(共25张PPT)
第4章整合拔尖
第4章 因式分解
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 因式分解的意义
典例1 （2025·浙江模拟）下列各式中，由左边到右边的变形属于因式分解的是（ D ）
A. m2－4＋m＝（m＋2）（m－2）＋m
B. m2－5＝m
C. n（a＋b）＝na＋nb
D. x2＋2x＋1＝（x＋1）2
D
[变式]若4x2＋mx＋1＝（2x－1）2成立，有下列说法：① 从左到右的变形是因式分解；② 从左到右的变形是整式的乘法；③ m＝4.其中，正确的是（ A ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①③
A
考点二 运用提公因式法分解因式
典例2 易错题 把下列各式分解因式：
（1） －14x3（x＋5）＋7x2y.
解：原式＝－7x2[2x（x＋5）－y]＝－7x2（2x2＋10x－y）.
（2） 10b2（a－2）－5b（2－a）2.
解：原式＝10b2（a－2）－5b（a－2）2＝5b（a－2）[2b－（a－2）]＝5b（a－2）（2b－a＋2）.
（3） （m－n）4＋n（n－m）3＋m（m－n）3.
解：原式＝（m－n）4－n（m－n）3＋m（m－n）3＝（m－n）3（m－n－n＋m）＝（m－n）3（2m－2n）＝2（m－n）4.
[变式]把下列各式分解因式：
（1） y（2a－b）＋x（b－2a）.
解：原式＝y（2a－b）－x（2a－b）＝（2a－b）（y－x）.
（2） －3an＋2＋an＋1－an.
解：原式＝－an（3a2－a＋1）.
（3） （2x＋3）2－2x－3.
解：原式＝（2x＋3）2－（2x＋3）＝（2x＋3）（2x＋3－1）＝2（2x＋3）（x＋1）.
考点三 运用公式法分解因式
典例3 ★把下列各式分解因式：
（1） （a＋b）2＋（a＋b）＋ .
解：原式＝（a＋b）2＋2× （a＋b）＋ ＝（a＋b＋ ）2.
（2） （y＋2x）2－（x＋2y）2.
解：原式＝[（y＋2x）＋（x＋2y）][（y＋2x）－（x＋2y）]＝（y＋2x＋x＋2y）（y＋2x－x－2y）＝（3x＋3y）（x－y）＝3（x＋y）（x－y）.
（3） （2x＋y）2－6（2x＋y）y＋9y2.
解：原式＝（2x＋y）2－2（2x＋y）·3y＋（3y）2＝[（2x＋y）－3y]2＝（2x＋y－3y）2＝（2x－2y）2＝[2（x－y）]2＝4（x－y）2.
[变式]把下列各式分解因式：
（1） （2m－3n）2－2（2m－3n）＋9.
解：原式＝［ （2m－3n）－3］2＝ .
（2） 4（a＋2b）2－12a（a＋2b）＋9a2.
解：原式＝[2（a＋2b）－3a]2＝（4b－a）2.
（3） 25（a＋b）2－9（a－b）2.
解：原式＝[5（a＋b）－3（a－b）][5（a＋b）＋3（a－b）]＝（2a＋8b）（8a＋2b）＝2（a＋4b）×2（4a＋b）＝4（a＋4b）（4a＋b）.
考点四 综合运用提公因式法、公式法分解因式
典例4 把下列各式分解因式：
（1） ax4－8ax2y2＋16ay4.
解：原式＝a（x4－8x2y2＋16y4）＝a（x2－4y2）2＝a[（x＋2y）（x－2y）]2＝a（x＋2y）2（x－2y）2.
（2） m6－81m2n4.
解：原式＝m2（m4－81n4）＝m2（m2＋9n2）（m2－9n2）＝m2（m2＋9n2）（m＋3n）（m－3n）.
（3） 16xa2b2－x（a2＋4b2）2.
解：原式＝x[16a2b2－（a2＋4b2）2]＝x[4ab＋（a2＋4b2）][4ab－（a2＋4b2）]＝－x（a2＋4ab＋4b2）·（a2－4ab＋4b2）＝－x（a＋2b）2（a－2b）2.
[变式]把下列各式分解因式：
（1） x4－8x2＋16.
解：原式＝（x2－4）2＝[（x＋2）（x－2）]2＝（x＋2）2（x－2）2.
（2） （a2＋4）2－16a2.
解：原式＝[（a2＋4）＋4a][（a2＋4）－4a]＝（a2＋4＋4a）（a2＋4－4a）＝（a＋2）2（a－2）2.
（3） 2x3（a－1）＋8x（1－a）.
解：原式＝2x3（a－1）－8x（a－1）＝2x（a－1）（x2－4）＝2x（a－1）（x＋2）（x－2）.
（4） （x2－3）2－12（x2－3）＋36.
解：原式＝[（x2－3）－6]2＝（x2－9）2＝[（x＋3）（x－3）]2＝（x＋3）2（x－3）2.
考点五 运用因式分解说理
典例5 随便写出一个十位上的数字与个位上的数字不相等的两位数，将它的十位上的数字与个位上的数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定
能被9整除吗？请说明理由.
解：所得的差一定能被9整除.理由：设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a＞b，b≠0，则这个两位数是10a＋b.所以将十位上的数字与个位上的数字对调后得到的数是10b＋a.所以较大的数减去较小的数的差是（10a＋b）－（10b＋a）＝9a－9b＝9（a－b）.因为9（a－b）是9的倍数，所以所得的差一定能被9整除.
[变式]当m为自然数时，（4m＋5）2－9一定能被 8 整除.
8
考点六 运用配方法求代数式的值
典例6 ★若实数m，n满足m2＋n2＋m2n2＋8mn＋9＝0，则（m－n）2的值为 12 .
已知等式中有两个未知数，就目前知识无法通过解方程求出m，n的值.由于已知等式左边有4个平方项：m2，n2，m2n2，9，故考虑把8mn拆成2mn＋6mn，这样就可以把等式的左边凑成两个完全平方式（这种方法叫作配方法），然后运用非负数的性质求解.
12
[变式]已知a2＋ b2＝2a－b－2，则3a－ b的值为 4 .
4
1. （2025·杭州萧山期中）下列因式分解正确的是（ B ）
A. －2a2＋4a＝－2a（a＋2）
B. 3ax2－6axy＋3ay2＝3a（x－y）2
C. 2x2＋3x3＋x＝x（2x＋3x2）
D. m2＋n2＝（m＋n）2
2. 若多项式（a＋b－c）（a＋c－b）＋（b－a＋c）·（b－a－c）＝M（a－b＋c），则M等于（ D ）
A. 2（b－c） B. 2a
C. 2b D. 2（a－c）
B
D
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3. 把（a＋b）2－4（a2－b2）＋4（a－b）2分解因式的结果为 （ C ）
A. （3a－b）2 B. （3b＋a）2
C. （3b－a）2 D. （3a＋b）2
4. （2025·杭州段考）已知a＝m＋2024，b＝m＋2025，c＝m＋2026，则代数式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为（ C ）
A. 5 B. 6
C. 3 D. 8
C
C
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5. 已知（a＋2b）2－2a－4b＋1＝0，则（a＋2b）2025的值为 1 .
6. 数形结合思想 我们学习的许多代数公式，都可以用几何图形来推理验证.观察图①，a2－1＝a（a－1）＋（a－1）＝（a－1）（a＋1）.接下来，观察图②，通过类比思考，分解因式：a3－1＝ a2（a－1）＋a（a－1）＋（a－1） ＝ （a－1）（a2＋a＋1） .
1
a2（a－1）＋a（a－1）＋（a－1）
（a－1）（a2＋a＋1）
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7. （2025·宁波段考）a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，且ac＋bd＝0，求ab＋cd的值为 0 .
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（1） 用含a，M的代数式表示A中能使用的面积： a2－M .
（2） 若a＋b＝10，a－b＝5，求A比B多出的使用面积.
（第8题）
解：因为a＋b＝10，a－b＝5，所以A比B多出的使用面积为（a2－M）－（b2－M）＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝10×5＝50.
a2－M
8. 如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M.
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9. 新考法·阅读理解 阅读下面的材料：
把多项式x4＋4分解因式.
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2＋22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，再将此项4x2减去，得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝（x2＋2）2－4x2＝（x2＋2）2－（2x）2＝（x2＋2x＋2）（x2－2x＋2）.
人们为了纪念苏菲·热门给出了这一解法，就把它叫作“热门定理”.
请你依照苏菲·热门的做法，将下列多项式分解因式：
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（1） x4＋4y4.
解：（1） 原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2＝（x2＋2y2）2－4x2y2＝（x2＋2y2＋2xy）（x2＋2y2－2xy）.
（2） x2－2ax－b2－2ab.
解：（2） 原式＝x2－2ax＋a2－a2－b2－2ab＝（x－a）2－（a＋b）2＝（x－a＋a＋b）（x－a－a－b）＝（x＋b）（x－2a－b）.
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9(共13张PPT)
第1课时 用平方差公式分解因式
第4章 因式分解
4.3 用乘法公式分解因式
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·绍兴二模）下列多项式中，能运用平方差公式来分解因式的是（ C ）
A. a2＋4b2 B. 2a－b2
C. 25a2－b2 D. －a2－b2
2. 把64－（3a－2b）2分解因式的结果是（ D ）
A. （8＋3a－2b）（8－3a－2b）
B. （8＋3a＋2b）（8－3a－2b）
C. （8＋3a＋2b）（8－3a＋2b）
D. （8＋3a－2b）（8－3a＋2b）
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3. 给出下列因式分解：① x2＋（－y）2＝（x＋y）（x－y）；② 16a2－25＝（4a＋5）（4a－5）；③ －9＋4x2＝（2x＋3）（2x－3）；④ x2y－y＝y（x－1）（x＋1）.其中，正确的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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4. 计算20262－20252的结果是 4051 .
5. 已知a2－9b2＝5，a＋3b＝－2，则代数式a－3b的值为 － .
4051
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（1） －1＋4m2n2.
解：原式＝（2mn＋1）（2mn－1）.
（2） a3b－9ab.
解：原式＝ab（a2－9）＝ab（a＋3）（a－3）.
（3） a2－4（a－b）2.
解：原式＝[a＋2（a－b）][a－2（a－b）]＝（3a－2b）（2b－a）.
（4） 9a2－25（a＋b）2.
解：原式＝[3a－5（a＋b）][3a＋5（a＋b）]＝（－2a－5b）（8a＋5b）＝－（2a＋5b）（8a＋5b）.
（5） x2（x－2）－16（x－2）.
解：原式＝（x－2）（x2－16）＝（x－2）（x＋4）（x－4）.
6. 分解因式：
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7. 如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）.把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式为（ A ）
A. a2－b2＝（a＋b）（a－b）
B. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
D. a2－ab＝a（a－b）
A
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8. 小聪在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，抄在作业本上的式子为x□－4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数所有可能的结果有（ D ）
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
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9. 分解因式：
（1） ★（m＋1）（m－9）＋8m＝ （m＋3）（m－3） .
（2） 9x2（a－b）＋y2（b－a）＝ （a－b）（3x＋y）（3x－y） .
（3） x4－16y4＝ （ x＋2y）（ x－2y） .
10. 若n为任意整数，且（n＋17）2－n2的值总可以被k（k为正整数，且k≠1）整除，则k的值为 17 .
11. 若a＋b－4＝0，a－b＝1，则（a＋1）2－（b－1）2的值为 12 .
（m＋3）（m－3）
（a－b）（3x＋y）（3x－y）
（ x＋2y）（ x－2y）
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（第12题）
解：由题意，得剩余草地（涂色部分）的面积是a2－4b2＝（a＋2b）（a－2b）m2.当a＝43，b＝5时，（a＋2b）（a－2b）＝（43＋2×5）×（43－2×5）＝53×33＝1 749.所以当a＝43，b＝5时，剩余草地（涂色部分）的面积是1 749m2.
12. 如图，某街心花园要在一块边长为a m的正方形草地的四个角上各设计一个边长为b m 的正方形景点.利用因式分解，请你计算当a＝43，b＝5时，剩余草地（涂色部分）的面积.
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13. 若3a＋b＝50，a－3b＝11，求－2（2a－b）2＋2（a＋2b）2的值.
解：原式＝－2[（2a－b）2－（a＋2b）2]＝－2[（2a－b）＋（a＋2b）][（2a－b）－（a＋2b）]＝－2（3a＋b）（a－3b）. 当3a＋b＝50，a－3b＝11时，原式＝－2×50×11＝－1 100.
14. 已知a2－b2－5＝0，c2－d2－2＝0，求（ac＋bd）2－（ad＋bc）2的值.
解：因为a2－b2－5＝0，c2－d2－2＝0，所以（a＋b）（a－b）＝5，（c＋d）（c－d）＝2.所以原式＝（ac＋bd＋ad＋bc）（ac＋bd－ad－bc）＝[c（a＋b）＋d（a＋b）][c（a－b）－d（a－b）]＝（a＋b）（c＋d）（a－b）（c－d）＝（a＋b）（a－b）（c＋d）（c－d）＝5×2＝10.
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15. 新考法·探究题 观察两个连续偶数的平方差：
① 42－22＝12；
② 62－42＝20；
③ 82－62＝28；
……
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（1） 请写出第 个等式，并验证这个规律的正确性.
解：（1） 第 个等式为（2n＋2）2－（2n）2＝4（2n＋1）.因为（2n＋2）2－（2n）2＝（2n＋2＋2n）（2n＋2－2n）＝2（4n＋2）＝4（2n＋1），所以（2n＋2）2－（2n）2＝4（2n＋1）.
（2） 172是否可以写成两个连续偶数的平方差？如果能，请写出这两个偶数；如果不能，请说明理由.
解：（2） 能.假设172能写成两个连续偶数的平方差，则由（1），得4（2n＋1）＝172，解得n＝21.所以2n＝2×21＝42，2n＋2＝42＋2＝44.所以172可以写成两个连续偶数的平方差，这两个偶数是42和44.
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15(共13张PPT)
4.2 提取公因式法
第4章 因式分解
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基础进阶
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素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·浙江期中）将多项式－4a3＋16a2＋12a分解因式，应提取的公因式为（ D ）
A. 4a3 B. 4a2
C. －4a2 D. －4a
2. 下列各式中，运用提取公因式法分解因式错误的是 （ C ）
A. 3a2b－6ab2＝3ab（a－2b）
B. －6a3＋15ab2＝－3a（2a2－5b2）
C. 9x2y＋7x2y2－xy＝xy（9x＋7xy＋1）
D. 14bx－8b2x＋6x＝2x（7b－4b2＋3）
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3. 把多项式（m＋1）·（m－1）＋（m－1）提取公因式m－1后，余下的因式为（ D ）
A. m＋1 B. 2m C. 2 D. m＋2
4. （2025·上海）分解因式：a2b＋ab2＝ ab（a＋b） .
5. 填“＋”或“－”：
（1） x－y＝ － （y－x）.
（2） （3－x）（5－x）＝ ＋ （x－3）（x－5）.
（3） －x2＋8x－16＝ － （x2－8x＋16）.
D
ab（a＋b）
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6. 把下列各式分解因式：
（1） 5x2y3－25x3y2.
解：原式＝5x2y2（y－5x）.
（2） 10a4b3－15a4b2＋20a3b4.
解：原式＝5a3b2（2ab－3a＋4b2）.
（3） （2m＋3n）（2m－n）－n（2m－n）.
解：原式＝（2m＋3n－n）（2m－n）＝2（m＋n）（2m－n）.
（4） （x－2y）（x＋3y）－（x－2y）2.
解：原式＝（x－2y）（x＋3y－x＋2y）＝5y（x－2y）.
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7. 某天数学课上，老师讲了提取公因式法.放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他发现一道题：－12xy2＋6x2y＋3xy＝－3xy·（4y－）.其中“”的地方被墨水弄污了.“”处应是（ C ）
A. 2x B. －2x
C. 2x－1 D. －2x－1
8. 若实数a，b满足a－2b＝5，2a2b－4ab2＝－20，则ab的值为（ A ）
A. －2 B. 2 C. －50 D. 50
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9. 如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ A ）
A. （b－6a）（b－2a） B. （b－3a）（b－2a）
C. （b－5a）（b－a） D. （b－2a）2
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10. （a＋b）（a＋b－1）－a－b＋1分解因式的结果为 （a＋b－1）2 .
11. 把多项式a3b4－abnc分解因式时，提取的公因式为ab4，则整数n的取值范围是 n≥4 .
（a＋b－1）2
n≥4
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（1） ★－8x4y＋6x3y2－2x3y.
解：原式＝－2x3y（4x－3y＋1）.
（2） （2a－3b）（x＋3）－（3b－2a）（3x－1）－（2a－3b）（5x＋7）.
解：原式＝（2a－3b）（x＋3＋3x－1－5x－7）＝－（2a－3b）（x＋5）.
（3） a2（x－2a）2－ a（2a－x）3.
解：原式＝ a（x－2a）2[2a＋（x－2a）]＝ ax（x－2a）2.
12. 把下列各式分解因式：
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13. 先分解因式，再求值：
（1） m（m＋n）（m－n）－m（m＋n）2，其中m＋n＝1，mn＝ .
解：原式＝m（m＋n）（m－n－m－n）＝－2mn（m＋n）.当m＋n＝1，mn＝ 时，原式＝－2× ×1＝－ .
（2） 2x（x－y）－5y（y－x）＋3（x－y）2，其中x＝－1，y＝2.
解：原式＝（x－y）[2x＋5y＋3（x－y）]＝（x－y）（5x＋2y）.当x＝－1，y＝2时，原式＝（－1－2）×[5×（－1）＋2×2]＝（－3）×（－1）＝3.
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14. 已知x＋2y＋4＝0，xy＝3.求－6x2y－12xy2的值.
解：因为x＋2y＋4＝0，所以x＋2y＝－4.因为xy＝3，所以原式＝－6xy（x＋2y）＝－18×（－4）＝72.
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15. 新情境·游戏活动 喜爱钻研问题的小明在进行数字游戏的时候发现：把一个三位数457的百位上的数字与个位上的数字交换位置后得到的数为754，754－457＝297＝3×99；把另一个三位数521的百位上的数字与个位上的数字交换位置后得到的数为125，125－521＝－396＝－4×99.他发现上面的两个三位数百位上的数字与个位上的数字交换位置后，新得到的数与原数之差能被99整除.他又换了几个三位数试了一下，都得到了这个结论.于是小明就得出：任意一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，则新得到的数与原数之差一定能被99整除.小明得到的这个结论正确吗？请说明理由.
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解：小明得到的这个结论正确.理由：设原三位数的个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z（x，y，z为小于10的自然数，x≠0，z≠0，x≠z）.所以原三位数为100z＋10y＋x，新得到的数为100x＋10y＋z.所以新得到的数－原三位数＝（100x＋10y＋z）－（100z＋10y＋x）＝100x＋10y＋z－100z－10y－x＝99x－99z＝99（x－z）.所以新得到的数与原数之差一定能被99整除.
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专题特训七 因式分解的方法、技巧及应用
第4章 因式分解
类型一 因式分解的常规方法
（一） 提取公因式法
1. 下列各式中，运用提取公因式法分解因式正确的是（ C ）
A. 12abc－9a2b2＝3abc（4－3ab）
B. 3x2y－3xy＝3y（x2－x）
C. －a2＋ab－ac＝－a（a－b＋c）
D. x2y＋5xy－y＝y（x2＋5x）
2. 分解因式：（1） a（2a＋1）－4a－2＝ （a－2）（2a＋1） .
（2） 10a（x－y）2＋5ax（y－x）＝ 5a（x－y）（x－2y） .
C
（a－2）（2a＋1）
5a（x－y）（x－2y）
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（二） 公式法
3. 用公式法分解因式：① x2＋xy＋y2＝（x＋y）2；② －x2＋2xy－y2＝－（x－y）2；③ x2＋6xy－9y2＝（x－3y）2；④ －x2＋ ＝ .其中，正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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4. 分解因式：
（1） （x＋3）2－16.
解：原式＝（x＋3＋4）（x＋3－4）＝（x＋7）（x－1）.
（2） 4（x＋y）2－20（x＋y）＋25.
解：原式＝[2（x＋y）－5]2＝（2x＋2y－5）2.
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（三） 先提再套法
5. 下列因式分解中，正确的是（ D ）
A. a2b－9ab2＝a（a＋3b）（a－3b）
B. 2a2－4b2＝2（a＋2b）（a－2b）
C. a3－2ab＋ab2＝a（a－b）2
D. a2b2－4a2b＋4a2＝a2（b－2）2
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6. 分解因式：
（1） （2024·宁波海曙期末）m2（n－3）＋4（3－n）.
解：原式＝m2（n－3）－4（n－3）＝（n－3）（m2－4）＝（n－3）（m－2）（m＋2）.
（2） －16axy－8ax2－8ay2.
解：原式＝－8a（2xy＋x2＋y2）＝－8a（x＋y）2.
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（四） 先套再提法
7. 分解因式：
（1） （x＋y＋z）2－（x－y＋z）2.
解：原式＝[（x＋y＋z）＋（x－y＋z）][（x＋y＋z）－（x－y＋z）]＝（x＋y＋z＋x－y＋z）（x＋y＋z－x＋y－z）＝2y（2x＋2z）＝4y（x＋z）.
（2） （a＋2b）2＋6（a＋2b）（a－2b）＋9（a－2b）2.
解：原式＝[（a＋2b）＋3（a－2b）]2＝[4（a－b）]2＝16（a－b）2.
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（五） 多次运用公式法
8. 分解因式：
（1） －16＋x4y4.
解：原式＝x4y4－16＝（x2y2＋4）（x2y2－4）＝（x2y2＋4）（xy＋2）（xy－2）.
（2） （x2＋6x）2＋18（x2＋6x）＋81.
解：原式＝（x2＋6x＋9）2＝[（x＋3）2]2＝（x＋3）4.
（3） （a＋b）4－2（a＋b）2＋1.
解：原式＝[（a＋b）2－1]2＝[（a＋b＋1）（a＋b－1）]2＝（a＋b＋1）2（a＋b－1）2.
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类型二 因式分解的技巧
（一） 先展开再分解法
9. 分解因式：
（1） a2－5（2a－5）.
解：原式＝a2－10a＋25＝（a－5）2.
（2） 8（x2－2y2）－x（7x＋y）＋xy.
解：原式＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝（x＋4y）（x－4y）.
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（二） 先局部再整体法
10. 分解因式：（x＋3）（x＋4）＋（x2－9）.
解：原式＝（x＋3）（x＋4）＋（x＋3）（x－3）＝（x＋3）[（x＋4）＋（x－3）]＝（x＋3）（2x＋1）.
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（1） 因式分解：3x2－6x＋3＝ 3（x－1）2 .
【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式法分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法.例如：“x2－y2＋3x＋3y”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可以因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后即可提取公因式，具体过程为x2－y2＋3x＋3y＝（x2－y2）＋（3x＋3y）＝（x＋y）（x－y）＋3（x＋y）＝（x＋y）·（x－y＋3）.
3（x－1）2
（三） 分组分解法
11. （2025·杭州钱塘期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法.
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② m2－n2＋6m＋9.
解：① x2－xy＋6x－6y＝（x2－xy）＋（6x－6y）＝x（x－y）＋6（x－y）＝（x－y）（x＋6）.
② m2－n2＋6m＋9＝（m2＋6m＋9）－n2＝（m＋3）2－n2＝（m＋3＋n）（m＋3－n）.
【应用尝试】
（3） 已知实数a，b满足2a2－4a＋4＋2ab＋b2＝0，求a－b的值.
解：2a2－4a＋4＋2ab＋b2＝a2－4a＋4＋a2＋2ab＋b2＝（a－2）2＋（a＋b）2＝0，所以a－2＝0，a＋b＝0，即a＝2，b＝－2.所以a－b＝2－（－2）＝2＋2＝4.
（2） 请在上述方法的启发下，分解下列因式：
① x2－xy＋6x－6y.
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类型三 因式分解的应用
（一） 判断整除性
12. 已知k为正整数，试判断（2k＋1）2－1能否被8整除，并说明理由.
解：（2k＋1）2－1能被8整除.理由：（2k＋1）2－1＝（2k＋1＋1）（2k＋1－1）＝（2k＋2）·2k＝4k（k＋1）.因为k为正整数，所以k，k＋1为两个相邻的正整数.所以其中必有一个数为偶数，即2的倍数.所以4k（k＋1）为8的倍数，即（2k＋1）2－1能被8整除.
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（二） 化简求值
13. （1） 已知b－a＝－3，ab＝－2，求－ a3b＋a2b2－ ab3的值.
解：原式＝－ ab（a2－2ab＋b2）＝－ ab（a－b）2.当b－a＝－3，ab＝－2时，原式＝－ ×（－2）×32＝9.
（2） 已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求（m＋2n）2－（3m－n）2的值.
解：原式＝（m＋2n＋3m－n）（m＋2n－3m＋n）＝（4m＋n）（3n－2m）＝－（4m＋n）（2m－3n）.当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，原式＝－40×5＝－200.
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第2课时 用完全平方公式分解因式
第4章 因式分解
4.3 用乘法公式分解因式
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03
思维拓展
目
录
1. （2025·义乌段考）下列各式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（ D ）
A. a2－1
B. a2＋2a－1
C. x3＋x2＋x
D. a2－6a＋9
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2. 下列因式分解中，正确的是 （ D ）
A. a2－8a＋16＝（a－8）2
B. 4a2＋2ab＋b2＝（2a＋b）2
C. a2－6ab－9b2＝（a－3b）2
D. a2＋8ab＋16b2＝（a＋4b）2
3. 把代数式3x3－6x2y＋3xy2分解因式，结果正确的是（ D ）
A. x（3x＋y）（x－3y）
B. 3x（x2－2xy＋y2）
C. x（3x－y）
D. 3x（x－y）2
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4. （2024·上海期中）若x2－mx＋25可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值是 ±10 .
5. 简便计算：132＋13×14＋72＝ 400 .
±10
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（1） 4x2－12x＋9.
解：原式＝（2x－3）2.
（2） m2＋ mn＋n2.
解：原式＝ .
（3） （x－y）2＋10（x－y）＋25.
解：原式＝（x－y＋5）2.
（4） （2025·东营）2m3－12m2＋18m.
解：原式＝2m（m2－6m＋9）＝2m（m－3）2.
（5） x2（y2－1）＋2x（y2－1）＋（y2－1）.
解：原式＝（y2－1）（x2＋2x＋1）＝（y＋1）（y－1）（x＋1）2.
6. 分解因式：
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7. 已知正方形的面积是（16－8x＋x2）cm2（x＞4），则正方形的周长是（ D ）
A. （4－x）cm B. （x－4）cm
C. （16－4x）cm D. （4x－16）cm
8. （2025·杭州期中）a4－2a2＋1分解因式的结果是（ D ）
A. （a2＋1）2 B. （a2－1）2
C. a2（a2－2） D. （a＋1）2（a－1）2
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9. 如图，长和宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b＋ab3＋2a2b2的值为（ B ）
A. 2560 B. 490 C. 70 D. 49
B
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10. （1） 已知x＋y＝0.2，x＋3y＝1，则代数式x2＋4xy＋4y2的值为 0.36 .
（2） 已知a与b互为相反数，则代数式a2＋2ab＋b2－2026的值为 －2026 .
11. 已知a＜0，b＜0，则－a3b3－2a2b2－ab ＜ 0（填“＞”“＜”或“＝”）.
0.36
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（1） 2（x2＋4）2－32x2.
解：原式＝2[（x2＋4）2－16x2]＝2（x2＋4＋4x）（x2＋4－4x）＝2（x＋2）2（x－2）2.
（2） －m（a2＋2）2＋6m（a2＋2）－9m.
解：原式＝－m[（a2＋2）2－6（a2＋2）＋9]＝－m（a2＋2－3）2＝－m（a2－1）2＝－m（a＋1）2（a－1）2.
（3） （x＋y）2＋12（x＋y）（x＋2y）＋36（x＋2y）2.
解：原式＝（x＋y）2＋2×（x＋y）×6（x＋2y）＋[6（x＋2y）]2＝[（x＋y）＋6（x＋2y）]2＝（x＋y＋6x＋12y）2＝（7x＋13y）2.
12. ★把下列各式分解因式：
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13. 快放学时，数学老师布置了一道因式分解题：（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x2－y2）.小明想了半天，也没有得出答案，就打电话给好朋友小王，小王只是在电话里说了一句话，小明就恍然大悟了.你知道小王说了什么吗？请将多项式分解因式.
解：将x2－y2分解因式.原式＝（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x＋y）（x－y）＝[（x＋y）－2（x－y）]2＝（x＋y－2x＋2y）2＝（3y－x）2.
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14. （2025·浙江期中）阅读材料：
在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式x2－8x＋7进行因式分解呢？
小季同学经过思考后作如下解答：
x2－8x＋7＝x2－8x＋16－16＋7＝（x2－8x＋16）－9＝（x－4）2－32＝（x－4＋3）·（x－4－3）＝（x－1）（x－7）.
小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：x2－8x＋7＝（x－4）2－9，在代数式（x－4）2－9中，（x－4）2≥0，即无论x取何值，（x－4）2都大于或等于0，所以（x－4）2－9≥－9，则x2－8x＋7有最小值，为－9.
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请回答下列问题：
（1） 仿照小季的解答过程，将代数式m2－14m＋24分解因式.
解：（1） 原式＝m2－14m＋49－49＋24＝（m2－14m＋49）－25＝（m－7）2－52＝（m－7＋5）（m－7－5）＝（m－2）（m－12）.
（2） 求代数式－m2＋12m－18的最大值.
解：（2） 原式＝－（m2－12m＋36－36）－18＝－（m－6）2＋18.因为无论m取何值时，－（m－6）2都小于或等于0，所以－（m－6）2＋18≤18，则－（m－6）2＋18有最大值，为18.
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14(共13张PPT)
4.1 因式分解的意义
第4章 因式分解
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思维拓展
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录
1. （2025·嘉兴期中）下列从左到右的变形，是因式分解的为（ D ）
A. 3a2b2＝3ab·ab
B. x2＋x－3＝x（x＋1）－3
C. （a＋3）（a－3）＝a2－9
D. 2a2＋4a＝2a（a＋2）
2. 若一个多项式分解因式的结果是b（b2＋2），则这个多项式为（ D ）
A. b2－4 B. 4－b3
C. b3＋2 D. b3＋2b
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3. 下列多项式中，分解因式的结果为（3a－y）（3a＋y）的是（ C ）
A. 9a2＋y2 B. －9a2＋y2
C. 9a2－y2 D. －9a2－y2
4. （1） 对于a（a＋b）＝a2＋ab，从左到右的变形是 整式的乘法 ，从右到左的变形是 因式分解 .它们具有 互逆 关系.
（2） 简便计算：99＋992＝ 99×（99＋1） ＝ 9900 .
C
整式的乘法
因式分解
互逆
99×（99＋1）
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5. 把左右两边相等的代数式连起来：
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6. 检验下列因式分解是否正确.
（1） 3x3y－3xy3＝3xy（x＋y）（x－y）.
解：因为3xy（x＋y）（x－y）＝3xy（x2－y2）＝3x3y－3xy3，所以3x3y－3xy3＝3xy（x＋y）（x－y）正确.
（2） 2a2－1＝（2a＋1）（2a－1）.
解：因为（2a＋1）（2a－1）＝4a2－1≠2a2－1，所以2a2－1＝（2a＋1）（2a－1）不正确.
（3） x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）.
解：因为（x－1）（x－2）＝x2－2x－x＋2＝x2－3x＋2，所以x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）正确.
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7. 给出下列从左到右的变形：① 2x2y＝4x·6xy；② x2－y2－1＝（x＋y）（x－y）－1；③ x4m＋xm＝xm（x3m＋1）；④ x2＋1＝x ；⑤ x2－9y2＝（x＋3y）（x－3y）.其中，是因式分解的有 （ B ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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8. 利用因式分解简便计算57×99＋44×99－99，正确的是（ B ）
A. 99×（57＋44）＝99×101＝9 999
B. 99×（57＋44－1）＝99×100＝9 900
C. 99×（57＋44＋1）＝99×102＝10 098
D. 99×（57＋44－99）＝99×2＝198
9. （2025·浙江期中）已知将多项式x2－kx－24进行因式分解的结果为（ax＋12）（x－2），则k的值是（ B ）
A. 10 B. －10 C. ±10 D. 14
10. 多项式x2＋5x＋a分解因式后的一个因式为x＋2，则a＝ 6 .
11. 若4a2＋kab＋9b2可以因式分解为（2a－3b）2，则k的值为 －12 .
B
B
6
－12
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12. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解： x2＋6x＋8＝（x＋4）（x＋2） .
x2＋6x＋8＝（x
＋4）（x＋2）
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13. 20262＋2026×3能被2026整除吗？能被2029整除吗？为什么？
解：2 0262＋2 026×3既能被2 026整除，又能被2029整除.因为2 0262＋ 2 026×3＝2 026×（2 026＋3）＝2 026×2 029，所以2 0262＋ 2 026×3既能被2 026整除，又能被 2 029整除.
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14. 下面是一个正确的因式分解，但是其中部分一次式被墨水污染看不清了.
2x2＋3x－6＋ ＝（x－2）（2x＋5）.
（1） 求被墨水污染的一次式.
解：（1） 被墨水污染的一次式为 （x－2）（2x＋5）－（2x2＋3x－6）＝2x2＋5x－4x－10－2x2－3x＋6＝－2x－4.
（2） 若被墨水污染的一次式的值为2，求x的值.
解：（2） 根据题意，得－2x－4＝2，解得x＝－3.
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15. 新考法·阅读理解 阅读材料.
例题：已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式为x＋3，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为x＋n，
则 x2－4x＋m＝（x＋3）（x＋n）.
所以x2－4x＋m＝x2＋（n＋3）x＋3n.
所以 解得
所以另一个因式为x－7，m的值为－21.
仿照以上方法解答问题：
已知二次三项式2x2＋3x－k有一个因式为2x－5，求另一个因式以及k的值.
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解：设另一个因式为x＋a，则2x2＋3x－k＝（2x－5）（x＋a）.所以2x2＋3x－k＝2x2＋（2a－5）x－5a.所以 解得 所以另一个因式为x＋4，k的值为20.
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