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课题：多项式的乘法
教学目标：
知识与技能目标：
1．掌握多项式乘法法则；
2．学会用多项式乘法法则进行计算；
过程与方法目标：
1．经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；
2．学生在探索多项式乘法法则的过程中，感受整体思想、转化思想和数形结合思想，并培养学生由具体到抽象的思维能力；21教育网
情感态度与价值观目标：
1．培养学生用几何图形理解代数知识的能力 和复杂问题转化为简单问题的转化思想；
2．感受数学概念与实际生活的紧密联系；
重点：
掌握多项式的乘法法则并加以运用；
难点：
理解多项式乘法法则的推导过程和运用法则进行计算；
教学流程：
1、 情境引入
1.回顾一下：
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
即(a+m)(b+n) = a(b+n) + m (b+n)
=ab+an+mb+mn.
设计说明：让学生回顾“多项式×多项式”运算法则，也为后面的探究活动作好了准备.
2、 自主探究
例题讲解：
例3:计算（1）(x-2)(x2-4)
（2）(a-b)(a2+ab+b2)
解：（1） (x-2)(x2-4)
= x3-4x-2 x2+8
= x3-2 x2-4x+8
（2）(a-b)(a2+ab+b2
=a3+a2b+ab2 -a2b-ab2 –b3
=a3–b3
例4:化简
，这个代数式 的值和a，b的取值有关吗？
分析：化简后，最后的结果中是否含有字母a、b的项，若有，则与此字母取值有关，否则无关。
解：
因为这个代数式化简后只含字母a，所以这个代数式的值只和字母a的取值有关，和字母b的取值无关.
例5 解方程：3x (x+2)-4(x2+8)= (x+1)(1-x)
解：3x (x+2)-4(x2+8)= (x+1)(1-x)
3x2+6x-4x2-32= x-x2+1-x
-x2+6x-32= -x2+1
6x= 33
x=
例6.如图,在长方形地中有两条小路.依据图中标注的数据,计算绿地的面积 （a>b）
【解析】（a+b)(a-b)-(a+b)c-2c(a-b)+2c2
=a2-b2+bc-3ac+2c2
学以致用：
1.计算：
（1）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）；
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．
解：（1）原式=6x2+8xy﹣2x﹣21xy﹣28y2+7y
=6x2﹣2x﹣13xy﹣28y2+7y；
（2）原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
=x3﹣y3．
2.已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
解：（1）原式=x5﹣3x4+（m+1）x3+（n﹣3m）x2
+（m﹣3n）x+n，
由展开式不含x3和x2项，得到m+1=0，n﹣3m=0，
解得：m=﹣1，n=﹣3；
（2）当m=﹣1，n=﹣3时，原式=m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3=m3+n3=﹣1﹣27=﹣28
3已知（x+my）（x+ny）=x2+2xy﹣8y2，
求m2n+mn2的值．
解：∵（x+my）（x+ny）=x2+2xy﹣8y2，
∴x2+nxy+mxy+mny2=x2+（m+n）xy+mny2=x2+2xy﹣8y2，
∴m+n=2，mn=﹣8，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣8×2=﹣16．
设计说明：
对于例题的学习，教师引导学生通过观察、思 ( http: / / www.21cnjy.com )考，寻求解决问题的方法，教师在示范过程中引导学生注意这三题都按多项式相乘的法则进行，运算过程中注意符号，防止漏乘，结果要合并同类项．通过例题的讲解，教师给出了解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养．21cnjy.com
三、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.如何进行多项式与多项式乘法运算？
2.运用多项式乘法法则，要有序地逐项相乘，不要漏乘，并注意项的符号．最后的计算结果要化简合并同类项． 21·cn·jy·com
设计说明：
让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。
四、达标测评
1.下列各式：
①（a﹣2b）（3a+b）=3a2﹣5ab﹣2b2；
②（2x+1）（2x﹣1）=4x2﹣x﹣1；
③（x﹣y）（x+y）=x2﹣y2；
④（x+2）（3x+6）=3x2+6x+12．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：C
2.若M是关于x的二次式，N是关于x的三次式，则下列结论正确的是（ ）
A．M+N是关于x的五次式
B．N﹣M是关于x的一次式
C．M N是关于x的五次式
D．M N是关于x的六次式
解：C
3、若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，求m的值
解： ∵（x+m）（x﹣8）=x2﹣8x+mx﹣8m
=x2+（m﹣8）x﹣8m，
又结果中不含x的一次项，
∴m﹣8=0，
∴m=8．
4、甲、乙两人分别计算（3x+a）（4x+ ( http: / / www.21cnjy.com )b）．甲抄错a的符号，得到结果是12x2+17x+6，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2+7x﹣6，问：a，b分别是多少？
解：∵乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2+7x﹣6，
∴（3x+a）（x+b）=3x2+7x﹣6，
即3x2+3bx+ax+ab=3x2+（3b+a）x+ab=3x2+7x﹣6，
∴3b+a=7，
∵甲抄错a的符号，得到结果是12x2+17x+6
∴（3x﹣a）（4x+b）=12x2+17x+6，
即12x2+3bx﹣4ax﹣ab=12x2+（3b﹣4a）x﹣ab=12x2+17x+6，
∴3b﹣4a=17，
解得：a=﹣2，b=3
五、拓展延伸
小华和小明同时计算一道整式乘法题（2x+a ( http: / / www.21cnjy.com )）（3x+b）．小华把第一个多项式中的“抄成了﹣a，得到结果为6x2+11x﹣10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2﹣9x+10．21世纪教育网版权所有
（1）你知道式子中a，b的值各是多少吗？
（2）请你计算出这道题的正确结果．
解：（1）根据题意得：（2x﹣a）（3x+b）
=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2+11x﹣10；
（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2﹣9x+10，
∴ 2b﹣3a=11 ， a+2b=-9
解得：a=﹣5，b=﹣2；
（2）正确的算式为（2x﹣5）（3x﹣2）=6x2﹣19x+10
设计说明：
通过拓广探索，培养学生的创新能力，使学生体验成功的喜悦。
六、布置作业
教材第73页习题第1、2题.
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多项式的乘法
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．若（x+a）（x+1）（x+2）（x+3）展开式中含x3项的系数是17，则a的值（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．如果a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111﹣b），则a，b之间的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能确定
3．已知a+b=﹣k，ab=﹣3，化简（a﹣3）（b﹣3）的结果是（ ）
A．6+3k B．6﹣3k C．3k﹣12 D．3k
4．如果关于x的多项式（2x﹣m）与（x+5）的乘积中，常数项为15，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．10 D．﹣l0
5．若6x2﹣19x+15=（ax+b）（cx+d），则ac+bd等于（ ）
A．36 B．15 C．19 D．21
6．一个长方体的长，宽，高分别是5x﹣2，3x，2x，则它的体积是（ ）
A．30x3﹣12x2 B．25x3﹣10x2 C．18x2 D．10x﹣2
7．若（3x﹣8）（x+2）﹣（x+5）（x﹣5）=2x2﹣2x+m2是恒等式，则m等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．±3
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216
…
按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）=a3+b3．
2．已知m，n满足|m+1|+（n﹣3）2=0，化简（x﹣m）（x﹣n）= ．
3．要使（x﹣2）（x2﹣ax+b）的乘积中不出现含有x的一次项及二次项，则a= ，b= ．
4．若关于x的代数式（x2+mx+1）（x2+mx+2）的展开式中x的系数为3，则|m﹣1|+|m+1|的最小值为 ．21世纪教育网版权所有
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．代数式（x+2）（2x﹣a），当x=2时，其值为20，求当x=﹣3时代数式的值．
2．已知6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b）（3x+y+c），试确定a、b、c的值．
3．学校原有一块长为a米，宽为b米（a＞b） ( http: / / www.21cnjy.com )的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长减少了3米，宽增加了3米，结果使场地的面积增加48平方米．
（1）求a﹣b的值；
（2）若a2+b2=5261，求原长方形场地的面积．
参考答案
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．B
【解析】（x+a）（x+1）（x+2）（x+3）
=[x2+（a+1）x+a]（x2+5x+6）
=x4+（a+1）x3+ax2+5x3+5（a+1）x2+5ax+6x2+6（a+1）x+6a
=x4+（a+6）x3+（6a+11）x2+（11a+6）x+6a．
∴a+6=17，
解得a=11．
故选B．
2．A
【解析】∵12345=（111+a）（111﹣b）
∴12345=12321+111（a﹣b）﹣ab
∴111（a﹣b）=24+ab
∵a，b是正数
∴24+ab＞0
∴111（a﹣b）＞0
∴a＞b
故选A．
3．A
【解析】∵（a﹣3）（b﹣3）=ab﹣3a﹣3b+9=ab﹣3（a+b）+9，
又a+b=﹣k，ab=﹣3，
∴原式=ab﹣3（a+b）+9=﹣3﹣3×（﹣k）+9=3k+6．
故选答案A．
4．B
【解析】（2x﹣m） （x+5）=2x2+10x﹣mx﹣5m，
∵常数项为15，
∴﹣5m=15，
∴m=﹣3．
故选：B．
5．D
【解答】（ax+b）（cx+d）
=acx2+（ad+bc）x+bd，
则ac=6，ad+bc=﹣19，bd=15．
则ac+bd=6+15=21．
故选D．
6．A
【解析】根据题意得：3x 2x（5x﹣2）=30x3﹣12x2．
故选A．
7．D
【解析】∵（3x﹣8）（x+2）﹣（x+5）（x﹣5）=3x2﹣2x﹣16﹣x2+25=2x2﹣2x+9，
（3x﹣8）（x+2）﹣（x+5）（x﹣5）=2x2﹣2x+m2，
∴2x2﹣2x+9=2x2﹣2x+m2，
∴m2=9，
∴m=±3．
故选D．
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．a2﹣ab+b2．
【解析】解：∵（x+1）（x2﹣x+1）=x3+1；
（x+3）（x2﹣3x+9）=x3+27=x3+33；
（x+6）（x2﹣6x+36）=x3+216=x3+63；
…
∴（a+b）（ a2﹣ab+b2）=a3+b3．
故答案为：a2﹣ab+b2．
2．x2﹣2x﹣3．
【解析】∵|m+1|+（n﹣3）2=0，
∴m+1=0，n﹣3=0，
即m=﹣1，n=3，
则原式=x2﹣（m+n）x+mn=x2﹣2x﹣3．
故答案为：x2﹣2x﹣3．
3．﹣2；4
【解析】（x﹣2）（x2﹣ax+b）=x3﹣ax2+bx﹣2x2+2ax﹣2b=x3﹣（a+2）x2+（2a+b）x﹣2b，
∵结果中不含有x的一次项及二次项，∴a+2=0，2a+b=0，
解得：a=﹣2，b=4．
故答案为：﹣2；4
4．2．
【解析】原式=x4+2mx3+（3+m2）x2+3mx+2，
由x的系数为3，得到m=1，
则原式=2．
故答案为：2
三．解答题(每小题15分，共45分)
1． 5
【解析】当x=2时，原式=4（4﹣a）=20，即4a=﹣4，
解得：a=﹣1，即代数式为（x+2）（2x+1），
当x=﹣3时，原式=（﹣1）×（﹣5）=5．
2．a=4，b=4，c=1．
【解析】∵（2x﹣3y+b）（3x+y+c）=6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc
∴6x2﹣7xy﹣3y2+（2c+3b）x+（b﹣3c）y+bc=6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a
∴2c+3b=14，b﹣3c=1，a=bc
联立以上三式可得：a=4，b=4，c=1
故a=4，b=4，c=1．
3．（1）a﹣b=19；
（2）2450平方米
【解析】（1）由题意得，
（a﹣3）（b+3）﹣ab=48，
3a﹣3b=57，
a﹣b=19；
（2）∵a﹣b=19，
∴（a﹣b）2=361，
即a2﹣2ab+b2=361，又a2+b2=5261，
∴ab=2450，
答：原长方形场地的面积是2450平方米．
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多项式的乘法
【义务教育教科书浙教版七年级下册】
学校：________
教师：________
多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a + m)(b + n) = a( b + n) + m ( b + n )
=ab + an + mb + mn .
复习导入
1、漏乘
需要注意的几个问题
2、符号问题
3、最后结果应化成最简形式。
复习导入
例题讲解
例3:计算（1）(x-2)(x2-4)
（2）(a-b)(a2+ab+b2)
解：（1） (x-2)(x2-4)
= x3-4x-2 x2+8
= x3-2 x2-4x+8
（2）(a-b)(a2+ab+b2
=a3+a2b+ab2 -a2b-ab2 –b3
=a3–b3
例题讲解
例4:化简 ，这个代数式
的值和a，b的取值有关吗？
分析：化简后，最后的结果中是否含有字母a、b的项，
若有，则与此字母取值有关，否则无关。
例题讲解
解：
因为这个代数式化简后只含字母a，所以这个代数式的
值只和字母a的取值有关，和字母b的取值无关.
例题讲解
例5 解方程：3x (x+2)-4(x2+8)= (x+1)(1-x)
解：3x (x+2)-4(x2+8)= (x+1)(1-x)
3x2+6x-4x2-32= x-x2+1-x
-x2+6x-32= -x2+1
6x= 33
x=
2c
a+b
c
a- b
例6.如图,在长方形地中有两条小路.依据图中标注的数据,计算绿地的面积 （a>b）
【解析】（a+b)(a-b)-(a+b)c-2c(a-b)+2c2
=a2-b2+bc-3ac+2c2
例题讲解
1.计算：
（1）（2x﹣7y）（3x+4y﹣1）；
（2）（x﹣y）（x2+xy+y2）．
学以致用
解：（1）原式=6x2+8xy﹣2x﹣21xy﹣28y2+7y
=6x2﹣2x﹣13xy﹣28y2+7y；
（2）原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
=x3﹣y3．
2、已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+1）展开后的结果中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
学以致用
解：（1）原式=x5﹣3x4+（m+1）x3+（n﹣3m）x2
+（m﹣3n）x+n，
由展开式不含x3和x2项，得到m+1=0，n﹣3m=0，
解得：m=﹣1，n=﹣3；
（2）当m=﹣1，n=﹣3时，原式=m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3=m3+n3=﹣1﹣27=﹣28
学以致用
解：∵（x+my）（x+ny）=x2+2xy﹣8y2，
∴x2+nxy+mxy+mny2=x2+（m+n）xy+mny2=x2+2xy﹣8y2，
∴m+n=2，mn=﹣8，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣8×2=﹣16．
3.已知（x+my）（x+ny）=x2+2xy﹣8y2，
求m2n+mn2的值．
学以致用
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.如何进行多项式与多项式乘法运算？
2.运用多项式乘法法则，要有序地逐项相乘，不要漏乘，并注意项的符号．最后的计算结果要化简合并同类项．
达标测评
1.下列各式：
①（a﹣2b）（3a+b）=3a2﹣5ab﹣2b2；
②（2x+1）（2x﹣1）=4x2﹣x﹣1；
③（x﹣y）（x+y）=x2﹣y2；
④（x+2）（3x+6）=3x2+6x+12．
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
达标测评
2.若M是关于x的二次式，N是关于x的三次式，则下列结论正确的是（ ）
A．M+N是关于x的五次式
B．N﹣M是关于x的一次式
C．M N是关于x的五次式
D．M N是关于x的六次式
C
解： ∵（x+m）（x﹣8）=x2﹣8x+mx﹣8m
=x2+（m﹣8）x﹣8m，
又结果中不含x的一次项，
∴m﹣8=0，
∴m=8．
3、若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，求m的值
达标测评
达标测评
4、甲、乙两人分别计算（3x+a）（4x+b）．甲抄错a的符号，得到结果是12x2+17x+6，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2+7x﹣6，问：
a，b分别是多少？
达标测评
解：∵乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2+7x﹣6，∴（3x+a）（x+b）=3x2+7x﹣6，
即3x2+3bx+ax+ab=3x2+（3b+a）x+ab=3x2+7x﹣6，
∴3b+a=7，∵甲抄错a的符号，得到结果是12x2+17x+6∴（3x﹣a）（4x+b）=12x2+17x+6，
即12x2+3bx﹣4ax﹣ab=12x2+（3b﹣4a）x﹣ab=12x2+17x+6，∴3b﹣4a=17，
解得：a=﹣2，b=3
拓展延伸
小华和小明同时计算一道整式乘法题（2x+a）（3x+b）．小华把第一个多项式中的“抄成了﹣a，得到结果为6x2+11x﹣10；小明把第二个多项式中的3x抄成了x，得到结果为2x2﹣9x+10．
（1）你知道式子中a，b的值各是多少吗？
（2）请你计算出这道题的正确结果．
拓展延伸
解：（1）根据题意得：（2x﹣a）（3x+b）
=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2+11x﹣10；
（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2﹣9x+10，
∴ 2b﹣3a=11 ， a+2b=-9
解得：a=﹣5，b=﹣2；
（2）正确的算式为（2x﹣5）（3x﹣2）=6x2﹣19x+10
布置作业
教材:73页习题第1、2题
