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课题： 因式分解
教学目标：
知识与技能目标：
1.理解因式分解的概念和意义
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
二、过程与方法目标：
由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智
能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
三、情感态度与价值观目标：
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态
度。
重点：
因式分解的概念；
难点：
明确因式分解与整式乘法的关系及运用整式乘法的有关法则解决因式分解的相应问题。
教学流程：
一、知识回顾
1.在小学里,我们学过:
2×3×5=30 ( 整数乘法 )
30 = 2×3×5 ( 因数分解 )
2.第三章里,我们学过:
x (x + y) = ( 整式乘法 )
x2 + xy = x (x + y) (因式分解)
二、导入新课
小学时，我们学过怎么把一个整数转化为几个整数的积。
整数乘法：2×5×7=70
因式分解：70=2×5×7
而在代数式中，我们也需要常常把一个多项式转化为几个整式的积.
x（x-y）=x2-xy x2-xy=x（x-y）
定义：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.
想一想：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
像这样把多项式转化为两个整式的积的形式，是一种重要的代数式变形。
请观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么联系吗？
a（a+1）=a2+a
（a+b）（a-b）=a2-b2
（a+1）2=a2+2a+1 特点：由整式积的形式转化成多项式和的形式.
a2+a=（a）（a+1）
a2-b2=（a+b）（a-b） 特点: 把多项式和的形式转化
a2+2a+1=（a+1）2 为几个整式的积的形式.
想一想：通过刚才的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
理解概念，哪些是整式乘法 哪些是因式分解
二、例题讲解
例 x－4= (x≥0）是因式分解吗？
分析：因式分解 把一个多项式转化成几个整式的积的形式。
解：
例 检验下列因式分解是否正确.
分析：检验因式分解是否正确。只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
解：
注意：
（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果仍是几个整式的积的形式；
（3）因式分解与整式乘法正好相反,它们是互逆的。
(4)等式两边是恒等变换。
三、习题巩固
1. 检验下列因式分解是否正确.
（1）m2+mn=m(m+n)
（2）a2-b2=(a+b)(a-b)
（3）x2-x-2=(x+2)(x-1)
解：（1）正确 （2）正确（3）错误，原式=（x-2）（x+1）
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13
（2）1012 - 99 2
解：
（1）原式=87×（87+13）=8700，利用了因式分解的变形方法；
（2）原式=（101+99）×（101-99）=200×2=400，利用了因式分解的变形方法.
四、拓展小结
1、因式分解是对多项式而言的一种变形；
2、因式分解的结果仍是几个整式的积的形式；
3、因式分解与整式乘法正好相反,它们是互逆的。
4、等式两边是恒等变换。
5、因式分解与整式乘法是互逆过程.
因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
延伸练习：
阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变． 即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2
（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．
解：（1）x2+4xy﹣5y2
=（x2+4xy+4y2）﹣4y2﹣5y2
=（x+2y）2﹣（3y）2
=（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
=（x+5y）（x﹣y）；
（2）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣4c+4）=0，
（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2=0，
∴（a﹣b）2=0，（b﹣3）2=0，（c﹣2）2=0，
a=b=3，c=2，∴a+b+c=8．
五、布置作业
教材第99页，1、2、3题
根据等式的性质
整式的乘法
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因式分解
班级：___________姓名：___________得分：__________
1、选择题(每小题5分，共20分)
1．若关于x的多项式x2﹣px﹣16在整数范围内能因式分解，则整数p的个数有（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如果二次三项式可分解为，那么a＋b的值为( )
A. －2B. －1 C. 1D. 2
3．下列由左到右的变形中，不属于因式分解的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）.
A．x（a﹣b）=ax﹣bx
B．
C．﹣1=（y+1）（y﹣1）
D．ax+by+c=x（a+b）+c
二、填空题(每小题5分，共20分)
5．如果x＋y = －3，xy = －2，那么x3y2＋x2y3的值为__________
6．下列变形：①（x+1）（x﹣1）=x ( http: / / www.21cnjy.com )2﹣1；②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2；③3abc3=3c abc2；④3a2﹣6a=3a（a﹣2）中，是因式分解的有（填序号）21教育网
7．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：______ ____（写出一个即可）．21·世纪*教育网
8．把多项式2x2﹣8分解因式得：．
三、简答题（每题15分，共60分）
9．分解因式:
(1)x2-4x
(2)﹣2x2﹢2
(3)4x5-4x4+x3
(4)
10．阅读以下文字并解决问题：对于形如x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变． 即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．21*cnjy*com
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2
（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．
11．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．21cnjy.com
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
12．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现 ( http: / / www.21cnjy.com )利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式。比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式：
（2）要使拼出的矩形面积为3a2+8ab+4b2，则此矩形的长为，宽为．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下关系式www-2-1-cnjy-com
Ⅰ. Ⅱ.x-y=n Ⅲ. Ⅳ
Ⅴ. 其中正确的有几个（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
（4）如图5，是将两个边长分别为和的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=6，ab=6，你能求出阴影部分的面积S阴 吗？
( http: / / www.21cnjy.com / )
参考答案
1、 选择题
1．B
【解析】
试题分析：原式利用十字相乘法变形，即可确定出整数p的值．
解：若二次三项式x2﹣px﹣16在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值为6，﹣6，15，﹣15，021世纪教育网版权所有
故选B．
2．C
【解析】
试题分析：(x－2)(x+b)=+(b－2)x－2b=+ax－1，则－2b=－1，b－2=a，解得：a=－1.5；b=0.5，则a+b=－1.5+0.5=－1.www.21-cn-jy.com
考点：因式分解
3．C．
【解析】
试题分析：根据因式分解是把 ( http: / / www.21cnjy.com )一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A正确；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确.2·1·c·n·j·y
故选：C．
考点：因式分解的意义．
4．C.
【解析】
试题分析：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．A、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积，故C正确；D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误.【来源：21·世纪·教育·网】
故选：C．
考点：因式分解的意义．
二、填空题
5．-12
【解析】
试题分析：原式=(x+y)=(x+y)=×(－3)=－12.
考点：因式分解
6．②④
【解析】
试题分析：直接利用因式分解的意义分析得出答案．
解：①（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，是多项式乘法，故此选项错误；
②9a2﹣12a+4=（3a﹣2）2，是因式分解；
③3abc3=3c abc2，不是因式分解；
④3a2﹣6a=3a（a﹣2），是因式分解；
故答案为：②④．
点评：此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
7．103010
【解析】
试题分析：先提取公因式，再根据平方差公式分解因式，最后根据题意代入求值即可。
，
当时，，，
则产生的密码是103010．
考点：本题考查的是因式分解的应用
点评：分解因式一般用的方法有提公因式法和运用公式法．如果含有公因式则先提公因式，提公因式后再用公式法进行分解．2-1-c-n-j-y
8． 2（x+2）（x﹣2）
【解析】
试题分析：首先提取公因式2，然后利用平方差公式进行因式分解.原式=2(-4)=2(x+2)(x-2).【出处：21教育名师】
考点：因式分解
三、简答题
9．(1)、x(x-4)；(2)、-2(x+1)(x-1)；(3)、x3(2x-1)2 ；(4)、3(7x-y)(3y-x)
【解析】
试题分析：(1)、利用提取公因式进行因式分解；(2)、首先提取公因式－2，然后再利用平方差公式进行因式分解；(3)、首先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；(4)、利用平方差公式进行因式分解.【版权所有：21教育】
试题解析：(1)、原式=x(x-4)
(2)、原式=－2(－1)=－2(x+1)(x－1)
(3)、原式=(4-4x+1)=
(4)、原式==[2(x+2y)+5(x-y)][2(x+2y)-5(x-y)]=3(7x－y)(3y－x)21教育名师原创作品
考点：因式分解
10．（1）（x+5y）（x﹣y）；（2）8
【解析】
试题分析：（1）将前两项配方后即可得到（x+2y）2﹣（3y）2，然后利用平方差公式因式分解即可；
（2）由a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，可得（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2=0，求得a、b、c后即可得出答案．21*cnjy*com
解：（1）x2+4xy﹣5y2
=（x2+4xy+4y2）﹣4y2﹣5y2
=（x+2y）2﹣（3y）2
=（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
=（x+5y）（x﹣y）；
（2）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣4c+4）=0，
（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2=0，
∴（a﹣b）2=0，（b﹣3）2=0，（c﹣2）2=0，
a=b=3，c=2，
∴a+b+c=8．
点评：考查了因式分解的知识，解题的关键是能够熟记完全平方公式及平方差公式的形式，并能正确的分组，难度不大．21·cn·jy·com
11．（1）不彻底；（2）（x﹣1）4
【解析】
试题分析：（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设x2﹣2x=y，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
解：（1）∵（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4，
∴该同学因式分解的结果不彻底．
（2）设x2﹣2x=y
原式=y（y+2）+1
=y2+2y+1
=（y+1）2
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
故答案为：不彻底．
12．（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）长（3a+2b），宽（a+2b）；（3）D；
（4）9.
【解析】
试题分析：（1）利用部分之和等于整体， ( http: / / www.21cnjy.com )把图形看做一个整体是长为a+2b，宽2a+b的一个长方形，也可看做是由2个边长为a的正方形，与5个长b宽a的长方形以及2个边长为b的正方形组成的；（2）利用分解因式把3a2+8ab+4b2分解成两个多项式的乘积，就可得到矩形的长和宽；（3）根据图形可以发现大正方形的边长m等于x+y，所以Ⅰ正确；里面小正方形的边长n等于x-y，故Ⅱ正确；把Ⅰ和Ⅱ代入Ⅲ，也正确；由Ⅰ得x2+2xy+y2=m2，由Ⅱ得x2-2xy+y2=n2，两式相加得到Ⅳ也正确；两式相减得到Ⅴ也正确.故选D；
（4）阴影部分的面积可以看做是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )长a+b，宽a得矩形减去长b，宽a-b的矩形，再减去直角边长为a的等腰直角三角形，再减去直角边为a+b和b的直角三角形的面积.再利用因式分解整体代入求值.【来源：21cnj*y.co*m】
试题解析： （1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）长（3a+2b），宽（a+2b）；（3）D；
S阴影=a（a+b）-b（a-b）-a2-b（a+b）=a2+ab-ab+b2-a2-b2-ab=（a2+b2）-ab
=[（a+b）2-2ab] -ab=·（62-12）-×6=12-3=9.答：阴影部分的面积为9.
考点：1因式分解；2数形结合；3整体代入.
①
②
③
④
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因式分解
【义务教育教科书浙教版七年级下册】
学校：________
教师：________
知识回顾
1.在小学里,我们学过:
2×3×5=30 ( )
整数乘法
30 = 2×3×5 ( )
因数分解
2.第三章里,我们学过:
x (x + y) = ( )
x2 + xy
整式乘法
x2 + xy = x (x + y) ( )
因式分解
导入新课
小学时，我们学过怎么把一个整数转化为几个整数的积
整数乘法
2×5×7=70
因数分解
70=2×5×7
而在代数式中，我们也需要常常把一个多项式转化为几个整式的积.
根据等式的性质
↓
像这样把多项式转化为两个整式的积的形式，是一种重要的代数式变形。
一般地，把一个 化成几个
的 的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式.
积
想一想：
下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
否
是
是
否
请观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么联系吗？
a(a+1)=_________
(a+b)(a-b)=__________
(a+1)2 = __________
a2+a
a2 - b2
a2+2a+1
整式的乘法
特点：由整式积的形式转化成多项式和的形式.
a2+a=( ) ( )
a2 - b2= ( ) ( )
a2+2a+1= ( )
a
a+1
a+b
a-b
a+1
2
特点: 把多项式和的形式转化为几个整式的积的形式.
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
理解概念，哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y)
(2)3x(x-3y)=3x2-6xy
(3)(4a-1)2=16a2-8a+1
(4)x2+6x+9=(x+3)2
(5)πR+ 2πr= 2π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
例 x－4= (x≥0）是因式分解吗？
分析：因式分解 把一个多项式转化成几个整式的积的形式。
解：
（1）因式分解是对
多项式而言的一种变形；
（2）因式分解的结果
仍是几个整式的积的形式； （3）因式分解与整式乘法
正好相反,它们是互逆的。
(4)等式两边是恒等变换。
例题讲解
例 检验下列因式分解是否正确.
分析：检验因式分解是否正确。只要看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.
解：
习题巩固
1. 检验下列因式分解是否正确.
（1）m2+mn=m(m+n)
（2）a2-b2=(a+b)(a-b)
（3）x2-x-2=(x+2)(x-1)
解：（1）正确 （2）正确
（3）错误，
原式=（x-2）（x+1）
2. 计算下列各题，并说明你的算法.
（1）87 2 + 87 ×13
（2）1012 - 99 2
解：
（1）原式=87×（87+13）=8700，利用了因式分解的变形方法；
（2）原式=（101+99）×（101-99）=200×2=400，利用了因式分解的变形方法.
拓展小结
1、因式分解是对多项式而言的一种变形；
2、因式分解的结果仍是几个整式的积的形式； 3、因式分解与整式乘法正好相反,它们是互逆的。
4、等式两边是恒等变换。
5、因式分解与整式乘法是互逆过程.
因式分解要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
3.要分解到不能分解为止.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变． 即：x2+6x﹣27=（x2+6x+9）﹣9﹣27=（x+3）2﹣62=（x+3+6）（x+3﹣6）=（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2
（2）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0，求a+b+c的值．
运用新知
解：（1）x2+4xy﹣5y2
=（x2+4xy+4y2）﹣4y2﹣5y2
=（x+2y）2﹣（3y）2
=（x+2y+3y）（x+2y﹣3y）
=（x+5y）（x﹣y）；
（2）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13=0
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣4c+4）=0，
（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2=0，
∴（a﹣b）2=0，（b﹣3）2=0，（c﹣2）2=0，
a=b=3，c=2，∴a+b+c=8．
