期末、期中统考较难的解答题突破
解二元一次方程组（拓展练习）
1．（2016春?扶沟县期末）解方程组若设（x+y）=A，（x﹣y）=B，则原方程组可变形为，解方程组得，所以解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组．21世纪教育网版权所有
2．（2016春?海安县期中）解下列方程组
（1）
（2）．
3．（2016春?肥城市期中）解下列方程组
（1）；
（2）．
4．（2016春?平谷区期末）阅读理解：
善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组①和②之间存在一定关系，他的解法如下：
解：将方程②变形为：2x﹣3y﹣2y=5③．
把方程①代入方程③得：3﹣2y=5，
解得 y=﹣1．
把y=﹣1代入方程①得 x=0．
∴原方程组的解为．
小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：
（1）解方程组：；
①把方程①代入方程②，则方程②变为 ；
②原方程组的解为
（2）解方程组：．
5．（2016春?新疆期末）对于有理数x，y，定义新运算：x?y=ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3?4=3a+4b，则若3?4=8，即可知3a+4b=8．21教育网
已知1?2=1，（﹣3）?3=6，求2?（﹣5）的值．
6．（2016春?九台市期末）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：
解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．
把x=1代入②得，y=0．
所以方程组的解为
请用同样的方法解方程组：．
7．（2016春?罗山县期末）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题．
（1）已知a，b是有理数，a≠0，并且满足5﹣a=2b+﹣a，求a，b的值．
解：∵5﹣a=2b+﹣a
∴5﹣a=（2b﹣a）+
∴解得
（2）已知x，y是有理数，并且满足等式x2﹣2y﹣y=26﹣5，求x+y的值．
8．（2016春?广水市期末）根据要求，解答下列问题．
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
A. B. C.
方程组A的解为 ，方程组B的解为 ，方程组C的解为 ；
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 x=y ；
（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
9．（2016春?庐江县期末）已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．
10．（2016春?安岳县期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由①﹣②得2x+2y=2 即x+y=1
③×16得16x+16y=16 ④
②﹣④得x=﹣1，从而可得y=2
∴原方程组的解是．
（1）请你仿上面的解法解方程组；
（2）请大胆猜测关于x、y的方程组的解是什么？
11．（2016春?浠水县期末）解方程组
（1）
（2）．
12．（2016春?博兴县期中）一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求a2+b2的值．21cnjy.com
13．（2016秋?靖江市期中）若|3x﹣y﹣1|和互为相反数，求x+4y的平方根．
14．（2016春?黄冈期末）已知（3a+b﹣4）2+|a﹣2b+1|=0，求3a﹣2b的值．
15．（2016春?迁安市期中）下面是老师在嘉嘉的数学作业本上截取的部分内容：
问题：
（1）这种解方程组的方法叫 ；嘉嘉的解法正确吗？如果不正确，错在哪一步？请你指出错误的原因，并求出正确的解；21·cn·jy·com
（2）请用不同于（1）中的方法解这个方程组．
16．（2016春?厦门校级期中）我们定义：若整式M与N满足：M+N=k（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若M+N=1，我们称M与N为关于1的平衡整式．若3x﹣10与y为关于2的平衡整式，2x与5y+10互为关5的平衡整式，求x+y的值．www.21-cn-jy.com
17．（2016春?文登区校级期中）（1）用代入法解方程组：
（2）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程﹣=4，求m的值．
18．（2016春?泰州期中）已知关于x、y的方程组
（1）当x=y时，求a的值；
（2）求代数式22x?4y的值；
（3）若xy=1，求a的值．
参考答案
1．【分析】设x+y=A，x﹣y=B，方程变形后，利用代入消元法求出A与B的值，进而确定出x与y的值即可．21·世纪*教育网
【解答】解：设x+y=A，x﹣y=B，
方程组变形得：，
整理得：，
①×3+②×2得：13A=156，即A=12，
把A=12代入②得：B=0，
∴，
解得：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：4x=8，即x=2，
把x=2代入①得：y=1，
则方程组的解为；
（2），
①﹣②得：x﹣y=1③，
③×2013﹣①得：x=﹣2，
把x=﹣2代入③得：y=﹣3，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．【分析】（1）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）方程组整理得：，
①×3+②×2得：17x=102，即x=6，
把x=6代入①得：y=24，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①﹣②×5得：14y=14，即y=1，
把y=1代入②得：x=2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．【分析】（1）应用“整体换元”法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用“整体换元”法，求出方程组：的解是多少即可．
【解答】解：（1）解方程组：；
①把方程①代入方程②，则方程②变为：x+3=2；
②原方程组的解为：．
（2）
将方程（2）变形为：3（3x﹣2y）+2y=19（3）．
把方程（1）代入方程（3），可得：3×5+2y=19，
解得y=2，
把y=2代入方程（1），可得x=3，
∴原方程组的解为．
故答案为：x+3=2；．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，要熟练掌握，注意“整体换元”法的应用．
5．【分析】根据运算关系得出关于a，b的等式，进而求出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得：，
则①+②得：b=1，
则a=﹣1，
故方程组的解为：，
则原式=2a﹣5b=﹣2﹣5=﹣7．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确得出关于a，b的方程组是解题关键．
6．【分析】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．
【解答】解：由①得，2x﹣y=2③，
把③代入②得，1+2y=9，
解得：y=4，
把y=4代入③得，x=3，
则方程组的解为
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．【分析】（1）已知等式整理后，利用等式性质求出a与b的值即可；
（2）仿照（1）的解题过程求出x与y的值，即可求出x+y的值．
【解答】解：（1）∵5﹣a=2b+﹣a，
∴5﹣a=（2b﹣a）+，
∴，
解得：；
（2）∵x，y是有理数，并且满足等式x2﹣2y﹣y=26﹣5，
∴，
解得：，
当x=6，y=5时，x+y=11；当x=﹣6，y=5时，x+y=﹣1．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的解题方法是解本题的关键．
8．【分析】（1）分别求出三个方程组的解即可；
（2）观察三个方程组的解，找出x与y的关系即可；
（3）仿照以上外形特征写出方程组，并写出解即可．
【解答】解：（1）方程组A的解为，方程组B的解为，方程组C的解为；
故答案为：（1）；；；
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系是x=y；
故答案为：x=y；
（3）根据题意举例为：，其解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值．2·1·c·n·j·y
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
，
解方程组（1）得，
代入（2）得．
所以（﹣a）b=（﹣2）3=﹣8．
【点评】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．
10．【分析】（1）对于方程组，先用①﹣②可得到x+y=1③，然后③与①或②组成方程组，运用加减消元法很快求出x、y，从而得到方程组的解；www-2-1-cnjy-com
（2）和（1）一样，先把两个方程相减得到x+y=1，然后运用加减消元法可求出x、y，从而得到方程组的解．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：（1），
①﹣②得2x+2y=2，即x+y=1③，
①﹣③×2011得x=﹣1，
把x=﹣1代入③得﹣1+y=1，
解得y=2，
所以原方程组的解为；
（2）．
【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用代入法或加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解．也考查了阅读理解能力．2-1-c-n-j-y
11．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得：9x=3，即x=，
把x=代入①得：y=，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②×5得：26y=52，即y=2，
把y=2代入②得：x=2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12．【分析】把小明和小文求得方程组的解分别代入方程组，根据题意建立关于a、b的二元一次方程组，求得a和b的值，代入可求出a2+b2的值．
【解答】解：由题意得，
解得，
把代入a2+b2，
可得22+52=29，
故a2+b2的值是29．
【点评】本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是根据题意建立关于a、b的二元一次方程组．
13．【分析】利用互为相反数两数之和为0列出等式，利用非负数的性质列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出x+4y的平方根．
【解答】解：∵|3x﹣y﹣1|和互为相反数，即|3x﹣y﹣1|+=0，
∴，
解得：，
∴x+4y=1+8=9，
则9的平方根为±3．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．【分析】根据完全平方式恒大于等于0，绝对值也恒大于等于0，且两者相加等于0，得到两个加数同时为0，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解求出a与b的值，然后把a与b的值代入所求的式子中，化简可得值．
【解答】解：∵（3a+b﹣4）2≥0，|a﹣2b+1|≥0．
依题意得，
解得：，
∴3a﹣2b=3×1﹣2×1=1．
【点评】此题考查了结二元一次方程组，本题的突破点是根据两个非负数之和等于0得到两个非负数同时为0，列出方程组求出a与b的值，此外解二元一次方程组时注意利用消元的思想来求值，代值后结果要化为最简．
15．【分析】（1）利用代入消元法解出方程组；
（2）利用加减消元法解出方程组即可．
【解答】解：（1）这种解方程组的方法叫代入消元法；
嘉嘉的解法不正确，错在第二步，
正确解法：将方程①变形，得y=2x﹣3③，
把方程③代入②，得x+2x﹣3=﹣12，
解得，x=﹣3，
把x=﹣3代入③，得y=﹣9，
则方程组的解为：，
故答案为：代入消元法；
（2）①+②，得3x=﹣9，
解得，x=﹣3，
把x=﹣3代入①，得，y=﹣9，
则方程组的解为：．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．21*cnjy*com
16．【分析】根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出x+y的值．
【解答】解：依题意得：，
整理得：，
由①×3+②×2得13x+13y=26，
整理得：x+y=2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）把m看做已知数表示出方程组的解，代入已知方程求出m的值即可．
【解答】解：（1），
由②得：x=﹣3y+7③，
把③代入①得：﹣9y+21﹣2y=1，
解得：y=，
把y=代入③得：x=，
则方程组的解为；
（2），
①×2+②得：7x=14m，即x=2m，
把x=2m代入①得：y=2m，
把x=y=2m代入已知方程得：﹣=4，
去分母得：10m﹣6m=60，
解得：m=15．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18． 【分析】（1）把x=y代入方程组，求出a的值即可；
（2）把a看做已知数表示出方程组的解，将原式变形后代入计算即可求出值；
（3）将表示出的x与y代入已知等式，确定出a的值即可．
【解答】解：（1）把x=y代入方程组得：，
解得：a=；
（2），
①﹣②得：3y=6﹣3a，即y=2﹣a，
把y=2﹣a代入①得：x=a﹣3，
∴x+y=a﹣3+2﹣a=﹣1，
则22x?4y=22x?22y=22（x+y）=2﹣2=；
（3）由xy=1，得到（a﹣3）2﹣a=1，
若2﹣a=0，即a=2时，等式成立；
若a﹣3=1，即a=4时，等式成立，
综上，a的值为2或4．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
解二元一次方程组
一、知识点概述
1.二元一次方程组的解：
使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
2.二元一次方程组解的情况：
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程，叫做解方程组。一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：21教育网
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：
（1）当时，该方程组有一组解。
（2）当时，该方程组有无数组解。
（3）当 时，该方程组无解。
3.解方程的依据—等式性质
1．a=b a+c=b+c
2．a=bac=bc (c>0)
4.解法
（1）消元法
1）代入消元法
用代入消元法的一般步骤是：
①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；
②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；www.21-cn-jy.com
③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；
④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；2·1·c·n·j·y
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
2）加减消元法
用加减法消元的一般步骤为：
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；【来源：21·世纪·教育·网】
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），www-2-1-cnjy-com
再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
3）加减-代入混合使用的方法
例：解方程组：
解：② — ①得 x-y=1,x=y+1 ③
把③ 代入①得
37(y+1)+38y=112
37y+37+38y=112
75y=75
y=1
把y=1代入③得x=2
所以：x=2,y=1
特点：两方程相加减，单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元。
（2）换元法
例：解方程组：
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。2-1-c-n-j-y
二、一例一练
期末常考题、难题、压轴题一例一练，分类型展开。
期末常考类型一：用消元法解
例1
（2015秋?东港市期末）解方程组：
（1）
（2）．
分析 （1）先把①变形为y=2x+4，代入②中求出x的值，再把x的值代入③即可得出y的值；
（2）先把方程组中的方程化为不含分母及括号的方程，再用加减消元法或代入消元法求解即可．
com
解答解：（1）由①得，y=2x+4③，将③代入②，得4x﹣5（2x+4）=﹣23，即﹣6x=﹣3，解得x=，将x=代入③得，y=5．21世纪教育网版权所有
所以原方程组的解是；
（2），由①得 4x﹣3y=12③，②×4﹣③×3，得y=4，将y=4代入③得，x=6
所以原方程组的解是．
点评 本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．21*cnjy*com
练1
（1）
（2）．
期末常考类型二：有3个未知数
例2
（恩施州期末）当a为何整数值时，方程组有正整数解．
分析 此题虽是求当a为何整数值时，方程组有正整数解，但也要先求出x、y的值，再求a的值．源：21cnj*y.co*m】21·cn·jy·com
解答 解：①﹣②×2，得
（a+4）y=16，
解得y=，
把y=代入①，得x=．
要让x，y的解是正整数，
即a=﹣3，﹣2，0，4，12．
点评 本题的关键是x，y的解是正整数，即能被16，32整除．
练2
（杭州市余杭区期中）在关于x，y的二元一次方程组中．
（1）若a=3，求方程组的解；
（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最小值．
期末常考类型三：解相同
例3
已知方程组和方程组的解相同，求（2a+b）2010的值．
分析 重新组合方程组，首先得到关于x，y的方程组，求得x，y的值后，得到关于a、b的方程组，解这个方程组得到a、b的值，最后求出（2a+b）2010的值．解答 解：∵方程组和方程组的解相同，21·世纪*教育网
∴方程组与上述两方程组有相同的解．
解可得．
将其代入到中，化简得
，
解得，
∴（2a+b）2010=（﹣1）2010=1．
点评 本题要求同学们熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
练3
已知方程组与有相同的解，求m和n值．
期末常考类型四：换元法
例4
（2015春?曲阜市期末）阅读探索
（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法．
（2）拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
（3）能力运用
已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为 ．
分析 （1）知识累计
观察阅读材料的解题方法，理解换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，根据（1）中的结论确定出关于x与y方程组，求出解得到x与y的值，即可求出a与b的值；21cnjy.com
（3）能力运用
设，根据已知方程组的解确定出m与n的值即可．
解答 解：（1）知识累计
解方程组
解：设a﹣1=x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得： 即
所以
此种解方程组的方法叫换元法；
（2）拓展提高
设﹣1=x，+2=y，
方程组变形得：，
解得：，即，
解得：；
（3）能力运用
设，
可得，
解得：，
故答案为：
点评 此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
练4
已知关于x、y的方程组的解是
（1）把x换成m，y换成n，得到方程组，则这个方程组的解是；
（2）把x换成2x，y换成4y，得到方程组，则，所以这个方程组的解是；
（3）参照以上方法解方程组（提示：方程两边同除以3）
参考答案
练1
解：（1），
解：由①得：x=2y+1③，
把③代入②得：2（2y+1）+3y=16，
解得：y=2，
把y=2代入③得，x=5，
则方程组的解为；
（2），
解：由①得：4x﹣y﹣5=0③，
由②得：3x+2y=12④，
③×2+④得：11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入④得，y=3，
则方程组的解为．
练2
解：（1）a=3时，方程组为，
②×2+①得，5x=5，
解得：x=1，
把x=1代入①得，1+2y=3，
解得y=1，
则方程组的解是；
（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，
∴S=a（3x+y）=a（a+1）=a2+a，
则当a=﹣时，S有最小值．
练3
解：由已知可得，
解得，
把代入剩下的两个方程组成的方程组，
得，
解得m=﹣1，n=﹣4．
练4
解：（1）∵关于x、y的方程组的解是，
∴方程组的解是；
（2）由（1）得，以2x与4y为未知数的方程组
的解为，
解得；
∴方程组的解为；
（3）将解方程组变形为，
∴以x与y为未知数的方程组
的解为，
解得，
∴方程组的解为．
