浙教版 数学七年级下册 4.1 因式分解的意义 三阶训练
一、选择题
1．（2025八上·麻章期末）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
4．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
5．（2023七下·曲阳期末）如下表，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025七下·柯桥期末） 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．6x＝2 3x
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2
7．（2023八下·揭东期末）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x2-1．②3a2-6a=3a(a-2)．
③9a2-12a+4=(3a-2)2．④3abc3=3c·abc2．
其中属于因式分解的有 (填序号)
9．（1） 若 ， 则
（2）分解因式 ： 甲看错了 的值， 分解的结果是 ； 乙看错了 的值， 分解的结果是 ． 则
10．（2024七下·杭州期末）已知，则 ．
11．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
12．已知x2+mx-12=(x+ p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则整数m的最大值为
三、解答题
13．检验下列因式分解是否正确．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
14．在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解的结果为（x+2）（x+4）；小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），求a+b的值．
15． 仔细阅读下面的例题：
例题： 已知二次三项式 有一个因式是 ， 求另一个因式及 的值．
解： 设另一个因式为 ， 得 ，
则 ，
， 解得 ．
另一个因式为 的值为 6 ．
依照以上方法解答问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ， 求另一个因式以及 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不符合题意；
B、等式左边不是多项式，不符合题意；
C、等式的右边含有分式，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的概念，一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此逐个进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：①，不是因式分解，不符合题意；
②，错误，不符合题意；
③，不能因式分解，不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解： (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3=x2-2x-3.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，故利用多项式乘以多项式的法则求出两个多项式的积，即可判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
5．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，所以是因式分解的有1个.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解概念判断即可.
6．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：(a+1)(a-1)=a2-1是乘法运算，则A不符合题意，
6x=2·3x中等号左边是单项式，则B不符合题意，
x2+2x+1=x(x+2)+1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，
-a2+6a-9=-(a-3)2符合因式分解的定义，则D符合题意，
故答案为：D.
【分析】因式分解是将多项式写成几个整式的积的形式.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 属于整式乘法，故不符合题意；
B、 ，属于因式分解，故符合题意；
C、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
D、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
8．【答案】②③
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：①（x+1）（x-1）=x2-1，是多项式乘多项式误；
②3a2-6a=3a（a-2），是因式分解；
③9a2-12a+4=（3a-2）2，是因式分解；
④3abc3=3c·abc2，不是因式分解；
故答案为：②③.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式分析即可得出答案.
9．【答案】（1）1
（2）-7
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：（1）根据题意有，
∴，
解得.
所以.
故答案为：1；
（2）根据题意，因为 ，甲错看a值，但b值没看错，即b=-6.
又因为，乙看错b值，但a值没看错，即a=-1.
所以a+b=-1-6=-7.
故答案为：-7.
【分析】（1）先展开等式右边，并与等式左边的多项式比较各项，得出m、n的值后代入计算即可；（2）先分别展开甲、乙错误的因式分解结果，后根据甲、乙各自看对的值确定a、b后代入计算即可.
10．【答案】12
【知识点】负整数指数幂；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+4）=x2+x-12，
又，
∴，
∴m=-1，n=-12，
∴ [（-1）÷（-12）]-1==12．
故答案为：12．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x-3）（x+4），即可得出，求得m与n的值，再将其代入计算即可．
11．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
12．【答案】11
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵ x2+mx-12=(x+ p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq，
∴p+q=m，pq=-12，
∵-12=-1×12=-2×6=-3×4=-4×3=-6×2=-12×1，
而-1+12=11，-2+6=4，-3+4=1，-4+3=-1，-6+2=-4，-12+1=-11，
11＞4＞1＞-1＞-4＞-11，
∴m的最大值为11.
故答案为：11.
【分析】根据十字相乘法的特点得p+q=m，pq=-12，进而将-12分解因数后，再求两个因数的和，最后比大小即可.
13．【答案】（1）解：，
因式分解 不正确．
（2）解：，
因式分解 正确．
（3）解：，
因式分解 不正确．
（4）解： ，
因式分解 不正确．
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【分析】通过判断等式右边相乘所得结果是否与等式左边相等即可求解.
14．【答案】解：∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，（x-1）（x-9）=x2-10x+9，
由题意可知：a=6，b=9，
∴a+b=15.
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】由题意可知，小明看错了b，分解的结果是（x+2）（x+4），那么展开（x+2）（x+4）得到的结果是：x2+6x+8，所以展开的结果中a没有错，所以可以得到a=6；同理：小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），（x-1）（x-9）=x2-10x+9，所以展开式中的b没有错，所以b=9，进而就可以求出a+b的值.
15．【答案】解 ： 设另一个因式为 ，
得 ，
则 ，
， 解得 ，
另一个因式为 的值为 5 ．
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】设另一个因式为 ，得，对比等号两边的二次三项式系数，即可得解.
1 / 1浙教版 数学七年级下册 4.1 因式分解的意义 三阶训练
一、选择题
1．（2025八上·麻章期末）下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，不符合题意；
B、等式左边不是多项式，不符合题意；
C、等式的右边含有分式，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选：D．
【分析】根据因式分解的概念，一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此逐个进行判断即可．
2．下列因式分解正确的个数是（ ）
①；
②；
③．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】A
【知识点】因式分解的概念；因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：①，不是因式分解，不符合题意；
②，错误，不符合题意；
③，不能因式分解，不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
3．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解： (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3=x2-2x-3.
故答案为：C.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，故利用多项式乘以多项式的法则求出两个多项式的积，即可判断得出答案.
4．对于①x-3xy=x(1-3y)，②(x+3)(x-1)从左到右的变形中，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：①为因式分解，②为多项式的乘法运算.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式得恒等变形就是因式分解，把几个整式的积化为一个多项式的变形就是整式乘法，逐项分析即可.
5．（2023七下·曲阳期末）如下表，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，所以是因式分解的有1个.
故答案为：A.
【分析】根据因式分解概念判断即可.
6．（2025七下·柯桥期末） 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．6x＝2 3x
C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．﹣a2+6a﹣9＝﹣（a﹣3）2
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：(a+1)(a-1)=a2-1是乘法运算，则A不符合题意，
6x=2·3x中等号左边是单项式，则B不符合题意，
x2+2x+1=x(x+2)+1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，
-a2+6a-9=-(a-3)2符合因式分解的定义，则D符合题意，
故答案为：D.
【分析】因式分解是将多项式写成几个整式的积的形式.
7．（2023八下·揭东期末）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 属于整式乘法，故不符合题意；
B、 ，属于因式分解，故符合题意；
C、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
D、 ，不属于因式分解，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
二、填空题
8．下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x2-1．②3a2-6a=3a(a-2)．
③9a2-12a+4=(3a-2)2．④3abc3=3c·abc2．
其中属于因式分解的有 (填序号)
【答案】②③
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：①（x+1）（x-1）=x2-1，是多项式乘多项式误；
②3a2-6a=3a（a-2），是因式分解；
③9a2-12a+4=（3a-2）2，是因式分解；
④3abc3=3c·abc2，不是因式分解；
故答案为：②③.
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式分析即可得出答案.
9．（1） 若 ， 则
（2）分解因式 ： 甲看错了 的值， 分解的结果是 ； 乙看错了 的值， 分解的结果是 ． 则
【答案】（1）1
（2）-7
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：（1）根据题意有，
∴，
解得.
所以.
故答案为：1；
（2）根据题意，因为 ，甲错看a值，但b值没看错，即b=-6.
又因为，乙看错b值，但a值没看错，即a=-1.
所以a+b=-1-6=-7.
故答案为：-7.
【分析】（1）先展开等式右边，并与等式左边的多项式比较各项，得出m、n的值后代入计算即可；（2）先分别展开甲、乙错误的因式分解结果，后根据甲、乙各自看对的值确定a、b后代入计算即可.
10．（2024七下·杭州期末）已知，则 ．
【答案】12
【知识点】负整数指数幂；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+4）=x2+x-12，
又，
∴，
∴m=-1，n=-12，
∴ [（-1）÷（-12）]-1==12．
故答案为：12．
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x-3）（x+4），即可得出，求得m与n的值，再将其代入计算即可．
11．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
12．已知x2+mx-12=(x+ p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则整数m的最大值为
【答案】11
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：∵ x2+mx-12=(x+ p)(x+q) =x2+(p+q)x+pq，
∴p+q=m，pq=-12，
∵-12=-1×12=-2×6=-3×4=-4×3=-6×2=-12×1，
而-1+12=11，-2+6=4，-3+4=1，-4+3=-1，-6+2=-4，-12+1=-11，
11＞4＞1＞-1＞-4＞-11，
∴m的最大值为11.
故答案为：11.
【分析】根据十字相乘法的特点得p+q=m，pq=-12，进而将-12分解因数后，再求两个因数的和，最后比大小即可.
三、解答题
13．检验下列因式分解是否正确．
（1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
【答案】（1）解：，
因式分解 不正确．
（2）解：，
因式分解 正确．
（3）解：，
因式分解 不正确．
（4）解： ，
因式分解 不正确．
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【分析】通过判断等式右边相乘所得结果是否与等式左边相等即可求解.
14．在分解因式x2+ax+b时，小明看错了b，分解的结果为（x+2）（x+4）；小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），求a+b的值．
【答案】解：∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，（x-1）（x-9）=x2-10x+9，
由题意可知：a=6，b=9，
∴a+b=15.
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】由题意可知，小明看错了b，分解的结果是（x+2）（x+4），那么展开（x+2）（x+4）得到的结果是：x2+6x+8，所以展开的结果中a没有错，所以可以得到a=6；同理：小张看错了a，分解的结果为（x-1）（x-9），（x-1）（x-9）=x2-10x+9，所以展开式中的b没有错，所以b=9，进而就可以求出a+b的值.
15． 仔细阅读下面的例题：
例题： 已知二次三项式 有一个因式是 ， 求另一个因式及 的值．
解： 设另一个因式为 ， 得 ，
则 ，
， 解得 ．
另一个因式为 的值为 6 ．
依照以上方法解答问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ， 求另一个因式以及 的值．
【答案】解 ： 设另一个因式为 ，
得 ，
则 ，
， 解得 ，
另一个因式为 的值为 5 ．
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【分析】设另一个因式为 ，得，对比等号两边的二次三项式系数，即可得解.
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