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课题： 整式的化简
教学目标：
1、知识与技能目标：
1. 能够准确的说出整式化简的顺序和遵循的规则；
2. 能够准确的对方程式进行化简；
3. 能够准确的运用乘法公式对方程式进行计算、化简和求值；
二、过程与方法目标：
经历探索方程式化简的顺序，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；
三、情感态度与价值观目标：
体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
重点：
1. 整式的化简；
2. 整式的化简的应用。
难点：整式化简过程中根据题目的特点确定合理的运算顺序（或运用乘法公式）。
教学流程：
1、 课前回顾
我们在前面的学习中，已经学习了一系列的乘 ( http: / / www.21cnjy.com )法公式，现在我们一起来回忆一下：同底数幂乘法：am×an=am+n，积的乘方：（ab）n=anbn，幂的乘方（an）m=anm ，单项式乘多项式:a（b+c）=ab+ac，多项式乘多项式:(a+n)（b+m）=ab+am+bn+nm，平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b ，完全平方和公式: (a+b) =a +2ab+b ，完全平方差公式：(a-b) =a -2ab+b 。
这些乘法公式在数学界里到底有什么用处呢？在 ( http: / / www.21cnjy.com )前面的几节课里，我们大体的了解了乘法公式的一些奇妙用处，这节课我们将进一步的走进这些乘法公式，体会乘法公式对于整式的化简的奇妙作用。21cnjy.com
整式的化简是什么呢？乘法公式和整式的化简又有什么奇妙关系呢？现在我们一起来学习。
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
2、 活动探究
同学们，我们首先来看一个例子。看看整式的化简到底是怎样的呢？
同学们，大家先看下这个例子，这里我们到底要怎么解决这个问题呢？
学生活动：看例子并思考问题。
（1） 在这里我们根据题意，可以发现两个等式关系： ( http: / / www.21cnjy.com )AP=AM+MP，BP=BM-MP，而又得知M是AB的中点，于是我们可以得到AP=2a+b，BP=2a-b。21·cn·jy·com
（2） 对于第二个问，这里要求的是 ( http: / / www.21cnjy.com )面积差S，根据题意可以得到S=（2a+b） -（2a-b） ，我们可以发现，这里我们可以用平方差公式，对原式进行展开，然后合并同类项可以得到S=8ab。对于整式而言，我们通常要进行化解。www.21-cn-jy.com
（3） 对于第三个问题，我们要对第二问的方程式 ( http: / / www.21cnjy.com )进行求值。第一种方法就是直接将值代入原式，可以得到结果为16；第二种方法是将值代入化简后的方程式，可以得到结果也是16。比较这两种方法，我们可以发现化解对于求值可以带来简便。2·1·c·n·j·y
探究结果：
经过第（2）、第（3）个问，我们可以发现，整式通常进行化简；整式通过化简，可以使求值计算带来方便。
【设计意图】通过探究问题，让学生知道整式化简的意义和整式化简的一般方法，为后面的新课的讲授做一定的铺垫。21教育网
三、讲授新知
对于复杂的整式而言，我们通常需要化简，那么，如何化简呢？
整式化简的顺序：运算顺序遵循先乘方，再乘除，最后算加减的运算.能用乘法公式的则运用公式。
【设计意图】讲授新课，让学生更好的接受和理解这节课的内容。
四、实例讲解
例1 化解已知方程3x+2y=10.
（1）（2x-1）（2x+1）-（4x+3）（x-6） （2）（2a+3b） -4a（a+3b+1）
解：原式=4x -1-（4x -24x+3x-18） 原式=（4a +12ab+9b ）-（4a +12ab+4a）
=4x -1-4x +24x-3x+18） =4a +12ab+9b -4a -12ab-4a）
=21x+17 =9b -4a
这里有平方差公式和多项式乘多项式。 这里有完全平方和公式和单项式乘多项式。
（3）（2a） -（a ）2+a（a+1）
原式=4a -a4+（a +a）
=4a -a4+a +a）
=5a -a4+a
这里有平方差公式和多项式乘多项式。
例2 甲、乙两家超市3月份的 ( http: / / www.21cnjy.com )销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x％，而乙超市的销售额平均每月减少x％。
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
解：由题意得5月份的销售额:甲超市为a（1-x%） ,乙超市为a（1-x%） .
a（1-x%） -a（1-x%）
=a{1+(2x)/100+x /1000}-a{1+(2x)/100+x /1000}
=ax/25
（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
∵5月份甲超市的销售额比乙超市多ax/25
∴当a=150，x=2时，代入方程，原式=150*2/25=12.
例3 已知x=-1，求(-3x-1)(3x+1)+(-3x-1)(1-3x)的值。
解：∵ 原式=(-3x-1){(3x+1)+(1-3x)}
=(-3x-1){1-(3x) }
=(-3x-1)(1-9x )
=-3x+27x -1+9x
=36x -3x-1.
当x=-1时，代入化解后的式子，原式=36×1+3-1=38。
例4 已知x+y=3，xy=1，求x2+y2与(x-y)2的值。
解：先对原式进行化简再求值。
①化解： x2+y2=(x+y) -2xy
∵ x+y=3，xy=1
∴原式=3 -2×1=7.
①化解： (x-y) =x +y -2xy=x +y +2xy-4xy
∵ x+y=3，xy=1
∴原式=3 -4×1=5.
小结：
1.化简题：
①规则：先乘方、再乘除，最后加减运算；
②技巧：变形原式，能运用乘法公式先运用公式；
③特别地：化解成已知条件的形式再代值
2.应用题：
①列式：根据题意列方程；
②化解：根据化简方法化简式子；
1 求值：将值带入化解后的式子求值。
【设计意图】帮助学生理解新的知识，教学生如何做题，让他们进一步的理解新的知识。
总结：对于复杂的整式而言，我们通常需要化简，那么，如何化简呢？
整式化简的顺序：运算顺序遵循先乘方，再乘除，最后算加减的运算.能用乘法公式的则运用公式。
整式化简的运算步骤：
1 断运算，定顺序；
2 能运用乘法公式的则运用公式，不能运用乘法公式的遵循整式乘法法则；
3 化简后的结果要写成最简形式，能合并同类项的要合并同类项。
收获：
在这里，我们可以发现：在化简的时候，我们可以对原式进行变形，然后再运用公式，这样可以方便我们化简。
【设计意图】强化知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
六、综合扩展
观察下列式子：你能口算出末尾号是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由.
52 = 25
152 = 225
252 = 625
352 = 1225
… …
提示：底数写成“多少+5”形式。
解：设这个两位数的十位上的数为a，则这个两位数可表示为：10a+5。
∴(10a+5)２=100a2+100a+25
=100a(a+1)+25
∴结果只要把a与a+1相乘写在左边，并在后面写上25.
结论：运用公式可以更快的运算。
【设计意图】强化知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
七、达标检测
1． 化解：3x(x +3x+8)+(-3x-4)(3x+4)
解：原式=3x +9x +24x-(3x+4)(3x+4)
=3x +9x +24x-(3x+4)
=3x +9x +24x-(9x +24x+16)
=3x +9x +24x-9x -24x-16
=3x -16
2．已知x=-0.5，求代数式(3x+5) -(3x-5)(3x+5)。
提示：先化解代数式在求值.
解：原式=(3x+5){(3x+5)-(3x-5)}
=(3x+5)(3x+5-3x+5)
=(3x+5)×10
=30x+50
把x=-0.5带入化解后的代数式，得30×(-0.5)+50=35.
3. 若x2+4x-4=0，则3(x-2) -6(x+1)(x-1)的值.
提示：将已知条件和求值原式都化解，再求值.
解：∵x2+4x-4=0，即x2+4x=4，
原式=3（x -4x+4）-6（x -1）
=3x -12x+12-6x +6
=-3（x +4x）+18
∵x +4x=4
∴原式=-12+18=6.
【设计意图】强化知识点，巩固知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
八、体验收获
本节课我们学习了整式化简的相关知识，更多的是对乘法公式和整式化简的结合的一些技巧，现在我们一起再来回忆一遍这节课学习的内容：21世纪教育网版权所有
1. 整式化简：遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算。
2. 化简技巧：
①能用乘法公式的用乘法公式；
②提公因式，再运用乘法公式化解。
3. 整式应用：
1 用题：列代数式——化简——求值；
2 其它：化简——求值。
【设计意图】强化知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
九、布置作业
教材第34页，2、5、6、7题。
【设计意图】强化知识点，让学生用自己学到的知识去解决问题，并对学生的掌握程度做一个检测。
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整式的化简
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题4分，共20分)
1．运用乘法公式计算（x+3） 的结果是（ ）
A．x +9 B．x -6x+9 C．x +6x+9 D．x +3x+9
2．计算（2x-1）（1-2x）结果正确的是 （ ）
A．4x -1 B．1-4x C．-4x +4x-1 D．4x -4x+1
3．下列计算正确的是 ( )
A．(x+1)(x-1)=x -1 B．(x-y) =x -2xy-y
C．（x+y） =x +y D．(x-1) =x -1
4． 若x +0.5mx+k是一个完全平方式，则k等于（ ）
A． m B.0.25m C.(1/3)m D.(1/16)m
5． 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A． √9=±3 B.2a+3b=5ab
C． (-3ab ) =9a b4 D.(a-b) =a -b
二、填空题(每题5分，共20分)
6．（2x+1）（2x-1）= ．
7．若a-b=1，ab=-2，则（a-2）(b+2)= ．
8．已知2x+y=1，代数式（y+1） -（y -4x）的值为 ．
3、简答题（每题20分，共60分）
9.化简：（2a） -（a ）2+a（a+1）+（2a+3b）
10.先化简，再求值：a(a+2b)-(a-2b) ，其中a=0.5，b=-2.
11. 已知x -9=0,求代数式x (x+1)-x(x -1)-x-7的值.
参考答案
1、 选择题
1. C
【解析】根据完全平方公示，（x+3） =x +6x+9，故选C.
2. C
【解析】原式=-（2x-1） =-4x +4x-1，故选C.
3. A
【解析】A、（x+1）(x-1)=x -1，正确；
B、（x-y） =x -2xy+y ，错误；
C、（x+y） =x +2xy+y ，错误；
C、（x-1） =x -2x+1，错误。
4. C
【解析】∵x +0.5mx+k是一个完全平方式，
∴k=(1/16)m
∴选D.
5. C
【解析】A、√9=3，故选项错误；
B、2a与3b不是同类项，不能合并，故选项错误；
C、(-3ab ) =9a b4，故选项错正确；
D、（a-b） = a -2ab+b ,故选项错误。
二、填空题
6、4x -1
【解析】（2x+1）（2x-1）=4x -1；当x=1时，方程变化为3×1+b=0，解得b=-3.
7、-4
【解析】
∵a-b=1,ab=2
∴原式=ab+2(a-b)-4
=-2+2-4=-4
8、3
【解析】
∵2x+y=1
∴（y+1） -(y -4x)
=y +2y+1-y +4x
=2y+4x+1
=2(2x+y) +1
=2+1=3
2、 简答题
9、【解答】
原式=4a -a4+（a +a）+（4a +12ab+9b ）
=4a -a4+a +a+4a +12ab+9b
=9a -a4+a+12ab+9b
10、【解答】a(a+2b)-(a-2b)
=a +2ab-a +4ab-4b
=6ab-4b
当a=0.5,b=-2时，原式=6*0.5*（-2）-4*4=-6-16=-22.
11、【解答】∵x -0=0
∴x =9
∴x (x+1)-x(x -1)-x-7
=x3+x -x3+x-x-7
=x -7
当x =9时，原式=9-7=2.
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整式的化简
【义务教育教科书北师版七年级下册】
学校：________
教师：________
课前回顾
乘法公式
am×an=
ab+am+nb+nm
(a+b)(a-b)=
(a+b) =
(an)m=
(ab)n=
am+n
anm
anbn
(a+n)(b+m)=
a +2ab+b
a -b
活动探究
如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF.设AB=4a，MP=b，正方形APCD与正方形PBEF的面积之差为S.
A
B
C
D
E
F
M
P
·
（1）用a、b的代数式表示AP，BP；
（2）用a、b的代数式表示S（两正方形面积之差）；
A
B
C
D
E
F
M
P
·
2a+b
2a-b
=(2a+b+2a-b)(2a+b-(2a-b))
∴S=8ab
∵S=AP -BP
且AP=2a+b，BP=2a-b
∴S=（2a+b） -（2a-b）
平方差公式
整式通常要化简
S=8.5 - 7.5 =16
计算复杂
从（2）得S=（2a+b） - （2a-b） =8ab
方法1：
计算简单
方法2：
化简对于求值可以带来简便.
探究结果
1、整式通常进行化简；
那如何对整式进行化简呢？
2、整式通过化简，可以使求值计算带来方便。
讲授新课
运算顺序遵循先乘方，再乘除，最后算加减的运算.能用乘法公式的则运用公式.
整式化简的运算顺序：
例1:化简
解:
实例讲解
（1）（2x-1）（2x+1）-（4x+3）（x-6）
原式=4x -1-（4x -24x+3x-18）
=21x+17
=4x -1-4x +24x-3x+18）
平方差公式
多项式×多项式
先用公式，再算乘法，最后加减.
解:
实例讲解
（2）（2a+3b） -4a（a+3b+1）
原式=（4a +12ab+9b ）-（4a +12ab+4a）
=9b -4a
完全平方和公式
单项式×多项式
=4a +12ab+9b -4a -12ab-4a）
先用公式，再算乘法，最后加减.
解:
实例讲解
（3）（2a） -（a ）2+a（a+1）
原式=4a -a4+（a +a）
=5a -a4+a
幂的乘方
单项式×多项式
=4a -a4+a +a）
积的乘方
先算乘方，再算乘法，最后加减.
讲授新课
整式化简的运算步骤：
断运算，定顺序；
能运用乘法公式的则运用公式，不能运用乘法公式的遵循整式乘法法则；
化简后的结果要写成最简形式，能合并同类项的要合并同类项.
例2 甲、乙两家超市3月份的销售额均为a万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x％，而乙超市的销售额平均每月减少x％.
（1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少？
由题意得5月份的销售额:甲超市为a（1-x%） ,乙超市为a（1-x%） .
解:
a（1-x%） -a（1-x%）
实例讲解
完全平方公式
实例讲解
（2）如果a=150，x=2，那么5月份甲超市的销售额比乙超市多多少万元？
解:
∵5月份销售额比甲比乙多
∴当a=150,x=2时，代入方程，原式=
实例讲解
例3 已知x=-1，求(-3x-1)(3x+1)+(-3x-1)(1-3x)的值.
原式=(-3x-1){(3x+1)+(1-3x)}
=(-3x-1){1-(3x) }
=(-3x-1)(1-9x )
=-3x+27x -1+9x
=36x -3x-1.
当x=-1时，代入化解后的式子，原式=36×1+3-1=38.
解：
公因式
先化简再求值.
实例讲解
例4 已知x+y=3，xy=1，求x2+y2与(x-y)2的值.
①化解： x2+y2=(x+y) -2xy
∴原式=3 -2×1=7.
解：
∵ x+y=3，xy=1
①化解： (x-y) =x +y -2xy=x +y +2xy-4xy
∴原式=3 -4×1=5.
∵ x+y=3，xy=1
=(x+y) -4xy
先变形成已知条件的形式.
注意变形！
变形！
小 结
整式的化简
①规则：先乘方、再乘除，最后加减运算；
2.应用题：
①列式：根据题意列方程；
②化解：根据化简方法化简式子；
③求值：将值带入化解后的式子求值.
②技巧：变形原式，能运用乘法公式先运用公式；
③特别地：化解成已知条件的形式再代值.
1.化简题：
综合扩展
观察下列式子：你能口算出末尾号是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由.
52 = 25
152 = 225
252 = 625
352 = 1225
… …
解：设这个两位数的十位上的数为a，
则这个两位数可表示为：10a+5
∴(10a+5)２=100a2+100a+25
=100a(a+1)+25
∴结果只要把a与a+1相乘写在左边，并在后面写上25.
提示：底数写成“多少+5”形式
达标检测
解：原式=3x +9x +24x-(3x+4)(3x+4)
1.化解：3x(x +3x+8)+(-3x-4)(3x+4)
=3x +9x +24x-(3x+4)
=3x +9x +24x-(9x +24x+16)
=3x +9x +24x-9x -24x-16
=3x -16
先变形
再用公式
达标检测
2.已知x=-0.5，求代数式(3x+5) -(3x-5)(3x+5).
提示：先化解代数式再求值.
解：原式=(3x+5){(3x+5)-(3x-5)}
=(3x+5)(3x+5-3x+5)
=(3x+5)×10
=30x+50
把x=-0.5带入化解后的代数式，得30×(-0.5)+50=35.
达标检测
3.若x2+4x-4=0，则3(x-2) -6(x+1)(x-1)的值.
原式=3（x -4x+4）-6（x -1）
=3x -12x+12-6x +6
∵x +4x=4
∴原式=-12+18=6.
提示：将已知条件和求值原式都化解，再求值.
解：∵x2+4x-4=0，即x2+4x=4，
=-3（x +4x）+18
体验收获
总 结
1.整式化解：
2.化解技巧：
①能用乘法公式的用乘法公式；
遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算.
3.整式应用：
①应用题：列代数式——化简——求值；
②提公因式，再运用乘法公式化解.
②其它：化简——求值.
布置作业
教材81页习题第2、5、6、7题.
