《杨辉三角和两数和的乘方》综合实践活动课

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《杨辉三角和两数和的乘方》综合实践活动课一、合作学习，形成技能师：请同学们准备好2张正方形、2张长方形的纸片（如图1）.将它们拼成一个大正方形，并运用面积之间的关系，验证完全平方式. 生：动手操作完成（如图2），写出验证完全平方式.师：归纳面积验证的思路，大整块面积＝所有小块面积之和.师：请同学们准备好2个立方体、8个长方体的纸盒（如图3）.将它们搭成一个棱长为的立方体，并运用体积之间的关系，写出一条恒等式.生：四人小组合作，动手操作完成(如图4)，写出一条恒等式.生：.（要求按的次数从高到低排列）【设计意图：通过学生的实验操作，得出恒等式，注重了知识的建构，体验了从平面到立体的空间思维，渗透了数形结合的数学思想. 】师：我们已经得到了和展开公式，试想生：学生先独立完成，然后同桌讨论交流. 生1：生2：师：我们也知道下面将计算结果中各展开式的每项系数排列成下表（简称系数表）： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1师：因上表形如三角形，我国古代数学家杨辉对其有过深入研究，所以称它为杨辉三角，并提出课题.【设计意图：通过合作学习，从不同角度训练学生的思维，既提高学生学习兴趣，又培养合作团队精神和创造能力. 】二、介绍杨辉，感受成就杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.
　　“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，该书还说明此表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的“开方作法本源图”，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．因此，我们把此表叫杨辉三角或贾宪三角.在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．【设计意图：了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感；让学生体会到研究杨辉三角就是体察杨辉的探索精神，以鼓励学生探究的热情. 】三、探求规律，形成新知1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 师：（1）请你找出上述数据上下行之间的规律.（便于发现，可标出“ ”号）生：下一行中间的各个数分别等于它“肩上”的两数之和.（如：1＋2＝3）师：（2）说出每项中字母和的次数排列规律.生：展开式中每项字母的次数从高到低排列，字母的次数从低到高排列.师：（3）展开式中的项数与乘方指数有何关系？生：展开式中的项数比乘方指数多1.师：你能按上述规律写出的展开式吗？生：.（学生同桌校对，一位学生板演.）【设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习. 】师：将上述各展开式的每项系数再整理成如下模型： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1师：对上表你还有什么规律可发现？生1：最外侧的系数都是1.生2：展开式中第二项的系数都等于乘方指数.生3：展开式中各项的次数等于都乘方指数.生4：系数成左、右对称排列……【设计意图：虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义.这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程. 】四、范例讲解，应用新知师：例1 若今天是星期一，再过天后是星期几？怎么算？生1：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1.生2：（此方法学生若未提及，教师给予讲解）.师：（例1延伸）若今天是星期一，再过天后是星期几？怎么算？生1：猜想星期二，然后从.生2：求，前四项的和是7的倍数，所以除以7的余数是1，所以再过天后是星期二.师：（例1拓展）若今天是星期一，再过天后是星期几？生：的展开式中前项都含有7，所以除以7的余数是1，所以再过天后是星期二.【设计意图：从简单到复杂，从特殊到一般，层层推进，既深化新知，又激化学生的思维，更激化学生从认知结构中已有的知识和经验，便于学生类比学习. 】 五、纵横斜探，深度挖掘师：发给每位学生一张Excel表格.（表格上可先填好第一、二、三行的数字）　A列B列C列D列E列F列G列H列I列J列K列求和第0行11第1行11　　　　　　　　　2第2行121　　　　　　　　4第3行1331　　　　　　　8第4行14641　　　　　　16第5行15101051　　　　　32第6行1615201561　　　　64第7行172135352171　　　128第8行18285670562881　　256第9行193684126126843691　512第10行11045120210252210120451011024…　　　　　　　　　　　　生：四人一小组共同制作完成Excel表格《杨辉三角.xls ( 杨辉三角.xls )》.师：你能找到各行数字之和的规律吗？并用字母表示第行之和的结果.生：从求和的结果规律看，第行之和的结果为.师：观察和它的展开式，你能验证此规律成立的理由吗？生：当时，左边＝，而右边等于展开式中每项系数相加（因为1的任何正整数次幂都是1）.师：若学生想不到此验证思路，教师可借助当时，，即.这种验证方法叫数学中的赋值法.师：我们再从右斜线上算各行数字之和，有什么规律？　A列B列C列D列E列F列G列第0行1第1行11　　　　　第2行121　　　　第3行1331　　　第4行14641　　第5行15101051　第6行1615201561第7行17213535217生：1，1，2，3，5，8，13，21，…. 从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.师：这就是著名的斐波那契数列．【设计意图：培养学生观察探究能力，再发现杨辉三角蕴涵了许多优美的规律，让学生充分展开思维进入研究状态，形成爱数学的好习惯. 】六、走入[斐波那契数列] 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，…，正好是刚生的兔子对数，第一个月后的兔子对数．第二个月后的兔子对数，第三个月后的兔子对数，…n个月后的兔子的对数．“兔子繁殖问题”的答案233．【设计意图：通过体验斐波那契数列，呈现数学的趣味性，提高课堂学习氛围，达到学以致用的目的. 】
亮点与反思：这是一堂生动有效的综合实践活动课！在这课堂中，一通过学生实验操作、合作学习，引导学生观察、讨论，联想已有知识经验（面积验证、多项式乘法）分析新的问题（求），和探究杨辉三角规律及应用等活动，让学生亲历知识发生过程，从中感悟和获取数学知识、方法和思想，从而达成多方位提高学生数学素养.二教师的角色转变了，不再是传统教学中的“教教材”，而是主动寻找教材中的数学知识与学生已有知识有机联系为切入点，以学生所具备丰富信息出发，灵活展开教学，使枯燥的数学问题变为活生生的探究，增强了学生对数学内容的亲切感，使学生学得主动、学得开心，真正成为学习的主人.新课程的教学更需要教师注重创造性地使用教材，挖掘和盘活数学文本；要根据学生心理、学习需求、知识层面钻研教材，确定“以学定教”， 预设课堂，彰显丰盈的数学课.
8. 板书设计
杨辉三角和两数和的乘方
亮点与反思：这个板书设计并不突显创意，而是较完整地展现了课堂教学的主要内容，是常规而实用的板书设计。
9. 作业设计：
（1）通过网络搜索有关杨辉三角资料，进行再阅读，领悟其精髓.（2）结合资料，进行再探索.（有能力的学生写一篇数学小论文）
亮点与反思：作业是课堂的延伸，这两项作业，既开放又颇有点读后感的样式，是对学生课堂所学的知识再体验、再深化，同时又注重学生分层次性和可持续发展性.
10. 问题研讨：提出2-3个与本课设计相关的、值得反思和讨论的问题。（1）在平时教学中，对阅读材料使用常流于形式：如作导入新课的素材（显得肤浅）；课堂中插入介绍（感觉生硬）；布置学生课外阅读（难以落实）.如何开发、有效地使用阅读材料，更好地发挥它在教材、教学中的作用？（2）探究式教学中教师主导地位和学生主体地位在尺度上把握，和何时收何放在时机上选择感到有些困难.
1张
1张
2张
（如图1）
（如图2）
3个
3个
1个
1个
（如图4）
（如图3）
学生板演
范例讲解
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