(共13张PPT)
第2课时 异分母分式的加减运算
第5章 分 式
5.4 分式的加减
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·天津）计算 ＋ 的结果是（ A ）
A. B. C. D. 1
2. （2025·金华婺城段考）化简 ＋ 的结果是（ B ）
A. B. C. D. 2a－4
3. 化简 ÷ 的结果是（ B ）
A. a－b B. a＋b C. D.
A
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B
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4. （2025·武汉模拟）计算 － 的结果是 .
5. 计算：
（1） （2025·杭州余杭段考） － .
解：原式＝ － ＝ ＝ ＝ .
（2） － ＋ .
解：原式＝ ＝ ＝ .
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（3） ÷ .
解：原式＝ · ＝ · ＝3a－10b.
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6. 已知x为整数，且 ＋ ＋ 为整数，则符合条件的x有（ C ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 若代数式 ÷ 的化简结果为2x＋2，则整式M为（ B ）
A. －x B. x C. 1－x D. x＋1
8. 设p＝ － ，q＝ － ，则p，q的关系是（ C ）
A. p＝q B. p＞q C. p＝－q D. p＜q
C
B
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9. 若m＋n＝1，则代数式（ ＋ ）·（m2－n2）的值为（ D ）
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
10. 新情境·现实生活 汛期来临前，某地区决定加固600米的江堤，某工程队承包了该项目.在施工前，工程队从省气象局得知近期将有台风来袭，于是实际每天加固江堤的长度是原计划的1.5倍，这样赶在台风来临前完成了加固任务.设原计划每天加固江堤的长度为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了 天（用含a的代数式表示）.
11. 已知 ＝ ＋ （A，B为实数），则A－B＝ －17 .
D
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12. 已知m2＋3m＋1＝0，则 ÷ ＝ －1 .
13. 计算：
（1） m－1＋ ＋ .
解：原式＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .
－1
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（2） ÷ .
解：原式＝［ － ］÷ ＝ ÷ ＝ · ＝－ .
（3） ÷ － .
解：原式＝ · － ＝ － ＝ .
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14. （2025·烟台）先化简，再求值：（ 2＋m＋ ）÷ ，其中m＝（－1）2025.
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝3m.因为m＝（－1）2025＝－1，所以原式＝3×（－1）＝－3.
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15. 新情境·现实生活 阅读材料，回答下列问题.
要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零.由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了.
已知甲、乙两人两次同时在同一家粮店购买粮食（假设两次购买粮食的价格不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元.假设x，y分别表示两次购买粮食的价格（单位：元/千克）.
（1） 试用含x，y的代数式表示：
① 甲两次购买粮食共需付款 100（x＋y） 元.
100（x＋y）
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② 乙两次共购买 千克的粮食.
③ 若甲两次购买粮食的平均价格为Q1元/千克，乙两次购买粮食的平均价格为Q2元/千克，则Q1＝ ，Q2＝ .
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（2） 判断甲、乙两人谁的购买方式更合算，并说明理由.
解：乙的购买方式更合算.理由：因为 － ＝ ＝ ，x≠y，即（x－y）2＞0，x＋y＞0，所以 ＞0.所以 ＞ .所以乙的购买方式更合算.
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15(共15张PPT)
第1课时 分式方程及其解法
第5章 分 式
5.5 分式方程
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03
思维拓展
目
录
1. （2025·泉州期中）有下列方程：① ＝1；② ＝2；③ ＝ ；④ ＋ ＝5.其中，是分式方程的为（ D ）
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②③④
2. （2025·湖南）将分式方程 ＝ 去分母后得到的整式方程为（ A ）
A. x＋1＝2x B. x＋2＝1
C. 1＝2x D. x＝2（x＋1）
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A
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3. （2024·泸州）分式方程 －3＝ 的解是（ D ）
A. x＝－ B. x＝－1 C. x＝ D. x＝3
4. （2025·金华东阳段考）若关于x的方程 ＋ ＝1的解为x＝1，则a的值是 － .
D
－
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（1） （2025·威海） －1＝ .
解：方程的两边同乘2x－1，得x－2－2x＋1＝－1，解得x＝0.检验：当x＝0时，2x－1≠0，所以原方程的解为x＝0.
（2） 易错题 － ＝1.
解：方程的两边同乘（x－1）（x＋1），得（x＋3）（x＋1）－8＝（x－1）（x＋1），解得x＝1.检验：当x＝1时，（x－1）（x＋1）＝0，所以x＝1是原分式方程的增根.所以原方程无解.
5. 解分式方程：
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6. 按照如图所示的流程，若输出的M＝－6，则输入的m的值为 （ C ）
A. 3 B. 1 C. 0 D. －1
C
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7. 已知am＝2，an＝3，t＝a3m＋2n，则关于x的方程 － ＝ 的解为（ B ）
A. x＝ B. x＝
C. x＝ D. x＝
8. （2025·牡丹江模拟）若关于x的方程 － ＝0有解，则m的取值范围是（ C ）
A. m≠1或m≠2 B. m＝0或m＝2
C. m≠0且m≠2 D. m≠1且m≠2
B
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9. （2024·义乌段考）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b＝ ＋ .若（x＋1） x＝ ，则x的值为 1 .
10. 新考向·跨学科 在吉他弹奏中，琴弦的长度和绷紧力度决定了不同的音调，比如在相同力度的情况下，用长度比为15∶12∶10的琴弦弹奏时，会发出do，mi，so这三个调和的乐音.从数学角度看，会发现这样一个规律： － ＝ － ，我们把12，15，10称为一组调和数.现有一组调和数：5，x，3（x＞5），则x＝ 15 .
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11. （2025·成都期中）若关于x的分式方程 ＋ ＝2有整数解，则整数m的值的和为 7 .
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解：不存在.理由：假设存在符合题意的实数x，则 － ＝1＋ .方程的两边同时乘（x＋2）（x－2），得（x－2）2－16＝（x＋2）（x－2）＋4（x＋2），解得x＝－2.经检验，当x＝－2时，（x＋2）（x－2）＝0.所以x＝－2不是原分式方程的根.所以不存在实数x，使得代数式 － 与代数式1＋ 的值相等.
12. 是否存在实数x，使得代数式 － 与代数式1＋ 的值相等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
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13. （2024·杭州二模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，方程 ＋3＝ 有一个数“？”看不清楚.
（1） 他把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程.
解：（1） 由题意，得 ＋3＝ .方程的两边同时乘x－2，得5＋3（x－2）＝－1，解得x＝0.经检验，x＝0是原分式方程的根.所以原分式方程的解为x＝0.
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（2） 小华的妈妈说：“我看到答案是‘方程的增根是x＝2，原分式方程无解’.”求原分式方程中“？”代表的数.
解：（2） 设“？”为m，则方程为 ＋3＝ .方程的两边同时乘x－2，得m＋3（x－2）＝－1.因为x＝2是原分式方程的增根，所以把x＝2代入m＋3（x－2）＝－1，解得m＝－1.所以原分式方程中“？”代表的数是－1.
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14. 解方程：
第1个方程： ＝ －1的解为x＝ 0 ；
第2个方程： ＝ －1的解为x＝ 1 ；
第3个方程： ＝ －1的解为x＝ 2 .
（1） 完成填空，并根据你发现的规律直接写出第4个方程及它的解.
解：（1） 第4个方程为 ＝ －1，其解为x＝3.
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（2） 根据上述规律，请直接写出表示第n个方程的式子（n为正整数），并求解.
解：（2） 第n个方程为 ＝ －1.方程两边同时乘x＋1，得n＝2n－（x＋1），解得x＝n－1.检验：当x＝n－1时，x＋1≠0.所以原分式方程的解为x＝n－1.
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15. 某同学解关于x的分式方程 ＋6＝ ，去分母时由于常数6漏乘了公分母，最后解得x＝－1，求原分式方程正确的解.
解：由题意，得x＝－1是方程x－3＋6＝m的解，即－1－3＋6＝m，所以m＝2.所以原分式方程为 ＋6＝ .方程两边同乘x－2，得x－3＋6（x－2）＝2，解得x＝ .经检验，x＝ 是原分式方程的解.所以原分式方程正确的解为x＝ .
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15(共13张PPT)
第1课时 分式的基本性质与约分
第5章 分 式
5.2 分式的基本性质
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基础进阶
思维拓展
目
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02
素能攀升
1. （2025·浙江模拟）下列等式中，一定成立的是（ D ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
2. 下列各式中，约分正确的是（ D ）
A. ＝x3 B. ＝0
C. ＝x＋y D. ＝x－y
D
D
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3. （2024·宁波镇海期中）根据分式的基本性质，分式 可变形为（ C ）
A. B. C. － D. －
4. （2024·绍兴诸暨期中）下列分式中，属于最简分式的为（ D ）
A. B. C. D.
5. （2024·绍兴越城期末）不改变分式 的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为 .
C
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（1） .
（2） .
解：原式＝－ .
解：原式＝－ .
（3） .
（4） .
解：原式＝ ＝ .
解：原式＝ ＝ .
6. 约分：
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7. 易错题 下列各式中，不正确的是（ A ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
A
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8. （2025·杭州钱塘期末）如果把分式 中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ D ）
A. 扩大为原来的9倍
B. 扩大为原来的3倍
C. 不变
D. 缩小为原来的
9. 若x为整数，且 的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（ B ）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
D
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10. 某玻璃瓶内装有acm高的墨水（如图①），将瓶盖盖好后倒立放置（如图②），此时有墨水的部分的高为hcm，没有墨水的部分的高为bcm，则瓶内墨水的体积占玻璃瓶（不考虑玻璃瓶的厚度）容积的 （ A ）
A. B. C. D.
A
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11. 若 ＝ 成立，则a的取值范围是 a≠ .
12. 不改变分式 的值，使分子、分母中次数最高项的系数为正数，可以得到 .
13. 约分的结果为 x－y .
14. 有下列代数式：① a2－1；② a2－a；③ a2－2a＋1.请从中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式，然后请你自选一个合适的数代入求值.
解：答案不唯一，如选a2－1作为分子，a2－a作为分母，可得 ＝ ＝ .当a＝2时，原式＝ ＝ .
a≠
x－y
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15. 若 ＝ ， ＝ ，求 的值.
解：由题意，得M＝ ＝b＋1，N＝ ＝b＋1.所以 ＝ ＝ .
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16. 小明在爬一座山时，第一阶段的平均速度为v，所用时间为t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为t2.下山时，小明的平均速度为4v，已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，则小明下山用了多长时间？
解：由题意，得总路程＝vt1＋ vt2，所以小明下山所用的时间是 ＝ .
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17. 有这样一道题：“先化简，再求值： ，其中x＝2025.”小明把“x＝2025”错抄成了“x＝2052”，但他的计算结果是正确的.请你解释其中的原因.
解：原式＝ ＝1.由此，可知只要x的值不取－1，0，1，得到的结果都是1.所以小明虽然抄错了x的值，但他的计算结果是正确的.
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18. “约去”指数：如 ＝ ， ＝ ，….你见过这样的约分吗？认真检验后，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可以作出如下猜想： ＝ ，试说明此猜想的正确性[提示：x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）].
解：因为左边＝ ＝ ＝ ＝右边，所以 ＝ 是正确的.
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18(共15张PPT)
5.1 分式的意义
第5章 分 式
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素能攀升
03
思维拓展
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1. （2025·杭州段考）下列代数式中，属于分式的是（ A ）
A. B. － C. 2m－n D. mn
2. （2025·杭州拱墅段考）分式 有意义的条件是（ B ）
A. x≠2 B. x≠－2
C. x≠3 D. x＝3
A
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3. （2024·杭州拱墅期中）某工厂有煤m吨，计划每天用煤a吨，实际每天节约用煤b吨，那么这些煤可比原计划多用（ A ）
A. （ － ）天 B. 天
C. 天 D. 天
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4. 当a＝－4时，分式 的值为 －4 .
5. 若当x＝1时，分式 无意义，则a＝ 2 .
－4
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（1） 当x取何值时，分式无意义？
解：（1） x＝ .
（2） 当x取何值时，分式的值为零？
解：（2） x＝ .
（3） 当x＝－1时，分式的值是多少？
解：（3） 当x＝－1时，原式＝ ＝ .
6. 已知分式 .
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7. （2024·杭州上城模拟）下列分式中，一定有意义的是（ A ）
A. B.
C. D.
A
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8. 如果分式 的值为0，那么x，y应满足的条件是（ C ）
A. x＝1，y≠2
B. x≠1，y＝－2
C. x＝1，y≠－2
D. x≠1，y＝2
C
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9. 关于分式 ，有下列说法：① 当x＝－1，m＝2时，分式有意义；② 当x＝3时，分式的值一定为0；③ 当x＝1，m＝3时，分式没有意义；④ 当x＝3且m≠3时，分式的值为0.其中，正确的有（ C ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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10. 小林家距离学校akm，平时骑自行车上学需要12min.若某天小林从家出发比平时晚了b（b＜12）min，为了按平时的时间准时到校，则他的平均速度应为 km/min.
11. （2025·温州永嘉三模）若分式 的值为0，则x的值为 3 .
12. 在等式y＝x2＋mx＋n中，当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝3，则 的值是 0 .
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（1） 修这条路实际用了多少天？
解：（1） 修这条路实际用了 天.
（2） 若x＝135，则实际修完这条路用了多少天？
解：（2） 当x＝135时， ＝ ＝5，所以实际修完这条路用了5天.
13. 某市对一段全长为1500米的路进行改造.原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修的路比原计划的2倍还多30米.
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14. 给出下列三个整式：① x＋5；② x－5；③ x2－36.利用三个整式中的两个或三个写出一个分式，使得当x＝5时，分式的值为0，且当x＝－6时，分式无意义.
解：答案不唯一，如 .
15. 分式 的值能为零吗？请说明理由.
解：不能.理由：若分式的值为0，则1－x2＝0，解得x＝1或x＝－1.当x＝1时，（1＋xy）2－（x＋y）2＝（1＋y）2－（1＋y）2＝0；当x＝－1时，（1＋xy）2－（x＋y）2＝（1－y）2－（－1＋y）2＝0，所以不论x取1还是－1，原分式分母的值都为零.所以原分式的值不能为零.
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16. 新考法·阅读理解 小红、小刚、小明三名同学在讨论“当x取何整数时，分式 的值是整数”这一问题时，有如下对话.
小红说：“这个分式的分子、分母中都含有x，它们的值均随x值的变化而变化，有点难.”
小刚说：“我会解这类问题，例如，当x取何整数时，分式 的值是整数？只要3是x＋1的整数倍即可，注意不要忘记负数哦！”
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小明说：“可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学里学过的假分数，当分子大于分母时，可以将假分数化为一个整数与真分数的和的形式.比如： ＝ ＝2＋ .类比分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，可称这样的分式为假分式，反之，称为真分式.若将 化成一个整式与一个真分式的和的形式，就转化成小刚说的那类问题了！”
小红、小刚说：“对！我们试试看！”
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（1） 请解决小刚提出的问题.
解：（1） 当x＋1＝±1，±3时，分式 的值是整数，所以x＝0，－2，2，－4.
（2） 请解决他们共同讨论的问题.
解：（2） ＝ ＝3－ ，当x＋1＝±1，±5时，分式 的值为整数，所以x＝0，－2，4，－6.
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16(共12张PPT)
专题特训八 分式的化简与求值
第5章 分 式
类型一 化简后直接代入求值
1. 当x＝3时，分式（ －x－1）÷ 的值为（ B ）
A. B. C. D.
2. 当a＝2026时，代数式 ÷ － 的值为 － .
3. （2025·德阳）先化简，再求值： · ，其中a＝2.
解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝a（a－3）＝a2－3a.当a＝2时，原式＝22－3×2＝4－6＝－2.
B
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4. （2024·宁波鄞州期末）先化简，再求值： ÷ ，其中a＝2，b＝1.
解：原式＝ · ＝ · ＝ ＝ .当a＝2，b＝1时，原式＝ ＝ .
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类型二 化简后自选数据代入求值
5. （2024·宁波海曙期末）化简 ÷ ＋ ，并在－1，0，2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
解：原式＝ · ＋ ＝－ ＋ ＝ ＝－ .因为a＋1≠0且a－2≠0，所以a≠－1且a≠2.所以a＝0.当a＝0时，原式＝－ ＝－2.
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6. （2025·杭州钱塘期末）先化简，再求值： ÷ ，其中x从0，1，2中选取一个合适的值代入.
解：原式＝ · ＝ .因为x－1≠0且（x＋2）（x－2）≠0，所以x≠1且x≠±2，则x＝0.当x＝0时，原式＝－2.
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7. 易错题 先化简，再求值： ÷ ，请选择一个合适的整数作为x的值代入求值.
解：原式＝ ÷（ － ）＝ ÷ ＝ · ＝2－x.因为在计算过程中，x＋1，2－x为分式的分母，所以x＋1≠0且2－x≠0，即x≠－1且x≠2.当x＝1（x的取值不唯一）时，原式＝2－1＝1.
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8. 化简（ － ）÷ ，当a＝－1时，请你选择一个合适的b的值代入求值.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .因为a≠b且a≠－b，所以当a＝－1时，取b＝2（b的取值不唯一），此时原式＝ ＝1.
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9. （2025·凉山）先化简，再求值：1－ ÷ .求值时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x（x为整数）的值代入.
解：原式＝1－ · ＝1－ ＝ ＝－ .因为x≠0，x＋2≠0，x－2≠0，所以x≠0，x≠±2.又因为－2≤x≤2，且x为整数，所以当x＝1（x的取值不唯一）时，原式＝－ ＝4.
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类型三 用整体代入法求值
10. （2024·杭州段考）已知 － ＝2，则分式 的值是（ B ）
A. －5 B. － C. 1 D.
11. 若x2＋3x＝－1，则x－ ＝ －2 .
12. 已知 － ＝5，则 ＝ － .
13. 先化简，再求值： ÷ ，且a的值满足a2＋2a－8＝0.
解：原式＝［ － ］· ＝ · ＝ · ＝ .因为a2＋2a－8＝0，所以a2＋2a＝8.所以原式＝ ＝ .
B
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14. 已知m≠0，n≠0，且m－n＝ ，试求代数式 ÷（m－ ）的值.
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .当m－n＝ 时，原式＝ ＝ ＝1.
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类型四 对有条件的分式化简求值
15. 已知a，b互为倒数，则代数式 ÷ 的值为 1 .
16. 已知 ＝ ，求 ÷ 的值.
解：原式＝ · ＝ · ＝ · ＝ .因为 ＝ ，所以可设x＝2k，y＝3k（k≠0）.所以原式＝ ＝ .
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17. 先化简，再求值： ÷ ，其中x，y满足｜x－2｜＋（2x－y－3）2＝0.
解：原式＝ · ＝ .因为｜x－2｜＋（2x－y－3）2＝0，所以 解得 所以原式＝ ＝ .
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17(共9张PPT)
专题特训九 有关解分式方程的问题
第5章 分 式
解二元一次方程组的基本方法有“代入法”“加减法”两种消元策略.有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如 我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设 ＝m， ＝n.原方程组转化为 解得 所以 ＝1， ＝1，则原方程组的解为
类型一 巧解分式方程
（一） 换元法
1. ★阅读材料，解答下列问题.
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（1） 直接写出满足方程 ＋ ＝4的一个解： 答案不唯一，如 .
（2） 解方程组：
解：设 ＝u， ＝v.原方程组可化为 解得 所以 ＝1， ＝ .所以由倒数的定义，得 所以原方程组的解为
答案不唯一，如
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6
解：原方程可化为 ＋ ＝ ＋ .所以1＋ ＋1＋ ＝1＋ ＋1＋ .所以 ＋ ＝ ＋ .所以 ＝ .所以 ＝ .去分母，得（x＋3）（x＋4）＝（x＋1）·（x＋2）.解得x＝－ .经检验，x＝－ 是原分式方程的根.所以原分式方程的解为x＝－ .
（二） 局部通分法
2. 解分式方程：
＋ ＝ ＋ .
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类型二 分式方程的增根和有无解问题
3. （2025·宁波镇海模拟）已知关于x的分式方程 ＝ ＋5有增根，则m的值是（ D ）
A. －3 B. －2 C. 0 D. 2
4. （2024·宁波海曙期末）若关于x的分式方程2＋ ＝ 无解，则常数k的值为 或2 .
D
或2
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（1） 当m＝3时，求分式方程的解.
解：（1） 把m＝3代入原方程，得 － ＝ .方程两边同乘（x＋2）（x－2），得3x＋2（x＋2）＝3（x－2），解得x＝－5.经检验，x＝－5是原分式方程的解.所以分式方程的解为x＝－5.
5. ★已知关于x的分式方程 － ＝ .
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（2） 若这个关于x的分式方程会产生增根，求m的值.
解：（2） 方程两边同乘（x＋2）（x－2），得mx＋2（x＋2）＝3（x－2）.整理，得（1－m）x＝10.因为分式方程会产生增根，所以（x＋2）（x－2）＝0，即x＝2或x＝－2.把x＝2代入整式方程，得（1－m）×2＝10，解得m＝－4；把x＝－2代入整式方程，得（1－m）×（－2）＝10，解得m＝6.综上所述，m的值为－4或6.
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6. 已知关于x的分式方程 － ＝1.
（1） 当m＝－1时，请判断这个方程是否有解，并说明理由.
解：（1） 这个方程无解.理由：当m＝－1时，方程变为 － ＝1.去分母，得x2－x－2＋2x＝x2＋x.整理，得－2＝0，此等式不成立.所以当m＝－1时，这个方程无解.
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（2） 若这个分式方程有解，求m的取值范围.
解：（2） 将 － ＝1化为整式方程，得2（m＋1）x＝m－1.因为这个分式方程有解，所以m≠－1.因为当x＝0或－1时，这个分式方程无解，此时m＝1或－ ，所以m的取值范围是m≠±1且m≠－ .
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6(共13张PPT)
5.3 分式的乘除
第5章 分 式
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03
思维拓展
目
录
1. 计算 · 的结果是（ C ）
A. －m－1 B. －mn＋m
C. －m＋1 D. －mn－m
2. 分式 ÷ 的化简结果为（ D ）
A. －2m－2n B. 2n－2m
C. 2m－2n D. 2m＋2n
3. 已知am2无纺布能做10b个口罩，5am2无纺布能做b条无菌床单，则1条无菌床单的用料是1个口罩的用料的 50 倍.
C
D
50
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（1） · .
解：原式＝ ＝－ .
（2） ·（x2－16）.
解：原式＝ ·（x＋4）（x－4）＝x＋4.
（3） ÷ .
解：原式＝ · ＝ .
4. 计算：
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5. （2025·安徽）先化简，再求值： ÷ ，其中x＝3.
解：原式＝ ·（x＋1）（x－1）＝ .当x＝3时，原式＝ ＝1.
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6. 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是（ D ）
A. 乙 B. 甲和丁
C. 乙和丙 D. 乙和丁
D
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7. （2025·河北模拟）化简分式 ×（ ）的结果为单项式，则“（ ）”里可以填的式子为（ B ）
A. B. C. D.
8. ★关于式子 ÷ ，下列说法中，正确的是（ A ）
A. 当x＝3时，其值为0
B. 当x＝－3时，其值为2
C. 当0＜x＜3时，其值为正数
D. 当x＜0时，其值为负数
B
A
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9. 对于a，b，我们定义两种运算：a△b＝ ，a*b＝ ，等式右侧均为通常的混合运算.m△n÷2（m*n）＝ .
10. 若 ＝1，则代数式 ÷（a－1）· 的值为 －3 .
11. 如果M是一个代数式，且 ÷ ·M＝3a＋3b，那么M表示的是 .
－3
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（1） 8x2y4· ÷ .
解：原式＝8x2y4· · ＝12x.
（2） ÷ · .
解：原式＝－ · · ＝－ .
（3） （xy－x2）÷ · .
解：原式＝x（y－x）· · ＝－y.
12. 计算：
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13. 先化简，再求值： · ÷ ，其中a满足a2－a＝2.
解：原式＝ · ·（a＋1）（a－1）＝（a－2）（a＋1）＝a2－a－2.当a2－a＝2时，原式＝2－2＝0.
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14. 李老师在课堂上出了这样一道题：
化简： ÷ ÷ ，并选取你喜欢的a的值代入，求出原式的值.
小明是这样做的：
解：原式＝ · · ＝ .当a＝1时，原式＝1.
小明的解答正确吗？如果正确，请另取一个a的值代入，并求出原式的值；如果不正确，请说明理由，并加以改正.
解：不正确.理由：因为当a＝1时，分式 无意义，所以小明的解答不正确.a的取值不唯一，如当a＝2时，原式＝ ＝ .
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15. 若a＞0，M＝ ，N＝ ，则M与N的大小关系为 M＜N （用“＜”连接）.
M＜N
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（1） 请用含m的代数式分别表示这两种水果的价格.
解：（1） 由题意，得凤梨的价格为 元/千克，西瓜的单价为 元/千克.
（2） 凤梨的价格是西瓜的价格的多少倍？
解：（2） 因为 ÷ ＝ · ＝ ，所以凤梨的价格是西瓜的价格的 倍.
16. 某水果超市运来凤梨和西瓜两种水果，已知凤梨有（m－2）2千克，西瓜有（m2－4）千克，其中m＞2，售完后，两种水果都卖了540元.
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16(共14张PPT)
第2课时 分式方程的应用
第5章 分 式
5.5 分式方程
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02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2025·杭州上城段考）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等.设甲每小时做x个零件，下列方程中，正确的是（ D ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
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2. 某校计划投资9000元建设几间新教室，为了保证教学质量，实际每间的建设费用增加了20％，并比原计划多建设了两间新教室，总投资追加了3000元.根据题意，则原计划每间新教室的建设费用是 500 元.
500
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3. （2024·湖州德清期末）某商店4月购进一批T恤衫，进价合计3200元.由于该T恤衫十分畅销，商店又于5月购进一批同品牌T恤衫，进价合计6800元，数量是4月的2倍，但每件进价涨了2.5元.
（1） 该商店4月购进T恤衫多少件？
解：（1） 设该商店4月购进T恤衫x件，则5月购进T恤衫2x件.由题意，得 － ＝2.5，解得x＝80.经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意.所以该商店4月购进T恤衫80件.
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（2） 这两批T恤衫开始都以每件60元的价格出售，到6月初，商店把剩下的40件打九折出售，很快售完.该商店共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？
解：（2） 60×（80＋2×80－40）＋60×90％×40－3200－6800＝4160（元），所以该商店共获毛利润4160元.
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4. （2025·宁波鄞州期末）暑假期间，小明一家计划自驾去离宁波1200km远的某风景区游玩.途中 .设原计划以每小时akm的速度开往该景区，可得方程 － ＝1.根据此情景，题中“ ”上应填的条件为（ A ）
A. 实际每小时比原计划快15km，结果提前1h到达
B. 实际每小时比原计划慢15km，结果提前1h到达
C. 实际每小时比原计划快15km，结果延迟1h到达
D. 实际每小时比原计划慢15km，结果延迟1h到达
A
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5. 已知公式u＝ （u≠0），则公式变形后t等于（ B ）
A. B.
C. D.
B
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6. （2025·泰安模拟）某市需要紧急生产一批民生物资，现公开招标，甲、乙两家资质合格的工厂前来应标.投标文件显示，甲厂加工一天需收费1.5万元，乙厂加工一天需收费1.1万元.指挥中心的负责人根据甲、乙两厂的投标测算，可有三种施工方案：
方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；
方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用5天；
方案③：若甲、乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成.在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ C ）
A. 方案① B. 方案②
C. 方案③ D. 方案①和方案③
C
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7. 某市从今年1月起调整居民用水价格，每立方米的价格上涨20％，小明家去年12月的水费是40元，而今年4月的水费是60元.已知小明家今年4月的用水量比去年12月多4立方米，则该市今年居民用水的价格为 3 元/米3.
8. 学校新到一批实验器材需要整理，若张老师一人单独整理需要1h完成.现在张老师与黄老师共同整理30min后，张老师因事外出，黄老师又单独整理了30min才完成任务，则黄老师单独整理这批实验器材需要 120 min.
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9. 周末某校组织部分师生乘坐大巴车前往爱国主义实践教育基地参观学习，基地离学校有90km，大巴车7：00从学校出发，王老师因事耽搁，7：30从学校自驾小车以大巴车的1.5倍速度追赶，结果比大巴车提前15min到达基地.
（1） 大巴车与小车的平均速度各是多少？
解：（1） 设大巴车的平均速度是xkm/h，则小车的平均速度是1.5xkm/h.由题意，得 ＝ ＋ ＋ ，解得x＝40.经检验，x＝40是原分式方程的根，且符合题意.所以1.5x＝60.所以大巴车的平均速度是40km/h，小车的平均速度是60km/h.
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（2） 王老师追上大巴车时，距离基地还有多远？
解：（2） 设王老师追上大巴车时，距离基地还有ykm.由题意，得 ＋ ＝ ，解得y＝30.所以王老师追上大巴车时，距离基地还有30km.
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10. 某市为了创建生态文明城市，对公路旁的绿化带进行全面改造.现有甲、乙两支工程队，甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成；乙工程队单独完成这项工程要比规定工期多用a天.若先由甲、乙两支工程队一起做b天，剩下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完工.
（1） 当a＝6，b＝4时，求这项工程规定的工期.
解：（1） 设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要（x＋6）天.由题意，得 ×4＋ ×（x－4）＝1，解得x＝12.经检验，x＝12是原分式方程的根，且符合题意.所以这项工程规定的工期是12天.
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（2） 若a－b＝2，a是偶数，且a＞2，求甲、乙两支工程队分别单独完成这项工程需要的天数（用含a的代数式表示）.
解：（2） 因为a－b＝2，所以b＝a－2.设甲工程队单独完成这项工程需要y天，则乙工程队单独完成这项工程需要（y＋a）天.由题意，得 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1，解得y＝ .经检验，y＝ 是原分式方程的根，且符合题意.所以y＋a＝ ＋a＝ .所以甲、乙两支工程队单独完成这项工程需要的天数分别为 ， .
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10(共15张PPT)
第1课时 同分母分式的加减运算
第5章 分 式
5.4 分式的加减
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. 化简 ＋ （xy≠0）的结果为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 2xy D. x2
2. （2025·新疆）计算 － 的结果是（ A ）
A. 1 B. x－2y C. D.
3. （2025·河南）化简 － 的结果是（ A ）
A. x＋1 B. x C. x－1 D. x－2
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4. （2025·杭州拱墅段考）计算： － ＝ .
5. 若 ＝a－ ，则a的值为 －2 .
－2
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（1） ＋ .
解：原式＝ ＝ ＝a－b.
（2） （2025·杭州余杭段考） － .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝x－2.
（3） ＋ ＋ .
解：原式＝ ＋ － ＝ ＝ ＝a－2.
6. 计算：
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7. 已知A＝ ，B＝ ＋ ，其中x≠±2，则A与B的关系是（ C ）
A. 相等 B. 互为倒数
C. 互为相反数 D. A大于B
8. 当m≠0，且m－7n＝0时， － 的值为（ B ）
A. B. C. 1 D. 7
9. 若y＝－x＋3，且x≠y，则 ＋ 的值为（ A ）
A. 3 B. －3 C. 1 D. －1
C
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10. 化简 － ＋ 的结果是（ D ）
A. x＋y－z B.
C. 2 D. 0
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11. 某人用电脑录入汉字文稿的速度相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他用电脑录入3000字文稿比手抄少用 小时.
12. 若 ＝ ＋ ，则x＝ －a2 .
13. 铭铭同学计算一个分式加上 时，把“＋”看成了“－”，得到的结果是 ，则正确的结果是 4 .
－a2
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（1） ＋ － .
解：原式＝ － － ＝ ＝ ＝－2.
（2） － － ＋ .
解：原式＝ － － ＝ ＝ ＝－ .
14. 易错题 计算：
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（3） ＋ － .
解：原式＝ ＋ － ＝ ＝ ＝ ＝1.
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15. 先化简，再求值：
（1） ＋ ，其中m＝5，n＝－ .
解：原式＝ － ＝ ＝ ＝m－2n.当m＝5，n＝－ 时，原式＝5－2× ＝6.
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（2） － ＋ ，其中x＝ .
解：原式＝ ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝2x－6.当x＝ 时，原式＝2× －6＝－ .
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16. 新情境·现实生活 从甲地到乙地有两条路，每条路都是6km，其中第一条路是平路，第二条路有3km的上坡路，3km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h，在平路上的骑车速度为2vkm/h，在下坡路上的骑车速度为3vkm/h.
（1） 当她走第二条路时，从甲地到乙地需要多少时间？
解：（1） 当她走第二条路时，从甲地到乙地需要的时间为 ＋ ＝ ＋ ＝ （h）.
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（2） 她走哪条路花费的时间少？少多少？
解：（2） 当她走第一条路时，从甲地到乙地需要的时间为 ＝ （h）.因为 － ＝ （h），所以她走第一条路花费的时间少，少 h.
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17. 已知M＝ ，N＝ ，若a≠b≠1，试确定M与N的大小关系.
解：因为M＝ ，N＝ ，所以M－N＝ － ＝ ＝－ .因为a≠b≠1，所以（a－b）2＞0，（a－1）2＞0.所以－ ＜0.所以M－N＜0，即M＜N.
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17(共14张PPT)
第2课时 利用分式的基本性质进行多项式的除法运算
第5章 分 式
5.2 分式的基本性质
01
基础进阶
02
素能攀升
03
思维拓展
目
录
1. （2024·金华浦江期末）已知x＝2y，则分式 的值为（ D ）
A. B. C. D.
2. 计算（x2－xy）÷（x2－2xy＋y2）的结果是（ D ）
A. B.
C. D.
D
D
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3. 若9m2－6mn＋n2＝0，则 的值为（ B ）
A. 11 B. －11 C. 11m D. －11n
4. 如果 ＝2，那么 ＝ .
5. 一个长方形的面积是（2x2－18）m2，其长为（x＋3）m，则它的宽用含x的整式表示为 （2x－6） m.
B
（2x－6）
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（1） （4x＋1＋4x2）÷（4x2－1）.
解：原式＝ ＝ ＝ .
（2） （9a3－ab2）÷（9a3＋6a2b＋ab2）.
解：原式＝ ＝ ＝ .
（3） [（m－n）2－2（n－m）]÷（m－n）.
解：原式＝ ＝ ＝m－n＋2.
6. 计算：
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7. 如图，若a＝2b，则表示 的值的点落在（ C ）
A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段
8. （2024·衢州江山期末）已知x－y＝2xy，则 的值为（ C ）
A. － B. C. D.
C
C
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9. 若x2＋x－1＝0，则 的值为（ A ）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
10. 如图，圆环的面积与长方形的面积相等，则长方形的长为（ B ）
A. π（4y－x） B. π（4y＋x）
C. 4y－x D. 4y＋x
A
B
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11. 有下列运算：① （a2－4ab＋4b2）÷（b－2a）＝2a－b；② （m2－2m）÷（4－m2）＝－ ；③ [a（a－2）＋1]÷[（a＋1）2－4]＝ .其中，错误的为 ① （填序号）.
12. 若x＋y＝2026，x－y＝2025，则（2x2－2y2）÷（x2＋2xy＋y2）的值为 .
①
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（1） （2x2－50）÷（－x2－10x－25）.
解：原式＝ ＝ ＝－ .
（2） （－12x4y2－4x3y3）÷（27x5y6－3x3y8）.
解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
13. 计算：
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（3） （9m3－mn2）÷[36m2n2－（9m2＋n2）2].
解：原式＝m（9m2－n2）÷（－81m4＋18m2n2－n4）＝ ＝－ .
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14. 先化简，再求值：（a2－b2）÷（a＋b）＋（a2－2ab＋b2）÷（a－b），其中a＝ ，b＝－2.
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝a－b＋a－b＝2a－2b.当a＝ ，b＝－2时，原式＝2× －2×（－2）＝5.
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15. 已知实数x，y，a，b满足a－b＝x－y＝3，ax＋by＝7.求：
（1） ay＋bx的值.
解：（1） 因为a－b＝x－y＝3，所以a＝3＋b，x＝3＋y，y＝x－3. 因为ax＋by＝7，所以（3＋b）（3＋y）＋by＝7.所以3b＋3y＋2by＝－2.所以原式＝y（3＋b）＋b（3＋y）＝3y＋3b＋2by＝－2.
（2） 的值.
解：（2） 原式＝ ＝ ＝ ＝－ .
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16. 转化思想 解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的.
例：已知 ＝ ，求代数式x2＋ 的值.
解：因为 ＝ ，所以 ＝5，即 ＋ ＝5.所以x＋ ＝5.
（1） 请继续完成上面问题的求值过程.
解：（1） 把x＋ ＝5两边平方，得 ＝25.
所以x2＋2＋ ＝25.所以x2＋ ＝23.
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（2） 请仿照上述方法解决下面的问题：已知 ＝4，求 的值.
解：（2） 因为 ＝4，所以 ＝ .所以x－1－ ＝ .所以x－ ＝ .两边平方，得 ＝ .所以x2－2＋ ＝ .所以x2＋ ＝ .因为 ＝x2＋ ＋1＝ ＋1＝ ，所以 ＝ .
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16(共14张PPT)
专题特训十 分式方程的实际应用
第5章 分 式
类型一 根据实际问题列出分式方程
1. （2025·温州温岭二模）某中学针对九年级学生开设了烹饪课程.课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉的价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x千克，依题意，所列方程正确的是（ A ）
A
A. － ＝0.4 C. － ＝0.4
B. － ＝0.4 D. － ＝0.4
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2. 在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多2，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的 ，求甲、乙两班各有多少人.设乙班有x人，依题意，可列方程为 · ＝ .
· ＝
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类型二 列分式方程解行程问题
3. 小明的爸爸开车从A地到B地，若走原来的普通道路，则行程为80千米，而走新扩建成的高速公路，则路程不但缩短了20千米，驾车时间也节省了40分钟.若小明的爸爸在高速公路上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快50％，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（ B ）
A. 50千米/时 B. 60千米/时
C. 65千米/时 D. 70千米/时
B
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4. （2025·山东模拟）新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能.小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车的电池容量为60千瓦时，电费为0.6元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是（ A ）
A. 600千米 B. 500千米
C. 450千米 D. 400千米
A
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类型三 列分式方程解消费问题
5. 新情境·现实生活 高速铁路列车（以下简称“高铁”）是人们出行的重要交通工具.已知高铁的平均速度是普通旅客列车（以下简称普客）平均速度的3倍.同样行驶690km，高铁比普客少用4.6h.
（1） 求高铁的平均速度.
解：（1） 设高铁的平均速度为xkm/h，则普客的平均速度为 xkm/h.由题意，得 － ＝4.6，解得x＝300.经检验，x＝300是原分式方程的根，且符合题意.所以高铁的平均速度为300km/h.
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（2） 某天王老师乘坐8：40出发的高铁，到A市参加当天14：00召开的会议.若列车全程行驶1050km，王老师从A市高铁站到会议地点最多还需要1.5h，则在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前赶到会议地点吗？
解：（2） 1050÷300＋1.5＝5（h），14－8 ＝5 （h）.因为5＜5 ，所以在高铁准点到达的情况下，他能在开会之前赶到会议地点.
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6. （2025·扬州江都二模）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机.某车行经营的A型自行车去年的销售总额为8万元.今年该型自行车每辆的售价预计比去年降低200元.若该型自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少10％，求A型自行车去年每辆的售价.
解：设A型自行车去年每辆的售价为x元，则今年每辆的售价为（x－200）元.由题意，得 ＝ ，解得x＝2000.经检验，x＝2000是原方程的根，且符合题意.所以A型自行车去年每辆的售价为2000元.
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7. （2025·沈阳和平模拟）【问题背景】4月23日是“世界读书日”.为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高10％；
素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个.
【问题解决】
问题：分别求出A，B两种书架的单价.
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解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（1＋10％）x元.根据题意，得 － ＝2，解得x＝1000.经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意.所以（1＋10％）x＝（1＋10％）×1000＝1100.所以A种书架的单价为1100元，B种书架的单价为1000元.
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类型四 列分式方程解工程问题
8. 甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独完成的时间比乙工程队单独完成的时间少6天.若两个工程队同时进行工作4天后，再由乙工程队单独完成，则乙工程队一共所用的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同.甲工程队单独完成这项工程所需的时间是（ D ）
A. 30天 B. 28天 C. 18天 D. 12天
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9. 新考法·阅读理解 甲、乙、丙三名工人共同承担装配一批工件的工作.已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如图所示.
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若每小时只安排1名工人，则按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，求共需要的时间.
解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x－5）小时.根据题意，得 ＝ ，解得x＝20.经检验，x＝20是原分式方程的根，且符合题意.所以甲单独完成任务需要20小时，乙单独完成任务需要20－5＝15（小时），即甲、乙的工作效率分别为 ， .因为丙的工作效率是乙工作效率的 ，所以丙的工作效率为 × ＝ .所以三人一轮的工作量为 ＋ ＋ ＝ .因为1÷ ＝6 ，
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所以需甲、乙、丙进行6轮工作.因为6轮后剩余的工作量为1－ ×6＝ ， ＞ ×1，所以还需要甲工作1小时.因为甲工作1小时后，剩余的工作量为 － ＝ ， ＜ ×1，所以乙还需要工作的时间为 ÷ ＝ （小时）.所以按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需要3×6＋1＋ ＝19 （小时）.
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9(共24张PPT)
第5章整合拔尖
第5章 分 式
01
知识体系构建
02
高频考点突破
03
综合素能提升
目
录
考点一 分式有无意义及值为0的条件
典例1 （2025·台州路桥二模）已知分式 （a，b为常数），x的部分取值及对应分式的值如下表：
x －3 3 p
无意义 0 2
则p的值是（ B ）
B
A. －2 B. －5 C. 3 D. 4
根据分式无意义，即分母等于0，求得b的值；根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，求得a的值，从而确定该分式，再确定当分式的值为2时x的值，即可得到p的值.
[变式]若分式 的值为0，则x－2的值为 －1 .
－1
考点二 分式的基本性质
典例2 （2025·杭州萧山期中）若分式 中的x和y都缩小到原来的一半，分式的值不变，则A可能是（ A ）
A. 3x＋2y B. 3x＋3 C. 2xy D. 3
A
[变式]不改变分式 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 .
考点三 分式的运算
典例3 （2025·泸州）化简： ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .
[变式]（2025·甘肃）化简： ＋ ÷ .
解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ ＝1.
考点四 分式化简求值
典例4 易错题 （2025·义乌段考）先化简 · ，再从－1，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .因为当x＝－1，0，1时原分式无意义，所以x＝2.当x＝2时，原式＝ ＝ .
[变式]（2025·成都郫都模拟）已知 ＝3，则2－ ÷ ＝ .
考点五 与解分式方程相关的新定义问题
典例5 对于两个不相等的数a，b，我们规定min{a，b}表示a，b中的较小的值.例如，min{2，3}＝2，按照这个规定，方程min ＝ －3的解为 x＝ .
由于无法确定1－x的正负，故无法确定 与 的大小，所以根据新定义，需分 ＜ 和 ＞ 两种情况，把min ＝ －3转化成分式方程，解之并检验得到符合题意的答案.
x＝
[变式]定义a b＝2a＋ ，则方程3 x＝4 2的解为 x＝ .
x＝
考点六 运用分式方程解决问题
典例6 （2025·自贡）去年暑假，小张和小李帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米（x＋2）筐.根据题意，得 ＝ ，解得x＝10.经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意.所以小李平均每小时掰玉米10筐.
[变式]一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40min到达目的地.原计划的行驶速度是 60 km/h.
60
1. （2024·雅安）已知 ＋ ＝1（a＋b≠0），则 的值为（ C ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
2. 若计算 · 的结果为2a－4，则整式A为（ A ）
A. a＋1 B. a－1
C. －a－1 D. －a＋1
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
3. 某工程，甲队单独完成所需天数是乙、丙两队合作完成所需天数的a倍，乙队单独完成所需天数是甲、丙两队合作完成所需天数的b倍，丙队单独完成所需天数是甲、乙两队合作完成所需天数的c倍，则 ＋ ＋ 的值是（ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
1
2
3
4
5
6
7
8
4. （2024·达州）若关于x的方程 － ＝1无解，则k的值为 2或－1 .
5. 如果a，b，c是正数，且满足a＋b＋c＝19， ＋ ＋ ＝ ，那么 ＋ ＋ 的值为 .
6. （2025·遂宁）先化简，再求值：（ a＋1＋ ）÷ ，其中a的值满足a2－4＝0.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .因为a2－4＝0，a－2≠0，所以a＝－2.所以原式＝ ＝ .
2或－1
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程 － ＝1的解为整数时，求b的值.
解：把a＝3b代入方程，得 － ＝1.去分母，得3b（x－5）－（2x＋3）（b－x）＝（2x＋3）（x－5）.整理，得（b＋10）x＝18b－15.因为方程有解，所以b＋10≠0.所以x＝ ＝ ＝18－ .因为x为整数，b为正整数，所以b＋10＝13，15，39，65，195.所以b＝3，5，29，55，185.因为当b＝5时，x＝18－ ＝5为原分式方程的增根，所以b≠5.所以b的值为3，29，55，185.
1
2
3
4
5
6
7
8
8. 某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，很快售完.超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次提高了20％，购进干果的数量比第一次的2倍还多300千克.超市此时按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的8折售完.
（1） 该种干果第一次的进价是每千克多少元？
解：（1） 设该种干果第一次的进价是每千克x元，则该种干果第二次的进价是每千克（1＋20％）x元.依题意，得 ×2＋300＝ ，解得x＝5.经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意.所以该种干果第一次的进价是每千克5元.
1
2
3
4
5
6
7
8
（2） 超市第二次销售该种干果盈利多少元？
解：（2） ×9＋100×9×0.8－9000＝4320（元）.所以超市第二次销售该种干果盈利4320元.
1
2
3
4
5
6
7
8
