浙教版2026年七年级下册第2章《二元一次方程组》单元检测卷 含解析

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浙教版2026年七年级下册第2章《二元一次方程组》单元检测卷
满分120分 时间120min
姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
4．解方程组 ，得（ ）
A． B． C． D．
5．关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．方程组的解为则被遮盖和的两个数分别为（ ）
A．9， B．9，1 C．7， D．5，1
7．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，相应尺寸如图所示，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．将方程改写成用含的式子表示的形式，则__________．
12．方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为______．
13．用加减法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为________；如果先消去y，可以将方程②变形为________．
14．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元．
15．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____．
16．若关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是___________．
三、解答题（共72分）
17．（6分）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： 解：①×2得：．③ 第一步 ②+③得： 第二步 解得： 第三步 将代入①，得： 第四步 所以原方程组的解为 第五步
任务：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）；
(2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________；
(3)请写出正确的求解过程；
(4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________．
18．（6分）解方程组：
(1)； (2)．
19．（8分）已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解．
20．（8分）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得．
(1)求正确的a，b的值；
(2)求原方程组的正确解．
21．（10分）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组
解：将方程①移项，得③．
把方程③代入②，得．
解得．
把代入③，得．
解得．
∴原方程组的解为．
上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想．
【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组：
(1)
(2)
22．（10分）定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为．
(1)方程的“变更方程”为_____；
(2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____；
(3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
23．（12分）当前国际疫情防控形势仍然复杂严峻，国内多地不断新增新冠肺炎本土病例，因此，防疫任务依然艰巨．面对当前疫情形势，国家迅速反应，果断决策，全民积极行动，奋起抗击．我市中学生积极行动起来，每人拿出自己一天的零花钱，筹款为贫困地区捐赠了一批消毒液，现要将消毒液运往该区．已知用3辆型车和1辆型车装满货物一次可运货9吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货8吨．现有消毒液19吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满消毒液．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨？
(2)请你帮我们设计租车方案；
(3)若1辆型车需租金90元/次，1辆型车需租金110元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
24．（12分）阅读材料，回答问题．
探索《九章算术》中机械化算法思想
《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案．
例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：
（1） （2） （3） （4）
将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值．
(1)直接写出示例方程组的解；
(2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题：
（i）解方程组：
（ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C B C C B C C
1．A
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组需满足：整个方程组共含有两个未知数，所有含未知数的项最高次数为1，且为整式方程，判断二元一次方程组的关键是看未知数的个数和含未知数项的次数，这是解题的关键．根据定义逐一判断选项即可．
【详解】解：二元一次方程组需满足：方程组共含2个未知数，所有含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程组，
对各选项逐一判断：
选项, 该方程组共含两个未知数，所有含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义，符合题意；
选项, 该方程组含有共3个未知数，不符合定义，不符合题意；
选项, 该方程组中项的次数为2，不是一次，不符合定义，不符合题意；
选项, 该方程组中项的次数为2，不是一次，不符合定义，不符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
根据加减消元法先消去未知数y求出x的值，再代入方程求出y的值，进而可得到方程组的解．
【详解】解：，
得，，
解得：，
把代入①得，，
解得：，
∴．
故选：D．
3．C
【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可．
【详解】解：已知是二元一次方程的一组解，
则，
∴
．
4．C
【详解】解：得，
5．B
【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，只需把第一个方程中的表达式代入第二个方程，去括号整理即可得到对应方程。
【详解】解：
∵用代入法消去，
∴把①代入②，得，
去括号得：．
6．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键．把代入求出值，将，代入，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：将代入得：，
将，代入得：，
∴，．
7．C
【分析】设每只雀重量为两，每只燕重量为两，根据五只雀、六只燕，一共重1斤可得第一个方程，根据互换其中一只，恰好一样重可得第二个方程，据此可得答案．
【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两，
∵五只雀、六只燕一共重1斤，即16两，
∴可得第一个方程，
互换其中一只后，一边剩余4只雀，得到1只燕，另一边剩余5只燕，得到1只雀，此时两边重量相等，
∴可得第二个方程，
因此所列方程组为．
8．B
【分析】本题利用绝对值与平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此列出三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值，再匹配选项即可．
【详解】解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，，
又∵
∴ 可得方程组：
① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组：
给(2)式两边同乘3得： (4)，
(1)+(4)得：，
解得，
将代入(2)式得：，
解得，
② 将，代入(3)式得：，
解得，
∴ 方程组的解为，
故选：B．
9．C
【分析】设小长方形的长和宽为未知数，根据大长方形的长和宽的等量关系列出方程组，求解得出小长方形的宽，即为的长度．
【详解】解：设小长方形的长为，宽为，
根据图形列方程组得：，
解得：，
根据图形关系：，
∴的长为．
10．C
【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。
【详解】解：方程组的解为，
故中，
解得．
11．
【分析】把看作已知数求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
12．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解．
【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴且，
∴且，
解得．
13．
【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过扩大适当的倍数，使某个字母的系数相等或互为相反数，以便消元．
【详解】解：为了先消去，需使方程①和②中的系数相等，
故将方程①乘以2，得 ；
为了先消去，需使方程①和②中的系数互为相反数，
故将方程②乘以3，得 ．
故答案为：，．
14．
【分析】设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据他们的对话，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：永州款的单价为元．
15．
【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值．
将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可．
【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得，
，
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴方程组的解为，
把方程组中含的两个方程联立得，
，
把代入得，
得，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】首先将变形得，然后由已知条件即可得出，从而得出答案．
【详解】解：原式变形可得，
令，
则化简为：，
方程和为系数完全相同的二元一次方程组，即同解，
∴
∴，
解得．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出答案．
17．(1)加减消元法
(2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2
(3)见解析
(4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可）
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键．
（1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法；
（2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误；
（3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案；
（4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可．
【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法．
（2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2．
（3）解：①×2得：，③
②+③得：，
解，得，
将代入①得：，
∴原方程组的解为．
（4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可）
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解；
（2）利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：
将代入得，，
解得，
将代入得，，
因此该方程组的解为；
（2）解：
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
因此该方程组的解为．
19．
【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组特殊解法．先解方程组，求出用a表示的x、y的值，由题意，可以整除，根据整除关系得到的因数为,，再尝试求得整数a，使x、y都是整数．
【详解】解：解原方程组得，，
由于
则可以整除，即可以整除，
故可知，，
则的因数为,
当时，舍去，
当时，舍去，
当时，舍去，
当时，，
把代入解得，
∴原方程组的整数解为．
20．(1)，；
(2)．
【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案；
（）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，
∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，
∴，，
∴，；
（2）解：由（）得，，，
∴原方程组为，
由得，，
把代入得，解得，
把代入得，，
∴方程组的解为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可；
（2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可．
【详解】（1）解：将方程①移项，得③
把方程③代入②得
解得
把代入③，得
∴方程组的解为
（2）解：由①得，③
把③代入②得
解得
把代入①得，
解得
∴方程组的解为．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键．
（1）根据“变更方程”的定义可得方程即可；
（2）联立方程组求解即可；
（3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可．
【详解】（1）解：方程的“变更方程”为，
故答案为：；
（2）解：，
①②得：，
解得，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为：，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
方程与它的“变更方程”组成的方程组为，
解得，
∴把代入可得，
即，
∴
．
23．(1)1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨
(2)共有3种租车方案，具体见详解
(3)选租车方案3最省钱，最少租车费为730元
【分析】（1）设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨，根据“用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货9吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“一次运完19吨消毒液，且恰好每辆车都载满消毒液”，即可得出关于的二元一次方程，结合均为整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金每辆A型车的租金租用A型车的数量每辆B型车的租金租用B型车的数量，即可分别求出选用各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设1辆A型车载满消毒液一次可运送吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送吨，
依题意得，解得，
答：1辆A型车载满消毒液一次可运送2吨，1辆B型车载满消毒液一次可运送3吨；
（2）解：依题意得，
∴，
又均为整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案：
方案1：租用A型车8辆，B型车1辆；
方案2：租用A型车5辆，B型车3辆；
方案3：租用A型车2辆，B型车5辆；
（3）解：选用方案1所需租车费为（元）；
选用方案2所需租车费为（元）；
选用方案3所需租车费为（元）；
，
∴选租车方案3最省钱，最少租车费为730元．
24．(1)
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值；
（2）根据材料的方法仿照解题即可．
【详解】（1）解：方程组，
由③得，，
代入②，解得，
代入①，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：（i）方程组，
仿照材料可得：
最后一个数阵对应的方程组是，
由⑥得，
代入⑤，解得，
代入④，解得，
∴方程组的解为；
（ii）方程组，
仿照材料可得：
最后一个数阵对应的方程组是
，
当，即时，
由⑥得，
代入⑤，解得，
代入④，解得，
∴方程组的解为，符合题意；
∴．
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