(共18张PPT)
2.2 二元一次方程组和它的解
第2章 二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·宁波慈溪段考）下列方程组中，是二元一次方程组的为（ A ）
A. B.
C. D.
A
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2. （2025·宁波宁海二模）动画电影《哪吒之魔童闹海》以打破中国影史纪录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片.已知购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元，则联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少元？设玩偶的单价为x元，人物卡片的单价为y元，则可列方程组为（ D ）
A. B.
C. D.
D
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3. 若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则含x，y的多项式A可以是 答案不唯一，如3x＋y （写出一个即可）.
答案不唯一，如3x＋y
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x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 10 9 8 7 6 5 …
（2） 已知方程3x＋2y＝16，填写下表：
x … －2 －1 0 1 2 3 …
y … 11 8 5 …
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4. （1） 已知方程x＋y＝8，填写下表：
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（3） 请直接写出方程组 的解.
解：
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5. 在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的.如图①所示的算筹图表示的方程组是 类似地，如图②所示的算筹图表示的方程组为（ B ）
A. B.
C. D.
B
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6. 新考向·数学文化 （2025·山东）明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意如下：有3个头、6只手的哪吒若干，有1个头、8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手，哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件，可列方程组为（ D ）
A. B.
C. D.
D
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7. （2025·杭州滨江期中）如图，现有①②③④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程.若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为 则所取的两张卡片是（ D ）
A. ①和② B. ②和③ C. ①和④ D. ③和④
D
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8. 方程组 的解为 则被“△”和“▽”遮盖的两个数分别为（ B ）
A. －10，6 B. 2，－6
C. 2，6 D. 10，－6
B
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9. 若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值为 －1 .
10. 若关于x，y的方程组 的解为 则m＝ 6 ，n＝ －2 .
11. 已知关于x，y的方程组 则当y＝1时，求x的值及m的值.
解：把y＝1代入x－y＝2，解得x＝3.把x＝3，y＝1代入2x＋3y＝m，解得m＝9.
－1
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－
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12. 植树节这天，七年级二班的部分同学参加植树活动.若每人种6棵，则还剩9棵；若每人种8棵，则有一人少种1棵.设有x名同学，y棵树苗，请根据问题中的条件列出关于x，y的方程组，并用列表的方法求出同学人数与树苗的棵数.
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由表可知，方程组 的解为 即有5名同学，39棵树苗.
解：由题意，得 列表如下：
6x＋9＝y x 1 2 3 4 5 6 7 …
y 15 21 27 33 39 45 51 …
8x－1＝y x 1 2 3 4 5 6 7 …
y 7 15 23 31 39 47 55 …
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13. 已知 是二元一次方程组 的解.求：
（1） a，b的值.
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解：（1） 因为 是二元一次方程组 的解，所以把 代入方程组中的第一个方程，得a×1－2×（－2）＝0.所以a＋4＝0，解得a＝－4.因为把 代入方程组中的第二个方程，得2b×1＋a×（－2）＝2，所以2b－2×（－4）＝2.所以2b＋8＝2.所以b＝－3.所以a，b的值分别为－4，－3.
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（2） 关于x，y的方程组
的解.
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解：（2） 因为方程组 的解为 所以分别把方程组 中的2x＋1，3y－5看作一个整体，可得2x＋1＝1，3y－5＝－2.所以x＝0，y＝1.所以方程组 的解为
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13(共18张PPT)
专题特训三 “含字母系数”的二元
一次方程（组）的有关问题
第2章 二元一次方程组
类型一 利用二元一次方程的定义构造二元一次方程组
1. （2024·金华东阳期中）若2xm－n－2y3n－m＋11＝0是二元一次方程，则m，n的值分别为（ B ）
A. 1，2 B. 2，1 C. －1，2 D. 3，4
2. 若方程x2a－b－3ya＋b＝2是关于x，y的二元一次方程，则a－b＝ .
B
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类型二 利用二元一次方程的解的意义构造方程
3. 小明解题时发现在二元一次方程ax－y＝3中，x的系数已经模糊不清（用字母“a”表示），但查看答案发现 是这个方程的一个解，则a＝ －4 .
－4
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类型三 利用二元一次方程组的解的意义构造二元一次方程组
4. （2025·宁波鄞州期中）若 是二元一次方程组 的解，则ab的值为（ D ）
A. －1 B. 1 C. －4 D. 3
D
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5. 已知方程2x＋（1＋m）y＝－1与方程nx－y＝1有一个相同的解为 求（m＋n）2025的值.
解：把 分别代入2x＋（1＋m）y＝－1和nx－y＝1，得 解得 所以（m＋n）2025＝（2－1）2025＝1.
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类型四 二元一次方程组的错解问题
6. 解关于x，y的方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为 乙看错了方程组中的b，得到的解为 求：
（1） 原方程组中a，b的值.
解：（1） 由题意，得 解得
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（2） 原方程组的正确解.
解：（2） 把a，b的值代入原方程组，得 ①×2，得－2x＋10y＝30③.②＋③，得2x＝28，解得x＝14.把x＝14代入①，得－14＋5y＝15，解得y＝ .所以原方程组的正确解是
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类型五 利用相同解的方程组构造二元一次方程组
7. （1） 解二元一次方程组：
解：（1） 记 ①－②，得5y＝－5，解得y＝－1.把y＝－1代入①，得x＝6.所以方程组的解为
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（2） 若关于x，y的方程组 与（1）中的方程组有相同的解，求（a－3b＋1）a＋10的值.
解：（2） 把 代入 得 解得 所以（a－3b＋1）a＋10＝（1－3＋1）1＋10＝（－1）11＝－1.
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8. ★（2025·杭州段考）已知关于x，y的方程组 和 有相同的解.求：
（1） 两个方程组的解.
解：（1） 因为方程组 和方程组 有相同的解，所以 ①＋②，得5x＝15，解得x＝3.将x＝3代入①，得y＝2.所以两个方程组的解为
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（2） a，b的值.
解：（2） 根据题意及（1），将 代入 得 解得
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类型六 二元一次方程组的解适合第三个方程
9. ★已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y＝3.求：
（1） m的值.
解：（1） 记 ①－②，得4x＋4y＝3m－3.又因为x＋y＝3，所以4x＋4y＝12.所以3m－3＝12，解得m＝5.所以m的值为5.
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（2） 此方程组的解.
解：（2） 把m＝5代入原方程组，得 ①＋②×3，得8x＝0，解得x＝0.把x＝0代入②，得0－y＝－3，解得y＝3.所以此方程组的解为
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类型七 根据新运算的定义构造二元一次方程
10. 对于实数x，y，定义新运算“*”：x*y＝ax＋by－1，其中a，b是常数.若1*2＝4，（－2）*3＝10，则a－5b＝ －16 .
－16
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11. 对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：a◆b＝ 例如：4◆3，由4＞3，得4◆3＝ ＝5；x*y＝mx＋ny＋1，m，n为常数.若4*（－1）＝5，1*2＝8，求m◆n的值.
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解：因为4*（－1）＝5，1*2＝8，所以根据“*”的运算法则，得 ①×2＋②，得9m＋3＝18，解得m＝ .把m＝ 代入①，得 －n＋1＝5，解得n＝ .所以 又因为 ＜ ，即m＜n，所以m◆n＝ × ＝ .
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12. 当m，n都是实数，且满足2m－n＝6时，我们就称（m－1， ＋1）为“和谐数对”.
（1） 判断（2，－4）是否为“和谐数对”.
解：（1） 由题意，得 解得 所以2m－n＝16≠6.所以（2，－4）不是“和谐数对”.
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解：（2） 记 ①＋②，得2x＝2a＋6，解得x＝a＋3.把x＝a＋3代入①，得y＝3－a.由题意，得 解得 当（x，y）为“和谐数对”时，2m－n＝2a＋8－4＋2a＝6，解得a＝ .所以当a＝ 时，（x，y）为“和谐数对”.
（2） 已知关于x，y的方程组 当a为何值时，（x，y）为“和谐数对”？
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12(共15张PPT)
2.5 三元一次方程组及其解法（选学）
第2章 二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. 解方程组 时，要使解法较为简便，应（ C ）
A. 先消去x B. 先消去y
C. 先消去z D. 先消去常数
C
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2. 已知x，y，z满足方程组 则x＋y＋z的值为 2 .
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3. ★解方程组：
（1）
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解：记 把①代入②，得4x＋2（x＋z）＋z＝3，即2x＋z＝1④.把①代入③，得25x＋5（x＋z）＋z＝60，即5x＋z＝10⑤.联立④⑤，得 解得 把x＝3，z＝－5代入①，得y＝3＋（－5）＝－2.所以原方程组的解为
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（2） （2025·宁波鄞州段考）
解：记 ①＋②，得5x＋z＝16④.①×2＋③，得7x＋5z＝26⑤.④×5－⑤，得18x＝54，解得x＝3.把x＝3代入④，得z＝1.把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.所以原方程组的解为
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4. 下列对方程组 的解法，不正确的是（ D ）
A. 由①②消去z，再由①③消去z
B. 由①③消去z，再由②③消去z
C. 由①③消去y，再由①②消去y
D. 由①②消去z，再由①③消去y
D
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5. 已知关于x，y，z的三元一次方程组 的解使x＋2y－3z＝－12成立，则a的值为（ C ）
A. 2 B. －3 C. 3 D. 6
C
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6. 已知有理数x，y，z满足｜x－z－2｜＋｜3x－6y－7｜＋（3y＋3z－4）2＝0，则xyz的值为 1 .
7. 已知甲、乙、丙三人各有一些钱，其中甲的钱是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，则三人共有 39 元.
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39
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（1） 求a，b，c的值.
解：（1） 因为代数式ax2＋bx＋c，当x＝1和x＝－3时，它的值都为5；当x＝－1时，它的值为1，所以 解得
（2） 当x＝－2时，求代数式ax2＋bx＋c的值.
解：（2） 由（1），得ax2＋bx＋c＝x2＋2x＋2.把x＝－2代入，得原式＝（－2）2＋2×（－2）＋2＝2.所以当x＝－2时，代数式ax2＋bx＋c的值为2.
8. 已知代数式ax2＋bx＋c，当x＝1和x＝－3时，它的值都为5；当x＝－1时，它的值为1.
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9. 对于有理数x，y定义新运算：x y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数.已知1 2＝9，（－3） 3＝6，0 1＝2，求（－2） 5的值.
解：由题意，得 解得 所以x y＝2x＋5y－3.所以（－2） 5＝2×（－2）＋5×5－3＝18.
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10. 某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组植树棵数之和的 ，甲组植树的棵数恰是乙组与丙组植树棵数的和.问：每组分别植树多少棵？
解：设甲组植树x棵，乙组植树y棵，丙组植树z棵.根据题意，可得 解得 所以甲组植树25棵，乙组植树10棵，丙组植树15棵.
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11. 新情境·现实生活 某公司装修需用A型板材48块、B型板材36块，A型板材的规格是60cm×30cm，B型板材的规格是40cm×30cm.现只能购得规格是150cm×30cm的标准板材，于是需将每块标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，三种裁法统计如下表（如图所示为裁法一的裁剪示意图）：
裁法一 裁法二 裁法三
A型板材块数 1 2 0
B型板材块数 2 m n
（1） m＝ 0 ，n＝ 3 .
0
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（第11题）
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（2） 如果所购的标准板材为35块，按裁法一、裁法二和裁法三全部裁完，且所裁出的A，B两种型号的板材块数与所需块数相符，那么按三种裁法各裁标准板材多少块？
（第11题）
解：设按裁法一裁x块，按裁法二裁y块，按裁法三裁z块.根据题意，得 解得 所以按裁法一、裁法二和裁法三各裁标准板材6块、21块和8块.
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11(共18张PPT)
第2课时 加减消元法
第2章 二元一次方程组
2.3 解二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·杭州萧山段考）用加减法解方程组 消去未知数x后得到的方程是（ C ）
A. 2y＝16 B. 2y＝22
C. 8y＝16 D. 8y＝22
C
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2. 解方程组 给出下列解法：① 消去y，得6x＝4；② 消去x，得－4y＝－12；③ 消去y，得6x＝－12；④ 消去x，得－4y＝4.其中，正确的是（ D ）
A. ②④ B. ①② C. ②③ D. ③④
3. 已知二元一次方程组 则2x＋y的值为 （ D ）
A. －2 B. 0 C. 6 D. 8
D
D
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4. 已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ 3 .
代数式 a＋b a－b a＋2b
代数式的结果 5 9 m
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5. （2025·杭州西湖期中）解方程组：
（1）
解：
（2）
解：
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6. 如果 是方程组 的解，那么a与c之间的数量关系是（ C ）
A. 4a＋c＝9 B. 2a＋c＝9
C. 4a－c＝9 D. 2a－c＝9
C
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7. 若｜3x＋2y－4｜＋27（5x＋6y）2＝0，则（ B ）
A. B.
C. D.
B
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8. 已知x，y满足 如果由①×a＋②×b可整体得到x＋11y的值，那么a，b之间的关系式不正确的是（ C ）
A. 2a＋3b＝1 B. 3a＋2b＝－11
C. a＋b＝2 D. a－b＝－12
C
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9. 新考法·新定义题 对于非零的两个有理数m，n，定义一种新运算“*”：m*n＝am－bn.若2*（－3）＝8，5*3＝－1，则（－3）*（－2）的值为 1 .
10. 已知关于x，y的方程组 的解能使等式4x－3y＝7成立，则代数式m2－2m＋1的值为 49 .
11. （2025·湖州长兴期中）已知关于x，y的二元一次方程组 （a是常数）.若不论a取什么实数，代数式kx－y（k是常数）的值始终不变，则k＝ －1 .
1
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12. 易错题 （2024·杭州上城期中）解下列方程组：
（1）
解：记 ①＋②，得9x＝3，解得x＝ .将x＝ 代入①，得1＋2y＝4，解得y＝ .所以此方程组的解为
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（2）
解：将原方程组化简，得 ②×5，得－5x＋45y＝10③.①＋③，得46y＝46，解得y＝1.把y＝1代入②，得－x＋9＝2，解得x＝7.所以原方程组的解是
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13. 解关于x，y的二元一次方程组 可以用①×7－②×3消去未知数x，也可以用①×2＋②×5消去未知数y.求：
（1） m和n的值.
解：（1） 根据题意，得 解得
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（2） 原方程组的解.
解：（2） 由（1），得 ①×7－②×3，得－35y－6y＝123，解得y＝－3.把y＝－3代入②，得7x－6＝1，解得x＝1.所以原方程组的解为
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14. 对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足｜x－y｜＝1，那么我们说方程组的解x与y具有“邻好关系”.
（1） 方程组 的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由.
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解：（1） 具有“邻好关系”.理由：记 ①－②，得3y＝6，解得y＝2.把y＝2代入②，得x＝3.所以方程组的解为 因为｜x－y｜＝｜3－2｜＝1，所以方程组的解x与y具有“邻好关系”.
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（2） 若关于x，y的方程组 的解x与y具有“邻好关系”，求m的值.
解：（2） 记 ①＋②，得6x＝6m＋6，解得x＝m＋1.把x＝m＋1代入①，得y＝2m－4.所以方程组的解为 因为x与y具有“邻好关系”，所以｜x－y｜＝｜m＋1－2m＋4｜＝｜－m＋5｜＝1.所以5－m＝±1.所以m＝6或m＝4.
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解：（3） 存在.两式相加，得（2＋a）y＝12.因为a，x，y均为正整数，所以 或 易知只有当a＝1时，｜x－y｜＝1.所以a的值为1，方程组的解为
（3） 已知关于x，y的方程组 则是否存在正整数a，使得x，y都是正整数，且该方程组的解x与y具有“邻好关系”？若存在，请求出a的值及方程组的解；若不存在，请说明理由.
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14(共17张PPT)
第1课时 代入消元法
第2章 二元一次方程组
2.3 解二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·浙江段考）对于二元一次方程组 将①式代入②式，消去y可以得到（ C ）
A. x－2x－1＝7 B. x－2x－2＝7
C. x－2x＋2＝7 D. x＋2x＋2＝7
C
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2. 用代入消元法解二元一次方程组 的过程中，下列变形不正确的是（ C ）
A. 由①，得x＝
B. 由①，得y＝5－2x
C. 由②，得x＝
D. 由②，得y＝
C
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3. 若 a3xby与－a2ybx＋1是同类项，则（ D ）
A. B.
C. D.
D
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4. 二元一次方程x＝5＋y和3x＋4y＝1的公共解是 .
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（1） （2024·杭州拱墅段考）
解：
（2） （2025·绍兴新昌二模）
解：
5. 解下列方程组：
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6. 老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四名同学每人做一步，每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，用合作的方式完成该方程组的求解，过程如图所示，合作中出现错误的同学是 （ B ）
A. 甲 B. 丙
C. 乙和丁 D. 甲和丙
B
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7. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足2x＋3y＝2，则a的值为（ C ）
A. 1 B. －3 C. 3 D. 4
C
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8. 已知关于x，y的方程组 用含x的代数式表示y，可得y＝ 2x＋3 .
9. 新考法·新定义题 对于任意实数a，b，定义新运算“ ”：a b＝2a＋b.例如，3 4＝2×3＋4＝10.若x （－y）＝2，且2y x＝1，则x＋y的值为 1 .
2x＋3
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10. 小明说：“ 为关于x，y的方程ax＋by＝10的解.”小惠说：“ 为关于x，y的方程ax＋by＝10的解.”两人谁也不能说服对方.如果你想让他们的说法都正确，那么a＝ 10 ，b＝ 10 .
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（1）
解：整理，得 由①，得3x＝y＋8③.把③代入②，得y＋8－5y＝－20，解得y＝7.把y＝7代入③，得3x＝7＋8，解得x＝5.所以
11. ★解方程组：
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（2）
解：记 由①，得2x＋3y＝2③.把③代入②，得3×2－2y＝6，解得y＝0.把y＝0代入③，得2x＋3×0＝2，解得x＝1.所以
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12. 已知x，y满足（2x－3y－1）2＋｜x－2y＋2｜＝0，求2x－ y的值.
解：因为（2x－3y－1）2≥0，｜x－2y＋2｜≥0，（2x－3y－1）2＋｜x－2y＋2｜＝0，所以根据非负数的性质，得 由②，得x＝2y－2③.把③代入①，得2（2y－2）－3y＝1，解得y＝5④.把④代入③，得x＝8.所以 所以2x－ y＝16－12＝4.
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13. 阅读材料：
善于思考的小军在解二元一次方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法.
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解：将方程②变形，得4x＋10y＋y＝5，即2（2x＋5y）＋y＝5③.
把方程①代入③，得2×3＋y＝5，解得y＝－1.
把y＝－1代入①，得x＝4.
所以方程组的解为
请你解决以下问题：
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（1） 模仿小军的“整体代换”法解方程组
解：（1） 将方程②变形，得3（3x－2y）＋2y＝19③.
把①代入③，得15＋2y＝19，解得y＝2.把y＝2代入①，得x＝3.所以方程组的解为
（2） 已知x，y满足方程组
求xy的值.
解：（2） 由①变形，得3（x2＋4y2）－2xy＝47③.由②变形，得2（x2＋4y2）＋xy＝36，即x2＋4y2＝18－ ④.把④代入③，得3× －2xy＝47.所以xy＝2.
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专题特训五 二元一次方程组的实际应用
第2章 二元一次方程组
类型一 信息补全问题
1. 一段长为180米的河道的整治任务由甲、乙两支工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天.甲、乙两支工程队分别整治河道多少米？
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根据题意，得
小华同学：设m表示 甲工程队工作的天数 ，n表示 乙工程队工作的天数 .
根据题意，得
请你补全小明、小华两名同学的解题思路.
甲工程队工作的天数
乙工程队工作的天数
（1） 小明、小华两名同学提出的解题思路如下：
小明同学：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米.
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（2） 请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程.
解：选择小明同学的解题思路：设甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米.根据题意，得 解得 所以甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米.选择小华同学的解题思路：设m表示甲工程队工作的天数，n表示乙工程队工作的天数.根据题意，得 解得 所以8m＝8×15＝120，12n＝12×5＝60.所以甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米.
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类型二 方案设计类问题
2. （2025·台州温岭二模）某校准备组织七年级400名学生参加综合实践活动.已知1辆小客车和2辆大客车均满载，每次可运送学生110名；3辆小客车和1辆大客车均满载，每次可运送学生105名.
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（1） 每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
解：（1） 设每辆小客车能坐a名学生，每辆大客车能坐b名学生.根据题意，得 解得 所以每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
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（2） 若学校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.
① 请你设计出所有的租车方案.
② 若小客车每辆需租金1600元，大客车每辆需租金2700元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金.
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解：（2） ① 由题意，得20x＋45y＝400，整理，得x＝20－ y，因为x，y为非负整数，所以 或 或 所以学校的租车方案有3种：方案1：小客车20辆，大客车0辆；方案2：小客车11辆，大客车4辆；方案3：小客车2辆，大客车8辆.② 由①可知，方案1的租金为1600×20＝32000（元）；方案2的租金为1600×11＋2700×4＝28400（元）；方案3的租金为1600×2＋2700×8＝24800（元）.因为32000＞28400＞24800，所以学校最省钱的租车方案为租用2辆小客车，8辆大客车，最少租金为24800元.
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类型三 营销问题
3. 小聪到某超市购买A，B，C三种商品，其中A，B两种商品的单价之和恰好等于C商品的单价，小聪前两次购买的商品的数量和总费用如下表：
购买 次序 A商品的 数量/个 B商品的 数量/个 C商品的 数量/个 总费
用/元
第一次 3 2 4 160
第二次 2 5 3 170
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（1） 求A，B，C三种商品的单价.
解：（1） 设A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，则C商品的单价是（x＋y）元.根据题意，得 解得 所以x＋y＝10＋15＝25.所以A商品的单价是10元，B商品的单价是15元，C商品的单价是25元.
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（2） 若小聪第三次需要购买A，B，C三种商品共k个（每种商品至少购买1个），其中C商品的数量是A商品数量的2倍，恰好花了270元.
① 求k的最大值.
② 若小聪在第三次购买A，B，C三种商品时正好遇上“买一送一”的促销活动，即购买一个C商品赠送一个A商品或一个B商品（优先赠送A商品），求k的值.
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解：（2） 设购买a个A商品，b个B商品，则购买2a个C商品.① 根据题意，得10a＋15b＋25×2a＝270.所以b＝18－4a.所以k＝a＋b＋2a＝－a＋18.又因为a为正整数，所以当a＝1时，k取得最大值，最大值＝－1＋18＝17.所以k的最大值为17. ② 因为优先赠送A商品，所以购买2a个C商品，可以先送a个A商品，即A商品不需要购买，然后送2a－a＝a（个）B商品，即只需要购买（b－a）个B商品.因为270÷25＝10.8，所以b－a≥1.根据题意，得15（b－a）＋25×2a＝270.整理，得15b＋35a＝270.所以b＝18－ a.又因为a，b均为正整数，所以a为3的倍数.当a＝3时，b＝11，此时b－a＝11－3＝8，符合题意；当a＝6时，b＝4，此时b－a＝4－6＜1，不符合题意.所以 所以k＝a＋b＋2a＝3＋11＋2×3＝20.所以k的值为20.
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类型四 分段计费问题
4. 新情境·现实生活 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息（说明：① 每户生产的污水量等于该户自来水用量；② 水费＝自来水费＋污水处理费）：
每户每月的用水量 自来水的销售价格/（元/吨） 污水的处理价格/（元/吨）
17吨及以下 a 0.9
超过17吨但不超 过30吨的部分 b 0.9
超过30吨的部分 6.0 0.9
已知小王家7月用水16吨，缴水费43.2元；8月用水25吨，缴水费75.5元.
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（1） 求a，b的值.
解：（1） 根据题意，得 解得
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（2） 如果小王家9月缴水费156.1元，那么小王家9月用水多少吨？
解：（2） 设小王家9月用水x吨.因为1.8＋0.9＝2.7（元/吨），2.8＋0.9＝3.7（元/吨），6.0＋0.9＝6.9（元/吨），所以月用水17吨需缴水费2.7×17＝45.9（元），月用水30吨需缴水费45.9＋（30－17）×3.7＝94（元）.因为156.1＞94，所以小王家9月的用水量超过了30吨，即x＞30.根据题意，得94＋（x－30）×6.9＝156.1，解得x＝39.所以小王家9月用水39吨.
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（3） 小王家10月忘了去缴水费，当小王11月去缴水费时发现两个月一共用水50吨，其中10月用水超过30吨，一共缴水费215.8元，包含30元滞纳金.求小王家11月用水多少吨（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）.
解：（3） 设小王家11月用水y吨，则10月用水（50－y）吨.因为10，11月两个月共用水50吨，10月用水超过30吨，所以11月用水少于30吨.所以分两种情况：① 当y≤17时，2.7y＋94＋（50－y－30）×6.9＝215.8－30，解得y＝11.② 当17＜y＜30时，45.9＋（y－17）×3.7＋94＋（50－30－y）×6.9＝215.8－30，解得y＝9.125（舍去）.所以小王家11月用水11吨.
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4(共14张PPT)
第1课时 运用二元一次方程组解决简单的实际问题
第2章 二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 某校组织一批学生参加社会实践活动，活动中男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽.大家发现一个有趣的现象，每名男生看到的白色安全帽比红色安全帽多6顶，而每名女生看到的白色安全帽是红色安全帽的2倍.设男生有x人，女生有y人.下列方程组中，正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
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2. 一个长方形的周长为28厘米，长比宽的3倍少6厘米，则这个长方形的面积是（ A ）
A. 45平方厘米 B. 35平方厘米
C. 25平方厘米 D. 20平方厘米
3. 甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在的年龄时，甲20岁，则（ C ）
A. 甲比乙大6岁 B. 乙比甲大6岁
C. 甲比乙大4岁 D. 乙比甲大4岁
4. 某船在河中航行，已知顺流的速度是14km/h，逆流的速度是8km/h，则该船在静水中的速度是 11 km/h，水流速度是 3 km/h.
A
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5. ★中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界.某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10把茶壶或30只茶杯，1把茶壶需要配4只茶杯.为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 6 名工人加工茶壶.
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（1） 男生和女生平均每人各整理多少本图书？
解：（1） 设男生每人整理x本图书，女生每人整理y本图书.由题意，得 解得 所以男生每人整理50本图书，女生每人整理60本图书.
（2） 如果学生委员会有12名男生和8名女生，他们恰好能整理完所有的图书，那么一共有多少本图书？
解：（2） 12×50＋8×60＝1080（本），所以一共有1080本图书.
6. 近期，某校开展了“图书漂流”活动，学生委员会的学生们自愿整理图书，2名男生和1名女生共整理160本图书，1名男生和2名女生共整理170本图书.
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7. 某校七年级学生开展义务植树活动，参加的人数是未参加人数的3倍.若该年级的人数减少6，未参加的人数增加6，则参加的人数是未参加人数的2倍.该校七年级学生共有（ C ）
A. 72人 B. 80人
C. 96人 D. 100人
C
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8. 甲、乙两人分别从相距40km的A，B两地出发，相向而行.如果甲比乙早出发1h，那么乙出发后2h，他们相遇；如果他们同时出发，那么2.5h后，两人相距5km.甲由A地到B地需要（ D ）
A. h B. 20h
C. 10h或20h D. h或10h
D
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9. （2025·宁波鄞州段考）如图，在长方形ABCD中放置9个形状、大小完全相同的小长方形.根据图中数据，可得涂色部分的面积为 18 .
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10. 春节期间，某集团公司采购了A，B两种物资共80吨，共用去200万元，A种物资每吨2.2万元，B种物资每吨3.4万元.
（1） A，B两种物资各购进了多少吨？
解：（1） 设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨.根据题意，得 解得 所以A种物资购进了60吨，B种物资购进了20吨.
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（2） 该集团租用了大、小两种货车若干辆来运输这些物资，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，则租用的大、小货车各多少辆？
解：（2） 设租用的大货车为a辆，小货车为b辆.根据题意，得 解得 所以租用的大货车为5辆，小货车为4辆.
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11. （2025·杭州段考）在制作纸盒的劳动实践课上，同学们对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板.为了避免材料浪费，经设计，每张原材料板材可裁得3张150cm×30cm的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图①所示（单位：cm）.
（1） 每张原材料板材可以裁得A型长方形纸板 9 张或裁得B型正方形纸板 15 张.
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（2） 现将由260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能选一种裁法）得到的A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图②所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒.若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？两种纸盒各能做多少个？
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解：设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用（260－x）张原材料板材裁剪B型纸板，设做竖式无盖长方体纸盒y个，则做横式无盖长方体纸盒2y个.根据题意，得 解得 所以260－x＝60，2y＝2×180＝360.所以用200张原材料板材裁剪A型纸板，用60张原材料板材裁剪B型纸板，能使剪出的A，B型纸板恰好用完，能做竖式无盖长方体纸盒180个，横式无盖长方体纸盒360个.
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2.1 二元一次方程
第2章 二元一次方程组
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·温州期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（ C ）
A. x2－2y＝3 B. x－ ＝3
C. x＋y＝3 D. x＋2y＝3z
2. （2025·宁波余姚期末）下列各组中，不是方程2x－3y＝1的解的为（ A ）
A. B.
C. D.
C
A
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3. （2025·衢州期中）某网店开展促销活动，购买3个鼠标和2个键盘，只需支付260元.设鼠标的单价为x元，键盘的单价为y元，则可列方程为 3x＋2y＝260 .
3x＋2y＝260
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（1） 用含x的代数式表示y.
（2） 填表，使x，y的值是方程5x＋3y＝18的解.
x 0 1 2 3 4
y 6 1 －
（3） 根据表格，请直接写出方程的非负整数解.
解：（1） 因为5x＋3y＝18，所以3y＝18－5x.所以y＝－ x＋6.
（3） 由表可知，方程的非负整数解为 或
6
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－
4. 已知二元一次方程5x＋3y＝18.
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5. 数学课上，老师要求同学们各写出一个二元一次方程，甲、乙、丙、丁四名同学各写出一个方程.甲：xy－x－y＋1＝2；乙： ＋ ＝3；丙：x2－3x＝2；丁：4x＋y＝1.其中，正确的有（ A ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 易错题 （2025·杭州期中）若方程2x｜m｜＋（m－1）y＝3是关于x，y的二元一次方程，则m的值为（ C ）
A. ±1 B. 1 C. －1 D. ±2
A
C
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7. （2025·温州期中）已知 是关于x，y的二元一次方程mx＋3y＝5的一个解，则m的值为（ A ）
A. 2 B. －2 C. 7 D. －7
8. 某知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分.已知杭杭同学这次竞赛的成绩为60分.设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则有（ A ）
A. x－y＝10 B. 5x－3y＝60
C. 3x－y＝40 D. x＋y＝20
A
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9. 下表给出的每一对x，y的值都是二元一次方程ax－by＝3的解：
x 0 1 2 3
y 3 1 －1 m
则表中m的值为（ B ）
A. －5 B. －3 C. 0 D. 3
B
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10. 已知 ＋ ＝6，则y＝ － x＋13 （用含x的代数式表示y）.
11. （2025·嘉兴期中）如果 是方程x－3y＝－5的一个解，那么2m－6n＋2024＝ 2014 .
12. 某果园原计划种植梨树和苹果树共1 000株，实际上梨树的种植量比原计划增加10％，而苹果树的种植量比原计划减少5％.若设实际种植梨树x株，苹果树y株，则可列二元一次方程为 ＋ ＝1 000 .
13. 现有1角、5角、1元的硬币各10枚，从中取出15枚，共7元，则取出了 7 枚5角的硬币.
－ x＋13
2014
＋ ＝1 000
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14. 已知 是二元一次方程4x－3y－10＝0的一个解.
（1） 试用含x的代数式表示y.
解：（1） 移项，得－3y＝－4x＋10.两边同时除以－3，得y＝ x－ .
（2） 求m的值.
解：（2） 把 代入方程4x－3y－10＝0，得4（3m＋1）－3（2m－2）－10＝0.去括号，得12m＋4－6m＋6－10＝0.移项，得12m－6m＝10－4－6，解得m＝0.
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15. 新情境·现实生活 某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知一辆小客车能坐20名学生，一辆大客车能坐45名学生.若该校计划租用小客车x辆，大客车y辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满.
（1） 列出关于x，y的方程.
解：（1） 由题意，得20x＋45y＝400.
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（2） 请你设计出所有的租车方案.
解：（2） 因为20x＋45y＝400，所以x＝20－ y.又因为x，y均为非负整数，所以 或 或 所以共有3种租车方案，方案一：租用小客车20辆；方案二：租用小客车11辆，大客车4辆；方案三：租用小客车2辆，大客车8辆.
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（3） 若小客车每辆的租金为4000元，大客车每辆的租金为7600元，请选出（2）中最省钱的租车方案，并求出最少租金.
解：（3） 由（2）可知，方案一所需的租金为4000×20＝80000（元），方案二所需的租金为4000×11＋7600×4＝74400（元），方案三所需的租金为4000×2＋7600×8＝68800（元）.因为80000＞74400＞68800，所以最省钱的租车方案为租用小客车2辆，大客车8辆，最少租金为68800元.
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专题特训四 二元一次方程（组）的特殊解及其应用
第2章 二元一次方程组
类型一 二元一次方程的特殊解
1. （2025·杭州期中）二元一次方程2x＋3y＝15的正整数解的个数是（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 写出一个关于x，y的二元一次方程，使它的自然数解有且仅有三个，这个方程可以是 答案不唯一，如x＋y＝2 .
3. 若 是一个二元一次方程的一组解，写出符合题意的二元一次方程，并写出这个方程的所有正整数解.
= ，
= ，
= ，
= ，
= ，
= .
解：答案不唯一，如2x＋3y＝20.这个方程的所有正整数解为
B
答案不唯一，如x＋y＝2
= ，
= ，
= ，
= ，
= ，
= .
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类型二 二元一次方程组的特殊解
4. 已知关于x，y的二元一次方程组 有正整数解，则k的值为 16或7或－2 .
16或7或－2
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（1） 请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解.
= ，
= ，
= ，
= .
解： （1）
（2） 若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值.
解：（2） 由题意，得 解得 把 代入x－2y＋mx＋5＝0，解得m＝－ .
5. 已知关于x，y的二元一次方程组
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（3） 无论实数m取何值，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一组固定的解，请求出这个解.
解：（3） 由题意，得（1＋m）x－2y＝－5.因为无论实数m取何值，方程总有一组固定的解，所以当x＝0时，y＝ .所以这个解为
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类型三 二元一次方程（组）的特殊解的实际应用
6. （2025·绍兴嵊州期中）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元.购买方案有 （ B ）
A. 2种 B. 3种
C. 4种 D. 5种
B
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7. 新情境·现实生活 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间单人间和若干间三人间，住宿价格是单人间每晚100元，三人间每晚130元（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元）.
（1） 若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 1 间单人间.
（2） 若该旅游团租住了3间单人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为 1600 元.
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1600
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8. （2025·绍兴诸暨期中）小明在某商场购买甲、乙两种商品若干次（每次甲、乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲、乙两种商品同时打折，三次购买甲、乙两种商品的数量和费用情况如下表所示：
购买甲商品 的数量/件 购买乙商品 的数量/件 购买
总费用/元
第一次 6 4 880
第二次 4 6 920
第三次 9 8 912
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（1） 求甲、乙两种商品每件的标价各是多少元.
解：（1） 设甲商品每件的标价是x元，乙商品每件的标价是y元.依题意，得 解得 所以甲商品每件的标价是80元，乙商品每件的标价是100元.
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（2） 若小明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？
解：（2） 设商场是打m折出售这两种商品的.依题意，得9×80× ＋8×100× ＝912，解得m＝6.所以商场是打6折出售这两种商品的.
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解：（3） 设小明购买了a件甲种商品，b件乙种商品.依题意，得80×0.6a＋100×0.6b＝1200，所以b＝20－ a.又因为a，b均为正整数，所以 或 或 或 所以小明共有4种购买方案：方案1：购买了5件甲种商品，16件乙种商品；方案2：购买了10件甲种商品，12件乙种商品；方案3：购买了15件甲种商品，8件乙种商品；方案4：购买了20件甲种商品，4件乙种商品.
（3） 在（2）的条件下，若小明第四次购买甲、乙两种商品共花去1200元，则小明可能有哪几种购买方案？
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9. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图②所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱（加工时接缝材料不计）.该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸箱，且120＜a＜136，一个竖式纸箱的成本为300元，一个横式纸箱的成本为200元，则关于这一天加工的两种纸箱，当a取何值时成本最低，最低成本是多少元？
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解：设加工竖式纸箱m个，加工横式纸箱n个.根据题意，得 由①，得m＝50－2n③.①×4－②，得5n＝200－a.所以n＝40－ .因为n，a为正整数，所以a为5的倍数.又因为120＜a＜136，所以满足条件的a的值为125，130，135.当a＝125时，n＝15，把n＝15代入③，得m＝50－2×15＝20.此时的成本是300×20＋200×15＝9000（元）；当a＝130时，n＝14，把n＝14代入③，得m＝50－2×14＝22.此时的成本是300×22＋200×14＝9400（元）；当a＝135时，n＝13，把n＝13代入③，得m＝50－2×13＝24.此时的成本是300×24＋200×13＝9800（元）.因为9000＜9400＜9800，所以当a＝125时成本最低，最低成本是9000元.
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第2章整合拔尖
第2章 二元一次方程组
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 二元一次方程（组）的概念
典例1 （2025·宁波海曙段考）下列方程组中，是二元一次方程组的为（ B ）
A. B.
C. D.
B
[变式]（2024·绍兴诸暨段考）如果3x2a＋b－6－4ya－2b＝6是二元一次方程，那么3a－b＝ 8 .
8
考点二 二元一次方程解的应用
典例2 （2024·绍兴柯桥期末）若 是关于x，y的二元一次方程2nx＋5y＝4的一个解，则代数式3m－ n＋ 的值是（ A ）
A. 3 B. C. D. －3
运用方程的解求代数式的值时，已知一个方程的解，常常根据方程的解的定义，把方程的解代入原方程中，得到关于所求代数式中字母的方程，通过解方程求得字母的值，然后把字母的值代入代数式求值.若所得字母方程，无法求出字母的值或求出字母的值的过程比较复杂，则考虑运用整体思想求代数式的值.
A
[变式]（2025·宁波鄞州期中）若关于x，y的二元一次方程mx＋ny＝3的两个解分别为 和 则m＋n的值为 6 .
6
考点三 二元一次方程组的解法
典例3 （2025·丽水期中）解方程组：
（1）
解：记 将①代入②，得x＋2（x－2）＝5，解得x＝3.将x＝3代入①，得y＝1.所以方程组的解是
（2）
解：记 整理②，得x＋2y＝3③.①－③，得2x＝4，解得x＝2.将x＝2代入③，得2＋2y＝3，解得y＝ .所以方程组的解是
（1） 原方程组中的第一个方程已经用含x的代数式表示y，可直接代入第二个方程消去未知数y，再求解.
（2） 原方程组中的一个方程含有分母，可以先化简整理，再求解.
[变式]已知｜3x－y－8｜＋（4y－x＋12）2＝0，则4x＋6y＝ －8 .
－8
考点四 三元一次方程组的解法
典例4 为确保信息安全，传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，接收方对应收到的密码为A，B，C. 双方约定：A＝2a－b，B＝2b，C＝b＋c.例如发出1，2，3，则收到0，4，5.
（1） 当发送方发出一组密码2，3，5时，接收方收到的密码是多少？
解：（1） 由题意，得A＝2×2－3＝1，B＝2×3＝6，C＝3＋5＝8，所以接收方收到的密码是1，6，8.
（2） 当接收方收到一组密码2，8，11时，发送方发出的密码是多少？
解：（2） 由题意，得 解得 所以发送方发出的密码是3，4，7.
[变式]如图，若每条边上的三个数之和都等于16，则a，b，c这三个数按顺序分别为 5，6，4 .
5，6，4
考点五 新定义问题
典例5 （2024·杭州拱墅段考）定义：二元一次方程y＝ax＋b与二元一次方程y＝bx＋a互为“反对称二元一次方程”.如二元一次方程y＝2x＋1与二元一次方程y＝x＋2互为“反对称二元一次方程”.
（1） 直接写出二元一次方程y＝4x－1的“反对称二元一次方程”： y＝－x＋4 .
y＝－x＋
4
（2） 二元一次方程y＝3x＋5的解 也是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.
解：易得二元一次方程y＝3x＋5的“反对称二元一次方程”是y＝5x＋3.因为二元一次方程y＝3x＋5的解 也是它的“反对称二元一次方程”的解，所以 解得 所以m＝1，n＝8.
[变式]规定：形如x＋ky＝b与kx＋y＝b的两个关于x，y的方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组 叫作共轭方程组，k，b称之为共轭系数.
（1） 方程3x＋y＝5的共轭二元一次方程是 x＋3y＝5 .
x＋3y＝5
解：因为关于x，y的二元一次方程组 为共轭方程组，所以2－5a＝1－2b，－b－4＝－5－a.整理，得 ①－②×2，得3a＝3，解得a＝1.把a＝1代入②，得1－b＝－1，解得b＝2.所以2－5a＝2－5＝－3，－b－4＝－2－4＝－6.所以此共轭方程组的共轭系数为－3，－6.
（2） 若关于x，y的二元一次方程组 为共轭方程组，求此共轭方程组的共轭系数.
考点六 方程组的实际应用
典例6 （2025·宁波鄞州期中）某公司计划用两种车型运输一批材料，已知用2辆A型车和1辆B型车装满材料一次可运输11吨；用1辆A型车和2辆B型车装满材料一次可运输13吨.该公司现有材料29吨，计划租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满.
（1） 1辆A型车和1辆B型车都装满材料一次可分别运多少吨？
解：（1） 设1辆A型车都装满材料一次可运x吨，1辆B型车都装满材料一次可运y吨.由题意，得 解得 所以1辆A型车都装满材料一次可运3吨，1辆B型车都装满材料一次可运5吨.
解：（2） 根据题意，得3a＋5b＝29，因为a，b均为正整数，所以 或 所以有2种租车方案：① 租用A型车8辆，B型车1辆，租车费为8×100＋1×150＝950（元）；② 租用A型车3辆，B型车4辆，租车费为3×100＋4×150＝900（元）.因为950＞900，所以最省钱的租车方案为租用A型车3辆，B型车4辆，最少租车费为900元.
（2） 请你帮这个公司设计租车方案，若A型车每辆需租金100元，B型车每辆需租金150元，请选择最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
[变式]有甲、乙、丙三种文具，购买甲种文具1件、乙种文具2件比购买丙种文具1件多花9元；购买甲种文具2件、丙种文具8件比购买乙种文具1件多花18元.现在购买甲、乙、丙三种文具各一件，则共需花费 9 元.
9
1. 若关于x，y的二元一次方程组 的解是 则m＋n的值为（ D ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
2. 若关于x，y的方程组 的解x，y满足x比y的2倍少3，则a的值为（ C ）
A. －11 B. －22 C. －31 D. －41
D
C
1
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3
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7
3. 小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）.若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元.若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（ B ）
A. 他身上的钱还缺65元
B. 他身上的钱会剩下65元
C. 他身上的钱还缺115元
D. 他身上的钱会剩下115元
B
1
2
3
4
5
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7
4. 已知2x＋y＋z＝－1，3y－z＝－1，3x＋2y＋3z＝－5，则xyz＝ 2 .
5. 在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则花圃的总面积为 24 m2.
2
24
1
2
3
4
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7
6. （2025·义乌段考）已知关于x，y的方程组 给出下列结论：① 方程组的解也是2x＋y＝5a－1的解；② x，y的值不可能互为相反数；③ 不论a取什么实数，x＋3y的值始终不变；④ 若2x＋y＝9，则a＝2.其中，正确的结论是 ①③④ （填序号）.
①③④
1
2
3
4
5
6
7
车 型 甲 乙 丙
运载量/（吨/辆） 5 8 10
运费/（元/辆） 450 600 700
解答下列问题：
（1） 安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 4 辆可将全部物资一次运完.
4
7. （2025·杭州期中）运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示（假设每辆车均满载）：
1
2
3
4
5
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7
（2） 若全部物资仅用甲型车和乙型车一次运完，需运费9600元，则甲型车和乙型车各需多少辆？
解：（2） 设甲型车需a辆，乙型车需b辆.根据题意，得 解得 所以甲型车需8辆，乙型车需10辆.
1
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4
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7
（3） 若用甲、乙、丙三种车型共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆？此时总运费为多少元？
解：（3） 设甲、乙、丙三种型号的车各需x辆，y辆，z辆.根据题意，得 消去x，得3y＋5z＝50，因为x，y，z取正整数，所以x＝2，y＝5，z＝7.此时总运费为450×2＋600×5＋700×7＝8800（元）.所以甲、乙、丙三种型号的车各需2辆，5辆，7辆，此时总运费为8800元.
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第2课时 运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
第2章 二元一次方程组
2.4 二元一次方程组的应用
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 新考向·跨学科一根弹簧原长（不挂重物）mcm，每挂上1kg的重物，它就伸长ncm.当挂上xkg的重物时，弹簧的总长L（cm）可用公式L＝nx＋m计算.已经测得当x＝0.5时，L＝16；当x＝2时，L＝19，则当重物的质量为5kg（在弹性限度内）时，L的值是（ B ）
A. 22.5 B. 25 C. 27.5 D. 30
2. 某市现有人口42万人，一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口增加1％，则这个城市现有城镇人口和农村人口分别是（ C ）
A. 28万人，14万人 B. 24万人，18万人
C. 14万人，28万人 D. 18万人，24万人
B
C
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3. 已知原来购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，商家打折促销，A商品打八折，B商品打九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，则原来A商品和B商品每件的价格分别为（ C ）
A. 75元，100元 B. 120元，160元
C. 150元，200元 D. 180元，240元
C
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4. 科学家通过实验发现：一定质量的某种气体，在体积不变的情况下，压强p（kPa）与温度T（℃）之间满足p＝aT＋k，且当温度为100℃时，压强为140kPa；当温度为60℃时，压强为124kPa，则a＝ 0.4 ，k＝ 100 .
0.4
100
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（1） 该景点去年接待的省外游客和省内游客分别为多少万人次？
解：（1） 设该景点去年接待的省外游客为x万人次，省内游客为y万人次.由题意，得 解得 所以该景点去年接待的省外游客和省内游客分别为28万人次，56万人次.
（2） 若省外游客每张门票的均价为100元，省内游客每张门票的均价为80元，则今年该景点的门票收入是多少万元？
解：（2） 今年该景点的门票收入是28×（1＋14％）×100＋56×（1＋8％）×80＝8030.4（万元）.
5. 今年某旅游景点共接待游客92.4万人次，和去年相比，游客总数增加了10％，其中省外游客增加了14％，省内游客增加了8％.
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6. 为了卫生防控，学校需用含30％和75％的消毒药水，配制含60％的消毒药水30kg，则含30％和75％的消毒药水各需（ D ）
A. 12kg，18kg B. 19kg，11kg
C. 17kg，13kg D. 10kg，20kg
D
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7. 某酒店有三人间普通客房和双人间普通客房，其中，三人间的价格为150元/间，双人间的价格为140元/间.为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房.若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共（ C ）
A. 15间 B. 17间 C. 19间 D. 22间
C
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8. 新考向·跨学科在某地，人们发现某种蟋蟀1min所叫次数x与当时温度t（℃）之间的关系近似为t＝ax＋b.这种蟋蟀1min所叫次数与温度变化情况的对照表如下：
1min所叫次数x … 84 98 119 …
温度t/℃ … 15 17 20 …
如果这种蟋蟀1min叫63次，那么该地当时的温度约为 12℃ .
12℃
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9. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元.轩轩同学想给敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他在6月13日购买比在打折前购买节省 145 元.
145
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老师：“小强，你这次考试的语文、数学、英语三科的总成绩为348分，在下次考试中，要使这三科的总成绩达到382分，你有什么计划吗？”
小强：“老师，我争取在下次考试中，语文成绩保持124分，英语成绩再多16分，数学成绩增加15％，这样刚好达到382分.”
请问：小强这次考试的英语、数学成绩各是多少？
解：设小强这次考试的英语成绩为x分，数学成绩为y分.由题意，得 解得 所以小强这次考试的英语成绩为104分，数学成绩为120分.
10. 某次考试结束后，老师找小强进行了谈话.
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11. 新情境·现实生活 水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
① 每公顷鱼塘的年租金为500元.
② 每公顷鱼塘可在年初混合投放4千克蟹苗和20千克虾苗.
③ 每千克蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益.
④ 每千克虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益.
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（1） 如果租用鱼塘n公顷，那么年租金共需 500n 元.
（2） 水产养殖的成本包括鱼塘年租金、苗种费用和饲养费用，求每公顷鱼塘蟹、虾混合养殖的年利润（利润＝收益－成本）.
解：（2） 4×（75＋525）＋20×（15＋85）＋500＝4900（元），（1400×4＋160×20）－4900＝3900（元）.所以每公顷鱼塘蟹、虾混合养殖的年利润为3900元.
500n
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（3） 李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷款不超过25000元，用于蟹、虾混合养殖.已知银行贷款的年利率为10％，则李大爷应该租多少公顷鱼塘，并向银行贷款多少元，可使年利润达到36600元？
解：（3） 设李大爷应该租y公顷鱼塘，并向银行贷款x元，x≤25000.由题意，得 解得 所以李大爷应该租10公顷鱼塘，并向银行贷款24000元.
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