解答题突破·平行线的性质与判定（拓展练习）
一．解答题（共16小题）
1．（2016秋?唐河县期末）如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3．请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．www.21-cn-jy.com
2．（2016春?市北区期中）已知：如图所示，AB∥CD，BC∥DE．求证：∠B+∠D=180°
证明：∵AB∥CD
∴∠B=∠ （ ）
∵BC∥DE，∴∠C+∠D=180°（ ）
∴∠B+∠D=180°（ ）
3．（2016春?阜阳校级期末）如图，已知∠ABE+∠DEB=180°，∠1=∠2，求证：∠F=∠G．21·世纪*教育网
4．（2016春?江西期末）如图，AD∥EF，∠1=∠2，求证：AB∥DG．
5．（2016春?鞍山期末）将两块大小相同的直角三角尺（即三角形ABC和三角形DEF，其中∠A=∠D=30°，按如图所示的方式摆放（直角顶点F在斜边AB上，直角顶点C在斜边DE上），且DE∥AB．2-1-c-n-j-y
（1）求∠AFD的度数；
（2）请你判断DF与AC是否平行，并说明理由．
6．（2016春?澄海区期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；2·1·c·n·j·y
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．21*cnjy*com
7．（2016春?兴国县期末）完成证明，说明理由．已知：如图，BC∥DE，点E在AB边上，DE、AC交于点F，∠1=∠2，∠3=∠4，求证AE∥CD．
证明：∵BC∥DE（已知），
∴∠4= （ ）．
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3= （ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠FCE=∠2+∠FCE（ ）．
即∠FCB= ，
∴∠3=∠ECD（ ）．
∴AE∥CD（ ）．
8．（2016秋?道外区期末）在同一平面内，三条直线两两分别相交于点A、B、C三点，点E是直线BC上一动点（点E不与点B、C重合），过点E分别作直线AB、AC的平行线，分别交直线AC、AB于点F、D．【来源：21cnj*y.co*m】
①
（1）如图1，当点E在B、C两点之间时，求证：∠DEF=∠BAC；
（2）如图2，当点E在线段BC延长线时，试判断∠DEF与∠BAC的数量关系；
（3）如图3，点E在线段CB延长线时，∠BEF的平分线交直线AB于G，过点E作EG的垂线．交直线AB于M，点N在FE延长线上；若∠ABC=80°，∠DEM：∠BED=2：3，求∠BAC的度数．【出处：21教育名师】
9．（2016春?丰台区期末）课上教师呈现一个问题：
已知：如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图2：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：辅助线：过点F作MN∥CD．
分析思路：
（1）欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
（2）由辅助线作图可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；
（3）由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；
（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；
（5）从而可求∠EFG的度数．
请你选择乙同学或丙同学所画的图形，描述辅助线的作法，并写出相应的分析思路．
10．（2016春?饶平县期末）（1）已知：如图1，AE∥CF，易知∠APC=∠A+∠C，请补充完整证明过程：【版权所有：21教育】
证明：过点P作MN∥AE
∵MN∥AE（已作）
∴∠APM= （ ），
又∵AE∥CF，MN∥AE
∴MN∥CF
∴∠MPC=∠ （ ）
∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
（2）变式：
如图2﹣﹣图4，AE∥CF，P1，P2是直线EF上的两点，猜想∠A，∠AP1P2，∠P1P2C，∠C这四个角之间的关系，并直接写出以下三种情况下这四个角之间的关系．
11．（2016春?乐亭县期中）已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OB∥AC．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于 ；（在横线上填上答案即可）．
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB=∠OCA，此时∠OCA度数等于 ．（在横线上填上答案即可）．21教育网
12．（2016春?龙口市期中）已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．
（1）如图1，若AB∥CD，求证：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若∠P=∠PFD﹣∠BEP，求证：AB∥CD；
（3）如图3，AB∥CD，移动E，F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求的值．
13．（2016春?洪泽县期末）若∠ACB=a，∠EAC=b，∠FBC=c．
（1）如图1，若AE∥BF，则a，b，c之间有何关系？ a=b+c （直接写出结果）
（2）如图2，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则a，b，c之间有何关系？并说明理由．21教育名师原创作品
（3）如图3，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与a，b，c之间的关系是 ∠APB=a﹣（b+c） （用a，b，c表示）
（4）如图4，若a≥b+c，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P6= a﹣（b+c） ．（用a、b、c表示），写出结论即可．21*cnjy*com
14．（2016春?万州区期末）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45
（1）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图②，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角尺OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边MN恰好与边CD平行；在第 秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）
15．（2016春?石景山区期末）小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：
已知：如图1，l1∥l2∥l3，点A、M、B分别在直线l1，l2，l3上，MC平分∠AMB，∠1=28°，∠2=70°．求：∠CMD的度数．
小明想了许久没有思路，就去请教好朋友小坚，小坚给了他如图2所示的提示：
请问小坚的提示中①是∠ ，④是∠ ．
理由②是： ；
理由③是： ；
∠CMD的度数是 °．
16．（2016春?威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 ；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；
（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．
17．（2016春?杭州期中）如图，D，E，F，G，H，I是三角形ABC三边上的点，连结EI，EF∥BC，GH∥AC，DI∥AB．
（1）写出与∠IEC是同旁内角的角．
（2）判断∠GHC与∠FEC是否相等，并说明理由．
（3）若EI平分∠FEC，∠C=56°，∠B=50°，求∠EID的度数．
参考答案
1．平分．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠3，（两直线平行，内错角相等）
∠E=∠1，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E=∠3（已知）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
2．解：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C（两直线平行、内错角相等），
又∵BC∥DE，
∴∠C+∠D=180°（两直线平行、同旁内角互补），
∴∠B+∠D=180°（等量代换）．
故答案分别为：∠C，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，等量代换．
3．证明：∵∠ABE+∠DEB=180°，
∴AC∥DE，
∴∠CBE=∠DEB，
∵∠1=∠2，
∴∠FBE=∠GEB，
∴BF∥GE，
∴∠F=∠G．
4．证明：∵AD∥EF，
∴∠1=∠BAD．
∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠2，
∴AB∥DG．
5．解：（1）∵DE∥AB
∴∠D+∠AFD=180°
又∵∠D=30°
∴∠AFD=180°﹣30°=150°
（2）DF与AC平行
∵∠AFD=150°，∠A=30°
∴∠AFD+∠A=180°
∴DF∥AC
6．解：（1）如图1，∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2．
∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
7．证明：∵BC∥DE（已知），
∴∠4=∠FCB（两直线平行，同位角相等）．
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3=∠FCB（等量代换）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠FCE=∠2+∠FCE（等式的性质）．
即∠FCB=∠ECD，
∴∠3=∠ECD（等量代换）．
∴AE∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠FCB，两直线平行，同位角相等，∠FCB，等量代换，等式的性质，∠ECD，等量代换，内错角相等，两直线平行．21世纪教育网版权所有
8．（1）证明：∵AB∥EF，
∴∠BAC=∠EFC．
又∵AC∥DE，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠BAC=∠DEF；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠BAC=∠ADE．
∵AB∥EF，
∴∠ADE+∠DEF=180°，
∴∠BAC+∠DEF=180°；
（3）解：∵AB∥EF，
∴∠FEC=∠ABC=80°，∠BAC=∠EFC．
∵EG平分∠FEC，
∴∠GEC=∠FEC=×80°=40°．
∵EG⊥EM，
∴∠GEM=90°，
∴∠CEM=∠GEM﹣∠GEC=50°．
又∵∠DEM：∠BED=2：3，
∴∠BED=30°，
∴∠FED=∠FEC+∠CED=80°+30°=110°．
∵AC∥DE，
∴∠FED+∠EFC=180°，
∴∠EFC=70°，
∴∠BAC=∠EFC=70°．
9．解：方法一，选择乙同学所画的图形：
辅助线：过点P作PN∥EF交AB于点N，
分析思路：（1）欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG=∠NPG，因此，只需转化为求∠NPG的度数；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）欲求∠NPG的度数，由图可知只需转化为求∠1和∠2的度数；
（3）又已知∠1的度数，所以只需求出∠2的度数；
（4）由已知EF⊥AB，可得∠4=90°；
（5）由PN∥EF，可推出∠3=∠4；AB∥CD可推出∠2=∠3，由此可推∠2=∠4，
所以可得∠2的度数；
（6）从而可以求出∠EFG的度数．
方法二，选择丙同学所画的图形：
辅助线：过点O作ON∥FG交CD于点N，
分析思路：（1）欲求∠EFG的度数，由辅助线作图可知，∠EFG=∠EON，
因此只需转化为求∠EON的度数；
（2）欲求∠EON的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
（3）由已知EF⊥AB，可得∠3=90°；
（4）由AB∥CD，可推出∠2=∠4，由ON∥FG可推出∠4=∠1，由此可推∠2=∠1，又已知∠1的度数可求出∠2的度数； www-2-1-cnjy-com
（5）从而可求∠EFG的度数．
10．解：（1）如图1，过点P作MN∥AE，
∵MN∥AE（已作），
∴∠APM=∠A （两直线平行，内错角相等 ），
又∵AE∥CF，MN∥AE，
∴MN∥CF，
∴∠MPC=∠C（两直线平行，内错角相等 ），
∴∠APM+∠CPM=∠A+∠C，
即∠APC=∠A+∠C，
故答案为：A、C、两直线平行，内错角相等、两直线平行，内错角相等；
（2）如图2，∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A﹣∠C=180°，理由是：
过P1作P1B∥AE，过P2作P2G∥CF，
∵P1B∥AE，
∴∠BP1A=∠A，
∵P2G∥CF，
∴∠GP2C=∠C，
∵P1B∥AE，P2G∥CF，AE∥CF，
∴P1B∥P2G，
∴∠BP1P2+∠GP2P1=180°，
∴∠AP1P2+∠P1P2C=∠AP1B+∠BP1P2+∠P1P2G+∠GP2C=180°+∠A+∠C，
∴∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A﹣∠C=180°；
如图3，∠A+∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠C=180°，理由是：
过P2作GP2∥CF，则∠GP2C=∠C，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP2，
∴∠AEF+∠GP2E=180°，
∵∠AEF=∠A+∠AP1P2，
∴∠AEF+∠P1P2C=180°+∠GP2C，
∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C=180°+∠C，
∴∠A+∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠C=180°；
如图4，∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A+∠C=180°，理由是
过P1作P1G∥CF，则∠GP1F+∠CFP1=180°，
∵AE∥CF，
∴AE∥GP1，
∴∠A=∠AP1G，
∵∠EFC=∠C+∠P1P2C，
∴∠AP1P2+∠EFC=180°+∠AP1G，
∴∠AP1P2+∠C+∠P1P2C=180°+∠A，
∴∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A+∠C=180°．
故答案为：如图2，∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A﹣∠C=180°，如图3，∠A+∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠C=180°，如图4，∠AP1P2+∠P1P2C﹣∠A+∠C=180°．
11． （1）证明：∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∴∠O=180°﹣∠B=80°，
而∠A=100°，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；
（2）解：∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠FOE，
而∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠COF=∠AOB=×80°=40°；
（3）解：不改变．
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠AOF=2∠AOC，
∴∠OFB=2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB的值为1：2；
（4）解：设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，
∵∠OEB=∠AOE，
∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，
而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣100°=80°﹣x，
∵∠OEB=∠OCA，
∴40°+x=80°﹣x，解得x=20°，
∴∠OCA=80°﹣x=80°﹣20°=60°．
故答案为40°，60°．
12．解：（1）过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；
（2）∵∠BGP是△PEG的外角，
∴∠P=∠BGP﹣∠BEP．
∵∠P=∠PGB﹣∠BEP，
∴∠PFD=∠PGB，
∴AB∥CD；
（3）由（1）的结论∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，
设∠PFD=x，则∠BEP=90°﹣x，
∵∠PEG=∠BEP=90°﹣x，
∴∠AEG=180°﹣2（90°﹣x）=2x，则==2
13．解：（1）过点C作CM∥AE，如图1所示．
∵CM∥AE，
∴∠EAC=∠ACM．
∵CM∥AE，AE∥BF，
∴CM∥BF，
∴∠FBC=∠BCM．
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=a，∠EAC=b，∠FBC=c，
∴a=b+c．
故答案为：a=b+c．
（2）a=（b+c）．理由如下：
过点C作CG∥AM，如图2所示．
∵CG∥AM，AM∥BN，
∴AM∥BN∥CG，
∴∠MAC=∠ACG，∠NBC=∠BCG，
∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，
∴∠ACB=∠ACG+∠BCG=∠MAC+∠NBC=∠EAC+∠FBC=（∠EAC+∠FBC）=（b+c）．21cnjy.com
（3）连接PC并延长到点M，如图3所示．
∵∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，
∴∠PAC=∠EAC，∠PBC=∠FBC，
∵∠ACM=∠PAC+∠APC，∠BCM=∠PBC+∠BPC，∠ACB=∠ACM+∠BCM，∠APB=∠APC+∠BPC，21·cn·jy·com
∴∠ACB=∠PAC+∠PBC+∠APB，
∵∠ACB=a，∠EAC=b，∠FBC=c，
∴a=（b+c）+∠APB，
∴∠APB=a﹣（b+c）．
故答案为：∠APB=a﹣（b+c）．
（4）结合（3）结论可知：
∠P1=a﹣（b+c），∠P2=a﹣（b+c），∠P3=a﹣（b+c），…，
∴∠Pn=a﹣（b+c）．
当n=6时，∠P6=a﹣（b+c）=a﹣（b+c）．
故答案为：a﹣（b+c）．
14．解：（1）∵∠BON=∠N=30°，
∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；
（2）如图，
MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）=75°，
或270°﹣（60°﹣45°）=255°，
所以，t=75°÷15°=5秒，
或t=255°÷15°=17秒；
MN⊥CD时，旋转角为90°+（180°﹣60°﹣45°）=165°，
或360°﹣（60°﹣45°）=345°，
所以，t=165°÷15°=11秒，
或t=345°÷15°=23秒．
故答案为：5或17；11或23．
15．解：∵l1∥l2∥l3，
∴∠1=∠AMD=28°，∠2=∠DMB=70°（两直线平行，内错角相等），
∴∠AMB=28°+70°=98°，
∵MC平分∠AMB，
∴∠BMC=∠AMB=98°×=49°（角平分线定义），
∴∠DMC=70°﹣49°=21°，
故答案为：2；AMD；两直线平行，内错角相等；角平分线定义；21．
16．解：（1）作PG∥AB，如图①所示：
则PG∥CD，
∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，
∵∠1+∠2=∠P=90°，
∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°，
故答案为：∠PFD+∠AEM；
（2）证明：如图②所示：
∵AB∥CD，
∴∠PFD+∠BHF=180°，
∵∠P=90°，
∴∠BHF+∠2=90°，
∵∠2=∠AEM，
∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM，
∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°，
∴∠PFD﹣∠AEM=90°；
（3）如图③所示：
∵∠P=90°，
∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠PHE=75°，
∵∠PFC=∠N+∠DON，
∴∠N=75°﹣30°=45°．
17.解：（1）与∠IEC是同旁内角的角是：∠C、∠EDI、∠EIC、∠EID；
（2）∠GHC=∠FEC，
理由：∵EF∥BC，
∴∠FEC+∠C=180°，
∵GH∥AC，
∴∠GHC+∠C=180°，
∴∠GHC=∠FEC；
（3）∵EF∥BC，∠C=56°，
∴∠FEC+∠C=180°，
∴∠FEC=180°﹣∠C=124°，
∵EI平分∠FEC，
∴∠FEI=∠FEC=62°，
∴∠FEI=∠EIC=62°，
∵DI∥AB，∠B=50°，
∴∠DIC=∠B=50°，
∴∠EID=∠EIC﹣∠DIC=12°．
解答题突破·平行线的性质与判定
一、知识点概述
1、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b
2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
5、 平行线的判定与性质
平行线的判定
平行线的性质
1、 同位角相等，两直线平行
2、 内错角相等，两直线平行
3、 同旁内角互补，两直线平行
4、 平行于同一条直线的两直线平行
5、 垂直于同一条直线的两直线平行
1、两直线平行，同位角相等
2、两直线平行，内错角相等
3、两直线平行，同旁内角互补
4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
二、一例一练
期末常考题、难题、压轴题一例一练，分类型展开。
期末常考类型一：推理填空
例1
（2016春?冷水江市期末）如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D．试说明：AC∥DF．21·cn·jy·com
解：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（ ），
∴∠2=∠3（等量代换）．
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）．
∴∠C=∠ABD （ ）．
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（等量代换）．
∴AC∥DF（ ）．
分析 根据平行线的判定方法：同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行做题求解．www.21-cn-jy.com
解答 解：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴EC∥DB（同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠ABD （两直线平行，同位角相等），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠ABD（等量代换），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．
点评 本题考查平行线的判定方法．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．2·1·c·n·j·y
练1
（2016春?广水市期末）完成推理填空：如图在△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试说明∠AED=∠C．21·世纪*教育网
解：∵∠1+∠EFD=180°（邻补角定义），∠1+∠2=180°（已知 ）
∴ （ 同角的补角相等 ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴∠ADE=∠3
∵∠3=∠B
∴∠ADE=∠B（等量代换）
∴DE∥BC
∴∠AED=∠C ．
期末常考类型二：折叠
例2
（2016春?彭泽县校级期末）如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．www-2-1-cnjy-com
（1）试说明∠1=∠2；
（2）已知∠2=40°，求∠BEF的度数．
分析 （1）根据平行线的性质得到∠MEB=∠NFD，∠NEA′=∠MFB′，根据角的和差即可得到结论；2-1-c-n-j-y
（2）由折叠知，∠B′FN==70°，根据平行线的性质得到∠A′EN=∠B′FN=70°，即可得到结论．【来源：21cnj*y.co*m】
解答 解：（1）∵AB∥CD，∴∠MEB=∠NFD，
∵A′E∥B′F，
∴∠NEA′=∠MFB′，
∴∠MEA′﹣∠MEB=∠MFB′﹣∠MFD，
即∠1=∠2；
（2）由折叠知，∠B′FN==70°，
∵A′E∥B′F，
∴∠A′EN=∠B′FN=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠BEF=70°+40°=110°．
点评 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
练2
（2015秋?牡丹区期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处，若∠ADB=20°，那么∠BAF应为多少度时才能使AB′∥BD？【版权所有：21教育】
期末常考类型三：与角平分线综合
例3
（2016春?滁州期末）如图，∠ABD和∠BDC两个角的平分线交于点E，DE的延长线交AB于F．
（1）如果∠1+∠2=90°，那么AB与CD平行吗？请说明理由；
（2）如果AB∥CD，那么∠2和∠3互余吗？请说明理由．
分析 （1）根据平行线的性质可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，再由∠1+∠2=90°可得出∠ABD+∠BDC=180°，依据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论；21*cnjy*com
（2））根据平行线的性质可得出∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，再由AB∥CD可得出∠ABD+∠BDC=180°，根据角的关系即可得出∠1+∠2=90°，结合直角三角形的性质及等量替换即可得出∠2+∠3=90°，此题得解．
解答 解：（1）平行，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2×（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD．
（2）互余，理由如下：
∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠2，∠BDC=2∠1，∠EBF=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BED=90°，∠BEF=90°，
∴∠EBF+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠2和∠3互余．
点评 本题考查了平行线段的判定及性质、余角和补角以及角的计算，解题的关键是：（1）找出∠ABD+∠BDC=180°；（2）找出∠2+∠3=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，牢记平行线的判定及性质是关键．
练3
（2016春?德清县期末）如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P=90°，设∠BAP=α．
（1）用α表示∠ACP；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE．
期末常考类型四：有两组平行线
例4
（2016春?蔚县期末）如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F．
分析 根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠3=∠4，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．
解答 解：∵∠BAP与∠APD互补（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP=∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠BAP﹣∠1=∠APC﹣∠2，即∠3=∠4，
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）．
点评 本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键21cnjy.com
练4
已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且AB∥DE，∠1=∠2．
求证：AF∥BC．
期末常考类型五：三条及以上的平行线
例5
（2016春?慈溪市期末）如图：已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=70°，∠CDE=130°，求∠BCD的度数．
分析 由AB∥CF，∠ABC=70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE=130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD=∠BCF﹣∠DCF可求．
解答 解：∵AB∥CF，∠ABC=70°，
∴∠BCF=∠ABC=70°，
又∵DE∥CF，∠CDE=130°，
∴∠DCF+∠CDE=180°，
∴∠DCF=50°，
∴∠BCD=∠BCF﹣∠DCF=70°﹣50°=20°．
点评 本题利用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
练5
（2016秋?农安县期末）如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，
（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明；
（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．
期末常考类型六：两个角的边分别平行
例6
（2016春?怀柔区期末）学习平行线性质后，老师让学生完成教材第135页练习中第2题，并针对这道题做深入的探究，看有什么新发现：21*cnjy*com
题目：如图，AB∥DE，BC∥EF．求证：∠B=∠E．
下面是小明和小红探究完成这道题的过程．请补充完整：
（1）小明发现，利用平行线性质，这道题很容易证明．小明利用的平行线性质可能是 两直线平行，内错角相等（答案不唯一） ．
（2）小红说她的方法和小明的不一样，小红利用的平行线性质可能是 两直线平行，同位角相等（答案不唯一） ．
（3）继续探究后，小明说：“我发现这道题可以用文字语言这样叙述：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．”
小红针对小明的叙述做深入探究后说：“针对这道题你的说法是对的，因为这道题给出了图形，如果没有给出图形，你说的“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等是不准确的，我发现它还存在另外一种情况．”
你认为小红的说法是否正确？若正确，请就小红说的“还存在另外一种情况”画出图形，给出证明，并补充修改小明给出的文字语言叙述．若不正确，请说明理由．
分析 （1）、（2）根据平行线的性质即可得出结论；
（3）根据题意画出图形，再由平行线的性质即可得出结论．
解答 解：（1）两直线平行，内错角相等（答案不唯一）．
（2）两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
（3）小红的说法正确，另外一种情况如图所示：
证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠CMB=180°．
∵BE∥DF，
∴∠CMB=∠D，
∴∠B+∠D=180°．
补充修改小明的文字语言叙述为：
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
点评 本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的基本性质是解答此题的关键．
练6
（2016春?南陵县期中）如图：
（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°，求∠2和∠4的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来；
（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．
期末难题、压轴题类型一：构造平行线
例7
（2016春?大同期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．21教育网
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．
分析 此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．21教育名师原创作品
解答 证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；
过P作直线PQ∥l1∥l2，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．
（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
点评 此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．
练7
（2016春?乐业县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）∠1+∠2= 180° ；
（2）∠1+∠2+∠3= 360° ；
（3）∠1+∠2+∠3+∠4= 540° ；
（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= （n﹣1）180° ．
期末难题、压轴题类型二：动态问题
例8
一幅直角三角形叠放如图①所示，其中直角边AC与AE重合，斜边AB与AD在AC的同侧，现将含45°角的三角板ADE固定不动，含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转角a（0°＜a＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．
（1）求图①中∠BAD的度数；
（2）请你在图②，③中各画一种符合要求的图形，并写出对应的a的度数和平行线段．
分析 （1）根据∠BAD=∠DAE﹣∠BAC计算即可得解；
（2）根据图形作出BC∥AD和AC∥DE两种情况的图形，然后根据平行线的性质写出旋转角即可．
解答 解：（1）∠BAD=∠DAE﹣∠BAC
=45°﹣30°
=15°；
（2）如图②若BC∥AD，则α=90°﹣30°=60°，
如图③，若AC∥DE，则α=∠CAD﹣∠BAC=（180°﹣45°）﹣30°=105°．
点评 本题考查了平行线的性质，旋转，三角尺的知识，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）根据对应边的不同作出图形．【来源：21·世纪·教育·网】
练8
（2016春?广水市期末）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF【出处：21教育名师】
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
参考答案
练1
解：∵∠1+∠EFD=180°（邻补角定义），
又∵∠1+∠2=180°（已知），
∴∠EFD=∠2（同角的补角相等），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ADE=∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠3=∠B（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
练2
解：∵长方形纸片ABCD沿AF折叠，使B点落在B′处，
∴∠B′AF=∠BAF，
∵AB′∥BD，
∴∠B′AD=∠ADB=20°，
∴∠B′AB=20°+90°=110°，
∴∠BAF=110°÷2=55°．
∴∠BAF应为55度时才能使AB′∥BD．
练3
（1）解：
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP=α，
∵∠P=90°，
∴∠ACP=90°﹣∠CAP=90°﹣α；
（2）证明：
由（1）可知∠ACP=90°﹣α，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACP=180°﹣2α，
又∠BAC=2∠BAP=2α，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴AB∥CD；
（3）证明：
∵AP∥CF，
∴∠ECF=∠CAP=α，
由（2）可知AB∥CD，
∴∠ECD=∠CAB=2α，
∴∠DCF=∠ECD﹣∠ECF=α，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠DCE．
练4
证明：∵AB∥DE，
∴∠2=∠B．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠B，
∴AF∥BC．
练5
解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下：
∵CD∥AB，∠DCB=70°，
∴∠DCB=∠ABC=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°，
∵∠EFB=130°，
∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，
∴EF∥AB；
（2）∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD，
∵∠CEF=70°，
∴∠ECD=110°，
∵∠DCB=70°，
∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB，
∴∠ACB=40°．
练6
解：（1）∵AB∥CD，∠1=115°，
∴∠2=∠1=115°，
∵EF∥MN，
∴∠4=180°﹣∠2=180°﹣115°=65°；
（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；
（3）根据（2）设其中一个角为x，则另一个角为2x，
则x+2x=180°，
解得x=60°，
故这两个角的大小为60°，120°．
练7
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°；
（4）中，根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．21世纪教育网版权所有
练8
解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=∠AOC=×80°=40°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE=∠AOC=×80°=20°，
∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°，
故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°．
