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课题：乘法公式
教学目标：
知识与技能目标：
1．完全平方公式的推导及其应用；
2．完全平方公式的几何证明；
过程与方法目标：
1．经历探索完全平方公式的过程；
2．进一步发展符号感和推理能力；
情感态度与价值观目标：
1．对学生观察能力、概括能力、语言表述能力的培养，以及数学思想的渗透；
2．通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；
重点：
完全平方公式的推导过程；
难点：
完全平方公式结构特点及其应用；
教学流程：
1、 情境引入
回顾平方差公式: (a+b)(a b)= a2 b2;
公式的结构特征: 左边是两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积.
右边是这两数的平方差.
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a ( http: / / www.21cnjy.com )-b 时，关键在于找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，大正方形的边长为a+b，请用两种不同 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法计算这个大正方形的面积.你发现了什么代数公式？你能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这一代数式？
请试一试.
(a+b)2
a2 +2ab+ b2
设计说明：通过用两种不同的方法计算这个大正方形的面积,让学生感受到几何图形无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备.21cnjy.com
2、 自主探究
探究1：
两数和的完全平方公式：
(a+b)2 =a2 +2ab+ b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
公式特点：1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
做一做：
用两数和的完全平方公式计算(填空):
(1)(a+1) 2 =____2 +2 . ___ . ___ + ___2 =_____________21·cn·jy·com
(2) (2a+3b)2 =____2 +2 . ___ . ____+____2=____________2·1·c·n·j·y
探究2：
提问:（a－b）2等于什么？
是否可以写成[a＋（-b）]2 你能继续做下去吗？
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
两数差的完全平方公式：
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
公式特点：1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
归纳：
两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式：统称完全平方公式.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
首平方+尾平方，首尾两倍中间放
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
例题讲解：
例1 用完全平方公式计算：
例2：一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少平方米.www.21-cn-jy.com
解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m，
新正方形的边长为（a+1.5）m，
（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2
设计说明：
对于例题的学习，教师引导学生通过观察、思考，寻求解决问题的方法，通过例题的讲解，教师给出了解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养．【来源：21·世纪·教育·网】
做一做：
1.运用乘法公式计算：
(1) ( x +2y－3) (x－ 2y +3) ;
(2)(a + b +c ) 2.
解： (1) ( x +2y－3) (x－ 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x－ (2y－3) ]
= x2－ (2y－3)2 = x2－ ( 4y2－12y + 9)
= x2－4y2+12y－9.
（2） (a + b +c ) 2 = [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
三、达标测评
1.如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
解：D
2.小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，得到正确结果 4x2+20xy+ ● ，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是（ ）21世纪教育网版权所有
A．5y2 B．10y2 C．100y2 D．25y2
解：D
3.若100（a﹣b）2+（2k+4）（b2﹣a2）+400（a+b）2是一个完全平方式，求k的值．
解：∵10(a﹣b)2+(2k+4)(b2﹣a2)+400(a+b)2
=[10(a﹣b)]2﹣2(k+2) (a+b) (a﹣b)+[20(a+b)]2，
∴﹣2(k+2) (a﹣b) (a+b）=±2×10(a﹣b)×20(a+b)，
∴﹣2(k+2)=±400
解得k=198或k=﹣202．
四、拓展延伸
一个正整数a恰好等 ( http: / / www.21cnjy.com )于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．
证明：令2992=m，则2993=m+1，
于是a=m2+m2 （m+1）2+（m+1）2，
=m4+2m3+3m2+2m+1，
=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，
=（m2）2+2 m2 （m+1）+（m+1）2，
=（m2+m+1）2，
所以是a一个完全平方数．
设计说明：
通过拓广探索，培养学生的创新能力，使学生体验成功的喜悦。
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
2、在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2.
设计说明：
让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。
六、布置作业
教材第78页习题第1、2题.
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乘法公式
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．下列各式可以写成完全平方式的多项式有（ ）
A．x2+xy+y2 B．x2﹣xy+ C．x2+2xy+4y2 D．
2．若m2+6m+p2是完全平方式，则p的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
3．在单项式x2，4xy，y2，2xy，4x2，4y2，﹣4xy，﹣2xy中任选三个作和，可以组不同完全平方式的个数是（ ）21·cn·jy·com
A．4 B．5 C．6 D．7
4．形如a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2的式子称为完全平方式，若x2+ax+4是一个完全平方式，则a等于（ ）www.21-cn-jy.com
A．2 B．4 C．±2 D．±4
5．若二项式16m4+4m2加上一个单项式后构成的三项式是一个完全平方式，则这样的单项式的个数有（ ）2·1·c·n·j·y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（ ）
A．a+1 B．a2+1 C．a2+2a+1 D．a+2+1
7．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是（ ）
A．﹣4 B．±4x C．x4 D．x2
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是 ．
2．如果正方形面积是9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），则这个正方形周长是 ．
3．已知4x2+kx+1是关于x的完全平方式，则k2﹣2k+2的值为 ．
4．x2+10x+ =（x+ ）2．．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程．21世纪教育网版权所有
2．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上 ( http: / / www.21cnjy.com )，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是12xy，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，有几种方法？（至少写出三种不同的方法）21cnjy.com
三项式：■+12xy+■= （ ） 2．
（1） ；
（2） ；
（3） ．
3．已知代数式（x﹣a）（x﹣b） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（x﹣b）（c﹣x）+（a﹣x）（c﹣x）是一个完全平方式，试问以a、b、c为边的三角形是什么三角形？
参考答案【来源：21·世纪·教育·网】
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．B
【解析】A、应为x2+2xy+y2，原式不能写成完全平方式，故错误；
B、，正确；
C、应为x2+4xy+4y2，原式不能写成完全平方式，故错误；
D、应为，原式不能写成完全平方式，故错误；
故选：B．
2．C
【解析】∵m2+6m+p2=m2+2×3m+p2，
∴p2=32，
∴p=±3．
故选C．
3．C
【解析】选取x2，2xy，y2；x2，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )2xy，y2；y2，4xy，4x2；y2，﹣4xy，4x2；x2，4xy，4y2；x2，﹣4xy，4y2，可以组成完全平方式，21教育网
则可以组不同完全平方式的个数是6，
故选C．
4．D
【解析】∵x2+ax+4是一个完全平方式，
∴a=±4．
故选D．
5．C
【解答】二项式16m4+4m2加上一个单项式后构成的三项式是一个完全平方式可添加±16m3或．
故选：C．
6．D
【解析】∵自然数a是一个完全平方数，
∴a的算术平方根是，
∴比a的算术平方根大1的数是+1，
∴这个平方数为：（+1）2=a+2+1．
故选D．
7．D
【解析】①当x2是平方项时，4±4x+x2=（2±x）2，
则可添加的项是4x或﹣4x，
②当x2是乘积二倍项时，4+x2+x4=（2+x2）2，
则可添加的项是x4．
③添加﹣4或﹣x2．
故选：D．
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．1．
【解析】∵x2+mx+1=（x±1）2=（x+n）2，
∴m=±2，n=±1，
∵m＞0，
∴m=2，
∴n=1，
故答案为：1．
2．12x+4y．
【解析】∵9x2+6xy+y2=（3x+y）2，x＞0，y＞0，
∴正方形的边长为3x+y，
∴正方形的周长是4（3x+y）=12x+4y．
故答案为：12x+4y．
3．10或26．
【解析】∵4x2+kx+1是关于x的完全平方式，
∴k=±4，
∴当k=4时，k2﹣2k+2=10；
当k=﹣4时，k2﹣2k+2=26；
故答案为：10或26．
4．25；5．
【解析】∵10x=2×5x，
∴x2+10x+52=（x+5）2．
故答案是：25；5．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．4x，﹣4x，4x4，﹣4x2，﹣1
【解析】添加的方法有5种，其演示的过程分别是
添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；
添加﹣4x，得4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2；
添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；
添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2=12；
添加﹣1，得4x2+1﹣1=（2x）2．
2．（1）（2x+3y）2；（2）（2xy+3）2；（3）（xy+6）2
【解析】（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；
（2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2；
（3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2；
故答案为：（1）4x2+12xy+9y2=（2x+3y）2；（2）4x2y2+12xy+9=（2xy+3）2；
（3）x2y2+12xy+36=（xy+6）2
3．以a、b、c为边的三角形是等边三角形
【解析】原式=x2﹣（a+b）x+a ( http: / / www.21cnjy.com )b+x2﹣（b+c）x+bc+x2﹣（a+c）x+ac=3x2﹣（2a+2b+2c）x+ab+bc+ac，
∵结果为完全平方式，即△=（2a+2b+2c）2﹣4×3（ab+bc+ac）=0，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=0，即2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，即a=b=c，
则以a、b、c为边的三角形是等边三角形．
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乘法公式
【义务教育教科书浙教版七年级下册】
学校：________
教师：________
情境引入
公式的结构特征:
左边是
a2 b2;
两个二项式的乘积,
(a+b)(a b)=
即两数和与这两数差的积.
右边是
这两数的平方差.
使用平方差公式(a+b)(a-b)=a -b 时，关键在于
找准_a__与_b__，公式左边积的两个因式中相同的
项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b。
回顾平方差公式:
情境引入
如图，大正方形的边长为a+b，请用两种不同的方法计算这个大正方形的面积.你发现了什么代数公式？你能否用多项式与多项式相乘的法则推导出这一代数式？请试一试.
(a+b)2
a2 +2ab+ b2
a
a
b
b
探究1
两数和的完全平方公式：
(a+b)2 =a2 +2ab+ b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
公式特点：1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
做一做
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空):
(a+1) 2 =____2 +2 . ___ . ___ + ___2 =_____________
(2) (2a+3b)2 =____2 +2 . ___ . ____+____2=____________
a
a
1
1
a2+2a+1
(2a)
3b
(3b)
2a
4a2+12ab+9b2
探究2
提问:（a－b）2等于什么？
是否可以写成[a＋（-b）]2 你能继续做下去吗？
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
探究2
两数差的完全平方公式：
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
公式特点：1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同。
归纳
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方+尾平方，首尾两倍中间放
（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式：
统称完全平 方公式.
平方差公式和完全平方公式也称乘法公式.
例题讲解
例1 用完全平方公式计算：
例题讲解
例2：一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，现将这两块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少平方米.
例题讲解
解：设原正方形苗圃的边长为am,边长都增1.5m，
新正方形的边长为（a+1.5）m，
（a+1.5）2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55
当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75
答：苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2.
做一做
1.运用乘法公式计算：
(1) ( x +2y－3) (x－ 2y +3) ;
(2)(a + b +c ) 2.
做一做
解： (1) ( x +2y－3) (x－ 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x－ (2y－3) ]
= x2－ (2y－3)2 = x2－ ( 4y2－12y + 9)
= x2－4y2+12y－9.
(a + b +c ) 2 = [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
达标测评
1.如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．±3 D．±6
D
2.小萌在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方
时，得到正确结果 4x2+20xy+ ● ，不小心把最后一项染黑了，你认为这一项是（ ）
A．5y2 B．10y2 C．100y2 D．25y2
D
达标测评
3.若100（a﹣b）2+（2k+4）（b2﹣a2）+400（a+b）2是一个完全平方式，求k的值．
解：∵10(a﹣b)2+(2k+4)(b2﹣a2)+400(a+b)2
=[10(a﹣b)]2﹣2(k+2) (a+b) (a﹣b)+[20(a+b)]2，
∴﹣2(k+2) (a﹣b) (a+b）=±2×10(a﹣b)×20(a+b)，
∴﹣2(k+2)=±400，
解得k=198或k=﹣202．
拓展延伸
一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．
求证：a是一个完全平方数．
拓展延伸
证明：令2992=m，则2993=m+1，
于是a=m2+m2 （m+1）2+（m+1）2，
=m4+2m3+3m2+2m+1，
=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，
=（m2）2+2 m2 （m+1）+（m+1）2，
=（m2+m+1）2，
所以是a一个完全平方数．
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
1、完全平方和公式与完全平方差公式统称为完全平方公式（也叫乘法公式）
2、在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2.
布置作业
教材:78页习题第1、2题
