(共12张PPT)
第3课时 积的乘方
第3章 整式的乘除
3.1 同底数幂的乘法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·杭州二模）计算（－2xy2）3的结果是（ D ）
A. －6x3y6 B. －6xy6
C. －8xy6 D. －8x3y6
2. （2024·绍兴嵊州期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（ D ）
A. （2x）3＝6x3 B. （ab）4＝ab4
C. （2a5）2＝4a25 D. （－m3）2＝m6
3. 计算（－3x3）2＋[（－2x）2]3的结果为（ C ）
A. x5 B. 17x6 C. 73x6 D. －17x5
D
D
C
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4. （1） 已知（anbm＋4）3＝a9b6，则mn＝ －8 .
（2） 已知am＝2，bm＝5，则（a2b）m＝ 20 .
5. 若2a＝3，8a＝27，则16a＝ 81 .
－8
20
81
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（1） （6×104）2.
解：原式＝3.6×109.
（2） .
解：原式＝－ a6b9.
（3） .
解：原式＝ x4y4n.
（4） （－3x3）2－x2·x4－（x2）3.
解：原式＝9x6－x6－x6＝7x6.
6. 计算：
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7. 有下列计算：① （－2mn）3＝8m3n3；② （m＋n）3（m＋n）2＝m5＋n5；③ －（a3b2）3＝－a9b6；④ ＝ a6b2.其中，错误的有（ D ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 若x＝35，y＝23，则615用x，y表示为（ D ）
A. xy B. x15y15
C. x5y3 D. x3y5
D
D
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9. 计算 ×1.52024×（－1）2025的结果是（ C ）
A. －1 B. －
C. －1.5 D. 1.5
C
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10. 已知x2n＝3，则（3x2n）2－5（xn）4的值为 36 .
11. 已知2x＋3×5x＋3＝100x＋1，则2025x的值是 2025 .
12. 计算：
（1） （－x4y2）3－ .
解：原式＝－x12y6－ x12y6＝－ x12y6.
（2） （－9）3× × .
解：原式＝［－9× × ］3＝23＝8.
36
2025
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13. （1） 若A＝（2xy2）3－x3（y3）2，B＝5x3y6，当x＝3，y＝1时，求A－B的值.
解：因为A＝（2xy2）3－x3（y3）2＝8x3y6－x3y6＝7x3y6，B＝5x3y6，所以A－B＝7x3y6－5x3y6＝2x3y6.所以当x＝3，y＝1时，A－B＝2×33×16＝54.
（2） 已知xa＝2，yb＝3，求（x3a·y2b）2的值.
解：因为xa＝2，yb＝3，所以（x3a·y2b）2＝[（xa）3·（yb）2]2＝（23×32）2＝（8×9）2＝5184.
14. 比较312×510与310×512的大小.
解：因为312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，3＜5，所以（3×5）10×32＜（3×5）10×52.所以312×510＜310×512.
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15. （1） 已知2x＋3×3x＋3＝36x－2，求x的值.
解：因为2x＋3×3x＋3＝36x－2，所以（2×3）x＋3＝62x－4.所以x＋3＝2x－4，解得x＝7.
（2） 已知2n＝a，3n＝b，n是正整数，用含a，b的式子表示62n的值.
解：因为2n＝a，3n＝b，所以2n×3n＝ab.所以6n＝ab.所以62n＝（6n）2＝（ab）2＝a2b2.
（3） 已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，试求出a，b，c之间满足的等量关系.
解：因为2n＝a，5n＝b，20n＝c，又因为20n＝（4×5）n＝4n×5n＝（2n）2×5n，所以c＝a2b.
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16. （1） 52×32n＋1×2n－3n×6n＋2能被13整除吗？请说明理由.
解：能被13整除.理由：因为52×32n＋1×2n－3n×6n＋2＝25×32n＋1×2n－3n×2n＋2×3n＋2＝25×32n＋1×2n－3×32n＋1×22×2n＝25×32n＋1×2n－12×32n＋1×2n＝（25－12）×32n＋1×2n＝13×32n＋1×2n，且32n＋1×2n是整数，所以52×32n＋1×2n－3n×6n＋2能被13整除.
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（2） 已知25x＝2000，80y＝2000，求x＋y－xy的值.
解：因为25x＝2000，所以（25x）y＝2000y，即25xy＝2000y①.因为80y＝2000，所以（80y）x＝2000x，即80xy＝2000x②.所以①×②，得25xy·80xy＝2000y· 2000x.所以（25×80）xy＝2000x＋y，即2000xy＝2000x＋y.所以x＋y＝xy.所以x＋y－xy＝0.
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16(共25张PPT)
第3章整合拔尖
第3章 整式的乘除
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 幂的运算性质
典例1 （2025·凉山）下列运算正确的是（ D ）
A. m＋m＝m2 B. （mn2）5＝m5n7
C. m3·m2＝m6 D. m8÷m2＝m6
D
[变式]（2025·杭州西湖模拟）下列计算结果正确的是（ B ）
A. x4·x2＝x8 B. x6÷（－x）3＝－x3
C. （a5）2＝a7 D. （－3x）2＝6x2
B
考点二 逆用幂的运算性质求值
典例2 （2024·金华东阳期中）若4m＝18，8n＝9，则22m－3n＋1的值为（ C ）
A. 11 B. 3 C. 4 D. 164
逆用同底数幂的乘法、除法法则将22m－3n＋1变形为22m÷23n×2，只要根据已知条件通过适当变形确定出22m与23n的值后即可求得结果.
C
[变式]已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n的值为 （ D ）
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
D
考点三 与多项式乘法相关的缺项问题
典例3 ★（2024·台州椒江期中）已知关于x的多项式mx－n与2x2－3x＋4的乘积的结果中不含x的二次项，且常数项为－6，求m＋n的值.
先根据多项式乘多项式的运算法则，计算并化简两个已知的多项式的乘积，然后根据这个乘积的结果中不含x的二次项，且常数项为－6，得到关于m，n的方程组，解方程组即可求得m，n的值，进而可得m＋n的值.
解：（mx－n）（2x2－3x＋4）＝2mx3－3mx2＋4mx－2nx2＋3nx－4n＝2mx3－（3m＋2n）x2＋（4m＋3n）x－4n.根据题意，可知 解得 所以m＋n＝－1＋ ＝ .
[变式]（2025·温州瑞安期中）已知关于x的多项式ax＋b与3x2－x－2的乘积的展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为－7，则ab的值为 3 .
3
考点四 乘法公式的变形
典例4 若a＋b＝10，ab＝11，则代数式a2－ab＋b2的值是（ C ）
A. 89 B. －89
C. 67 D. －67
把a＋b＝10两边平方，利用完全平方公式化简，将ab＝11代入求出a2＋b2的值，代入原式计算即可得到结果.
C
[变式]若（x－y）2＝4，xy＝3，则（x＋y）2＝ 16 .
16
考点五 用科学记数法表示较小的数
典例5 一个正方体盲盒的棱长为0.4m.
（1） 这个盲盒的体积是多少（用科学记数法表示）？
解：（1） 根据题意可得，0.43＝6.4×10－2（m3），所以这个盲盒的体积是6.4×10－2m3.
（2） 若一个小立方块的棱长为1×10－3m，则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？
解：（2） 6.4×10－2÷（1×10－3）3＝64000000（个），所以需要64000000个这样的小立方块才能将盲盒装满.
[变式]光具有很多性质，比如它的速度最快为每秒300000km，它按粒子性和波动性运动.我们日常用肉眼感受到的光称为可见光，它可分解为赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色，它的波长λ＝4000～7600 ，其中1 ＝10－8cm.请用科学记数法表示可见光的波长在多少米至多少米之间.
解：因为1 ＝10－8cm＝10－10m，所以4000 ＝4×10－7m，7600 ＝7.6×10－7m.所以可见光的波长在4×10－7m至7.6×10－7m之间.
考点六 整式的化简求值
典例6 （2025·嘉兴期中）张老师在黑板上布置了一道题：
已知y＝－1，求代数式[（x＋2y）2＋（x＋y）（y－x）－5y2]÷（2x）的值，小白和小红展开了讨论（如图）.
根据上述情景，你认为谁说得对？请说明理由并将代数式化简求值.
解：我认为小红说得对.理由：[（x＋2y）2＋（x＋y）（y－x）－5y2]÷（2x）＝（x2＋4xy＋4y2＋y2－x2－5y2）÷（2x）＝4xy÷（2x）＝2y.因为化简后的结果不含x，所以小红说得对.当y＝－1时，原式＝2×（－1）＝－2.
[变式]（2025·杭州期中）先化简，再求值：（x＋3）（x－3）－4x（x－1）＋（x－1）2，其中x的值满足x2－x－2＝0.
解：（x＋3）（x－3）－4x（x－1）＋（x－1）2＝x2－9－4x2＋4x＋x2－2x＋1＝－2x2＋2x－8，因为x2－x－2＝0，所以x2－x＝2.所以当x2－x＝2时，原式＝－2（x2－x）－8＝－2×2－8＝－4－8＝－12.
考点七 求与多项式乘法相关的不规则图形的面积
典例7 边长分别为a和b（a＞b）的两个正方形按如图所示的方式摆放，则图中涂色部分的面积为（ A ）
（典例7图）
A. B. 2ab C. a2＋ab D.
A
[变式]如图，将边长分别为a和b（a＜b）的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 .
1. 下列运算正确的是（ D ）
A. （－3xy）2＝3x2y2
B. 3x2＋4x2＝7x4
C. t（3t2－t＋1）＝3t3－t2＋1
D. （－a3）4÷（－a4）3＝－1
2. 已知25a×52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2＋ab＋3c的值为（ B ）
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
D
B
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3. 若（a－b）2＝17，ab＝－3，则代数式[8（a＋b）7－4（a＋b）5＋（－a－b）3]÷[2（a＋b）3]的值为 .
4. 新考向·跨学科 雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行.假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收.已知飞机与雷达之间的距离是7.86×103米，电磁波的传播速度为3×108米/秒，则整个过程共用了 5.24×10－5 秒（飞机的速度忽略不计）.
5.24×10－5
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（1） M＋N.
解：（1） 因为M＝［（－2x4y5）÷ ］2＝（6x2y2）2＝36x4y4，N＝（－3x3y2）2÷ ＝9x6y4÷ ＝－18x3y3，所以M＋N＝36x4y4－18x3y3.
（2） N2÷M.
解：（2） 由（1），得N2÷M＝（－18x3y3）2÷36x4y4＝324x6y6÷36x4y4＝9x2y2.
5. 已知M＝ ，N＝（－3x3y2）2÷ ，求：
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6. （2025·杭州西湖期中）已知多项式（x－2）·（x2＋mx）的展开式中不含x的二次项.
（1） 求m的值.
解：（1） （x－2）（x2＋mx）＝x3＋mx2－2x2－2mx＝x3＋（m－2）·x2－2mx，因为展开式中不含x的二次项，所以m－2＝0，解得m＝2.
（2） 化简：（2m－1）2＋（m＋3）（m－3）－2m·（m－2）并在（1）的条件下求值.
解：（2） 原式＝4m2－4m＋1＋m2－9－（2m2－4m）＝4m2－4m＋1＋m2－9－2m2＋4m＝3m2－8.当m＝2时，原式＝3×22－8＝4.
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7. 如图，某小区准备修建一个长AD为（3a－b）米、宽AB为（a＋2b）米的长方形广场ABCD. 在长方形ABCD内修筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到长方形ABCD四边的四条笔直小路，正方形活动区的边长为（a－b）米，小路的宽均为2米.活动区与小路铺设鹅卵石，其他地方铺设草坪（图中涂色部分），求铺设草坪的面积（用含有a，b的代数式表示，结果写成最简形式）.
（第7题）
解：铺设草坪的面积为（3a－b）（a＋2b）－（a－b）2－[3a－b－（a－b）]×2－[a＋2b－（a－b）]×2＝3a2＋5ab－2b2－a2－b2＋2ab－2a×2－3b×2＝（2a2＋7ab－3b2－4a－6b）平方米.
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7(共13张PPT)
第2课时 完全平方公式
第3章 整式的乘除
3.4 乘法公式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 利用乘法公式计算（2x＋3）2的结果是（ C ）
A. 4x2＋9 B. 4x2－12x＋9
C. 4x2＋12x＋9 D. 4x2＋6x＋9
2. （2024·杭州西湖期中）若（x±a）2＝x2＋2mx＋9，则m的值是（ B ）
A. ±2 B. ±3 C. ±4 D. ±5
3. 若（x＋2y）2＝（x－2y）2＋A，则A＝ 8xy .
C
B
8xy
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4. 三种不同类型的地砖的长、宽如图所示.若现有A类地砖10块，B类地砖6块，C类地砖1块，要拼成一个大正方形，则多出1块 A 类地砖；这样的地砖拼法表示了两数之和的平方的几何意义，用式子表示为 （3m＋n）2＝9m2＋6mn＋n2 .
A
（3m＋n）2＝9m2＋6mn
＋n2
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5. 计算：
（1） （2a＋3）2－4（3a＋4）.
解：原式＝4a2＋12a＋9－12a－16＝4a2－7.
（2） （3x－5）2－（2x＋7）2.
解：原式＝9x2－30x＋25－（4x2＋28x＋49）＝9x2－30x＋25－4x2－28x－49＝5x2－58x－24.
（3） （1－3a）2－2（1－3a）＋（1＋3a）2.
解：原式＝1－6a＋9a2－（2－6a）＋（1＋6a＋9a2）＝1－6a＋9a2－2＋6a＋1＋6a＋9a2＝18a2＋6a.
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6. 下列计算中，正确的是（ D ）
A. （－x－y）2＝－x2－2xy－y2
B. （m＋2n）2＝m2＋4n2
C. （－3x＋y）2＝3x2－6xy＋y2
D. ＝ x2＋5x＋25
7. 已知a，b为常数.若（x－1）2＋bx＋c＝x2－ax＋16，则a＋b＋c的值为 （ B ）
A. 18 B. 17 C. 16 D. 15
D
B
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8. ★已知实数a，b满足a＋b＝2，ab＝ ，则a－b的值为（ C ）
A. 1 B. － C. ±1 D. ±
9. （2025·宁波镇海模拟）已知（x－2021）2＋（x－2025）2＝34，则（x－2023）2的值是（ C ）
A. 5 B. 9 C. 13 D. 17
C
C
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10. 数形结合思想 如图，由4个完全相同的小长方形与一个小正方形密铺成一个大正方形图案，该图案的面积为100，其中小正方形的面积为16，小长方形的长为b，宽为a，b＞a.有下列关系式：① a2＋2ab＋b2＝100；② a2－2ab＋b2＝16；③ a2＋b2＝56.其中，正确的有（ C ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
C
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11. 已知（a＋3）2＝82，则（a＋11）（a－5）的值为 18 .
12. 运用乘法公式计算：
（1） （2m＋1）2（2m－1）2.
解：原式＝[（2m＋1）（2m－1）]2＝（4m2－1）2＝16m4－8m2＋1.
（2） （a－2b）（a＋2b）（a2－4b2）.
解：原式＝（a2－4b2）（a2－4b2）＝a4－8a2b2＋16b4.
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……
根据发现的规律解决下列问题：
（1） 完成第④个等式：92－4× 4 2＝ 17 .
（2） 请写出你猜想的第 个等式（用含n的代数式表示），并验证其正确性.
解：（2n＋1）2－4n2＝4n＋1.左边＝4n2＋4n＋1－4n2＝4n＋1＝右边.
4
17
13. 观察下列各式：
① 32－4×12＝5；
② 52－4×22＝9；
③ 72－4×32＝13；
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14. 数形结合思想 （2025·杭州上城期中）数学活动课上，老师准备了如图①所示的三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图②所示的正方形.
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（1） 根据图①、图②的面积关系，请你直接写出代数式（a＋b）2，a2＋b2，ab之间的等量关系.
解：（1） （a＋b）2＝a2＋b2＋2ab.
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解：（2） ① 由（1），得（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn，又因为（m＋n）2＝25，m2＋n2＝20，所以25＝20＋2mn，解得mn＝2.5.所以（m－n）2＝m2＋n2－2mn＝20－2×2.5＝20－5＝15.
② 因为x2＋4y2＝7，xy＝ ，所以（x＋2y）2＝x2＋4y2＋4xy＝7＋4× ＝9.又因为x＞0，y＞0，所以x＋2y＝3.所以（5－x）（5－2y）＝25－5（x＋2y）＋2xy＝25－5×3＋2× ＝10＋1＝11.
（2） 根据（1）中的等量关系，解决如下问题：
① 已知（m＋n）2＝25，m2＋n2＝20，求mn和（m－n）2的值.
② 已知x＞0，y＞0，x2＋4y2＝7，xy＝ ，求代数式（5－x）（5－2y）的值.
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14(共13张PPT)
专题特训六 乘法公式的巧用
第3章 整式的乘除
类型一 添括号后整体运用公式
1. 计算：
（1） （3x＋y－2）（3x－y＋2）.
解：原式＝[3x＋（y－2）][3x－（y－2）]＝（3x）2－（y－2）2＝9x2－y2＋4y－4.
（2） （a＋2b＋2）（a－2b＋2）－4（a－2）2.
解：原式＝[（a＋2）＋2b][（a＋2）－2b]－4（a－2）2＝（a＋2）2－（2b）2－4（a2－4a＋4）＝a2＋4a＋4－4b2－4a2＋16a－16＝－3a2＋20a－4b2－12.
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类型二 连续运用公式计算
2. 计算：
（1） （9x2＋1）（1－3x）（－3x－1）.
解：原式＝（－3x＋1）（－3x－1）（9x2＋1）＝（9x2－1）（9x2＋1）＝81x4－1.
（2） （3m－4n）（3m＋4n）（9m2－16n2）.
解：原式＝（9m2－16n2）（9m2－16n2）＝81m4－288m2n2＋256n4.
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（3） （－3m＋n）2（6m＋2n）2.
解：原式＝[－（3m－n）]2·[2（3m＋n）]2＝（3m－n）2×4（3m＋n）2＝4[（3m－n）（3m＋n）]2＝4（9m2－n2）2＝4（81m4－18m2n2＋n4）＝324m4－72m2n2＋4n4.
（4） （x4＋y4）－（x－y）（x＋y）（x2－y2）.
解：原式＝（x4＋y4）－（x2－y2）·（x2－y2）＝（x4＋y4）－（x2－y2）2＝（x4＋y4）－（x4－2x2y2＋y4）＝x4＋y4－x4＋2x2y2－y4＝2x2y2.
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类型三 运用乘法公式简便计算
3. 用简便方法计算：
（1） 499 ×500 .
解：原式＝ ×（500＋ ）＝5002－ ＝250 000－ ＝249 999 .
（2） .
解：原式＝ ＝ ＝1.
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（3） 20232－2021×2025.
解：原式＝20232－（2023－2）×（2023＋2）＝20232－（20232－22）＝20232－20232＋22＝4.
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（4） （5＋1）×（52＋1）×（54＋1）×（58＋1）×（516＋1）＋ .
解：原式＝ ×（5－1）×（5＋1）×（52＋1）×（54＋1）×（58＋1）×（516＋1）＋ ＝ ×（52－1）×（52＋1）×（54＋1）×（58＋1）×（516＋1）＋ ＝ ×（54－1）×（54＋1）×（58＋1）×（516＋1）＋ ＝ ×（58－1）×（58＋1）×（516＋1）＋ ＝ ×（516－1）×（516＋1）＋ ＝ ×（532－1）＋ ＝ .
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类型四 运用乘法公式化简求值
4. （2025·宁波慈溪期中）先化简，再求值：（2x＋y）2－（2x＋y）（2x－y）＋2x（2y－1），其中x＝1，y＝－2.
解：（2x＋y）2－（2x＋y）（2x－y）＋2x（2y－1）＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2＋4xy－2x＝8xy＋2y2－2x，当x＝1，y＝－2时，原式＝8×1×（－2）＋2×（－2）2－2×1＝－16＋2×4－2＝－16＋8－2＝－10.
5. 若x2＋x－2 024＝0，求（2x＋3）（2x－3）－x（5x＋4）－（x－1）2的值.
解：（2x＋3）（2x－3）－x（5x＋4）－（x－1）2＝4x2－9－5x2－4x－x2＋2x－1＝－2x2－2x－10.因为x2＋x－2 024＝0，所以x2＋x＝2 024.所以原式＝－2（x2＋x）－10＝－2×2 024－10＝－4 048－10＝－4 058.
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类型五 运用乘法公式巧解方程
6. 解方程：
（1） （x＋2）（x－4）－（x－2）2＝2.
解：去括号，得x2－2x－8－x2＋4x－4＝2.移项、合并同类项，得2x＝14.系数化为1，得x＝7.
（2） x2＋（x＋1）2－（x＋2）2＝（x＋2）（x－2）.
解：去括号，得x2＋x2＋2x＋1－x2－4x－4＝x2－4.移项、合并同类项，得－2x＝－1.系数化为1，得x＝ .
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类型六 运用乘法公式的灵活变形解决问题
7. 若a，b是某长方形的长和宽，且（a＋b）2＝16，（a－b）2＝4，则该长方形的面积为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
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类型七 根据图形形状的变化求面积
8. 将一个正方形的一组对边的长增加3cm，另一组对边的长减少3cm，得到的长方形的面积与这个正方形边长减少1cm所得到的正方形的面积相等.求变化后的长方形的面积.
解：设原正方形的边长为xcm.由题意，得（x＋3）（x－3）＝（x－1）2，解得x＝5.所以变化后的长方形的面积为（5＋3）×（5－3）＝16（cm2）.
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类型八 验证数的运算规律
9. 新考法·探究题 观察下列式子：
① 152＝（1×2）×100＋25＝225；
② 252＝（2×3）×100＋25＝625；
③ 352＝（3×4）×100＋25＝1225；
……
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根据上述规律，回答下列问题：
（1） 请把第④个式子补充完整：
452＝ （4×5）×100＋25 ＝ 2025 .
（2） 通过以上算式，我们发现若用10a＋5来表示个位上的数字是5的两位数，则它的平方有一定的规律，请写出猜想并说明理由.
解：猜想：（10a＋5）2＝100a（a＋1）＋25.理由：因为左边＝（10a＋5）2＝100a2＋100a＋25＝100a（a＋1）＋25，右边＝100a（a＋1）＋25，所以左边＝右边，猜想成立.
（4×5）×100＋25
2025
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9(共13张PPT)
第1课时 多项式的乘法（1）
第3章 整式的乘除
3.3 多项式的乘法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算（2x－3）（3x＋4）的结果是（ D ）
A. －7x＋4 B. －7x－12
C. 6x2－12 D. 6x2－x－12
2. （2025·杭州上城期中）若（x－n）（x－2）＝x2＋5x＋m，则常数m，n的值分别为（ D ）
A. －14，7 B. 14，－7
C. 14，7 D. －14，－7
D
D
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3. 如图，将一张边长为x的正方形纸板按图中虚线裁剪成三块长方形，则涂色部分的面积表示错误的是（ D ）
A. （x－1）（x－2）
B. x2－3x＋2
C. x2－（x－2）－2x
D. x2－3
（第3题）
D
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4. 某三角形的一边长为2a－4b，这条边上的高为3a＋2b，则这个三角形的面积为 3a2－4ab－4b2 .
5. 计算：
（1） （－4a－1）（4a－1）.
解：原式＝－16a2＋4a－4a＋1＝－16a2＋1.
（2） （x＋2）（y＋3）－（x＋1）（y－2）.
解：原式＝xy＋3x＋2y＋6－（xy－2x＋y－2）＝xy＋3x＋2y＋6－xy＋2x－y＋2＝5x＋y＋8.
3a2－4ab－4b2
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6. 下列式子中，计算结果为x2＋2x－15的是（ A ）
A. （x＋5）（x－3） B. （x－5）（x＋3）
C. （x＋5）（x＋3） D. （x－5）（x－3）
7. （2025·湖州长兴期中）已知关于x的多项式x＋5m与x－2的乘积的展开式中不含x的一次项，则m的值为（ B ）
A. － B. C. － D.
A
B
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8. 若甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（a＞1），则两个长方形的面积S甲与S乙的大小关系是（ B ）
A. S甲＝S乙 B. S甲＞S乙
C. S甲＜S乙 D. 无法确定
B
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9. 随着数学学习的深入，数系不断扩充，引入新数i，规定i2＝－1，并且新数i满足交换律、结合律和分配律，则（1＋i）·（2－i）＝ 3＋i .
10. （2024·杭州期中）如图，现有A，B两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张.如果要拼成一个长为m＋2n、宽为2m＋n的大长方形，那么需要C类卡片的张数为 5 .
3＋i
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11. 若a，b满足｜a＋5b－2｜＋（a＋b－6）2＝0，求代数式（a－3b）（a＋2b）－（a＋5b）（a＋3b）的值.
解：由题意，得 解得 所以原式＝a2＋2ab－3ab－6b2－（a2＋3ab＋5ab＋15b2）＝－9ab－21b2＝－9×7×（－1）－21×（－1）2＝42.
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12. 有这样一道题：计算（2x＋3）（6x＋2）－6x（2x＋13）＋8（7x＋2）的值，其中x＝2050.小明把“x＝2050”错抄成“x＝－2050”，但他的计算结果却是正确的，这是为什么？
解：因为原式＝12x2＋4x＋18x＋6－12x2－78x＋56x＋16＝22，所以原代数式的值与x的取值无关.所以小明的计算结果正确.
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13. 一个长方形的长、宽分别为acm，bcm，将这个长方形的长和宽各增加2cm.
（1） 新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少平方厘米（用含a，b的代数式表示）？
解：（1） （a＋2）（b＋2）－ab＝ab＋2a＋2b＋4－ab＝（2a＋2b＋4）cm2.所以新长方形的面积比原长方形的面积增加了（2a＋2b＋4）cm2.
（2） 如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求（a－2）（b－2）的值.
解：（2） 由题意，得（a＋2）（b＋2）＝2ab，即ab＋2a＋2b＋4＝2ab.所以ab－2a－2b＝4.所以（a－2）（b－2）＝ab－2a－2b＋4＝4＋4＝8.
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14. 数形结合思想 阅读材料并解答下列问题.
你知道吗？一些代数恒等式可以用几何图形的面积来表示，例如（2a＋b）·（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2就可以用图①或②的面积表示.
（1） 请写出图③所表示的代数恒等式.
解：（1） 图③所表示的代数恒等式为（a＋2b）（2a＋b）＝2a2＋5ab＋2b2.
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（3） 请仿照上述式子另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.
解：（3） 答案不唯一，如代数恒等式（a＋b）（a＋2b）＝a2＋3ab＋2b2可以用答案图②表示.
（2） 画出一个几何图形，使它的面积能表示（a＋b）（a＋3b）＝a2＋4ab＋3b2.
解：（2） 画法不唯一，如答案图①所示.
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14(共13张PPT)
第1课时 同底数幂的乘法
第3章 整式的乘除
3.1 同底数幂的乘法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·湖南）计算a3·a4的结果是（ B ）
A. 2a7 B. a7 C. 2a4 D. a12
2. 下列代数式中，结果为x5的是（ D ）
A. x2＋x3 B. x·x5
C. x7－x2 D. x2·x3
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3. 下列计算中，错误的是（ D ）
A. （－a）3·（－a）3＝a6
B. （－a）2·（－a）2＝a4
C. （－a）3·a2＝－a5
D. （－a）·（－a）2＝a3
4. （2025·温州期中）若3x＝9，3y＝27，则3x＋y的值是（ B ）
A. 729 B. 243 C. 27 D. 9
5. 光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s.地球距离太阳大约 1.5×108 km.
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1.5×108
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（1） x2·x3＋x·x4.
解：原式＝x5＋x5＝2x5.
（2） 100×103×104×10.
解：原式＝102×103×104×101＝1010.
（3） －p2·（－p）4·（－p）5.
解：原式＝p2·p4·p5＝p11.
（4） －a4·（－a）3·（－a）6.
解：原式＝a4·a3·a6＝a13.
6. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果.
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7. 下列计算中，错误的是（ B ）
A. （－b）3·（－b）5＝b8
B. （－n）2·（－n）5＝n7
C. （－m）5·（－m2）＝m7
D. （a－b）·（a－b）2·（－b＋a）4＝（a－b）7
8. 电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB＝210MB，1 MB＝210KB，1 KB＝210B. 某视频文件的大小约为1 GB，1 GB等于 （ A ）
A. 230B B. 830B
C. 8×1010B D. 2×1030B
B
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9. 如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n.例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2.记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b和c之间的关系是 （ C ）
A. ab＝c B. ab＝c
C. a＋b＝c D. 无法确定
C
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10. 若53×5m×52m＋1＝525，则（6－m）2025的值为 －1 .
11. 若2x＋y－3＝0，则52x×5y＝ 125 .
12. 若9×27＋3×9×9＋3×81＝3n，则n＝ 6 .
13. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果.
（1） m·m2·m＋m2·m－m2·m2－2m3.
解：原式＝m4＋m3－m4－2m3＝－m3.
（2） （x－y）2m＋3·（x－y）2m－2＋（x－y）2m＋4·（x－y）2m－1.
解：原式＝（x－y）4m＋1＋（x－y）4m＋3.
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14. 已知xm－n·x2n＋1＝x11，且ym－1·y4－n＝y5，求mn2的值.
解：因为xm－n·x2n＋1＝xm＋n＋1＝x11，ym－1·y4－n＝ym－n＋3＝y5，所以 解得 所以mn2＝6×42＝96.
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15. 新考法·新定义题 我们约定a☆b＝10a×10b，如2☆3＝102×103＝105.
（1） 试求12☆3和4☆8的值.
解：（1） 12☆3＝1012×103＝1015，4☆8＝104×108＝1012.
（2） （a＋b）☆c是否与a☆（b＋c）相等？请说明理由.
解：（2） 相等.理由：因为（a＋b）☆c＝10a＋b×10c＝10a＋b＋c，a☆（b＋c）＝10a×10b＋c＝10a＋b＋c，所以（a＋b）☆c＝a☆（b＋c）.
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16. 新考法·阅读理解 阅读材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22025的值.
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22025①.
将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22025＋22026②.
②－①，得2S－S＝22026－1.
所以S＝22026－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22025＝22026－1.
请你仿照上面的方法计算：
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（1） 1＋5＋52＋53＋…＋510.
解：（1） 设S＝1＋5＋52＋53＋…＋510①.将等式两边同时乘5，得5S＝5＋52＋53＋54＋…＋510＋511②.②－①，得5S－S＝511－1，即4S＝511－1.所以S＝ .所以1＋5＋52＋53＋…＋510＝ .
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（2） ＋ ＋ ＋…＋ .
解：（2） 设M＝ ＋ ＋ ＋…＋ ①.将等式两边同时乘3，得3M＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ②.②－①，得3M－M＝1－ ，即2M＝1－ .所以M＝ × .所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ × ＝ － × .
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16(共13张PPT)
第2课时 多项式的乘法（2）
第3章 整式的乘除
3.3 多项式的乘法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·温州鹿城期中）计算（x＋1）（x2－2），所得结果的一次项系数是（ A ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
2. 计算（2x2－4） 的结果是（ D ）
A. －x2＋2 B. x3＋4
C. x3－4x＋4 D. x3－2x2－2x＋4
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3. 若长方形的长为4a2－2a＋1，宽为2a＋1，则这个长方形的面积为（ D ）
A. 8a3－4a2＋2a－1 B. 8a3＋4a2－2a－1
C. 8a3－1 D. 8a3＋1
4. 化简：（x2＋3）（2x－5）＝ 2x3－5x2＋6x－15 .
D
2x3－5x2＋6x－15
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（1） （2x＋1）（2－x2）.
解：原式＝4x－2x3＋2－x2＝－2x3－x2＋4x＋2.
（2） （a2＋1）（a2－5）.
解：原式＝a4－5a2＋a2－5＝a4－4a2－5.
（3） 3a（a2＋4a＋4）－a（a－3）（3a＋4）.
解：原式＝3a3＋12a2＋12a－a（3a2＋4a－9a－12）＝3a3＋12a2＋12a－3a3＋5a2＋12a＝17a2＋24a.
（4） 3y（y－4）（2y＋1）－（2y－3）（4y2＋6y－9）.
解：原式＝3y（2y2＋y－8y－4）－（8y3＋12y2－18y－12y2－18y＋27）＝6y3－21y2－12y－8y3＋36y－27＝－2y3－21y2＋24y－27.
5. 计算：
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6. （2025·宁波鄞州期中）若关于x的多项式（x2＋ax＋1）（x－3）展开合并后不含x2项，则a的值是（ A ）
A. 3 B. C. 0 D. －2
7. 若（2x2＋ax－1）（x－b）＋3＝2x3－ax2－5x＋5，则ab的值为（ C ）
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
8. 三个连续奇数，若中间的奇数为n，则它们的积是 n3－4n .
9. 若一个长方形的宽为3m＋2n，长比宽多m－n，则这个长方形的面积是 12m2＋11mn＋2n2 .
A
C
n3－4n
12m2
＋11mn＋2n2
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10. （1） 方程（2x＋3）（x－4）－（x＋2）（x－3）＝x2＋6的解是 x＝－3 .
（2） 若（x－5）（6x＋7）的值比（3x－2）（2x＋1）的值大2，则x的值为 － .
x＝－
3
－
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11. 若x2－3x－3＝0，则x（x－1）（x－2）（x－3）的值为 15 .
12. 易错题 先化简，再求值：（x2＋2x＋2）（x＋2）＋（－x2＋1）（x－5），其中x＝－1.
解：原式＝x3＋2x2＋2x2＋4x＋2x＋4－x3＋5x2＋x－5＝9x2＋7x－1.当x＝－1时，原式＝9×（－1）2＋7×（－1）－1＝1.
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13. 小明想把一张长为60cm、宽为40cm的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，将长方形的四个角各剪去一个相同的小正方形（如图）.设小正方形的边长为xcm.
（1） 求这个盒子的体积（用含x的代数式表示）.
解：（1） 盒子的体积为x（60－2x）（40－2x）＝（60x－2x2）（40－2x）＝（4x3－200x2＋2 400x）cm3.
（第13题）
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（2） 当x＝5时，求这个盒子的体积.
解：（2） 当x＝5时，盒子的体积＝4×53－200×52＋2 400×5＝7 500（cm3）.
（第13题）
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14. 试说明无论x为何值，代数式（x－1）（x2＋x＋1）－（x2＋1）（x＋1）＋x（x＋1）的值是定值.
解：因为（x－1）（x2＋x＋1）－（x2＋1）（x＋1）＋x（x＋1）＝x3＋x2＋x－x2－x－1－x3－x2－x－1＋x2＋x＝－2，所以无论x为何值，代数式的值是定值.
15. 已知多项式M＝x2＋5x－a，N＝－x＋2，P＝x3＋3x2＋5，且M·N＋P的值与x的取值无关，求a的值.
解：由题意，得M·N＋P＝（x2＋5x－a）（－x＋2）＋（x3＋3x2＋5）＝－x3＋2x2－5x2＋10x＋ax－2a＋x3＋3x2＋5＝（10＋a）x－2a＋5.因为代数式的值与x的取值无关，所以10＋a＝0，即a＝－10.
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16. 新考法·新定义题 给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫作关于x的二次多项式ax2＋bx＋c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2＋bx＋c叫作有序实数对（a，b，c）的特征多项式.
（1） 关于x的二次多项式3x2－1＋2x的特征系数对为 （3，2，－1） .
（3，2，－1）
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（3） 若有序实数对（p，q，－1）的特征多项式与有序实数对（m，n，－2）的特征多项式的乘积的结果为2x4＋x3－10x2－x＋2，直接写出（4p－2q－1）（2m－n－1）的值为 －6 .
解：（2） 因为有序实数对（1，4，4）的特征多项式为x2＋4x＋4，有序实数对（1，－4，4）的特征多项式为x2－4x＋4，所以（x2＋4x＋4）（x2－4x＋4）＝x4－4x3＋4x2＋4x3－16x2＋16x＋4x2－16x＋16＝x4－8x2＋16.
－6
（2） 求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，－4，4）的特征多项式的乘积.
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16(共13张PPT)
第1课时 平方差公式
第3章 整式的乘除
3.4 乘法公式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·湖州长兴期中）下列各式中，计算时不能使用平方差公式的为（ B ）
A. （a＋2b）（a－2b）
B. （－a＋2b）（2b－a）
C. （－a＋2b）（－a－2b）
D. （a－2b）（－a－2b）
B
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2. 下列计算中，正确的是（ C ）
A. （x－4）（4＋x）＝x2－4
B. （x＋2）（3x－2）＝3x2－4
C. （ab－c）（ab＋c）＝a2b2－c2
D. （－x－y）（x＋y）＝x2－y2
C
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3. 已知一个三角形的一条边长为（2a＋4）cm，这条边上的高为（2a－4）cm，则这个三角形的面积为 （2a2－8） cm2.
4. 当a＝ 时，4a（a－1）－（2a＋1）（2a－1）的值为 －2 .
（2a2－8）
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（1） （3m－2n）（－3m－2n）.
解：原式＝－（3m－2n）（3m＋2n）＝－（9m2－4n2）＝4n2－9m2.
（2） （5ab－3xy）（－3xy－5ab）.
解：原式＝－（5ab－3xy）（5ab＋3xy）＝－（25a2b2－9x2y2）＝9x2y2－25a2b2.
（3） （x＋2y）（x－2y）－y（3－4y）.
解：原式＝x2－4y2－（3y－4y2）＝x2－4y2－3y＋4y2＝x2－3y.
（4） 40 ×39 .
解：原式＝ × ＝402－ ＝1 599 .
5. 计算：
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6. 已知（a＋b）（p＋q）能运用平方差公式计算.有下列条件：① p＝a，q＝b；② p＝a，q＝－b；③ p＝－a，q＝b；④ p＝－a，q＝－b.其中，p，q满足的条件可能是 （ C ）
A. ①③ B. ①④
C. ②③ D. ②④
7. 为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的一组对边增加4m，另一组对边缩短4m，则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积（ C ）
A. 增加8m2 B. 增加16m2
C. 减少16m2 D. 保持不变
C
C
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8. 易错题 若实数m，n满足（m2＋2n2＋3）（m2＋2n2－3）＝16，则m2＋2n2的值为（ A ）
A. 5 B. 2.5
C. 2.5或－5 D. 5或－5
A
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9. 如图，长方体的体积为 a4－b4 .
10. 已知x2－y2＝4，则（x＋y）3（x－y）3＝ 64 .
11. 对于任意的整数n，能整除代数式（n＋3）（n－3）－（n＋2）（n－2）的正整数是 1或5 .
12. 先化简，再求值：（a＋2b）（a－2b）－（－2a＋3b）（－2a－3b）＋（－a－b）（b－a），其中a＝2，b＝3.
解：原式＝a2－4b2－（4a2－9b2）＋a2－b2＝－2a2＋4b2.当a＝2，b＝3时，原式＝－2×22＋4×32＝28.
a4－b4
64
1或5
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13. 如果a，b为有理数，那么代数式2a2－（a－b）（a＋b）－[（2－a）（a＋2）＋（－b－2）·（2－b）]的值与b的值有关吗？为什么？
解：代数式的值与b的值无关.因为原式＝2a2－（a2－b2）－（4－a2＋b2－4）＝2a2－a2＋b2＋a2－b2＝2a2，所以代数式的值与b的值无关.
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14. 新考法·阅读理解 阅读下面的解题过程.
例：若x＝2018×2015，y＝2017×2016，比较x，y的大小时，设2017＝a，则x＝（a＋1）（a－2）＝a2－a－2，y＝a（a－1）＝a2－a.
因为a2－a－2＜a2－a，
所以x＜y.
参考相关解题过程，计算：2024×2026－20252.
解：原式＝（2025－1）×（2025＋1）－20252＝20252－1－20252＝－1.
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15. 某同学在计算2×（3＋1）×（32＋1）时，把2写成（3－1）后，发现可以连续运用平方差公式：2×（3＋1）×（32＋1）＝（3－1）×（3＋1）×（32＋1）＝（32－1）×（32＋1）＝34－1＝80.
请借鉴该同学的经验计算：
（1） × × ×（1＋ ）×…× .
解：（1） 原式＝2× × × × × ×…× ＝2× ＝2× ＝ .
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（2） （3＋1）×（32＋1）×（34＋1）×…×（332＋1）－ .
解：（2） 原式＝ ×（3－1）×（3＋1）×（32＋1）×（34＋1）×…×（332＋1）－ ＝ ×（364－1）－ ＝ － － ＝－ .
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15(共15张PPT)
3.2 单项式的乘法
第3章 整式的乘除
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基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·杭州段考）计算3x3y2·（－2x2）的结果是（ C ）
A. xy2 B. －6x6y2
C. －6x5y2 D. 6x5y2
2. 下列运算正确的是（ B ）
A. x2·x5＝x10
B. 4x3y·3x2y3＝12x5y4
C. －x（x3－1）＝－x4－x
D. （2x2）3＝6x6
C
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3. 卫星脱离地球进入太阳系的速度是1.12×104米/秒，则卫星在9.6×103秒内运行了 1.075 2×108 米.
4. （2025·南充）计算：a（a－3）－a2＝ －3a .
5. 若（－2xy2）3· ＝－ x7y8，则m＝ 2 ，n＝ 1 .
1.075 2×108
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（1） 2m2·（－2mn）· .
解：原式＝［2×（－2）× ］·（m2·mn·m2n3）＝2m5n4.
（2） （－x2y）3·（－2xy3）2.
解：原式＝－x6y3·4x2y6＝－4x8y9.
（3） （－4xy）·（xy＋3x2y）.
解：原式＝－4x2y2－12x3y2.
6. 易错题 计算：
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（4） 6a2 －2a2b（a－b）.
解：原式＝6a2× ab－6a2×b2－2a2b×a＋2a2b×b＝2a3b－6a2b2－2a3b＋2a2b2＝－4a2b2.
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7. 下列运算中，错误的是（ C ）
A. （－3mn2）3·2mn＝－54m4n7
B. 5x（2x2－y）＝10x3－5xy
C. 5mn（2m＋3n－1）＝10m2n＋15mn2－1
D. （ab）2（2ab2－c）＝2a3b4－a2b2c
C
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8. 新情境·现实生活 小李家住房的平面结构示意图如图所示（单位：m）.小李打算把卧室和客厅铺上木地板，则他至少应买木地板（ A ）
A. 12xy m2 B. 10xy m2
C. 8xy m2 D. 6xy m2
A
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9. 设P＝a2（－a＋b－c），Q＝a（a2－ab＋ac），则P与Q之间的关系是（ D ）
A. P＝Q B. P＞Q
C. P＜Q D. 互为相反数
10. （2025·杭州上城期中）若关于x，y的多项式x（x2－mx＋3）＋x2（4mx2＋3x＋5）的结果中不含x2项，则m的值为（ D ）
A. 1 B. 0 C. －1 D. 5
11. 已知单项式9am＋1bn＋1和－2a2m－1b2n－1的积与5a3b6是同类项，则m＝ 1 ，n＝ 2 .
D
D
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12. 某同学在计算一个多项式乘－3x2时，因抄错运算符号，算成了加上－3x2，得到的结果是x2－4x＋1，则正确的计算结果是 －12x4＋12x3－3x2 .
13. 整体思想 如果a－b＝6，ab＝2025，那么b2＋6b＋1＝ 2026 .
－12x4＋12x3－3x2
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（1） －2a2b3·（－ab2）2＋ ·4b，其中a＝2，b＝1.
解：原式＝－2a2b3·a2b4＋ ·a4b6·4b＝－2a4b7＋a4b7＝－a4b7.当a＝2，b＝1时，原式＝－24×1＝－16.
（2） 3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2.
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2＝－20a2＋9a.当a＝－2时，原式＝－20×（－2）2＋9×（－2）＝－20×4－18＝－98.
14. 先化简，再求值：
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（3） （－3ab）2·（a2＋ab＋b2）－3ab（3a3b＋3a2b2－ab3），其中a＝－ ，b＝ .
解：原式＝9a2b2（a2＋ab＋b2）－（9a4b2＋9a3b3－3a2b4）＝9a4b2＋9a3b3＋9a2b4－9a4b2－9a3b3＋3a2b4＝12a2b4.当a＝－ ，b＝ 时，原式＝12× × ＝ .
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15. 若n为自然数，试说明n（2n＋1）－2n（n－1）的值一定是3的倍数.
解：n（2n＋1）－2n（n－1）＝2n2＋n－（2n2－2n）＝2n2＋n－2n2＋2n＝3n.因为n为自然数，所以3n是3的倍数.所以n（2n＋1）－2n（n－1）的值一定是3的倍数.
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16. 新考法·阅读理解 先阅读材料，再解决问题：
材料1：已知一个三位自然数a，若十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称a为“正态数”.例如：a＝264，因为2＋4＝6，所以264是“正态数”.
材料2：若一个数b是两个连续正整数n与（n＋1）的积，即b＝n（n＋1），则称b为“邻积数”.例如：b＝30，因为5×6＝30，所以30是“邻积数”.
（1） 最大的“正态数”是 990 ；90 是 “邻积数”（填“是”或“不是”）.
990
是
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（2） 求既是“正态数”又是“邻积数”的数.
解：设一个“正态数”的个位上的数字为x，百位上的数字为y，则这个“正态数”可表示为100y＋10（x＋y）＋x.因为100y＋10（x＋y）＋x＝100y＋10x＋10y＋x＝110y＋11x＝11（x＋10y），所以当x＋10y＝12或x＋10y＝10或x＋10y＝42时，这个“正态数”就是“邻积数”.因为x是非负整数，y是正整数，所以当 时，x＋10y＝12，对应的“正态数”是132；当 时，x＋10y＝10，对应的“正态数”是110；当 时，x＋10y＝42，对应的“正态数”是462.综上所述，既是“正态数”又是“邻积数”的数是132，110，462.
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16(共14张PPT)
第2课时 零指数幂与负整数指数幂
第3章 整式的乘除
3.6 同底数幂的除法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 关于代数式（a＋1）0，下列说法中，正确的是（ D ）
A. （a＋1）0的值一定是0
B. （a＋1）0的值一定是1
C. 当a≠0时，（a＋1）0有意义
D. 当a≠－1时，（a＋1）0有意义
2. 下列运算正确的是（ D ）
A. （－2026）0＝－1 B. 3－2＝－6
C. －20260＝－2026 D. －3－2＝－
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3. （2025·杭州萧山二模）某半导体公司研发了一款新型存储芯片，部分参数如下：晶体管栅极宽度为0.000000007米；单个芯片面积为2.5平方毫米；集成元件数量为80亿个；光刻工艺线宽误差为±0.0000000005米.数据“0.000000007”用科学记数法表示为（ A ）
A. 7×10－9 B. 0.7×10－8
C. 70×10－10 D. 7×109
A
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4. 将 写成以3为底的幂的形式，即 ＝3n，则n＝ －4 .
5. 若（－5）3x＋1＝1，则x＝ － .
－4
－
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（1） （－3）3＋（－3）－3＋ －（－3）3.
解：原式＝（－3）3＋（－3）－3＋（－3）3－（－3）3＝－27－ ＝－27 .
（2） ＋（－1）3＋ ÷｜－3｜.
解：原式＝1＋（－1）＋27÷3＝0＋9＝9.
（3） （－1）2026－（ － ）0＋ ＋｜1－ ｜.
解：原式＝1－1＋2＋ －1＝ ＋1.
6. 计算：
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7. （2025·杭州段考）若a＝－22，b＝（－2）－2，c＝ ，则a，b，c之间的大小关系为（ D ）
A. b＜a＜c B. b＜c＜a
C. a＜c＜b D. a＜b＜c
8. 若x2－3＝（x－2）0，则x的值为（ C ）
A. ±2 B. 2 C. －2 D. ±
D
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9. 已知一个水分子的直径约为4×10－10米，某花粉的直径约为5×10－5米，则一个水分子的直径与这种花粉直径的商用科学记数法表示为（ C ）
A. 0.8×10－5 B. 8×10－4
C. 8×10－6 D. 8×10－5
10. 若等式（a－2）3－2a＝1成立，则a的值可能为（ B ）
A. 3或1或1.5 B. 3或1.5
C. 3或1 D. 1或1.5
11. 若2m＝3，3×2n－m＝2，则n0＋（－2026）n的值为（ C ）
A. 2025 B. －2024
C. －2025 D. －2026
C
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12. 若a10÷an÷ ＝1（a≠0），则 ＝ －8 .
13. 解方程：x－ －（x－2）0＝2x＋1（x≠2）.
解：因为x≠2，所以（x－2）0＝1.所以原方程可化为x－2－1＝2x＋1，解得x＝－4.
－8
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14. （1） ＝ × ， ＝ ＝ × ＝ × ，由上述计算，我们发现 ＝ （填“＝”或“≠”）.
（2） 通过计算判断 与 之间的关系.
＝
解：（2） 因为 ＝ × × ＝ ， ＝ ＝ × × ＝ × × ＝ ，所以 ＝ .
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（4） 运用（3）的结论计算： × ×3－3.
（4） 原式＝ × × ＝ × × × ＝ × × ＝33× × ＝ .
（3） 由（1）（2）可以得到 ＝ （其中ab≠0，填“＝”或“≠”）.
＝
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15. 鸵鸟是世界上最大的鸟，体重约为160千克，蜂鸟是世界上最小的鸟，体重仅2克，则一只蜂鸟的质量相当于多少只鸵鸟的质量（用科学记数法表示）？
解：160千克＝160000克，所以一只蜂鸟的质量相当于2÷160000＝0.0000125＝1.25×10－5（只）鸵鸟的质量.
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16. 已知a是大于1 的实数，且a3＋a－3＝p，a3－a－3＝q.若p＋q＝4，求p－q 的值.
解：记a3＋a－3＝p①，a3－a－3＝q②，①＋②，得2a3＝p＋q＝4，所以a3＝2.①－②，得p－q＝2a－3＝ ＝1.
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17. 新考法·新定义题 定义新运算：a@b＝ 如果等式（a－2025）@（a＋2026）＝1成立，求a的值.
解：因为a－2 025＜a＋2 026，所以（a－2 025）a＋2 026＝1.分情况讨论：① 当a＋2 026＝0时，a＝－2 026，此时a－2 025≠0，故（a－2 025）a＋2 026＝1成立；② 当a－2 025＝1时，a＝2 026，此时（a－2 025）a＋2 026＝1成立；③ 当a－2 025＝－1时，a＝2 024，此时a＋2 026＝4 050，因为（－1）4 050＝1，所以（a－2 025）a＋2 026＝1成立.综上所述，a的值为2 024或±2 026.
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17(共15张PPT)
3.5 整式的化简
第3章 整式的乘除
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03
思维拓展
目
录
1. 化简（m＋2n）2－（m＋2n）（2m－n）的结果是（ D ）
A. 4mn＋8n2 B. mn
C. －m2＋mn＋2n2 D. －m2＋mn＋6n2
2. 当x＝－ 时，式子（x－2）2－2（2－2x）－（1＋x）（1－x）的值为（ A ）
A. － B. C. 1 D.
3. 方程（x＋3）（x－2）－（x＋1）2＝1的解为 x＝－8 .
D
A
x＝－8
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（1） 先化简，再求值：（x＋2）2＋（x＋2）（x－3），其中x＝ .
解：（x＋2）2＋（x＋2）（x－3）＝x2＋4x＋4＋x2－3x＋2x－6＝2x2＋3x－2，当x＝ 时，原式＝2× ＋3× －2＝0.
（2） 已知2a2＋3a－5＝0，求代数式3a（2a＋1）－（2a＋1）（2a－1）的值.
解：3a（2a＋1）－（2a＋1）（2a－1）＝6a2＋3a－（4a2－1）＝6a2＋3a－4a2＋1＝2a2＋3a＋1，因为2a2＋3a－5＝0，所以2a2＋3a＝5.所以原式＝5＋1＝6.
4. （2025·温州期中）
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5. （2024·绍兴越城期末）如图，现有一块长为（3a＋b）米、宽为（a＋b）米的长方形地块，规划将涂色部分进行绿化，中间预留部分是边长为（2a－b）米的正方形.
（1） 求绿化面积（用含a，b的代数式表示，并化简）.
解：（1） 长方形地块的面积为（3a＋b）（a＋b）＝（3a2＋4ab＋b2）平方米，中间预留部分的面积为（2a－b）2＝（4a2－4ab＋b2）平方米，所以绿化面积为3a2＋4ab＋b2－（4a2－4ab＋b2）＝（8ab－a2）平方米.
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（2） 若a＝3，b＝2，绿化成本为100元/米2，则完成绿化共需要多少元？
解：（2） 由题意知，绿化面积为8×3×2－32＝48－9＝39（平方米），所以完成绿化共需要39×100＝3900（元）.
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6. （2025·台州期中）若a2＋2a＝1，则代数式（a＋2）2＋（a＋1）（a－1）的值为（ C ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
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7. （2024·绍兴新昌期中）有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到如图①所示的长方形与如图②所示的正方形.若图①、图②中涂色部分的面积分别为14与36，则正方形B的面积为（ B ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
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8. 若（x＋a） 的结果中不含x的一次项，则（a＋2）2－（1－a）（－a－1）的值为 11 .
9. 已知三月份一棵香樟树和一棵银杏树的收购价格均为a元，在四月份和五月份这两个月中，香樟树的收购价格平均每月的下降率为x，而银杏树的收购价格平均每月的增长率也为x，则五月份一棵银杏树的收购价格比一棵香樟树的收购价格高 4ax 元.
10. 当a，b互为相反数时，整式ab（5ka－3b）－（ka－b）（3ab－4a2）的值恒为0，则k的值为 －2 .
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4ax
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11. 先化简，再求值：（a－3b）2＋（3a＋b）2－（a＋5b）2＋（a－5b）2，其中a＝－8，b＝－6.
解：原式＝a2－6ab＋9b2＋9a2＋6ab＋b2－a2－10ab－25b2＋a2－10ab＋25b2＝10a2－20ab＋10b2＝10（a－b）2.当a＝－8，b＝－6时，原式＝10×[（－8）－（－6）]2＝40.
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12. 数形结合思想 如图，边长分别为a，b的两个正方形并排摆放在一起.
（1） 求图中涂色部分的面积（用含a，b的代数式表示，并化简）.
解：（1） 如图，S涂色部分＝S正方形ABCD＋S正方形CEFG－S三角形ABG－S三角形EFG＝a2＋b2－ a（a＋b）－ b2＝a2＋b2－ a2－ ab－ b2＝ a2＋ b2－ ab.
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（2） 当a＋b＝16，ab＝60时，求涂色部分的面积.
解：（2） 因为a＋b＝16，所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝256.所以 a2＋ab＋ b2＝ ×256＝128.因为ab＝60，所以S涂色部分＝ a2＋ b2－ ab＝ a2＋ b2＋ab－ ab＝（ a2＋ab＋ b2）－ ab＝128－ ×60＝38.
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13. 新情境·现实生活 某植物园中现有A，B两个园区，已知A园区为长方形，长为（x＋y）米，宽为（x－y）米；B园区为正方形，边长为（x＋3y）米.
（1） 求A，B两个园区的面积之和.
解：（1） 因为（x＋y）（x－y）＋（x＋3y）2＝x2－y2＋x2＋6xy＋9y2＝（2x2＋6xy＋8y2）平方米，所以A，B两个园区的面积之和为（2x2＋6xy＋8y2）平方米.
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① 求x，y的值.
② 若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C，D两种花投入的费用与吸引游客的收益如下表：
花的种类 C D
投入/（元/米2） 12 16
收益/（元/米2） 18 26
求整改后A，B两个园区旅游的净收益之和（净收益＝收益－投入）.
（2） 现根据实际，需要对A园区进行整改，长增加（11x－y）米，宽减少（x－2y）米，整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两个园区的周长之和为980米.
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解：（2） ① 整改后，A园区的长为x＋y＋11x－y＝12x（米），宽为x－y－（x－2y）＝y（米）.由题意，得 解得
② 整改后A园区的面积为12×30×10＝3600（平方米），B园区的面积为（30＋3×10）2＝3600（平方米）.所以（18－12）×3600＋（26－16）×3600＝6×3600＋10×3600＝57600（元）.所以整改后A，B两个园区旅游的净收益之和为57600元.
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13(共12张PPT)
第2课时 幂的乘方
第3章 整式的乘除
3.1 同底数幂的乘法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·上海）下列运算中，正确的是（ A ）
A. m3＋m3＝2m3 B. m3＋m3＝m6
C. m3·m3＝m9 D. （m3）3＝m6
2. 下列等式中，括号内可以填a4的是（ C ）
A. a12＝（ ）6 B. a12＝（ ）4
C. a12＝（ ）3 D. a12＝（ ）2
3. 计算（a2）3＋a3·a3的结果为（ B ）
A. 2a9 B. 2a6 C. a11 D. a12
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4. 若k为正整数，则（ ）k等于（ A ）
A. k2k B. k2k＋1 C. 2kk D. k2＋k
5. 小明要做一个棱长为103mm的正方体纸箱，则这个纸箱的体积是 109 mm3.
6. （1） 计算：（a3）2·（a5）3＝ a21 .
（2） 若ax＝6，则a2x＝ 36 .
（3） 若a5·（ay）3＝a11，则y＝ 2 .
A
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7. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果.
（1） （－102）3×104.
解：原式＝－106×104＝－1010.
（2） p3 ·（p2）3.
解：原式＝p3·p6＝p9.
（3） （－a3）4＋a5·a7－3（a4）3.
解：原式＝a12＋a12－3a12＝－a12.
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8. 下列计算正确的是（ C ）
A. 33×34＝312 B. （33）4＝37
C. [（－4）2]3＝212 D. [（－1）10]3＝－1
9. （2024·宁波镇海四模）已知16a＝32b，则a，b满足的关系正确的是（ B ）
A. 4a＝b B. 4a＝5b
C. 5a＝4b D. a＝5b
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10. （2025·浙江期中）如果x＝2m＋1，y＝2＋4m，那么用含x的代数式表示y为（ C ）
A. y＝2x B. y＝x2
C. y＝（x－1）2＋2 D. y＝x2＋1
C
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11. （1） （2025·杭州期中）已知2m＋3n＝3，则4m·8n的值为 8 .
（2） 已知6x＋1＝36x－2，则x的值是 5 .
12. 观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，通过观察发现的规律，可得出89的末位数字是 8 .
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（1） a·（－a2）3·（－a3）2.
解：原式＝a·（－a6）·a6＝－a·a6·a6＝－a13.
（2） （－c3）·（－c3）2·（－c3）3.
解：原式＝（－c3）1＋2＋3＝（－c3）6＝c18.
（3） （a2）3＋5a2·a4－（－a3）2.
解：原式＝a6＋5a6－a6＝5a6.
（4） m3·m6＋（－m3）3.
解：原式＝m9－m9＝0.
13. 计算下列各式，并用幂的形式表示结果.
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14. 已知xn＝2，求9（xn）2－4（x2）n的值.
解：原式＝9x2n－4x2n＝5x2n.因为xn＝2，所以（xn）2＝22.所以x2n＝4.所以原式＝5×4＝20.
15. 已知33x＋5－27x＋1＝648，求x的值.
解：因为33x＋5－27x＋1＝648，所以9×33x＋3－33x＋3＝648，即8×33x＋3＝648.所以33x＋3＝81.所以33x＋3＝34.所以3x＋3＝4，解得x＝ .
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16. ★新考法·阅读理解 阅读下列材料：
材料一：比较322和411的大小.
解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2，
所以322＞222，即322＞411.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较28和82的大小.
解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，
所以28＞26，即28＞82.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
解决下列问题：
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（1） 比较344，433，522的大小.
（2） 比较8131，2741，961的大小.
（3） 已知a2＝2，b3＝3，比较a，b的大小（a，b均为大于1的数）.
（4） 已知a＝643，b＝276，c＝169，比较a，b，c的大小.
解：（1） 因为344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，且81＞64＞25，所以8111＞6411＞2511，即344＞433＞522.
（2） 因为8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，且124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961.
（3） 因为a2＝2，b3＝3，所以a6＝（a2）3＝8，b6＝（b3）2＝9.因为8＜9，所以a6＜b6.又因为a，b均为大于1的数，所以a＜b.
（4） 因为a＝643＝（82）3＝86，b＝276，且27＞8，所以276＞86.所以b＞a①.因为c＝169＝（42）9＝418，b＝276＝（33）6＝318，且4＞3，所以418＞318.所以c＞b②.所以由①②，得a，b，c的大小关系为c＞b＞a.
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16(共11张PPT)
第1课时 同底数幂的除法
第3章 整式的乘除
3.6 同底数幂的除法
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
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1. （2025·眉山）下列计算正确的是（ D ）
A. a2＋a3＝a5 B. a2·a3＝a6
C. （－a2）3＝a6 D. a12÷a3＝a9
2. 有下列各式：① a4÷a3＝a；② （abc）4÷（abc）2＝abc2；③ a6÷（a3÷a）＝a2；④ a3÷a2·a＝a2.其中，正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 已知am＝3，am－n＝9，则an的值是（ B ）
A. 1 B. C. 3 D. 27
D
B
B
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4. 新考向·跨学科 人们以分贝作为声音强弱的单位，人们正常说话时的声音大约是50分贝，它表示声音的强度是105；飞机起飞发出的声音大约是110分贝，它表示声音的强度是1011.飞机起飞发出的声音强度是说话时的声音强度的 106 倍.
5. 已知2x＝256，2y＝8，则2x－y＝ 32 .
106
32
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（1） （－x3）5÷（x2）3÷（－x）.
解：原式＝（－x15）÷x6÷（－x）＝x15÷x6÷x＝x8.
（2） [（－x）2]3÷x.
解：原式＝（x2）3÷x＝x6÷x＝x5.
（3） （p－q）6·（p－q）4÷（q－p）8.
解：原式＝（p－q）10÷（p－q）8＝（p－q）2＝p2－2pq＋q2.
6. 计算：
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7. 易错题 计算（－a）5·（a2）3÷（－a）4÷a的结果是（ B ）
A. a7 B. －a6 C. －a7 D. a6
8. 若am＝3，则a5m÷a2m的值为 （ B ）
A. 33m B. 27 C. 9 D. 3
9. 已知4m＋3×8m＋1÷24m－1＝163，则m的值为（ C ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10. （2025·绍兴越城期中）已知xm＝2，xn＝4，则x3m－n的值为（ A ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 若4x－3y－3＝0，则104x÷103y＝ 1000 .
B
B
C
A
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12. （1） 若（－a）3·am＝（－a）5÷an，且xm÷xn＝x4，则mn的值为 －3 .
（2） 若9a·27b÷81c＝9，则2c－a－ b的值为 －1 .
（3） 若10a＝200，10b＝ ，则4a÷22b的值为 64 .
－3
－1
64
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13. 计算：
（1） （x5÷x3）÷（x9÷x8）.
解：原式＝x2÷x＝x.
（2） （－y3）4÷（y2）3·y6.
解：原式＝y12÷y6·y6＝y12.
（3） （x＋2y）4÷（－x－2y）3·（2y＋x）.
解：原式＝－（x＋2y）4÷（x＋2y）3·（x＋2y）＝－（x＋2y）2＝－x2－4xy－4y2.
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14. 一种被污染的液体每升含有1.5×1014个有害细菌，为了解某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死1010个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升（注：15滴＝1毫升）？
解：（1.5×1014）÷（1010×15）＝1013÷1010＝103＝1000（毫升）.所以需要这种杀菌剂1000毫升.
15. 已知（xa÷x2b）3÷xa－b与－2 022x2为同类项，求4a－10b＋2 022的值.
解：（xa÷x2b）3÷xa－b＝（xa－2b）3÷xa－b＝x3a－6b÷xa－b＝x2a－5b.因为（xa÷x2b）3÷xa－b与－2 022x2为同类项，所以2a－5b＝2.所以4a－10b＋2 022＝2（2a－5b）＋2 022＝4＋2 022＝2 026.
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16. 已知2a·5b＝2c·5d＝10，试说明：（a－1）（d－1）＝（b－1）（c－1）.
解：因为2a·5b＝10＝2×5，所以2a－1·5b－1＝1.所以（2a－1·5b－1）d－1＝1d－1①.同理，可得（2c－1·5d－1）b－1＝1b－1②.由①②两式，得2（a－1）（d－1）·5（b－1）（d－1）＝2（c－1）（b－1）·5（d－1）（b－1），即2（a－1）（d－1）＝2（c－1）（b－1），所以（a－1）（d－1）＝（b－1）（c－1）.
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17. 新考法·新定义题 我们知道，同底数幂的除法法则为am÷an＝am－n（其中a≠0，m，n为整数），类似地，现规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m－n）＝h（m）÷h（n）.若h（1）＝2，求h（2023）÷h（2015）的值.
解：因为h（m－n）＝h（m）÷h（n），h（1）＝2，所以h（2－1）＝h（2）÷h（1）＝h（1），即h（1）＝h（2）÷h（1）.所以h（2）＝2×2＝22.同理，可得h（3－2）＝h（3）÷h（2），即h（1）＝h（3）÷h（2）.所以h（3）＝4×2＝23.以此类推，h（8）＝28.所以h（2023）÷h（2015）＝h（2023－2015）＝h（8）＝28＝256.
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17(共13张PPT)
3.7 整式的除法
第3章 整式的乘除
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 计算－3a6b2c÷（9a2b）的结果是（ D ）
A. － a3b2c B. －3a4bc
C. －3a3b2c D. － a4bc
2. （2025·温州瑞安期中）化简（20x3y－15x2y2＋5xy）÷（－5xy）的结果为（ C ）
A. 4x2－3xy＋1 B. 4x2－3xy
C. －4x2＋3xy－1 D. －4x2＋3xy
D
C
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3. 一片三角形空地的面积为2a2－ab2，一边长为2a，则这边上的高为（ D ）
A. a－ b B. a－2b2
C. 2a－2b2 D. 2a－b2
4. 任意给定一个非零数，按下列程序计算：m→平方→－m→÷m→＋2→结果，最后输出的结果是 m＋1 .
D
m＋1
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（1） （2025·温州龙湾期中）3m3·4mn÷（2m2）.
解：原式＝12m4n÷（2m2）＝（12÷2）×（m4÷m2）·n＝6m2n.
（2） （－3a2b3c）·（5ab2）÷ .
解：原式＝－15a3b5c÷ ＝－45b3c.
（3） （8x3y－4x2）÷（－2x）2.
解：原式＝（8x3y－4x2）÷（4x2）＝2xy－1.
（4） [（m＋n）（m－n）－（m－n）2＋2n（m－n）]÷（4n）.
解：原式＝（m2－n2－m2＋2mn－n2＋2mn－2n2）÷（4n）＝（4mn－4n2）÷（4n）＝m－n.
5. 计算：
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6. 若28a3bm÷（28anb2）＝b2，则m，n的值分别为（ D ）
A. 1，3 B. 2，3 C. 4，1 D. 4，3
7. 小亮在计算（6x3y－3x2y2）÷（3xy）时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是 （ C ）
A. 2x2－xy B. 2x2＋xy
C. 4x4－x2y2 D. 4x4＋x2y2
8. 已知多项式（17x2－3x＋4）－（ax2＋bx＋c）能被5x整除，且商式为2x＋1，则a－b＋c的值为（ D ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 19
D
C
D
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9. 如图所示为一个圆柱体容器与一个长方体容器.若将圆柱体容器中盛满的水倒入长方体容器中，正好倒满，则长方体容器的宽为 2πm2 （两个容器的厚度均忽略不计）.
10. 新考法·新定义题 定义新运算“ ”：a b＝（a2b＋ab＋ab2）÷（ab），其中a，b都不为0，则2 （3 4）＝ 11 .
2πm2
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11. （2025·绍兴越城期中）先化简，再求值：[（2a＋b）2－（2a＋b）（2a－b）]÷（2b），其中a＝2，b＝－1.
解：[（2a＋b）2－（2a＋b）（2a－b）]÷（2b）＝（4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2）÷（2b）＝（4ab＋2b2）÷（2b）＝2a＋b.当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2＋（－1）＝3.
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12. 一个工件的形状和部分尺寸如图所示，其体积为（a2＋2a）（6a＋1）－a（a2－2a＋2），求工件的长x（用含a的代数式表示）.
（第12题）
解：工件的体积为（a2＋2a）（6a＋1）－a（a2－2a＋2）＝6a3＋a2＋12a2＋2a－a3＋2a2－2a＝5a3＋15a2，横截面积为2a·3a－a2＝5a2，所以工件的长x＝（5a3＋15a2）÷（5a2）＝a＋3.
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13. 观察给出的一列单项式：－2a，4a2，－8a3，16a4，－32a5，….
（1） 任取相邻的两个单项式，用后面的单项式除以前面的单项式组成一个算式，并计算其结果.
解：（1） 取法不唯一，如4a2÷（－2a）＝－2a.
（2） 将第2025个单项式记为M，第2026个单项式记为N，计算N÷（a·M）的值.
解：（2） 由题意，得第n个单项式为（－2）nan.所以第2 025个单项式M＝（－2）2 025a2 025，第2 026个单项式N＝（－2）2 026a2 026.所以N÷（a·M）＝（－2）2 026a2 026÷[a·（－2）2 025a2 025]＝－2.
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14. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.
例：计算（8x2＋6x＋1）÷（2x＋1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算（如图①）.因此（8x2＋6x＋1）÷（2x＋1）＝4x＋1.
（1） （6x2＋7x＋2）÷（2x＋1）的商是 3x＋2 .
3x＋2
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（2） 已知一个长为x＋2、宽为x－2的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是长方形A周长的2倍（如图②），用含x的代数式表示a.
解：（2） 根据题意，得x＋2＋6＋x－2＋a＝2（x＋2＋x－2）.所以2x＋6＋a＝4x，解得a＝2x－6.所以用含x的代数式表示a的式子为a＝2x－6.
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（3） 在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为x＋10，若长方形B的面积比长方形C的面积大76，求长方形C的另一边长.
解：（3） 根据题意，得长方形C的另一边长为[（x－2＋2x－6）（x＋2＋6）－76]÷（x＋10）＝（3x2＋16x－140）÷（x＋10）.如答案图，由答案图中的竖式，得（3x2＋16x－140）÷（x＋10）＝3x－14.所以长方形C的另一边长为3x－14.
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