BCE＝20°，∠CEF＝154°，则∠EFD与∠D互补吗？请说明理由.
（第10题）
解：∠EFD与∠D互补.理由：因为AB∥CD，所以∠BCD＝∠ABC＝46°.所以∠ECD＝∠BCD－∠BCE＝46°－20°＝26°.所以∠CEF＋∠ECD＝154°＋26°＝180°.所以EF∥CD. 所以∠EFD＋∠D＝180°，即∠EFD与∠D互补.
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11. 如图，AM∥BN，∠A＝60°，P是射线AM上的一个动点（不与点A重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D.
（1） 求∠CBD的度数.
解：（1） 因为AM∥BN，∠A＝60°，所以∠ABN＝180°－∠A＝120°.又因为BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，所以∠CBP＝ ∠ABP，∠PBD＝ ∠PBN. 所以∠CBD＝∠CBP＋∠PBD＝ （∠ABP＋∠PBN）＝ ∠ABN＝60°.
（第11题）
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（2） 当点P运动时，∠APB与∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律.
解：（2） 不变.因为AM∥BN，所以∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN. 因为BD平分∠PBN，所以∠DBN＝ ∠PBN. 所以∠ADB＝ ∠APB，即∠APB∶∠ADB＝2.
（第11题）
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（3） 当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数.
解：（3） 因为AM∥BN，所以∠ACB＝∠CBN. 又因为∠ACB＝∠ABD，所以∠ABD＝∠CBN. 所以∠ABD－∠CBD＝∠CBN－∠CBD，即∠ABC＝∠DBN. 因为BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，所以∠ABC＝∠CBP，∠PBD＝∠DBN. 所以∠ABC＝∠CBP＝∠PBD＝∠DBN. 所以∠ABC＝ ∠ABN＝30°.
（第11题）
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11(共18张PPT)
1.6 图形的平移
第1章 相交线与平行线
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
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1. （2025·绍兴诸暨期中）下列由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形经过平移得到另一个图形的是（ C ）
C
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2. （2025·杭州期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，点B，E之间的距离为1，BF＝4，则EC的长是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
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3. 如图，将三角形ABC沿直线AB向右平移到达三角形BDE的位置.若∠CAB＝47°，∠ABC＝98°，则∠CBE的度数为 35° .
35°
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4. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上.
（1） 将三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到△DEF（点A，B，C分别与点D，E，F对应），请在方格纸中画出三角形DEF.
解：（1） 如图，三角形DEF即为所求.
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（2） 在（1）的条件下，连结AD，CF，则AD与CF之间的数量及位置关系是 AD＝CF，AD∥CF .
解：（2） 如图，线段AD，CF即为所求.
AD＝CF，AD∥CF
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5. 新情境·游戏活动 将四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形“口”字中的火柴棒后，可变成的象形字是 （ C ）
C
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6. 如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，把三角形ABC沿着直线BC向右平移2.5cm后得到三角形DEF，连结AE，AD. 有下列结论：① AC∥DF；② AD∥CF；③ CF＝2.5cm；④ DE⊥AC. 其中，正确的有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
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7. ★新情境·现实生活 如图，四边形ABCD是一块长方形场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，A，B两处入口的小路的宽都为1m，两条小路汇合处的路的宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 5000m2 .
5000m2
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8. 如图所示为由边长为1cm的小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点均在小正方形的顶点上.
（1） 把四边形ABCD进行平移，得到四边形A'B'C'D'，使点A与点A'对应，请在网格中作出四边形A'B'C'D'.
解：（1） 如图，四边形A'B'C'D'即为所求.
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（2） 连结AA'，BB'，CC'，DD'，图中与线段AA'长度相等（不包括AA'）的线段一共有 3 条，图中一共有 10 组平行线.
解：（2） 如图，线段AA'，BB'，CC'，DD'即为所求.
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（3） 求四边形CDD'C'的面积.
解：（3） 四边形CDD'C'的面积为8×7－2× ×3×6－2× ×5×1＝33（cm2）.
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9. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将三角形ABC沿直线AB向右平移得到三角形DEF，连结CF. 若AE＝8cm，DB＝2cm.求：
（1） 三角形ABC向右平移的距离.
解：（1） 因为三角形ABC沿直线AB向右平移得到三角形DEF，AE＝8cm，DB＝2cm，所以AD＝BE＝ （AE－DB）＝3cm.所以三角形ABC向右平移的距离是3cm.
（第9题）
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（2） 四边形AEFC的周长.
解：（2） 由平移，可得EF＝BC＝3cm，CF＝AD＝3cm，所以四边形AEFC的周长为AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18（cm）.
（第9题）
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10. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6.第1次平移，将长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A1B1C1D1；第2次平移，将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形A2B2C2D2……第n次平移，将长方形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位长度，得到长方形AnBnCnDn（n≥2，且n为整数）.
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（1） 求AB1和AB2的长.
解：（1） 因为点B向右平移1次到点B1，点B向右平移2次到点B2，所以根据平移的性质可知，BB1＝1×5＝5，BB2＝2×5＝10.所以AB1＝AB＋BB1＝6＋5＝11，AB2＝AB＋BB2＝6＋10＝16.
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（2） 若ABn的长为56，求n的值.
解：（2） 因为点B向右平移n次到点Bn，所以根据平移的性质可知，BBn＝n×5＝5n.所以ABn＝AB＋BBn＝6＋5n.因为ABn的长为56，所以6＋5n＝56，解得n＝10.所以n的值为10.
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10(共18张PPT)
第2课时 垂 线
第1章 相交线与平行线
1.1 直线的相交
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 下列结论中，不正确的是（ A ）
A. 一条直线的垂线只有一条
B. 若两条直线相交所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直
C. 在同一平面内，垂直的两条直线一定相交
D. 在同一平面内，过一点只能画出已知直线的一条垂线
A
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2. （2025·杭州上城段考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O. 若∠DOB＝43°，则∠COE的度数是（ D ）
A. 43° B. 137° C. 57° D. 47°
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3. （2025·杭州段考）如图，BD⊥AC，垂足为D，则下列线段关系中，不一定成立的是（ D ）
A. AB＞AD B. BC＞BD
C. AB＞BD D. BC＞AB
D
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4. 过一条线段外一点，画出这条线段的垂线，垂足在（ D ）
A. 这条线段上
B. 这条线段的端点上
C. 这条线段的延长线上
D. 以上都有可能
D
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5. （2024·宁波镇海期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O. 若∠BOD∶∠BOC＝2∶7，则∠AOE的度数为 130° .
130°
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6. 如图，直线AB，CD相交于点O，P是直线CD上的一点.
（1） 过点P画AB的垂线段PE.
解：（1） 如图所示.
（第6题答案）
（2） 过点P画CD的垂线，与AB交于点F.
解：（2） 如图所示.
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（3） 试写出线段PE，PO，FO的长度的大小关系（用“＜”连接），并指出其依据.
解：（3） PE＜PO＜FO. 依据是连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
（第6题答案）
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7. 如图，直线EF，CD交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF. 若∠AOE＝n°，则∠BOD的度数为（ B ）
A. n° B. n° C. n° D. n°
B
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8. 分类讨论思想 在同一平面内，已知线段AB的长为10cm，点A，B到直线l的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线l有 3 条.
9. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF. 若∠BOC＝48°，则∠AOG的度数为 12° .
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10. 新考法·操作实践题 如图，河流EF边上有A，B，C，D四个村庄，为解决饮水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1） 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小.
解：（1） 如图，连结AD，BC交于点H，则点H为所求蓄水池的位置.
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（2） 政府计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？请说明理由.
解：（2） 如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，按照HG开渠最短.理由：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
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11. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD. 若∠BOC的度数比∠DOE的大75°，求∠AOD和∠EOF的度数.
（第11题）
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解：因为OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠DOE＝2∠EOB. 因为∠BOC＝∠DOE＋75°，所以∠DOE＋75°＋2∠DOE＝180°.所以∠DOE＝35°.所以∠BOE＝∠DOE＝35°，∠BOD＝2∠DOE＝70°.所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－70°＝110°.因为OF⊥CD，所以∠BOF＝90°－∠BOD＝90°－70°＝20°.所以∠EOF＝∠FOB＋∠BOE＝20°＋35°＝55°.所以∠AOD和∠EOF的度数分别为110°，55°.
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12. 如图①，射线OC⊥AB，垂足为O，∠DOE＝90°，OM平分∠BOD.
（1） ∠BOE与∠COD的数量关系是 相等 ，理由是 同角的余角相等 .
相等
同角的余角相等
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（2） 探索∠AOD与∠COM的数量关系，并说明理由.
解：（2） ∠AOD＝2∠COM. 理由：因为OM平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠BOM. 所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－2∠BOM＝2（90°－∠BOM）.因为OC⊥AB，所以∠COB＝90°.所以∠COM＝∠COB－∠BOM＝90°－∠BOM. 所以∠AOD＝2∠COM.
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（3） 如图②，在上述条件下，将∠DOE旋转至直线AB的下方，请继续探索∠AOD与∠COM的数量关系，并说明理由.
解：（3） ∠AOD＋2∠COM＝360°.理由：因为∠DOE＝90°，OC⊥AB，所以易得∠COE＝∠AOD. 因为OM平分∠BOD，所以∠BOM＝∠DOM. 所以易得∠COM＝∠EOM. 因为∠COE＋∠EOM＋∠COM＝360°，所以∠AOD＋2∠COM＝360°.
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12(共17张PPT)
第2课时 平行线的判定（2）
第1章 相交线与平行线
1.4 平行线的判定
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·温州期中）如图，下列条件中，能判定AD∥BC的是（ D ）
A. ∠1＝∠4 B. ∠6＝∠4
C. ∠BAD＋∠5＝180° D. ∠2＝∠3
D
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2. 如图，下列说法中，不正确的是（ D ）
A. 若∠1＝∠E，则AC∥DE
B. 若∠2＝∠BAC，则AB∥CD
C. 若∠B＋∠BAD＝180°，则AD∥BC
D. 若∠E＋∠ADE＝180°，则AC∥DE
D
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3. 如图，点A在直线DE上，则当∠BAC的度数为 57° 时，DE∥BC.
（第3题）
57°
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4. 如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由.
（第4题）
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解：AB∥CD，PG∥QH. 理由：因为PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，所以∠1＝∠GPQ＝ ∠APQ，∠2＝∠PQH＝ ∠PQD. 因为∠1＝∠2，所以∠APQ＝∠PQD，∠GPQ＝∠PQH. 所以AB∥CD，PG∥QH.
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5. 新考向·传统文化 在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，祈愿风调雨顺、四时平安、五谷丰登.如图①所示为“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中的一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图②.其中，能说明a∥b的是（ B ）
A. ∠1＝85°，∠4＝85°
B. ∠3＝95°，∠4＝85°
C. ∠1＝85°，∠3＝95°
D. ∠2＝85°，∠4＝85°
B
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6. 新情境·现实生活 一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍沿原来的方向平行行驶，则这两次拐弯的情况可能是（ B ）
A. 先向左转130°，再向左转50°
B. 先向左转50°，再向右转50°
C. 先向左转50°，再向右转40°
D. 先向左转50°，再向左转40°
B
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7. 如图，∠1＝30°，AB⊥AC，要使AD∥BC，需再添加的一个条件是 答案不唯一，如∠B＝60° （要求：添加这个条件后，其他条件也必不可少，才能推出结论）.
答案
不唯一，如∠B＝60°
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8. 如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光从地面上的点P处射出，DE是反射光线（注：由光学知识，得∠ADP＝∠CDE）.已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB的度数应调节为 30° .
30°
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9. 如图，点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠EDC＋∠DCE＝90°.试说明：AD∥BC.
（第9题）
解：因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，所以∠EDC＝ ∠ADC，∠DCE＝ ∠BCD. 又因为∠EDC＋∠DCE＝90°，所以∠ADC＋∠BCD＝180°.所以AD∥BC.
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10. 如图，在三角形ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E，F分别在边BC，AC上，连结EF并延长，交BA的延长线于点G. 若∠CFE＝∠G，试说明：AD∥EG.
（第10题）
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解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD. 因为∠CFE＝∠G，∠CFE＝∠AFG，所以∠G＝∠AFG. 因为∠BAC＋∠GAF＝180°，∠GAF＋∠G＋∠AFG＝180°，所以∠BAC＝∠G＋∠AFG. 所以∠BAD＋∠CAD＝∠G＋∠AFG. 所以2∠CAD＝2∠AFG. 所以∠CAD＝∠AFG. 所以AD∥EG.
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11. 分类讨论思想 如图，将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°.
（1） 若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数.
解：（1） 因为∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，所以∠DCA＝∠BCD－∠BCA＝150°－90°＝60°.所以∠ACE＝∠ECD－∠DCA＝90°－60°＝30°.
（第11题）
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（2） 试猜想∠BCD与∠ACE之间的数量关系，并说明理由.
解：（2） ∠BCD＋∠ACE＝180°.理由：当三角尺ABC与三角尺CDE有重叠部分时，因为∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝90°＋∠ACD，∠ACE＝∠ECD－∠ACD＝90°－∠ACD，所以∠BCD＋∠ACE＝180°.当三角尺ABC与三角尺CDE没有重叠部分时，∠BCD＋∠ACE＝360°－∠BCA－∠ECD＝360°－90°－90°＝180°.综上所述，∠BCD＋∠ACE＝180°.
（第11题）
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（3） 若固定三角尺ABC，绕顶点C转动三角尺CDE，试探究当∠BCD的度数为多少时，CD∥AB，并说明理由.
解：（3） 当∠BCD的度数为120°或60°时，CD∥AB. 理由：如图①，当∠BCD＝120°时，因为∠B＝60°，所以∠BCD＋∠B＝180°.所以CD∥AB. 如图②，当∠BCD＝60°时，因为∠B＝60°，所以∠BCD＝∠B. 所以CD∥AB. 综上所述，当∠BCD的度数为120°或60°时，CD∥AB.
（第11题）
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11(共15张PPT)
第1课时 对 顶 角
第1章 相交线与平行线
1.1 直线的相交
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ A ）
A. ∠1和∠2 B. ∠1和∠3
C. ∠2和∠4 D. ∠2和∠5
A
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2. （2025·衢州期中）如图，直线AB，CD相交于点O. 如果∠1＝∠2＝40°，那么∠BOE的度数是（ C ）
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
C
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3. 新情境·现实生活 如图，为了测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，小明设计了如下方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB的度数.小明这样做的依据是 对顶角相等 .
对顶角相等
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4. （2024·绍兴柯桥期末）如图，直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝32°，求∠EOF和∠BOD的度数.
（第4题）
解：因为∠COE＝90°，∠COF＝32°，所以∠EOF＝∠COE－∠COF＝58°.因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠FOE＝58°.所以∠COA＝∠AOF－∠FOC＝58°－32°＝26°.所以∠BOD＝∠COA＝26°.
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5. 如图，当光从空气射入水中时，原本沿直线传播的光方向发生了偏折，这就是折射现象.若图中∠1＝47°，∠2＝30°，则光的传播方向改变的度数为（ A ）
A. 13° B. 15° C. 17° D. 19°
A
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6. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°.有下列结论：① ∠AOC与∠COE互为余角；② ∠AOC＝∠BOD；③ ∠AOC＝∠COE；④ ∠COE与∠DOE互为补角；⑤ ∠AOC与∠DOE互为补角；⑥ ∠BOD与∠COE互为余角.其中，错误的有（ B ）
A. ①③④ B. ③⑤
C. ②③④⑤ D. ③⑤⑥
B
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7. 如图，直线AB，CD，EF相交.若∠1＋∠5＝180°，则图中与∠1相等的角有 3 个.
8. 直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝50°.若∠EOD＝20°，则∠BOE的度数为 70°或30° .
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70°或30°
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9. 如图，直线AB和DF相交于点O，∠COB＝90°，OE平分∠AOF，求2∠EOF－∠COD的度数.
（第9题）
解：因为OE平分∠AOF，所以∠AOF＝2∠EOF. 因为∠AOF＝∠BOD，∠COB＝90°，所以2∠EOF－∠COD＝∠AOF－∠COD＝∠BOD－∠COD＝∠COB＝90°.
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10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠AOC分成两个部分，且∠AOE∶∠COE＝2∶3，OF平分∠BOE.
（1） 若∠BOD＝65°，求∠BOE的度数.
解：（1） 因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC＝∠BOD＝65°.因为∠AOE∶∠COE＝2∶3，所以∠AOE＝ ∠AOC＝26°.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－26°＝154°.
（第10题）
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（2） 若∠AOE＝ ∠BOF－10°，求∠COE的度数.
解：（2） 设∠AOE＝2x，∠COE＝3x.因为∠AOE＝ ∠BOF－10°，所以∠BOF＝4x＋20°.因为OF平分∠BOE，所以∠BOE＝2∠BOF＝8x＋40°.又因为∠AOE＋∠BOE＝180°，所以2x＋8x＋40°＝180°，解得x＝14°.所以∠COE＝3x＝42°.
（第10题）
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11. 新考法·操作实践题 小明用一副三角尺自制对顶角的“小仪器”，第一步：固定三角尺ABC，并将边AC延长至点P，第二步：使另一块三角尺CDE的直角顶点与三角尺ABC的直角顶点C重合，摆放方式如图所示.延长DC至点F，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角.若重叠所成的∠BCE＝n（0°＜n＜90°），则∠PCF的度数为（ A ）
A. 180°－n B. 90°－n
C. 90°＋n D. 360°－n
（第11题）
A
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12. ★观察下列各图（直线均相交于一点），寻找对顶角（不含平角）.
（1） 如图①，共有 2 对对顶角.
（2） 如图②，共有 6 对对顶角.
（3） 如图③，共有 12 对对顶角.
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（4） 根据（1）～（3）中直线的条数与对顶角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
（5） 若有2025条直线相交于一点，求形成的对顶角的对数.
解：（4） 若有n条直线相交于一点，则可形成n（n－1）对对顶角.
（5） 2025×（2025－1）＝4098600（对），所以若有2025条直线相交于一点，则可形成4098600对对顶角.
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