1.4 平行线的性质 同步练习（含答案）

1.4
平行线的性质
同步练习
一、单选题
1、下列命题正确的是（　　　）
A、两直线与第三条直线相交，同位角相等；
B、两直线与第三条直线相交，内错角相等
C、两直线平行，内错角相等；
D、两直线平行，同旁内角相等
2、已知两个角的两边分别平行，并且这两个角的差是90°，则这两个角分别等于（
）
A．60°，150°
B．20°，110°
C．30°，120°
D．45°，135°
3、如图所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=∠CAB，∠ABC=75°，
则∠BCA等于（
）
A．36°
B．35°
C．
37.5°
D．70°
4、如图，直线c与直线a、b相交，且a∥b，则下列结论：
①∠1=∠2；②∠1=∠3；③∠3=∠2中，正确的个数为（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5、直线l1∥l2∥l3
，
且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为(　　)
A、
B、
C、
D、
6、如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（
）
A．α+β+γ
B．β+γ-α
C．180°-α-γ+β
D．180°+α+β-γ
二、填空题
7、填写理由:
（1）如图所示，因为DF∥AC（已知），
所以∠D+______=180°（__________________________）
因为∠C=∠D（已知），
所以∠C+_______=180°（_________________________）
所以DB∥EC（_________）．
（2）如图所示，因为∠A=∠BDE（已知），
所以______∥_____（__________________________）
所以∠DEB=_______（_________________________）
因为∠C=90°（已知），
所以∠DEB=______（_________________________）
所以DE⊥______（_________________________）
8、如图，AB∥CD
，
以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB
，
AC于E
，
F两点，再分别以E
，
F为圆心，大于
EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于
点P
，
作射线AP
，
交CD于点M
．
若∠ACD=114°，则∠MAB的度数为________°.
三、解答题
9、如图，∠1=60°，∠2=60°，∠3=100°。要使AB∥EF,∠4应为多少度？说明理由。
10、如图，已知CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2，试确定直线DF与AE的位置关系，并说明理由。
11、如图，已知直线l1∥l2
，
l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

(1)若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
(2)若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
(3)若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
(4)若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
四、综合题
12、如图，已知AD∥CB，∠1＝∠2，∠BAE＝∠DCF。试说明：
(1)AE∥CF；
(2)AB∥CD。
13、在△ABC中，P为边AB上一点．
(1)如图1，若∠ACP=∠B，求证：AC2=AP AB；
(2)若M为CP的中点，AC=2．
①如图2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的长；
②如图3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出BP的长．
14、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD内部，∠B=50°，∠D=30°，求∠BPD．
(2)如图2，将点P移到AB，CD外部，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
(3)如图3，写出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系？（不需证明）
(4)如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
15、如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B，∠D的关系，说出理由．
解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）
∴∠EPD+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
(1)依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B，∠D的关系，并说明理由．
(2)观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B，∠D的关系，不需要说明理由．
16、如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
答案部分
一、单选题
1、
【答案】C
2、
【答案】
D
3、
【答案】
B
4、
【答案】D
5、
【答案】A
6、
【答案】C
二、填空题
7、【答案】（1）∠DBC
两直线平行，同旁内角互补
∠DBC
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
（2）AC
DE
同位角相等，两直线平行
∠C
两直线平行，同位角相等
90°
等量代换
BC
垂直定义
8、
【答案】33
三、解答题
9、
【答案】100°
10、
【答案】DF∥AE
∵CD⊥DA,DA⊥AB
∴CD∥AB
∴∠CDA=∠DAB，
∵∠1=∠2
∴∠CDA-∠2=∠DAB-∠1，
即∠3=∠4
∴DF∥AE
11、
【答案】
（1）证明：过P作PQ∥l1∥l2
，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）解：
∠3=∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l1∥l2
，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）解：
∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
证明：过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
（4）解：
过P作PQ∥l1∥l2；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1．

四、综合题
12、
【答案】
（1）（1）∵AD∥CB
（已知）
∴
∠1=∠AEB
（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴
∠AEB=
∠2（等量代换）
∴AE∥CF（同位角相等，两直线平行）．
（2）∵三角形ABE的内角和是180
∴∠B+∠BAE+∠AEB=180
又∵∠AEB=
∠2（已证）
∠BAE＝∠DCF（已知）
∴∠B+∠2+∠DCF=180
即∠B+∠BCD=180
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
13、
【答案】
（1）解：∵∠ACP=∠B，∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴
，
∴AC2=AP AB；
（2）解：①取AP在中点G，连接MG，设AG=x，则PG=x，BG=3﹣x，
∵M是PC的中点，
∴MG∥AC，
∴∠BGM=∠A，
∵∠ACP=∠PBM，
∴△APC∽△GMB，
∴
，
即
，
∴x=
，
∵AB=3，
∴AP=3﹣
，
∴PB=
；
②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE=BP，
∵∠ABC=45°，∠A=60°，
∴CH=
，HE=
+x，
∵CE2=
+9
+x）2
，
∵PB=BE，PM=CM，
∴BM∥CE，
∴∠PMB=∠PCE=60°=∠A，
∵∠E=∠E，
∴△ECP∽△EAC，
∴
，
∴CE2=EP EA，
∴3+3+x2+2
x=2x（x+
+1），
∴x=
﹣1，
∴PB=
﹣1．
14、
【答案】
（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP∥CD，
∴∠B=∠1=50°，∠D=∠2=30°，
∴∠BPD=80°
（2）解：∠B=∠BPD+∠D．
理由如下：设BP与CD相交于点O，
∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠B，
在△POD中，∠BOD=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D
（3）解：如图，连接QP并延长，
结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D
（4）解：如图，由三角形的外角性质，∠A+∠E=∠1，∠B+∠F=∠2，
∵∠1+∠2+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
15、
【答案】
（1）解：∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D
（2）解：如图（3）：∠BPD=∠D﹣∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠P，
∴∠D=∠B+∠P，
即∠BPD=∠D﹣∠B；
如图（4）：∠BPD=∠B﹣∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠P，
∴∠B=∠D+∠P，
即∠BPD=∠B﹣∠D．
16、
【答案】
（1）证明：如图1，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵点M为DE的中点，
∴DM=EM．
在△ADM和△NEM中，
∴
．
∴△ADM≌△NEM．
∴AM=MN．
∴M为AN的中点
（2）证明：如图2，
∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°．
∵∠DAE=90°，
∴∠NEA=90°．
∴∠NEC=135°．
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．
∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
在△ABC和△NEC中，
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形
（3）△ACN仍为等腰直角三角形．
证明：如图3，延长AB交NE于点F，
∵AD∥NE，M为中点，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
∵AD∥NE，
∴AF⊥NE，
在四边形BCEF中，
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中，
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．