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第5章 分式 单元测试（基础卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）在，，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
2．（本题3分）把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．缩小为原来的
3．（本题3分）若，则M、N的值分别为( )
A．M=-1,N=-2 B．M=-2,N=-1 C．M=1,N=2 D．M=2,N=1
4．（本题3分）要使分式有意义，则x的取值需满足（ ）
A． B．
C．或 D．且
5．（本题3分）分式，，的最简公分母为（ ）
A． B． C． D．12ab
6．（本题3分）对于实数a和b，定义一种新运算“ ”即这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）若关于的方程无解，则的取值为（ ）
A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3
8．（本题3分）若，则计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
9．（本题3分）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（ ）
A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高
C．一样高 D．无法确定哪个高
10．（本题3分）如，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）已知实数满足，则____________．
12．（本题3分）如果关于x的方程无解，则a的值为_____
13．（本题3分）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为0．代数式____________．
14．（本题3分）某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，两人到达终点的时间和为9分钟，其中乙同学的速度是甲同学的速度的1.25倍，则乙同学的速度是______米/分钟．
15．（本题3分）已知，则__________．
16．（本题3分）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，x，y，都有若，则______．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题8分）计算：
(1)
(2)．
18．（本题8分）解方程：
(1).
(2)．
19．（本题8分）先化简，再求值：，其中．
20．（本题8分）阅读下面例题解法：
例：已知，求分式的值．
解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得
原式．
方法二：设，则，把它们代入原式，得
原式．
根据以上解题方法解答下题：
已知，试求分式的值．
21．（本题8分）列分式方程解应用题：
刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米
22．（本题10分）已知关于的方程．
(1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值；
(2)若该方程的解为负数，求的取值范围．
23．（本题10分）全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等．
(1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？
(2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？
24．（本题12分）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．
例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”．
(1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由；
(2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．
①求所代表的代数式；
②若分式的值为正整数，求正整数的值．
(3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值．
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《第5章 分式 单元测试（基础卷）》参考答案
题号 1 2 4 5 7 8 9 10
答案 C C B A C C B B
1．C
【分析】本题考查了分式的定义，牢记分式的分母一定含有字母且不是字母是解答本题的关键．根据分式的定义逐一判断即可．
【详解】解：在，，，，中，分式有，，共有个，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了分式的基本概念，熟练掌握分式的基本概念是解决本题的关键．
将分式中x和y都扩大为原来的2倍后化简比较即可求解．
【详解】解：∵把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，
∴分式变为，
∴分式的值不变．
故选：C ．
3．B
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用多项式相等的条件即可求出M与N的值．
【详解】，
∴M+N=-3，N-M=1，
解得：M=-2，N=-1．
故选B．
【点睛】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
4．B
【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母，确定x的取值范围即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解．
【详解】解：分式，，的分母分别是、、，故最简公分母是；
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了解分式方程，所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
【详解】解：根据题意，得
，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．
先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可．
【详解】解：
∵原分式方程无解，
∴，
解得，
当时，
，该方程无解；
当时，
，
；
∴的取值为或2，
故选：C．
8．C
【分析】通过分式的乘方、乘除运算法则化简代数式，再结合已知条件求值即可．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
原式．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的乘方、乘除运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可．
【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为，
则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高，
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了新定义和代数求值，根据可得；再分和两种情况，讨论求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴；
当时，则，符合题意；
当时，则，这与矛盾，不符合题意；
综上所述，，
∴，
故选：B．
11．
【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用：分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据题意得：，，代入原式后化简即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴代入到上式，即原式，
，
，
，
故答案为：．
12．1
【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练运用分式方程的解法是解题的关键．
先确定方程的增根，再去分母后所得整式方程，然后将增根代入计算即可．
【详解】解：由于关于x的方程无解，则增根为，
去分母得， ，
当时，可得：，解得：．
故答案为：1．
13．1
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式值为零的条件以及乘方运算的知识点，掌握分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零的判定方法是解题的关键．
分式没有意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，据此求出和的值，再代入计算．
【详解】解：当时，分式没有意义，则分母，即，解得；
当时，分式值为0，则分子且分母，即且，解得且；
由满足，
所以，
则，故==1．
故答案为：1．
14．200
【分析】本题考查了分式方程，找到等量关系并列出方程是解题的关键．
根据两人的时间总和为9分钟列方程即可．
【详解】解：设甲同学的速度是，则乙同学的速度为，
则有：，
，
，
，
解得：，
经检验：是方程的解；
∴．
故答案为： ．
15．5
【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：5．
16．
【分析】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
先根据新定义得到，则通分后变形得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，
，
即，
．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．
（1）先将乘除混合运算统一为乘法运算，结合因式分解进行约分计算即可；
（2）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
．
18．(1)
(2)无解
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
去分母得到：，
解得：，
检验：把代入，则，
∴是分式方程的解.
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入，则，
∴是原方程的增根，
∴分式方程无解．
19．化简得：；解得：
【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解本题的关键在正确运用分式的混合运算进行化简．掌握分式的运算顺序：先乘方，再乘除，再加减（如果有括号先算括号里面的，再算括号外面的）利用分式的混合运算法则是解题的关键．首先对括号里面的分式先通分化为同分母分式再加减，同时将除式的分子因式分解，再利用分式除法要乘以除式的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后利用的值代入其，即可得出结果．
【详解】解：原式
，
，
；
当时，
原式，
，
．
20．
【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可．
【详解】解：方法一：∵，
∴，，
∴
；
方法二：∵，
∴，
设，则，
∴
．
21．李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行千米、千米
【分析】本题考查分式方程的应用，根据“路程速度时间”这一等量关系，列出方程解决即可．
【详解】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米．
由题意得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
所以．
答：李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、千米．
22．(1)
(2)且
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，将分式方程转化为整式方程求解是解此题的关键．
（1）解分式方程得，由去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解可得当时，满足题意，从而得出，求解即可；
（2）解分式方程得，由该方程的解为负数得出，结合要使原分式方程有解，则，即可得出答案．
【详解】（1）解：方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：，
去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，
当时，满足题意，
，
解得：；
（2）解：方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：，
该方程的解为负数，
，
解得：，
由（1）可得，要使原分式方程有解，则，
的取值范围为：且．
23．(1)A型机器人每小时分拣快递件．型机器人每小时分拣快递件
(2)A型机器人还要工作个小时才能完成任务
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程．
（1）设型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件，根据A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设A型机器人还要工作个小时才能完成任务，根据每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，结合（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A型机器人每小时分拣快递件，型机器人每小时分拣快递件．
（2）解：设A型机器人还要工作个小时才能完成任务，
由题意得：，
解得：，
答：A型机器人还要工作个小时才能完成任务．
24．(1)是互为“和整分式”，
(2)①；②
(3)或
【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．
（1）先计算，再根据结果可得结果；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：，
，
与B是互为“和整分式”，“和整数值”；
（2）解：①∵，
∴
，
∵与互为“和整分式”，且“和整数值”，
∴，
∴；
②∵，且分式的值为正整数为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）解：由题意可得：，
，
，
，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
当时，
解得：，
当，方程有增根，
，
解得：，
综上：的值为：1或．
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