登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：多项式的乘法
教学目标：
知识与技能目标：
1．掌握多项式乘法法则；
2．学会用多项式乘法法则进行计算；
过程与方法目标：
1．经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；
2．学生在探索多项式乘法法则的过程中，感受整体思想、转化思想和数形结合思想，并培养学生由具体到抽象的思维能力；21世纪教育网版权所有
情感态度与价值观目标：
1．培养学生用几何图形理解代数知识的能力 和复杂问题转化为简单问题的转化思想；
2．感受数学概念与实际生活的紧密联系；
重点：
掌握多项式的乘法法则并加以运用；
难点：
理解多项式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算；
教学流程：
1、 情境引入
人们越来越重视厨房的设计，不少家庭的厨房会沿墙做一排矮柜，使厨房的空间得到充分利用，便于清理。我们怎样表示厨房的总面积？21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
设计说明：教师利用多媒体展示厨房的设计图，通过熟悉的画面，不仅让学生感受到几何图形无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备.21cnjy.com
2、 自主探究
探究1：
下图是一间厨房的平面布局，此厨房的总面积是多少？我们可以用哪几种方法来表示？
图5-4
图5-5
图1
图2
一间厨房的平面布局如图，试用几种方法表示厨房的总面积.（师生共同探索，鼓励学生用不同的表示方法完成，然后总结）www.21-cn-jy.com
由图1得总面积为（a+n）（b+m）
由图2得总面积为a（b+m）+n（b+m）
或ab+am+nb+nm
设计说明：
用三种不同的方法表示厨房的总面积，这三种不同的方法表示的面积应当相等，通过上面的讨论，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律。【来源：21·世纪·教育·网】
（让学生以同桌合作的形式进行探索，然后表达交流）
(1)总面积：(a+n)(b+m)；a(b+m)+n(b+m)或b(a+n)+m(a+n)；ab+am+nb+nm
(2)总面积相等，由此可得到(a+n)(b+m)=a(b+m)+n(b+m)……①
=ab+am+nb+nm……②
第①步运用分配律把(b+m)看成一个数，第②步再运用分配律。
(3)由(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm师生共同总结得出多项式与多项式相乘的法则：
归纳
多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
例题讲解：
例1:计算（1）(x+y)(a+2b)
（2）(3x-1)(x+3)
解：（1）(x+y)(a+2b) = x · a+ x · (2b)+ y · a+ y ·(2b) 21·cn·jy·com
= a x + 2b x + a y + 2b y
（2）(3x-1)(x+3) =3x2+9x-x-3=3x2+8x-3
学以致用：
1、计算:
(1) (x+2y)(5a+3b)
解：(x+2y)(5a+3b)
=x ·5a +x ·3b + 2y ·5a + 2y·3b
=5ax+3bx+10ay+6by
(2) (2x–3)(x+4)
解：(2x–3)(x+4) =2x2 +8x–3x –12=2x2 +5x–12
多项式乘以多项式，展开后项数有什么规律？
在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于两个多项式的项数的积。
注意：1、两项相乘时，先定符号。所得积的符号由这两项的符号来确定：
同号得正异号得负。
2、最后的结果要合并同类项。
例2 先化简，再求值：
（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a＝2/17
解：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）
＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a
＝17a-3
当a＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1
学以致用：
1、先化简，再求值： x (x+y)- (x-y) (x+y) -y2
其中x=0.252014 ， y=42015
解： x (x+y)- (x-y) (x+y) -y2
=x2 +xy- (x2-y2) -y2=x2 +xy- x2+y2 -y2
=xy
当x=0.252014 ， y=42015
原式= 0.252014 ×42015 = （0.252014 ×42014 ) ×4=4
设计说明：
对于例题的学习，教师引导学生通过观察、思 ( http: / / www.21cnjy.com )考，寻求解决问题的方法，教师在示范过程中引导学生注意这三题都按多项式相乘的法则进行，运算过程中注意符号，防止漏乘，结果要合并同类项．通过例题的讲解，教师给出了解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养．2·1·c·n·j·y
三、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏.
2.多项式与多项式相乘，仍得多项式.
3.注意确定积中的每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”.
4.多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项要合并同类项. （结果要化简至最简）
设计说明：
让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。
四、拓展延伸
1.若(a + m) (a – 2 ) = a2 + na – 6 对 a 的任何值都成立，求m,n值
解： (a + m) (a – 2 ) = a2 -2a+ma-2m= a2 +(m-2)a-2m
∴n=m-2，-2m= -6
∴m = 3，n = 1
2．学校原有一块长为a米，宽为b米（a＞b ( http: / / www.21cnjy.com )）的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了3米，宽增加了3米，结果使场地的面积增加48平方米．
（1）求a﹣b的值；
（2）若a2+b2=5261，求原长方形场地的面积．
解：（1）由题意得，（a﹣3）（b+3）﹣ab=48，
3a﹣3b=57，a﹣b=19；
（2）∵a﹣b=19，∴（a﹣b）2=361，
即a2﹣2ab+b2=361，又a2+b2=5261，∴ab=2450，
答：原长方形场地的面积是2450平方米．
设计说明：
通过拓广探索，培养学生的创新能力，使学生体验成功的喜悦。
五、达标测评
1.若(x+a)(x+b)中不含x的一次项， 则a与b的关系是( )
(A)a=b=0 (B)a-b=0
(C)a=b≠0 (D)a+b=0
2.计算：2x（x﹣4）+（3x﹣1）（x+3）
解：原式=2x2﹣8x+（3x2+9x﹣x﹣3）
=2x2﹣8x+3x2+8x﹣3
=5x2﹣3
3.若关于x的多项式（x2﹣3x+1）（kx+2）展开合并同类项后，不含二次项，求k的值
解：（x2﹣3x+1）（kx+2）
=kx3+（2﹣3k）x2+（k﹣6）x+2
∵不含二次项，
∴2﹣3k=0
∴k=
4.以下是小华同学做的整式运算一题的解题过程：
计算：2b2﹣（a+b）（a﹣2b）
原式=2b2﹣（a2﹣2b2）…．第①步
=2b2﹣a2+2b2…．第②步
=4b2﹣a2…．第③步
老师说：“小华的过程有问题”．请你指出计算过程中错误的步骤，并改正．
解：错误的步骤是第①步，
改正：原式=2b2﹣（a2﹣2ab+ab﹣2b2），
=2b2﹣a2+2ab﹣ab+2b2，
=4b2+ab﹣a2．
六、布置作业
教材第71页习题第1、2题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
多项式的乘法
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．如果（x+a）（x+b）的结果中不含x的一次项，那么a、b满足（ ）
A．a=b B．a=0 C．a=﹣b D．b=0
2．下列计算正确的是（ ）
A．（ab3）2=a2b6 B．a2 a3=a6
C．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2 D．5a﹣2a=3
3．若（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（ax+b）（8x﹣c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于（ ）21cnjy.com
A．9 B．﹣7 C．13 D．17
4．若（x﹣2）（x+1）=x2+ax+b，则a+b=（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣3
5．当x取任意实数时，等式（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n恒成立，则m+n的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
6．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（ ）
①（2a+b）（m+n）；
②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
7．若（y+3）（y﹣2）=y2+my+n，则m、n的值分别为（ ）
A．m=5，n=6 B．m=1，n=﹣6 C．m=1，n=6 D．m=5，n=﹣6
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．已知（x﹣1）（x+3）=ax2+bx+c，则代数式9a﹣3b+c的值为 ．
2．若（1+x）（2x2+mx+5）的计算结果中x2项的系数为﹣3，则m= ．
3．现有若干张边长为a的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明同学选取了2张A型纸片，3张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 ．（用a、b代数式表示）21·cn·jy·com
4．观察下列各式并找规律，再猜想填空： ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3，（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）=x3+8y3，则（2a+3b）（4a2﹣6ab+9b2）= ．www.21-cn-jy.com
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．如图，有正方形卡片A类、B类和长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张？
2．先化简，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．
3．欢欢与乐乐两人共同计算（2x+ ( http: / / www.21cnjy.com )a）（3x+b），欢欢抄错为（2x﹣a）（3x+b），得到的结果为6x2﹣13x+6；乐乐抄错为（2x+a）（x+b），得到的结果为2x2﹣x﹣6．
（1）式子中的a、b的值各是多少？
（2）请计算出原题的正确答案．
参考答案
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．C
【解析】∵（x+a）（x+b）=x2+ax+bx+ab=x2+（a+b）x+ab．
又∵结果中不含x的一次项，
∴a+b=0，即a=﹣b．
故选C．
2．A
【解析】A、（ab3）2=a2b6，故本选项正确；
B、a2 a3=a5，故本选项错误；
C、（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b2，故本选项错误；
D、5a﹣2a=3a，故本选项错误．
故选A．
3．C
【解析】（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）
=（7x﹣3）[（17x﹣11）﹣（9x﹣2）]
=（7x﹣3）（8x﹣9）
∵（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（ax+b）（8x﹣c），可因式分解成（7x﹣3）（8x﹣9），21教育网
∴a=7，b=﹣3，c=9，
∴a+b+c=7﹣3+9=13．
故选C
4．D
【解析】已知等式整理得：（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2=x2+ax+b，
∴a=﹣1，b=﹣2，
则a+b=﹣3，
故选D
5．C
【解答】（x+2）（x﹣1）=x2+x﹣2，
∵（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n恒成立，
∴m=1，n=﹣2，
∴m+n=1﹣2=﹣1．
故选：C．
6．D
【解析】表示该长方形面积的多项式
①（2a+b）（m+n）正确；
②2a（m+n）+b（m+n）正确；
③m（2a+b）+n（2a+b）正确；
④2am+2an+bm+bn正确．
故选：D．
7．B
【解析】∵（y+3）（y﹣2）=y2﹣2y+3y﹣6=y2+y﹣6，
∵（y+3）（y﹣2）=y2+my+n，
∴y2+my+n=y2+y﹣6，
∴m=1，n=﹣6．
故选B．
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．0．
【解析】已知等式整理得：x2+2x﹣3=ax2+bx+c，
∴a=1，b=2，c=﹣3，
则原式=9﹣6﹣3=0．
故答案为：0．
2．-5．
【解析】∵（1+x）（2x2+mx+5）=2x3+（2+m）x2+（5+m）x+5，
又∵结果中x2项的系数为﹣3，
∴2+m=﹣3，
解得m=﹣5．
3．6a+8b
【解析】所得长方形的面积=2a2+7ab+3b2=（a+3b）（2a+b）．
所以长方形的长为a+3b，宽为2a+b，
所以长方形的周长为=2（a+3b+2a+b）=6a+8b．
故答案为：6a+8b．
4．8a3+27b3．
【解析】（2a+3b）（4a2﹣6ab+9b2），
=（2a）3+（3b）3，
=8a3+27b3．
故答案为：8a3+27b3．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张
【解析】∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，
∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．
2．﹣
【解析】∵|m﹣1|+（n+）2=0，
∴m﹣1=0，n+=0，
∴m=1，n=﹣，
∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）
=m2n+m4n2﹣1﹣m2n
=m4n2﹣1
=
=1×﹣1
=
=﹣．
3．（1）a=3，b=﹣2；
（2）（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6
【解析】（1）根据题意可知，由于欢欢挑错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，21世纪教育网版权所有
那么（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2﹣13x+6，
可得2b﹣3a=﹣13 ①
乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，
可知（2x+a）（x+b）=2x2﹣x﹣6
即2x2+（2b+a）x+ab=2x2﹣x﹣6，
可得2b+a=﹣1 ②，
解关于①②的方程组，可得a=3，b=﹣2；
（2）正确的式子：
（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网(共20张PPT)
多项式的乘法
【义务教育教科书浙教版七年级下册】
学校：________
教师：________
情境引入
人们越来越重视厨房的设计，不少家庭的厨房会沿墙做一排矮柜，使厨房的空间得到充分利用，便于清理。我们怎样表示厨房的总面积？
探究1
下图是一间厨房的平面布局，此厨房的总面积是多少？我们可以用哪几种方法来表示？
n
m
b
窗口矮柜
右侧矮柜
a
a
b+m
n
a(b+m)
n(b+m)
a(b+m)
+n(b+m)
m
b
a
n
am
mn
ab
nb
ab
+am
+nb
+nm
b+m
a+n
(a+n)(b+m)
a+n
b(a+n)
+m(a+n)
m(a+n)
b(a+n)
m
b
探究1
(a+n) (b+m)=a (b+m) + n(b+m)
=
ab+am
+
nb+nm
你能用分配律解释上述等式成立吗？
归纳
多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
(a+n)(b+m)
=
ab
1
2
3
4
+am
+nb
+mn
1
2
3
4
例题讲解
例1:计算（1）(x+y)(a+2b)
（2）(3x-1)(x+3)
解：（1）(x+y)(a+2b) = x · a+ x · (2b)+ y · a+ y ·(2b)
= a x + 2b x + a y + 2b y
（2）(3x-1)(x+3) =3x2+9x-x-3=3x2+8x-3
学以致用
(1) (x+2y)(5a+3b) ;
(2) (2x–3)(x+4) ;
解：
(x+2y)(5a+3b)
=x ·5a +x ·3b + 2y ·5a + 2y·3b
=5ax+3bx+10ay+6by
解:
(2x–3)(x+4) =2x2 +8x–3x –12=2x2 +5x–12
计算:
归纳
在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于两个多项式的项数的积。
注意：1、两项相乘时，先定符号。所得积的符号由这 两项的符号来确定：同号得正异号得负。
2、最后的结果要合并同类项。
例题讲解
例2：先化简，再求值
(2a – 3 )(3a + 1) – 6a(a – 4 ), 其中
解:原式=6a2+2a-9a-3-6a2+24a
=17a-3
当
原式=－1
学以致用
解： x (x+y)- (x-y) (x+y) -y2
=x2 +xy- (x2-y2) -y2=x2 +xy- x2+y2 -y2
=xy
当x=0.252014 ， y=42015
原式= 0.252014 ×42015 = （0.252014 ×42014 ) ×4=4
先化简，再求值： x (x+y)- (x-y) (x+y) -y2
其中x=0.252014 ， y=42015
拓展延伸
1. 若(a + m) (a – 2 ) = a2 + na – 6 对 a 的任何值都成立，求m,n值
解： (a + m) (a – 2 ) = a2 -2a+ma-2m
= a2 +(m-2)a-2m
∴n=m-2，-2m= -6
∴m = 3，n = 1
2．学校原有一块长为a米，宽为b米（a＞b）的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了3米，宽增加了3米，结果使场地的面积增加48平方米．
（1）求a﹣b的值；
（2）若a2+b2=5261，求原长方形场地的面积．
拓展延伸
（2）∵a﹣b=19，∴（a﹣b）2=361，
即a2﹣2ab+b2=361，又a2+b2=5261，∴ab=2450，
解：（1）由题意得，（a﹣3）（b+3）﹣ab=48，
3a﹣3b=57，a﹣b=19；
答：原长方形场地的面积是2450平方米．
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.运用多项式的乘法法则时，必须做到不重不漏.
2.多项式与多项式相乘，仍得多项式.
3.注意确定积中的每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”.
4.多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项要合并同类项. （结果要化简至最简）
达标测评
1.若(x+a)(x+b)中不含x的一次项， 则a与b的关系
是 ( )
(A)a=b=0 (B)a-b=0
(C)a=b≠0 (D)a+b=0
D
达标测评
2.计算：2x（x﹣4）+（3x﹣1）（x+3）
解：原式=2x2﹣8x+（3x2+9x﹣x﹣3）
=2x2﹣8x+3x2+8x﹣3
=5x2﹣3
达标测评
3.若关于x的多项式（x2﹣3x+1）（kx+2）展开合并同类项后，不含二次项，求k的值
解：（x2﹣3x+1）（kx+2）
=kx3+（2﹣3k）x2+（k﹣6）x+2
∵不含二次项，
∴2﹣3k=0
∴k=
达标测评
4.以下是小华同学做的整式运算一题的解题过程：
计算：2b2﹣（a+b）（a﹣2b）
原式=2b2﹣（a2﹣2b2）…．第①步
=2b2﹣a2+2b2…．第②步
=4b2﹣a2…．第③步
老师说：“小华的过程有问题”．请你指出计算过程中错误的步骤，并改正．
达标测评
解：错误的步骤是第①步，
改正：原式=2b2﹣（a2﹣2ab+ab﹣2b2），
=2b2﹣a2+2ab﹣ab+2b2，
=4b2+ab﹣a2．
布置作业
教材:71页习题第1、2题
