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课题： 提取公因式法
教学目标：
1、知识与技能目标：
1.会用提取公因式法分解因式。
2.理解添括号法则。
二、过程与方法目标：
1.树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
2.树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思
想能力。
三、情感态度与价值观目标：
在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数
学的探索性。
重点：
掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。
难点：
正确地找出公因式
教学流程：
一、知识回顾
回忆:运用前面所学的知识填空：
(1) m(a+b+c)= ma+mb+mc
(2) (x+1)(x-1)=x2-1
(3) (a+b)2 =2a+2b
把下列多项式写成乘积的形式
(1) ma+mb+mc=( m )( a++b+c )
(2) x2 -1 =( x+1 )(x-1 )
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
二、导入新课
想一想：一幢房子侧面的形状由一个长方形和三角形组成（如图），若把它设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？ 21世纪教育网版权所有
我们知道，m（a+b）=ma+mb，反过来，就有ma+mb=m（a+b）.应用这一事实，怎样把多项式2ab+4abc分解因式？21cnjy.com
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
如m是多项式ma+mb各项的公因式，2 ( http: / / www.21cnjy.com )ab是多项式2ab+4abc各项的公因式.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法.21·cn·jy·com
同学们，我们下面一起来讨论如何确定应提取的公因式.
以多项式3ax2y+6x3yz为例，把各项表示如下：
3ax2y=3·a·x·x·y
6x2yz=2·3·x·x·x·y·z
应提取的公因式为:_3x2y_______
公因式的确定方法：应提取的多项式各项的公因式应是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。21教育网
试一试：
所以，公因式是-3 x
分解因式：-9 x 2 + 6 x y= -3x( 3x -２y)
二、例题讲解
例 (1) 多项式 8a3b2 +12ab3c的公因式是
(2) 多项式3mx – 6nx2 的公因式是
解: (1) 8a3b2 +12ab3c =4ab2·2a2 + 4ab2·3bc= 4ab2(2a2 + 3bc)
(2) 3mx – 6nx2 = 3x·m–3x·2nx= 3x(m–2nx)
提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
例1 把下列各式分解因式：
(1)2x3+6x2
(2)3pq3+15p3q
(3)-4x2+8ax+2x
(4)-3ab+6abx-9aby.
解：
（1）∵公因式是2x2，∴原式=2x2(x+3)
（2）∵公因式是3pq，∴原式=3pq(q2+5p2)
（3）∵公因式是-2x，∴原式=-2x(2x-4a-1)
（4）∵公因式是-3ab，∴原式=-3ab(1-2x+3y)
注意：当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号.
例2 把2(a-b)2-a+b分解因式：
分析:把-a+b变形为-(a-b ( http: / / www.21cnjy.com ))，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把（a-b）看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b).www.21-cn-jy.com
解：2(a-b)2-a+b=2(a-b)2-(a-b)
=(a-b)[2(a-b)-1]=(a-b)(2a-2b-1).
在求解例2时，我们把-a+b加上括号，变形为-（a-b），而不改变-a+b的值，这种方法叫做添括号.一般地，添括号法则如下：2·1·c·n·j·y
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
三、习题巩固
1. 确定下列多项式的公因式，并分解因式.
解：（1）没公因式，原式=ax+b
(2)公因式是3x，原式=3x(m-2nx)
（3）公因式是2ab，原式=2ab（2a+5-b）
2. 添括号（填空）：
（1）1-2x=+( 1-2x )
（2）-x-2=-( x+2 )
（3）-x2-2x+1=-( x2+2x-1 )
3. 下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样该正？
（1）2x2+3x3+x=x(2x+3x2)
（2）3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)
(3）-2s3+4s2-6s=-s(2s2+4s-6)
（4）-4a2b+6ab2-8a=-2ab(2a-3b)-8a
延伸练习：
2、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（D ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
四、拓展小结
1、确定公因式的方法：
(1)、公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
(2)、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)、相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
2、提取公因式法分解因式
３、整体的思想
当ｎ为奇数时 (x-y)n=-(y-x)n
当ｎ为偶数时 (x-y)n=(y-x)n
你能概括出提取公因式法的一般步骤吗？
1.确定应提取的公因式；
2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
3.把多项式写成这两个因式的积的形式。
注意：
(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:
①提取不尽
②漏项
③疏忽变号
④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式
五、布置作业
教材第104页，1、2、3题
（1）ax+b
（2）3mx-6nx2
（3）4a2b+10ab-2ab2
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提取公因式法
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．如果二次三项式可分解为，那么a＋b的值为( )
A. －2B. －1 C. 1D. 2
2．若关于x的多项式x2﹣px﹣16在整数范围内能因式分解，则整数p的个数有（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．多项式8xmyn-1－12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn-1 C．4xmyn D．4xmyn-1【来源：21·世纪·教育·网】
4．多项式2x2﹣2y2分解因式的结果是（ ）
A．2（x+y）2 B．2（x﹣y）2 C．2（x+y）（x﹣y） D．2（y+x）（y﹣x）
二、填空题(每小题5分，共20分)
5．在实数范围内分解因式
6．分解因式：a2（x﹣y）+（y﹣x）=
7．多项式的公因式是：x3﹣x=．
8．已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=．
三、简答题（每题15分，共60分）
9．我们对多项式x2+x- ( http: / / www.21cnjy.com )6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x2+x-6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x-6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab21cnjy.com
所以，根据等式两边对应项 ( http: / / www.21cnjy.com )的系数相等，可得：a+b=1，ab=-6，解得a=3，b=-2或者a=-2，b=3．所以x2+x-6=（x+3）（x-2）．当然这也说明多项式x2+x-6含有因式：x+3和x-2．
像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．
（1）已知关于x的多项式x2+mx-15有一个因式为x-1，求m的值；
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2-x+b有一个因式为x+2，求b的值．
10．阅读下列解答过程，然后回答问题．已知多项式x3+4x2+mx+5有一个因式（x+1），求m的值．21世纪教育网版权所有
解：设另一个因式为（x2+ax+b），
则x3+4x2+mx+5=（x+1）（x2+ax+b）=x2+（a+1）x2+（a+b）x+b，
∴a+1=4，a+b=m，b=5，∴a=3，b=5，∴m=8；
依照上面的解法，解答问题：若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值．
11．将下列各式因式分解：
（1）4x2﹣16
（2）﹣3x3+6x2y﹣3xy2．
12．阅读材料，回答下列问题：
我们知道对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式将它分解成的形式，但是，对于二次三项式就不能直接用完全平方公式，可以采用如下方法：21教育网
＝＝．
像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是配方法．请同学们借助这种数学思想方法把多项式分解因式
参考答案
1、 选择题
1．C
【解析】
试题分析：(x－2)(x+b)=+(b－2)x－2b=+ax－1，则－2b=－1，b－2=a，解得：a=－1.5；b=0.5，则a+b=－1.5+0.5=－1.2·1·c·n·j·y
考点：因式分解
2．B
【解析】
试题分析：原式利用十字相乘法变形，即可确定出整数p的值．
解：若二次三项式x2﹣px﹣16在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值为6，﹣6，15，﹣15，021·世纪*教育网
故选B．
3．D.
【解析】
试题分析：由题意可得，这个多项式的公因式为4xmyn-1，注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选：Dwww-2-1-cnjy-com
考点：提取公因式
4．C
【解析】
试题分析：首先提公因式2，再利用平方差进行分解即可．
解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y），
股癣：C．
点评：此题主要考查了提公因式法与公式法 ( http: / / www.21cnjy.com )分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
2、填空题
5．
【解析】
试题分析：首先提取公因式2，然后再利用平方差公式进行因式分解.原式=2(-5)=2(x+)(x-).www.21-cn-jy.com
考点：因式分解
6．(x－y)(a+1)(a－1)
【解析】
试题分析：首先提取公因式(x－y)，然后利用平方差公式进行因式分解.原式=(x－y)(－1)=(x－y)(a+1)(a－1).2-1-c-n-j-y
考点：因式分解
7．X
【解析】
试题分析：原式提取x，所以x是公因式.
考点：提公因式法
8．6
【解析】
试题分析：∵a+b=3，ab=2，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=6．
故答案为：6．
考点：因式分解-提公因式法．
3、简答题
9．（1）14；（2）-6.
【解析】
试题分析：（1）根据多项式乘法将等式右 ( http: / / www.21cnjy.com )边展开有：x2+mx-15=（x-1）（x+n）=x2+（n-1）x-n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；21·cn·jy·com
（2）解答思路同（1）．
试题解析：（1）由题设知：x2+mx-15=（x-1）（x+n）=x2+（n-1）x-n，
故m=n-1，-n=-15，
解得n=15，m=14．
故m的值是14；
（2）由题设知：2x3+5x2-x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt，
∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=-1，2kt=b．
解得：k1=，k2=-1．
∴t1=-2，t2=3．
∴b1=b2=2kt=-6．
考点：因式分解的应用．
10．－5
【解析】
试题分析：将一个多项式化成几个单项 ( http: / / www.21cnjy.com )式或单项式乘积的形式时，如果有一个因式为零时，则整个多项式的值为零.本题中假设x+1=0求出x的值，从而将x的值代入代数式求出k的值.21*cnjy*com
试题解析：∵多项式x3+4x2+mx+5有一个因式（x+1），
∴令x+1=0得x=﹣1，即当x=﹣1时，原多项式为零，
∴（﹣1）3+3×（﹣1）2﹣3×（﹣1）+k=0，
∴k=﹣5．
考点：（1）、因式分解；（2）、代数式求值
11．（1）4（x+2）（x﹣2）；（2）﹣3x（x﹣y）2
【解析】
试题分析：（1）首先提取公因式4，进而利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式﹣3x，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
解：（1）4x2﹣16=4（x2﹣4）=4（x+2）（x﹣2）；
（2）﹣3x3+6x2y﹣3xy2
=﹣3x（x2﹣2xy+y2）
=﹣3x（x﹣y）2．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12．．
【解析】
试题分析：配出完全平方式，再减去这项，使整个式子的大小不变．
试题解析：由题意得：
===．
考点：1．因式分解-十字相乘法等；2．阅读型．
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提取公因式法
【义务教育教科书浙教版七年级下册】
学校：________
教师：________
知识回顾
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1) m(a+b+c)=
(2) (x+1)(x-1)=
(3) (a+b)2 =
ma+mb+mc
(1) m(a+b+c)=
(2) (x+1)(x-1)=
(3) (a+b)2 =
x2 -1
a2 +2ab+b2
回忆
把下列多项式写成乘积的形式
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
导入新课
一幢房子侧面的形状由一个长方形和三角形组成（如图），若把它设计成一个新的长方形，面积保持不变，且底边长仍为a，则高度应为多少？
想一想
我们知道，m（a+b）=ma+mb，反过来，就有ma+mb=m（a+b）.应用这一事实，怎样把多项式2ab+4abc分解因式？
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
m是多项式ma+mb各项的公因式，那么2ab是多项式2ab+4abc各项的公因式.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解。这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
同学们，我们下面一起来讨论如何确定应提取的公因式.
以多项式3ax2y+6x3yz为例，把各项表示如下：
3ax2y=3·a·x·x·y
6x2yz=2·3·x·x·x·y·z
应提取的公因式为:________
公因式的确定方法：
应提取的多项式各项的公因式应是：各项系数的最大公因数（当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。
试一试：
如何确定多项式-9x2+xy的公因式？
– 9 x 2 + 6 x y 的公因式
-3
x
1
系数：最大
公约数。
字母：相同字母
指数：最低次幂
所以，公因式是
-3 x
分解因式：-9 x 2 + 6 x y= -3x( )
3x -２y
例题讲解
例 (1) 多项式 8a3b2 +12ab3c的公因式是
(2) 多项式3mx – 6nx2 的公因式是
解:
(1) 8a3b2 +12ab3c
= 4ab2·2a2 + 4ab2·3bc
= 4ab2(2a2 + 3bc)
(2) 3mx – 6nx2
= 3x·m–3x·2nx
= 3x(m–2nx)
4ab2
3x
提取公因式法的一般步骤：
（1）确定应提取的公因式；（如上例中的：
4ab2，3x）；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为
另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
例1 把下列各式分解因式：
(1)2x3+6x2
(2)3pq3+15p3q
(3)-4x2+8ax+2x
(4)-3ab+6abx-9aby.
解：
（1）∵公因式是2x2，∴原式=2x2(x+3)
（2）∵公因式是3pq，∴原式=3pq(q2+5p2)
（3）∵公因式是-2x，∴原式=-2x(2x-4a-1)
（4）∵公因式是-3ab，∴原式=-3ab(1-2x+3y)
注意：当首项的系数为负数时，通常应提取负因数，此时剩下的各项都要改变符号.
例2 把2(a-b)2-a+b分解因式：
分析:把-a+b变形为-(a-b)，原多项式就转化为2(a-b)2-(a-b).若把（a-b）看做整体，原多项式就可以提取公因式(a-b).
解：2(a-b)2-a+b=2(a-b)2-(a-b)
=(a-b)[2(a-b)-1]
=(a-b)(2a-2b-1).
在求解例题时，我们把-a+b加上括号，变形为-（a-b），而不改变-a+b的值，这种方法叫做添括号.一般地，添括号法则如下：
括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；
括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。
习题巩固
1. 确定下列多项式的公因式，并分解因式.
（1）ax+b
（2）3mx-6nx2
（3）4a2b+10ab-2ab2
解：（1）没公因式，原式=ax+b
(2)公因式是3x，原式=3x(m-2nx)
（3）公因式是2ab，原式=2ab（2a+5-b）
2. 添括号（填空）：
（1）1-2x=+( )
（2）-x-2=-( )
（3）-x2-2x+1=-( )
1-2x
x +2
x2 + 2x -1
3. 下面的分解因式对吗？如果不对，应怎样该正？
（1）2x2+3x3+x=x(2x+3x2)
（2）3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)
（3）-2s3+4s2-6s=-s(2s2+4s-6)
（4）-4a2b+6ab2-8a=-2ab(2a-3b)-8a
1、填一填：
（3） -24x3 –12x2 +28x =-4x（ ）
6x2+3x-7
2、若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab，那么另一个因式是（ ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
D
拓展小结
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。
(2)字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
(3)相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂
2、整体的思想
当ｎ为奇数时
当ｎ为偶数时
(x-y)n=-(y-x)n
(x-y)n=(y-x)n
1、确定公因式的方法：
提取公因式法的一般步骤
1.确定应提取的公因式；
2.用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
3.把多项式写成这两个因式的积的形式。
(1).当首项系数为负时,通常应提取负因数,在提取“－”号时,余下的各项都变号。
(2).提取公因式要彻底;注意易犯的错误:
①提取不尽
②漏项
③疏忽变号
④只提取部分公因式,整个式子未成乘积形式。
