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浙教版2024 七年级下册
第三章 整式的乘除
单元测试·培优卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题
1 0.95 积的乘方运算
2 0.85 （x+p）（x+q）型多项式乘法
3 0.85 计算单项式乘多项式及求值
4 0.65 积的乘方运算；运用平方差公式进行运算；合并同类项；多项式除以单项式
5 0.65 单项式乘多项式的应用；整式四则混合运算
6 0.65 同底数幂相乘；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆用；同底数幂除法的逆用
7 0.65 通过对完全平方公式变形求值
8 0.65 求完全平方式中的字母系数
9 0.65 多项式乘法中的规律性问题；运用平方差公式进行运算
10 0.65 多项式乘多项式与图形面积；整式加减的应用
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 幂的乘方运算；积的乘方运算；计算单项式乘单项式
12 0.85 已知多项式乘积不含某项求字母的值
13 0.65 同底数幂的除法运算；已知式子的值，求代数式的值；已知二元一次方程组的解求参数；加减消元法
14 0.52 通过对完全平方公式变形求值
15 0.65 多项式乘多项式与图形面积；计算单项式除以单项式
16 0.75 平方差公式与几何图形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 同底数幂相乘；积的乘方运算；零指数幂；负整数指数幂
18 0.65 多项式乘多项式——化简求值；代入消元法；利用算术平方根的非负性解题
19 0.65 单项式乘多项式的应用；列代数式；已知字母的值 ，求代数式的值
20 0.65 列代数式；整式四则混合运算
21 0.73 通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用
22 0.65 完全平方公式在几何图形中的应用
23 0.65 多项式乘多项式与图形面积；多项式乘法中的规律性问题
24 0.63 同底数幂相乘；幂的乘方的逆用；有理数大小比较2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第三章 整式的乘除 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B B C D C D C
1．B
利用积的乘方的法则进行运算即可．
解：
2．C
解：∵
∴，
3．B
根据三角形面积公式列出算式，再根据单项式乘多项式法则计算即可．
解：三角形的面积是．
4．B
本题考查了合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式．
根据合并同类项、积的乘方、多项式除以单项式、平方差公式的运算法则，逐一验证每个选项的运算是否正确即可．
解：，故A选项错误．
，故B选项正确．
，故C选项错误．
，故D选项错误．
故选：B．
5．B
本题考查了整式的混合运算的应用．根据题意表示出、、、的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积．
解：如图，
∵四边形和四边形是大小完全一样的正方形，
设，，，
∵四边形是正方形，
∴设，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形和四边形是两张大小完全一样的长方形纸片，
∴，，，
∴
，
故选：B．
6．C
本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的运算验证每个关系式，利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则及逆运算法则计算指数表达式是否相等即可．
解：∵，
∴，即，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④错误；
∵，，
∴，故⑤正确；
∴正确的关系式为①②③⑤．
故选：C．
7．D
本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算．
解：设，，
∵，
又∵，且由完全平方公式得，
∴将，代入得：，
即，
解得，
∴，
即，
故选：D．
8．C
本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。
解：∵代数式是完全平方式，
∴
①当时，
，
∴
②当时，
，
∴
综上，的值为或．
故答案为：C．
9．D
根据规律，将原式变形后计算即可．
本题考查数式规律问题，平方差公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．
解：
．
10．C
本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论．
解：设，则，，
∴
∵与的差始终不变，即与的取值无关，
∴的系数必须为0，
∴，
∴，
故选：C．
11．
本题考查了单项式乘单项式，正确计算是解题的关键．先根据积的乘方法则计算乘方项，再根据单项式乘单项式法则与同底数幂的乘法法则计算，得到最终结果．
解：
．
12．3
先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可．
解：
，
∵代数式的展开式中不含x的二次项，
，
解得：．
13．
先由加减消元法解二元一次方程组，得到，代入确定，最后利用幂的运算法则化简后，将代入计算结果即可．
解：
由①②得；
将代入，得；
，
，
则，
．
14．49
本题利用完全平方公式的变形，先结合已知条件求出的值，再对平方变形，代入已知条件即可求出目标代数式的值．
解：根据完全平方公式，可得
．
将，代入上式，得
，
整理得，
解得．
对平方，得
，
整理得．
将，，代入上式，得
，
即，
移项计算得．
15．15
先计算出大长方形的面积为，而C类卡片的面积为，即可确定需要15张C类卡片．
解：大长方形的面积，
∵C类卡片的面积是，
∴，
∴小明需要准备C类卡片15张．
16．
观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长．
解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，
拼成的大长方形的面积为，
大长方形的宽为4，
大长方形的长为．
17．(1)
(2)
（1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方，再计算加减即可；
（2）先计算积的乘方，再计算同底数幂相乘，最后合并同类项．
（1）解：
．
（2）解：
．
18．，1
先根据多项式乘多项式法则将所求式子展开，然后合并同类项，再根据相反数的定义得，然后根据非负数的性质可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组，再代值计算即可．
解：
，
∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴原式
．
．
19．(1)
(2)96平方米
本题考查了列代数式、整式的加减法与求值，依据题意，正确列出代数式是解题关键．
（1）将房子各区域的面积相加即可；
（2）将x、y的值代入（1）的结论即可得房子的面积．
（1）解：这套房子的总面积为：
，
（平方米），
答：这套房子的总面积为平方米；
（2）解：当米，米时，
房子的面积（平方米），
答：房子的面积为96平方米．
20．(1)；
(2)①；②，，．
本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积、整式的混合运算等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
（1）根据建立方程，求出，的值即可解决问题；
（2）①用，表示，的长即可解决问题；
②分别求出，进而即可求得，即可解决问题．
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：①由题意得：，，
∴；
②当点从点向左移动（）个单位后，
由题意得：，，
∴，
当点从点向左移动个单位后，，，
∴，
∴．
21．(1)
(2)；
(3)
(4)
（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答；
（2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可．
（3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案．
（4）由（3）得：，再代入计算即可．
（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：；
（2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为，
②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为；
（3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出；
（4）解：由（3）得：，
∵，，
∴，
∴．
22．(1)，
(2)100张
本题考查了完全平方公式的几何意义及应用，解题的关键是将卡片面积之和转化为完全平方式，从而确定大正方形的边长及所需卡片数量；
（1）通过将卡片面积和表示为完全平方式，求出的值及大正方形边长；
（2）通过设大正方形边长为（p，q为正整数），结合卡片数量限制，找到使面积最大的p，q组合，进而求出卡片总数．
（1）解：1张A型卡片面积为，4张B型卡片面积为，张C型卡片面积为，则大正方形面积为，
∵大正方形面积为完全平方式，且，
∴，此时大正方形边长为，
答：的值为，大正方形的边长为．
（2）解：设大正方形边长为（p，q为正整数），则其面积为，对应A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，
由题意，，，，且，
要使面积最大，需最大，结合，优先增大，
时，，由得，取，
此时，，满足条件，
此时卡片总数为，
答：当所拼成的大正方形面积最大时，需要三类卡片共100张．
23．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）根据图②，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可；
（3）由，共有项，， 共有项，进而找出规律，即可做答；
（4）根据（3）中规律作答即可．
（1）解：由题意可知，；
（2）解：由（1）知，
∵，，
∴
；
（3）解：，共有项，
共有项，
可知展开后合并同类项共项，
∴展开后合并同类项共项；
（4）解：由（3）知，展开后合并同类项共项．
24．(1)
(2)
(3)
（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可；
（2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可；
（3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论．
（1）解：，
又∵，
；
（2）解：，
又∵，
（3）解：，
又∵，
．2025—2026学年七年级数学下学期单元测试卷
第三章 整式的乘除 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则p、q的值是（ ）
A．3，10 B．10，3 C．， D．3，
3．一个三角形的底边和这边上的高线分别是、，它的面积等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
6．已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
7．若实数满足，则（ ）．
A．2026 B．1013 C． D．
8．若代数式是完全平方式，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．根据等式：，，，，…的规律，则可以推算得出等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．计算：________．
12．已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______．
13．若关于的方程组的解满足，则的值是___________．
14．已知x、y、z满足，，，则的值为___________．
15．如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．要拼出一个宽为、长为的大长方形，小明需要准备C类卡片_______张．
16．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)
18．先化简，再求值：，其中与互为相反数．
19．如图是一套房子的平面图，尺寸如图：
(1)这套房子的总面积可以用代数式表示为多少？
(2)若米，米，则房子的面积为多少平方米？
20．如图，为线段上一点，以、为一边，在同侧作长方形和长方形，且满足，，记，
(1)记长方形的面积为，长方形的面积为，若，，求．
(2)如图，点是线段上的动点，
①当点从点向左移个单位后，求与的面积之差（结果用含的代数式表示）．
②当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为．当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为，求的值（结果用含的代数式表示）．
21．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________．
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①________；②________．
(3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________．
(4)已知，求代数式的值．
22．如图，现有A，B，C三种不同型号的卡片若干张，其中A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是长为、宽为的长方形，C型卡片是边长为的正方形，其中．请你尝试根据以下两种情况，用不同数量的三类卡片，不重叠无缝隙地拼成一个大正方形．
(1)用1张A型正方形卡片，4张B型长方形卡片和张C型正方形卡片，可以拼成一个大正方形，求的值及此时这个大正方形的边长；
(2)A，B，C三种不同型号的卡片各有50张，从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），取出的这些卡片正好能拼成一个大正方形，当所拼成的大正方形面积最大时，此时需要三类卡片共多少张？
23．教材中，在计算如图①所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
角度一：把它看成是一个大正方形，则它的面积为．
角度二：把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为．因此，可得到等式：．
(1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式：___________；
(2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为___________；
(3)代数式展开、合并同类项后，得到的多项式的项数一共有___________项．
(4)若将代数式展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N一共有___________项．
24．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．）
解：，且，
，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)比较的大小；
(2)比较与的大小；
(3)已知．求之间的等量关系．
