浙教版数学七年级下册期中模拟测试二[范围：1-3章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·南海月考）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·杭州期中）图中，与是同位角的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·南湖期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026七下·期中）计算的 结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·广州期中）用代入法解方程组，正确的解法是（ ）
A．先将变形为，再代入
B．先将变形为，再代入
C．先将变形为，再代入
D．先将变形为，再代入
6．（2025七下·市北区期末）如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·深圳期中）《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·沿河月考）若(x－2)(x＋a)＝x2＋bx－6，则( )
A．a＝3，b＝－5 B．a＝3，b＝1
C．a＝－3，b＝－1 D．a＝－3，b＝－5
9．（2025七下·龙湖期中）下列说法正确的个数（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024七下·沿河期中）如图，，则满足的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·凉州月考）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行．
12．（2024八上·双流期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
13．（2025七下·新田期中）已知，，则的值为 ．
14．（2025八上·南山期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=6，则k= .
15．如图，AB＝4 cm，BC＝5 cm，AC＝2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5)，得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm.
16．（2025七下·越城期中）已知实数a，b，定义运算：，若-3)=1，则a= ．
三、解答题（17-20每题8分，21题7分，22题12分、23题9分，24题12分，共72分）
17．（2024七下·慈溪期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·龙港期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（2025七下·台州期中）图①、图②均为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的顶点均在格点上，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺按要求作图并解答。
（1）在图①中过点B画线段AC的平行线BD.
（2）将△ABC向右上方平移，使点B平移到点B'，
ⅰ. 请在图②中画出经平移后得到的△A'B'C'；
ⅱ.△A'B'C'可以看成是∠ABC先向上平移 ▲ 个单位长度，再向右平移 ▲ 个单位长度得到.
20．（2025八上·长沙期中）若已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
21．（2025七下·泸州期中）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：（请把以下过程补充完整）
证明：（已知）
且（___________），
___________（等量代换），
（___________），
+___________（___________），
（已知）
___________（___________），
．
22．（2025七下·绵阳期中）某班级去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
（1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
23．（2024七下·新晃期中） 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题，甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请求出正确的，的值．
24．（2025七下·贵州期中）如图1，为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．灯A射线从开始．以每秒2度的速度顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始，以每秒1度的速度顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．主道路是平行的即，．
（1）填空： ；
（2）若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒．两灯的光束互相平行（如图2，3）？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，则在灯B射线到达之前，A灯转动几秒时，．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据题意，得A，B，C不是利用图形的平移得到，D是利用图形的平移得到，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是内错角不是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线同方向，且在截线同侧的两个角就是同位角，同位角形如字母“F”，据此可逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、3x+7=4y是二元一次方程，故符合题意；
B、5x-1=0不是二元一次方程，故不符合题意；
C、x2-2x+1=0是一元二次方程，故不符合题意；
D、x-2xy=6是二元二次方程，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：(-a)3-(-a)4 =(-a)3+4 =(-a)7=-a7，
故选：D.
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：、先将变形为，则，原选项错误，不符合题意；
、先将变形为，则，原选项正确，符合题意；
、先将变形为，则，原选项错误，不符合题意；
、先将变形为，原选项错误，不符合题意；
故选：．
【分析】根据等式的性质，结合代入消元法解方程组即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图甲可以看作一个长方形，
∴面积为，
图乙可以看作两个正方形的面积差，
∴其面积为：，
两个图的面积相等，
，
故答案为：D．
【分析】图甲可看作一个长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，根据长方形面积公式表示出图甲的面积；图乙得面积可看成一个长为(a+b)的正方形与一个长为b的正方形的面积的差，结合正方形面积公式表示出图乙的面积，最后根据两个图的面积相等建立等式即可判断得出答案.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得．
故答案为：D．
【分析】根据“ 用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺． ”即可得出二元一次方程组。
8．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原方程可化为：x2+（a-2）x-2a=x2+bx-6，
故 ，解得 ．
故选B．
【分析】根据多项式乘多项式将等号左边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的个数有2个，
故选：B．
【分析】本题考查垂线的性质、垂直的定义、对顶角的定义、点到直线的距离及平行公理，解题核心是准确掌握每个概念和定理的细节表述。解题时逐一分析每个说法，结合相关定义和定理判断正误，注意点到直线的距离是垂线段的长度，平行公理中要求“过直线外一点”，对顶角不仅有公共顶点且相等，还需两边互为反向延长线。
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在原图中有结论：，
故答案为：C.
【分析】过点作，过点作，根据平行公理的推论得，然后根据平行线的性质可得，最后进行整理即可得到答案.
11．【答案】70
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
木条转动时．
当时，．
∴当时，木条a与b平行．
故答案为：70．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x与y的值代入方程ax+2y=-3可得关于字母a的一元一次方程，求解即可得出a的值．
13．【答案】72
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
14．【答案】10
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
∴①+②可得：3x+3y=2k-2
∴
∵x+y=6
∴
解得：k=10
故答案为：10
【分析】①②两式相加可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】11
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：DE=AB=4cm，AAD=BE=acm，
∴阴影部分的周长：=AD+EC+AC+DE=a+(5-a)+2+4=11(cm)，
故答案为：11.
【分析】根据平移的性质得到DE=AB=4cm，AD=BE=acm，根据周长公式计算，得到答案.
16．【答案】3或1或-1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵a (a 3)=3，3＞0，
∴
当a=1时，，成立；
当a=-1时，，成立；
当a≠±1时，有a-3=0，记得a=3.
故答案为：3或1或-1.
【分析】 本题定义了一种新的运算“※”，需要根据运算规则分情况讨论。首先比较a与a 3的大小，确定使用哪种运算方式，然后分a=1、a=-1、a≠±1三种情况讨论，从而可解.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用“幂的乘方、积的乘方”法则进行乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则进行乘法运算，最后合并同类项；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴将①代入②得：，
解得：，
∴将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：∵，
∴①－②得：，
解得：，
∴将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用“代入消元法”解二元一次方程组即可；
（2）利用“加减消元法”解二元一次方程组即可.
（1）解：，
解：将①代入②得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
①－②得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴原方程组的解为．
19．【答案】（1）解：如图
（2）解： ⅰ. 由题意可知，
ⅱ. 1；2。
【知识点】作图﹣平移；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】 解：(2)、ⅱ. △A'B'C'可以看成是△ABC先向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到.
故答案为：(2)、ⅱ. 1；2。
【分析】（1）过点B画线段AC的平行线BD，可以看做是将AC平移到BD，即C点向右平移2个单位长度，因此A点也向右平移2个单位长度到D点，连接BD即可；
（2）B'点已经给出，可以看做是B点先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度到达B'，那么同样A点和C点也按照相同的移动步骤，分别移动到A'和C'点，最后连接A'B'C'即可。因此也可以看成△ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到.
20．【答案】（1）解：①，②，
①②得：，
∴．
（2）①②得：，
即
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，进行变形、化简、代值求解即可；
（2）将（1）中两个等式相减求解即可．
（1）解：①，②，
①②得：，
则．
（2）①②得：，
即．
21．【答案】证明：（已知）
且（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知）
（两直线平行，内错角相等），
．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合应用。解题思路是先利用对顶角相等和已知条件∠ 1=∠ 2，通过等量代换得到∠ BFD=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”判定CBDE，再结合AB CD，利用“两直线平行，内错角相等”得到 B= C，最后通过等量代换和“两直线平行，同旁内角互补”完成证明。关键是准确运用平行线的判定定理和性质定理，理清角之间的转化关系。
22．【答案】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、二元一次方程整数解问题以及基于代数条件的方案分析，重点在于将文字信息转化为数学模型，并通过方程（组）的求解与整数约束得出可行方案。（1）求两款奶茶的单价：设未知数 x， y 分别表示 A、B 的单价，根据两次购买的总价列出两个方程，组成方程组，通过加减消元法或代入法求解，得到单价。
（2）在不加料情况下求购买方案：设购买杯数分别为 m， n，根据总价 220 元列出方程 10m + 12n = 220，化简后通过枚举或整除关系求出所有正整数解，并注意两种款式都要购买这一条件，从而确定方案种数。
（3）在加料与不加料条件下求特定杯数：合理设出不同加料情况的杯数（如 A 款不加料杯数为 a，根据总杯数关系表示出其余部分），再结合总花费 260 元建立方程，通过代数变形和整数条件求解出 B 款加料的杯数。
（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，
∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
23．【答案】解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
∴，
∴，
∴，
∴，
∵乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】把第一个多项式中的“+a”换成“-a”，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得2b-3a=11，把第二个多项式中x的系数换成1，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得a+2b=-9，据此得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
24．【答案】（1）
（2）解：设灯A转动t秒，
①如图2，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，A灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行．
（3）解：设灯A射线转动时间为t秒，∵，
∴，
如图：过C作
∴
∵
∴
∴
∴
由题意可得：或
又∵
∴或，解得：或
当，此时与没有交点，不符合题意，
如图4，当时，同理可得：
由题意可得：，
∵
∴，解得：，
综上所述，在灯B射线到达之前，两灯转动140秒或100秒．
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：．
【分析】（1）根据邻补角的定义和比值，求出的度数即可；
（2）设灯A转动t秒，如图2，根据，即可得到，根据角的和差得到，列关于t的方程解答即可；用同样的方法解答图3的情况；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，分为C在AB左侧或C在AB左侧两种情况，分别画图，根据平行线的性质列方程求出时间t即可．
（1）解：∵，
∴，．
故答案为：．
（2）解：设灯A转动t秒，
①如图2，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，A灯转动10秒．两灯的光束互相平行．
（3）解：设灯A射线转动时间为t秒，
∵，
∴，
如图：过C作
∴
∵
∴
∴
∴
由题意可得：或
又∵
∴或，解得：或
当，此时与没有交点，不符合题意，
如图4，当时，同理可得：
由题意可得：，
∵
∴，解得：，
综上所述，在灯B射线到达之前，两灯转动140秒或100秒．
1 / 1浙教版数学七年级下册期中模拟测试二[范围：1-3章]
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·南海月考）甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：根据题意，得A，B，C不是利用图形的平移得到，D是利用图形的平移得到，
故答案为：D．
【分析】根据图形平移的性质，据此逐项进行判断即可.
2．（2025七下·杭州期中）图中，与是同位角的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是内错角不是同位角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意；
C、∠1与∠2是同位角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2不是同位角，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的在被截直线同方向，且在截线同侧的两个角就是同位角，同位角形如字母“F”，据此可逐一判断得出答案.
3．（2025七下·南湖期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、3x+7=4y是二元一次方程，故符合题意；
B、5x-1=0不是二元一次方程，故不符合题意；
C、x2-2x+1=0是一元二次方程，故不符合题意；
D、x-2xy=6是二元二次方程，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程.
4．（2026七下·期中）计算的 结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：(-a)3-(-a)4 =(-a)3+4 =(-a)7=-a7，
故选：D.
【分析】根据同底数幂的乘法即可求出答案.
5．（2025七下·广州期中）用代入法解方程组，正确的解法是（ ）
A．先将变形为，再代入
B．先将变形为，再代入
C．先将变形为，再代入
D．先将变形为，再代入
【答案】B
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：、先将变形为，则，原选项错误，不符合题意；
、先将变形为，则，原选项正确，符合题意；
、先将变形为，则，原选项错误，不符合题意；
、先将变形为，原选项错误，不符合题意；
故选：．
【分析】根据等式的性质，结合代入消元法解方程组即可求出答案.
6．（2025七下·市北区期末）如图，从图甲到图乙的变换过程中，能表示两个图形面积关系的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图甲可以看作一个长方形，
∴面积为，
图乙可以看作两个正方形的面积差，
∴其面积为：，
两个图的面积相等，
，
故答案为：D．
【分析】图甲可看作一个长为(a+b)，宽为(a-b)的长方形，根据长方形面积公式表示出图甲的面积；图乙得面积可看成一个长为(a+b)的正方形与一个长为b的正方形的面积的差，结合正方形面积公式表示出图乙的面积，最后根据两个图的面积相等建立等式即可判断得出答案.
7．（2025八上·深圳期中）《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得．
故答案为：D．
【分析】根据“ 用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺． ”即可得出二元一次方程组。
8．（2023七下·沿河月考）若(x－2)(x＋a)＝x2＋bx－6，则( )
A．a＝3，b＝－5 B．a＝3，b＝1
C．a＝－3，b＝－1 D．a＝－3，b＝－5
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原方程可化为：x2+（a-2）x-2a=x2+bx-6，
故 ，解得 ．
故选B．
【分析】根据多项式乘多项式将等号左边化简，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
9．（2025七下·龙湖期中）下列说法正确的个数（ ）
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】垂线的概念；点到直线的距离；对顶角及其性质；平行公理
【解析】【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法正确；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故该说法正确；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故该说法不正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该说法不正确；
故正确的个数有2个，
故选：B．
【分析】本题考查垂线的性质、垂直的定义、对顶角的定义、点到直线的距离及平行公理，解题核心是准确掌握每个概念和定理的细节表述。解题时逐一分析每个说法，结合相关定义和定理判断正误，注意点到直线的距离是垂线段的长度，平行公理中要求“过直线外一点”，对顶角不仅有公共顶点且相等，还需两边互为反向延长线。
10．（2024七下·沿河期中）如图，，则满足的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过点作，过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在原图中有结论：，
故答案为：C.
【分析】过点作，过点作，根据平行公理的推论得，然后根据平行线的性质可得，最后进行整理即可得到答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·凉州月考）如图，将木条，与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行．
【答案】70
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
木条转动时．
当时，．
∴当时，木条a与b平行．
故答案为：70．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
12．（2024八上·双流期中）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为 ．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x与y的值代入方程ax+2y=-3可得关于字母a的一元一次方程，求解即可得出a的值．
13．（2025七下·新田期中）已知，，则的值为 ．
【答案】72
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方的逆运算即可求出答案.
14．（2025八上·南山期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=6，则k= .
【答案】10
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
∴①+②可得：3x+3y=2k-2
∴
∵x+y=6
∴
解得：k=10
故答案为：10
【分析】①②两式相加可得，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．如图，AB＝4 cm，BC＝5 cm，AC＝2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5)，得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 cm.
【答案】11
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知：DE=AB=4cm，AAD=BE=acm，
∴阴影部分的周长：=AD+EC+AC+DE=a+(5-a)+2+4=11(cm)，
故答案为：11.
【分析】根据平移的性质得到DE=AB=4cm，AD=BE=acm，根据周长公式计算，得到答案.
16．（2025七下·越城期中）已知实数a，b，定义运算：，若-3)=1，则a= ．
【答案】3或1或-1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵a (a 3)=3，3＞0，
∴
当a=1时，，成立；
当a=-1时，，成立；
当a≠±1时，有a-3=0，记得a=3.
故答案为：3或1或-1.
【分析】 本题定义了一种新的运算“※”，需要根据运算规则分情况讨论。首先比较a与a 3的大小，确定使用哪种运算方式，然后分a=1、a=-1、a≠±1三种情况讨论，从而可解.
三、解答题（17-20每题8分，21题7分，22题12分、23题9分，24题12分，共72分）
17．（2024七下·慈溪期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先利用“幂的乘方、积的乘方”法则进行乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则进行乘法运算，最后合并同类项；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可.
18．（2025七下·龙港期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴将①代入②得：，
解得：，
∴将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：∵，
∴①－②得：，
解得：，
∴将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用“代入消元法”解二元一次方程组即可；
（2）利用“加减消元法”解二元一次方程组即可.
（1）解：，
解：将①代入②得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
①－②得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴原方程组的解为．
19．（2025七下·台州期中）图①、图②均为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的顶点均在格点上，根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺按要求作图并解答。
（1）在图①中过点B画线段AC的平行线BD.
（2）将△ABC向右上方平移，使点B平移到点B'，
ⅰ. 请在图②中画出经平移后得到的△A'B'C'；
ⅱ.△A'B'C'可以看成是∠ABC先向上平移 ▲ 个单位长度，再向右平移 ▲ 个单位长度得到.
【答案】（1）解：如图
（2）解： ⅰ. 由题意可知，
ⅱ. 1；2。
【知识点】作图﹣平移；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】 解：(2)、ⅱ. △A'B'C'可以看成是△ABC先向上平移 1 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度得到.
故答案为：(2)、ⅱ. 1；2。
【分析】（1）过点B画线段AC的平行线BD，可以看做是将AC平移到BD，即C点向右平移2个单位长度，因此A点也向右平移2个单位长度到D点，连接BD即可；
（2）B'点已经给出，可以看做是B点先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度到达B'，那么同样A点和C点也按照相同的移动步骤，分别移动到A'和C'点，最后连接A'B'C'即可。因此也可以看成△ABC先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到.
20．（2025八上·长沙期中）若已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：①，②，
①②得：，
∴．
（2）①②得：，
即
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式，进行变形、化简、代值求解即可；
（2）将（1）中两个等式相减求解即可．
（1）解：①，②，
①②得：，
则．
（2）①②得：，
即．
21．（2025七下·泸州期中）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，若，求证：（请把以下过程补充完整）
证明：（已知）
且（___________），
___________（等量代换），
（___________），
+___________（___________），
（已知）
___________（___________），
．
【答案】证明：（已知）
且（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知）
（两直线平行，内错角相等），
．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质的综合应用。解题思路是先利用对顶角相等和已知条件∠ 1=∠ 2，通过等量代换得到∠ BFD=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”判定CBDE，再结合AB CD，利用“两直线平行，内错角相等”得到 B= C，最后通过等量代换和“两直线平行，同旁内角互补”完成证明。关键是准确运用平行线的判定定理和性质定理，理清角之间的转化关系。
22．（2025七下·绵阳期中）某班级去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
（1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
【答案】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、二元一次方程整数解问题以及基于代数条件的方案分析，重点在于将文字信息转化为数学模型，并通过方程（组）的求解与整数约束得出可行方案。（1）求两款奶茶的单价：设未知数 x， y 分别表示 A、B 的单价，根据两次购买的总价列出两个方程，组成方程组，通过加减消元法或代入法求解，得到单价。
（2）在不加料情况下求购买方案：设购买杯数分别为 m， n，根据总价 220 元列出方程 10m + 12n = 220，化简后通过枚举或整除关系求出所有正整数解，并注意两种款式都要购买这一条件，从而确定方案种数。
（3）在加料与不加料条件下求特定杯数：合理设出不同加料情况的杯数（如 A 款不加料杯数为 a，根据总杯数关系表示出其余部分），再结合总花费 260 元建立方程，通过代数变形和整数条件求解出 B 款加料的杯数。
（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，
∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
23．（2024七下·新晃期中） 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题，甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请求出正确的，的值．
【答案】解：∵甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为
∴，
∴，
∴，
∴，
∵乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式；解二元一次方程组
【解析】【分析】把第一个多项式中的“+a”换成“-a”，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得2b-3a=11，把第二个多项式中x的系数换成1，根据多项式乘多项式的法则展开，比较系数可得a+2b=-9，据此得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
24．（2025七下·贵州期中）如图1，为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．灯A射线从开始．以每秒2度的速度顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始，以每秒1度的速度顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．主道路是平行的即，．
（1）填空： ；
（2）若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒．两灯的光束互相平行（如图2，3）？
（3）若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，则在灯B射线到达之前，A灯转动几秒时，．
【答案】（1）
（2）解：设灯A转动t秒，
①如图2，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，A灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行．
（3）解：设灯A射线转动时间为t秒，∵，
∴，
如图：过C作
∴
∵
∴
∴
∴
由题意可得：或
又∵
∴或，解得：或
当，此时与没有交点，不符合题意，
如图4，当时，同理可得：
由题意可得：，
∵
∴，解得：，
综上所述，在灯B射线到达之前，两灯转动140秒或100秒．
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：．
【分析】（1）根据邻补角的定义和比值，求出的度数即可；
（2）设灯A转动t秒，如图2，根据，即可得到，根据角的和差得到，列关于t的方程解答即可；用同样的方法解答图3的情况；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，分为C在AB左侧或C在AB左侧两种情况，分别画图，根据平行线的性质列方程求出时间t即可．
（1）解：∵，
∴，．
故答案为：．
（2）解：设灯A转动t秒，
①如图2，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，A灯转动10秒．两灯的光束互相平行．
（3）解：设灯A射线转动时间为t秒，
∵，
∴，
如图：过C作
∴
∵
∴
∴
∴
由题意可得：或
又∵
∴或，解得：或
当，此时与没有交点，不符合题意，
如图4，当时，同理可得：
由题意可得：，
∵
∴，解得：，
综上所述，在灯B射线到达之前，两灯转动140秒或100秒．
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