浙教版数学七年级下册 5.1 分式的意义 三阶训练
一、选择题
1．对于分式，下列说法错误的是( )
A．当x=±3时，分式的值为0 B．当x=-3时，分式无意义
C．当x=-4时，分式的值为-7 D．当x>3时，分式的值为正数
2．（2025七下·钱塘期末） 若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·永年开学考）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0；
结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
4．（2024八下·桥西期中）分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零
5．某工程队要修路 20 千米， 原计划平均每天修 千米， 实际平均每天多修了 0.1 千米， 则完成任务提前了（ ）
A． 天 B． 天
C． 天 D． 天
6．若分式 的值为正数， 则 的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若分式的值为整数，则正整数的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
8． 若 则m的值为( )
A．-3 B．-3 或-1 C．1 D．-3或1
二、填空题
9．已知汽车的速度为v千米/时，甲、乙两地的路程是s千米。
（1）该汽车行驶t小时的路程是 千米，从甲地到乙地需要行驶 小时。
（2）如果该汽车的速度加快a千米/时，那么从甲地到乙地需行驶 小时，加快后比加快前少用 小时。
10．若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个即可）
11．（2025八下·青秀开学考）已知分式（为常数）满足表格中的信息：
的取值
分式的值 无意义
则的值是 ．
12．甲种水果每千克a元，乙种水果每千克b元，取甲种水果m(kg)，乙种水果n(kg)，混合后，平均每千克的价格是 元.
13．（2025八上·红花岗期末）对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ．
三、解答题
14．甲、乙两人从一条道路的某处出发，同向而行。已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，a>b。如果乙提前1小时出发，那么甲追上乙需要多少时间 当a=6，b=5时，求甲追上乙所需的时间。
15．（2017七下·大同期末）已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：A.当x=-3时，分式无意义，故A符合题意；
B.当x=-3时，分式无意义，故B不符合题意；
C.当x=-4时，=-7，故C不符合题意；
D.当x>3时，x2-9>0，x+3>0，分式的值为正数，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据代入分式求值，逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】分式的值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵5a 3b=2025=452=52×34，
∴a=2，b=4，
∴．
故选：A．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方得到5a 3b=2025=52×34，确定a、b的值，代入分式中计算即可．灵活运用幂的乘方与积的乘方是解决问题的关键．
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由，
由化简过程可知，，，，；
由题意可知，若使的值为整数且为整数，则，
，
综上所述，．
所以，Ⅰ不对Ⅱ对．
故选：C．
【分析】由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由题意得当时，分子为0，但分母无法确定，
即当-2a-1=0时，分式无意义；当-2a-1≠0时，分式值为0，
∴若时，分式无意义；若时，分式的值为零，
故答案为：D
【分析】根据题意代入x=-a，进而根据分式有意义的条件结合分式值为0的定义即可得到当-2a-1=0时，分式无意义；当-2a-1≠0时，分式值为0，再化简即可求解。
5．【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：设 原计划平均每天修 千米 ，实际每天修（x+0.1）千米，根据题意可得，完成任务提前了 天
故答案为：A.
【分析】本题考查分式的应用，根据题意，得出计划的天数，实际的天数，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：若＞0，因为1＞0，所以x-2＞0，即x＞2. 只有选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】分式的正负根据分子、分母的正负决定，同正为正、同负为正、异号为负.
7．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：，其中，又x为正整数，所以，即，当，解得：
符合题意舍去；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意，故综上所述 正整数的个数为 6个.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，分式取值问题，属于中档题型，根据题意可得：，再根据，结合6的因数进行求解即可.
8．【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：当m-1=0时，此时m=1，，，所以；
当m-1≠0时， 两边同除以，得|m+2|=1，解得m=-3或m=-1(舍去）.
故答案为：D.
【分析】分“m-1=0”、“m-1≠0”两种情况，分别求出m的值，注意分母不能为零.
9．【答案】（1）vt；
（2）；
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：（1）已知汽车速度是v千米/时，则行驶t小时的路程是v×t=vt千米.
又已知甲、乙两地的路程是s千米，则 从甲地到乙地需要行驶小数.
故答案为：vt；.
（2） 汽车的速度加快a千米/时，即速度变为v+a千米/时， 那么从甲地到乙地需行驶小时， 加快后比加快前少用小数.
故答案为：；
【分析】（1）根据等量关系“路程=速度×时间”可得；
（2）关键在于由条件得到新的速度表达式，再代入计算.
10．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】设这个分式为，将m=5代入得到=12，a=60，故这个分式是．
故答案为：.
【分析】根据分式的定义，分母中一定含有字母，根据题意要求要含有字母m，所以可以把分式的分母为m，再结合已知，分式的值为12，最简单的就是.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；负整数指数幂
【解析】【解答】解：当时，分式无意义，
，
，
当时，分式值为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分式无意义的条件是“分母等于0”据此列出方程可求出b的值，分式值为零的条件是“分子等于零，且分母不为零”，据此列出方程可求出a的值，最后根据负整数指数幂的性质“”进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：∵甲种水果每千克a元，乙种水果每千克b元，
∴购买甲种水果m(kg)，乙种水果n(kg)，价格为：，
∴平均每千克的价格为：，
故答案为：.
【分析】根据题意求出购买甲种水果m(kg)，乙种水果n(kg)的价格，进而即可求解.
13．【答案】
【知识点】分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题目中新定义的运算法则得到，然后整体代入解题．
14．【答案】解：由题意，乙先行1小时的路程是1×b=b(千米)，设甲追上乙需要x时，则有ax=b（x+1），即ax=bx+b，于是（时）.
当a=6，b=5时，甲追上乙所需的时间是 (时).
答：甲追上乙需要 小时。当a=6，b=5时，甲追上乙需要5小时.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】（1）首先设甲追上乙需要x小时追上乙，根据题意得出：ax=b（x+1），进而求出即可；（2）把a=6，b=5代入（1）中所求关系式即可
15．【答案】解：由 ，解得 ，
∵x，y，z都不为零，
∴ = .
【知识点】分式的值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】对于本题涉及到三元一次方程组的解答，首先将z看成已知数，解出含有z表示的关于x和y的不等式的解，再将含z表示的x和y的值代入所求的代数式中进行化简.
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一、选择题
1．对于分式，下列说法错误的是( )
A．当x=±3时，分式的值为0 B．当x=-3时，分式无意义
C．当x=-4时，分式的值为-7 D．当x>3时，分式的值为正数
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：A.当x=-3时，分式无意义，故A符合题意；
B.当x=-3时，分式无意义，故B不符合题意；
C.当x=-4时，=-7，故C不符合题意；
D.当x>3时，x2-9>0，x+3>0，分式的值为正数，故D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据代入分式求值，逐一判断即可.
2．（2025七下·钱塘期末） 若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：∵5a 3b=2025=452=52×34，
∴a=2，b=4，
∴．
故选：A．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方得到5a 3b=2025=52×34，确定a、b的值，代入分式中计算即可．灵活运用幂的乘方与积的乘方是解决问题的关键．
3．（2024八上·永年开学考）根据分式的性质，可以将分式（为整数）进行如下变形：，其中为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知，的值可以为0；
结论Ⅱ：若使的值为整数，则的值有3个．
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由，
由化简过程可知，，，，；
由题意可知，若使的值为整数且为整数，则，
，
综上所述，．
所以，Ⅰ不对Ⅱ对．
故选：C．
【分析】由分式的性质可知，，从而可得结论Ⅰ不对，由的值为整数且为整数，则，即可得出结论Ⅱ正确
4．（2024八下·桥西期中）分式中，当时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：由题意得当时，分子为0，但分母无法确定，
即当-2a-1=0时，分式无意义；当-2a-1≠0时，分式值为0，
∴若时，分式无意义；若时，分式的值为零，
故答案为：D
【分析】根据题意代入x=-a，进而根据分式有意义的条件结合分式值为0的定义即可得到当-2a-1=0时，分式无意义；当-2a-1≠0时，分式值为0，再化简即可求解。
5．某工程队要修路 20 千米， 原计划平均每天修 千米， 实际平均每天多修了 0.1 千米， 则完成任务提前了（ ）
A． 天 B． 天
C． 天 D． 天
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：设 原计划平均每天修 千米 ，实际每天修（x+0.1）千米，根据题意可得，完成任务提前了 天
故答案为：A.
【分析】本题考查分式的应用，根据题意，得出计划的天数，实际的天数，可得答案.
6．若分式 的值为正数， 则 的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：若＞0，因为1＞0，所以x-2＞0，即x＞2. 只有选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】分式的正负根据分子、分母的正负决定，同正为正、同负为正、异号为负.
7．若分式的值为整数，则正整数的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值
【解析】【解答】解：，其中，又x为正整数，所以，即，当，解得：
符合题意舍去；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意；当，解得：，符合题意，故综上所述 正整数的个数为 6个.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查分式有意义的条件，分式取值问题，属于中档题型，根据题意可得：，再根据，结合6的因数进行求解即可.
8． 若 则m的值为( )
A．-3 B．-3 或-1 C．1 D．-3或1
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：当m-1=0时，此时m=1，，，所以；
当m-1≠0时， 两边同除以，得|m+2|=1，解得m=-3或m=-1(舍去）.
故答案为：D.
【分析】分“m-1=0”、“m-1≠0”两种情况，分别求出m的值，注意分母不能为零.
二、填空题
9．已知汽车的速度为v千米/时，甲、乙两地的路程是s千米。
（1）该汽车行驶t小时的路程是 千米，从甲地到乙地需要行驶 小时。
（2）如果该汽车的速度加快a千米/时，那么从甲地到乙地需行驶 小时，加快后比加快前少用 小时。
【答案】（1）vt；
（2）；
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：（1）已知汽车速度是v千米/时，则行驶t小时的路程是v×t=vt千米.
又已知甲、乙两地的路程是s千米，则 从甲地到乙地需要行驶小数.
故答案为：vt；.
（2） 汽车的速度加快a千米/时，即速度变为v+a千米/时， 那么从甲地到乙地需行驶小时， 加快后比加快前少用小数.
故答案为：；
【分析】（1）根据等量关系“路程=速度×时间”可得；
（2）关键在于由条件得到新的速度表达式，再代入计算.
10．若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个即可）
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】设这个分式为，将m=5代入得到=12，a=60，故这个分式是．
故答案为：.
【分析】根据分式的定义，分母中一定含有字母，根据题意要求要含有字母m，所以可以把分式的分母为m，再结合已知，分式的值为12，最简单的就是.
11．（2025八下·青秀开学考）已知分式（为常数）满足表格中的信息：
的取值
分式的值 无意义
则的值是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；负整数指数幂
【解析】【解答】解：当时，分式无意义，
，
，
当时，分式值为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分式无意义的条件是“分母等于0”据此列出方程可求出b的值，分式值为零的条件是“分子等于零，且分母不为零”，据此列出方程可求出a的值，最后根据负整数指数幂的性质“”进行计算即可.
12．甲种水果每千克a元，乙种水果每千克b元，取甲种水果m(kg)，乙种水果n(kg)，混合后，平均每千克的价格是 元.
【答案】
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：∵甲种水果每千克a元，乙种水果每千克b元，
∴购买甲种水果m(kg)，乙种水果n(kg)，价格为：，
∴平均每千克的价格为：，
故答案为：.
【分析】根据题意求出购买甲种水果m(kg)，乙种水果n(kg)的价格，进而即可求解.
13．（2025八上·红花岗期末）对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题目中新定义的运算法则得到，然后整体代入解题．
三、解答题
14．甲、乙两人从一条道路的某处出发，同向而行。已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，a>b。如果乙提前1小时出发，那么甲追上乙需要多少时间 当a=6，b=5时，求甲追上乙所需的时间。
【答案】解：由题意，乙先行1小时的路程是1×b=b(千米)，设甲追上乙需要x时，则有ax=b（x+1），即ax=bx+b，于是（时）.
当a=6，b=5时，甲追上乙所需的时间是 (时).
答：甲追上乙需要 小时。当a=6，b=5时，甲追上乙需要5小时.
【知识点】分式的值
【解析】【分析】（1）首先设甲追上乙需要x小时追上乙，根据题意得出：ax=b（x+1），进而求出即可；（2）把a=6，b=5代入（1）中所求关系式即可
15．（2017七下·大同期末）已知x，y，z都不为零，且满足4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0．求 的值.
【答案】解：由 ，解得 ，
∵x，y，z都不为零，
∴ = .
【知识点】分式的值；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】对于本题涉及到三元一次方程组的解答，首先将z看成已知数，解出含有z表示的关于x和y的不等式的解，再将含z表示的x和y的值代入所求的代数式中进行化简.
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