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【期末考题中的解答题突破】
第2章 2.4 二元一次方程组的应用
一、知识点概述
知识要点梳理 列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重 ( http: / / www.21cnjy.com )要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程。【来源：21·世纪·教育·网】
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很 ( http: / / www.21cnjy.com )重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 21*cnjy*com
2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.
3．商品销售利润问题：
(1)利润＝售价－成本(进价)；
(2) ；
(3)利润＝成本（进价）×利润率；
(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；
(5)实际售价＝标价×打折率；
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十） 【版权所有：21教育】
5．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量； 原量×(1－减少率)＝减少后的量. 21教育名师原创作品
7．和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
8．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。 21·世纪*教育网
注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
二、典型例题
期末常考类型一：裁剪板材
例1
（2016春 石城县期末）我县某包装生产企 ( http: / / www.21cnjy.com )业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图1所示，（单位：cm）
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将3 ( http: / / www.21cnjy.com )0张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格：
礼品盒板 材 竖式无盖（个） 横式无盖（个）
x y
A型（张） 4x 3y
B型（张） x
( http: / / www.21cnjy.com )
③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个；此时，横式无盖礼品盒可以做 个．（在横线上直接写出答案，无需书写过程）
【分析】（1）由图示列出关于a、b的二 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程组求解．（2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，同样由图示完成表格，并完成计算．21世纪教育网版权所有
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中a与b的值分别为：60、40．
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30=60，裁法二产生A型板材为：1×4=4，所以两种裁法共产生A型板材
为60+4=64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30=30，裁法二产生A型板材为，2×4=8，所以两种裁法共产生B型板材
为30+8=38（张），
故答案为：64，38．
②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张．
礼品盒板 材 竖式无盖（个） 横式无盖（个）
x y
A型（张） 4x 3y
B型（张） x 2y
③20，16或17或18．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再是根据图示解答．www.21-cn-jy.com
期末常考类型二：最优方案
例2
（2016秋 普宁市期末）已知：用 ( http: / / www.21cnjy.com )2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：【来源：21cnj*y.co*m】
①1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
【分析】（1）根据“用2辆A型车和 ( http: / / www.21cnjy.com )1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；【出处：21教育名师】
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案．
【解答】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a=，
∵a、b都是正整数，
∴或或．
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，此题型是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．
期末常考类型三：几何图中的和差关系
例3
（2016春 丰都县期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，如图（1）所示，恰好可以拼成一个大的矩形．21教育网
小红看见了，说“我来试一试”，结果小红一拼八 ( http: / / www.21cnjy.com )凑，拼成如图（2）那样的正方形，中间恰好是2mm的小正方形．你能帮她解开其中的奥秘吗？（提示：能求出小长方形的长和宽吗？）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】设小长方形的长是x ( http: / / www.21cnjy.com )mm，宽是ymm．根据图（1），知长的3倍=宽的5倍，即3x=5y；根据图（2），知宽的2倍+长=长的2倍+2，即2y+x=2x+2，即2y=x+2，联立解方程组．
【解答】解：设小长方形的长是xmm，宽是ymm．根据题意得：
，
解得．
答：小长方形的长是10mm，宽是6mm．
【点评】此题的关键是能够分别从每个图形中获得信息，建立方程．
期末常考类型四：古算法
例4
（2016春 朝阳区期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”
译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而 ( http: / / www.21cnjy.com )且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”
请列方程组解答上面的问题．
【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤， ( http: / / www.21cnjy.com )根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．
【解答】解：设雀、燕每1只各重x斤、y斤．根据题意，得
整理，得
解得
答：雀、燕每1只各重斤、斤．
期末常考类型五：行程问题
例5
（2016春 鞍山期末）王阿姨每天 ( http: / / www.21cnjy.com )晨练的路径是一段平路和一段下坡路，然后顺原路返回．假设她始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，王阿姨走平路和下坡路需10分钟，顺着原路返回需要15分钟，请问王阿姨每天晨练走多远？21·cn·jy·com
【分析】设平路由xm，下坡路由ym，根据“王阿姨走平路和下坡路需10分钟，顺着原路返回需要15分钟”列方程组求解可得．
【解答】解：设平路由xm，下坡路由ym，
根据题意，得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：，
2×（300+400）=1400（米），
答：王阿姨每天晨练走1400米．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意找出题目蕴含的相等关系列出方程组．2-1-c-n-j-y
期末常考类型六：增长率问题
例6
（2016春 武安市期末）（1）一列火车 ( http: / / www.21cnjy.com )装运一批货物，若每节皮车装46吨，将剩余100吨货物；若每节皮多装50吨，则装完货物，还有两节车皮，这批货物有多少吨？这列火车有多少节车皮？
（2）某体校现有学生2300人，与去年相比，男生人数增加25%，女生减少25%，学生总数增加15%．学校现有男、女各多少人？
【分析】（1）设有x节车皮，y吨货物 ( http: / / www.21cnjy.com )，根据“若每节皮车装46吨，将剩余100吨货物；若每节皮多装50吨，则装完货物，还有两节车皮”列方程组求解可得；
（2）设现有男生x人，女生y人，根据“体校现有学生2300人；去年男生人数+女生人数=总人数”列方程组求解即可．
【解答】解：（1）设有x节车皮，y吨货物，
则：，
解得：，
答：有50节车皮，2400吨货物；
（2）设现有男生x人，女生y人，
则，
解得：，
答：现有男生2000人，女生300人．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
期末常考类型七：配套问题
例7
（2016春 滦县期末）列方程组解应用题：
用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身1 ( http: / / www.21cnjy.com )6个或制盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身和盒底正好配套？21*cnjy*com
【分析】根据题意可知，本题中的 ( http: / / www.21cnjy.com )相等关系是（1）盒身的个数×2=盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，再列方程组求解．
【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意，得，
解得：．
答：用20张制作盒身，16张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用，数学来源于生活，又服务于生活，本题就是数学服务于生活的实例．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．www-2-1-cnjy-com
期末常考类型八：利润问题
例8
（2016秋 黄岛区期末）列方程（组）解应用题
【提出问题】：某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元，按定价的八五折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．
【分析问题】：分析梳理题目所含相关数量（已知量与未知量）如下表：
【解决问题】：根据以上分析，设出适当未知量，列方程（组）求出该商品进价和定价分别是多少元．
( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】本题中两个等量关系是：定价﹣进价= ( http: / / www.21cnjy.com )45元；定价×0.85×8件﹣8件的进价=（定价﹣35）×12件﹣12件的进价．据此可列方程组求解．
【解答】解：设该商品定价为x元、进价为y元．
依题意得：，
解得．
答：该商品进价为155元、定价为200元．
【点评】本题考查了二元一次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系：定价﹣进价=45元；定价×0.85×8件﹣8件的进价=（定价﹣35）×12件﹣12件的进价．列出方程组，再求解．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
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【期末考题中的解答题突破】
第2章 2.4 二元一次方程组的应用（拓展训练+解析）
1．（2016秋 萍乡期末）有黑 ( http: / / www.21cnjy.com )白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2016春 湘潭期末）某公司计划20 ( http: / / www.21cnjy.com )16年在甲、乙两个电视台播放总长为300分钟的广告，已知甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，该公司的广告总费用为9万元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告分别能给该公司带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长为多少分钟？预计甲、乙两个电视台2016年为该公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的收益？
3．（2016春 槐荫区期末）为落实“ ( http: / / www.21cnjy.com )促民生、促经济”政策，某市玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年四月份的工资情况信息：21*cnjy*com
职工 甲 乙
月销售件数/件 200 180
月工资/元 1800 1700
试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？
4．（2016 曲靖模拟）某玩具厂 ( http: / / www.21cnjy.com )共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，如果1个车架与4个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？
5．（2016春 茶陵县校级期中 ( http: / / www.21cnjy.com )）两人骑自行车在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒名相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个的速度各是多少？
6．（2016秋 西城区期末）一个二元 ( http: / / www.21cnjy.com )码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n为正整数），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，如：二元码01101的第1位码元为0，第5位码元为1．
（1）二元码100100的第4位码元为 ；
（2）二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组： ( http: / / www.21cnjy.com )
其中运算 定义为：0 0=0，1 1=0，0 1=1，1 0=1．
2 计算：0 1 1 0= ；
②现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了0101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 ．
7．（2016秋 太原期末）双十一期间，商场针对某品牌洗洁精和洗衣液推出如下两种促销套餐：
套餐一：3瓶洗洁精2袋洗衣液一组，总价为60元；
套餐二：4瓶洗洁精3袋洗衣液一组，总价为85元，
根据上述信息，分别求该品牌一瓶洗洁精和一袋洗衣液的售价．
8．（2016春 石家庄期末）某超 ( http: / / www.21cnjy.com )市开业十周年举行了店庆活动，对A、B两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元．而店庆期间，购买3件A商品和8件B商品仅需72元，求店庆期间超市的折扣是多少？21*cnjy*com
9．（2016春 嵊州市期末）为了创 ( http: / / www.21cnjy.com )建国家卫生城市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的数量和总价如表所示．2·1·c·n·j·y
甲型垃圾桶数量（套） 乙型垃圾桶数量（套） 总价（元）
A 10 8 3320
B 5 9 2860
C a b 2580
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求a，b的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．（2016春 青田县期末）用如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为x厘米，y厘米和30厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木块锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，x＞y）．
（1）用含x，y的代数式表示这三块木板的面积；
（2）若甲块木块的面积比丙块木块的面积大300平方厘米，乙块木块的面积为1800平方厘米，求x，y的值；21教育网
（3）如果购买一块长120厘米，宽为（x+y）的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求+的值．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
11．（2016春 邳州市期末）用二元一次方程组解决问题：
已知甲、乙两人今年的年龄之和为63，数年前，甲的年龄是乙的年龄的一半，乙恰是甲现在的年龄，求甲、乙两人今年的年龄．21世纪教育网版权所有
12．（2016春 定陶 ( http: / / www.21cnjy.com )县期末）为满足市民对优质教育的需求，我县某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分校舍、建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中新建校舍只完成了计划的80%，拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．【出处：21教育名师】
（1）求原计划拆、建面积分别是多少平方米？
（2）若绿化1平方米新校舍需200元，那么在实际完成的拆、建中节余的资金用来绿化新校舍大约是多少平方米？21教育名师原创作品
13．（2016春 秦淮区期末）随 ( http: / / www.21cnjy.com )着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/公里计算，耗时费按q元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
速度y（公里/时） 里程数s（公里） 车费（元）
小明 60 8 12
小刚 50 10 16
（1）求p，q的值；
（2）如果小华也用该打车方式，车速55公里/时，行驶了11公里，那么小华的打车总费用为多少？
14．（2016春 南陵县期末）某次考试结束后，班主任老师和小强进行了对话：
老师：小强同学，你这次考试的语数英三科总分348分，在下次考试中，要使语数英三科总分达到382分，你有何计划？www.21-cn-jy.com
小强：老师，我争取在下次考试中，语文成绩保持124分，英语成绩再多16分，数学成绩增加15%，则刚好达到382分．21·世纪*教育网
请问：小强这次考试英语、数学成绩各是多少？
15．（2016春 浦东 ( http: / / www.21cnjy.com )新区期末）某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作A、B两种型号的长方体框架模型，其中A种型号长方体框架的长、宽、高分別为30厘米、20厘米、20厘米．A，B种型号长方体框架的长、宽、高分別为30厘米、30厘米、20厘米．
（1）请在图中补画出A种型号的长方体框架的直观图；
（2）如果30厘米的细钢条有520 ( http: / / www.21cnjy.com )根，20厘米的细钢条有440根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架．请问做成A、B两种型号的长方体框架各有多少个？
( http: / / www.21cnjy.com )
16．（2016春 隆化县期末）某景点的门票价格规定如表：
购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上
每人门票价 13元 11元 8元
（1）我校初二（1），（2）两个 ( http: / / www.21cnjy.com )班共104人准备利用假期去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；问两班各有多少名学生？
（2）你认为有没有最省购票费用的方案？若有，请写出你的方案，并按照你的方案计算一下能省多少钱？
17．（2016春 抚顺县期末）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
( http: / / www.21cnjy.com )
18．（2016春 安岳县期中）如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求每块长方形的长和宽分别是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
19．（2016 连云港）某数学兴 ( http: / / www.21cnjy.com )趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房 ( http: / / www.21cnjy.com )进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？【来源：21·世纪·教育·网】
20．（2016 宁国市一模）小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： ( http: / / www.21cnjy.com )
小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价．
21．（2016 淮安二模）某班将举行“趣味数学知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情况：
小明：买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我领了300元，现在找回68元．
班长：你肯定搞错了！
小明：哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱款了．
班长：这就对了！
请根据上面的信息，解决问题：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
22．（2016 西城区二模）列方程或方程组解应用题：
为祝贺北京成功获得2022年冬 ( http: / / www.21cnjy.com )奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会成功的“纪念章”和“冬奥印”．生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4盒，乙种原料3盒；生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5 盒，乙种原料10 盒．该厂购进甲、乙两种原料分别为20000盒和30000盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬奥印”各多少枚？
23．（2016 温州校级一模）某超市有单价 ( http: / / www.21cnjy.com )总和为100元的A、B、C三种商品．小明共购买了三次，其中一次购买时三种商品同时打折，其余两次均按单价购买，三次购买商品的数量和总费用如下表：
商品A的数量 商品B的数量 商品C的数量 总费用（元）
第一次 5 4 3 390
第二次 5 4 5 312
第三次 0 6 4 420
（1）小明以折扣价购买的商品是第 次购物．
（2）若设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元．
①C商品的单价是 元（请用x与y的代数式表示）；
②求出x，y的值；
（3）若小明单价（没打折）第四次购买 ( http: / / www.21cnjy.com )商品A、B、C的数量总和为m个，其中购买B商品数量是A商品数量的2倍，购买总费用为720元，m的最小值为 ．
24．（2016 阜阳校级二模）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，求能连续搭建正三角形的个数．
第2章 2.4 二元一次方程组的应用（参考答案及解析）
1．（2016秋 萍乡期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）有黑白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量的天平恰好平衡，如果每只砝码质量均为5克，每只黑球和白球的质量各是多少克？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，
依题意得，
解得，
答：每只黑球3克，白球1克．
2．（2016春 湘潭期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）某公司计划2016年在甲、乙两个电视台播放总长为300分钟的广告，已知甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，该公司的广告总费用为9万元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告分别能给该公司带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长为多少分钟？预计甲、乙两个电视台2016年为该公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的收益？
【解答】解：设该公司在甲电视台播放做广告的时间为x分钟和在乙电视台播放做广告的时间为y分钟，
由题意得：
解得：
此时公司收入为100×0.3+200×0.2=70（万元）
答：该公司播放广告后能带来70万元的收益．
3．（2016春 槐荫区期末）为落实 ( http: / / www.21cnjy.com )“促民生、促经济”政策，某市玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年四月份的工资情况信息：
职工 甲 乙
月销售件数/件 200 180
月工资/元 1800 1700
试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各是多少元？
【解答】解：设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，
由题意得：，
解得．
答：工资分配方案调整后职工的月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额各是5元．
4．（2016 曲靖模拟）某玩具厂共有 ( http: / / www.21cnjy.com )300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，如果1个车架与4个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？
【解答】解：设每天安排多x名工人生产车架，y名工人生产车轮，
由题意得，，
解得：，
答：每天安排多100名工人生产车架，200名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套．
5．（2016春 茶陵县校级期中）两人骑 ( http: / / www.21cnjy.com )自行车在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒名相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个的速度各是多少？
【解答】解：设两个人中较快者的速度为x米/秒、较慢者的速度为y米/秒，
根据题意，得，
解这个方程组，得；
答：两个人的速度分别为12米/秒、8米/秒．
6．（2016秋 西城区期末）一个二元 ( http: / / www.21cnjy.com )码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n为正整数），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，如：二元码01101的第1位码元为0，第5位码元为1．
（1）二元码100100的第4位码元为 ；
（2）二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组： ( http: / / www.21cnjy.com )
其中运算 定义为：0 0=0，1 1=0，0 1=1，1 0=1．
3 计算：0 1 1 0= ；
②现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了0101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 ．
【解答】解：（1）在二元码100100中，第4个数字为1．
故答案为：1．
（2）①0 1 1 0=1 1 0=0 0=0．
故答案为：0．
②∵1 0 0 1=1 0 1=1 1=0，1 1 0 1=0 0 1=0 1=1，0 0 1 1=0 1 1=1 1=0，
∴校验后可知4、5、6、7正确，错误出在x2 x3、x1 x3．
∵一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误，
∴k=3．
故答案为：3．
7．（2016秋 太原期末）双十一期间，商场针对某品牌洗洁精和洗衣液推出如下两种促销套餐：
套餐一：3瓶洗洁精2袋洗衣液一组，总价为60元；
套餐二：4瓶洗洁精3袋洗衣液一组，总价为85元，
根据上述信息，分别求该品牌一瓶洗洁精和一袋洗衣液的售价．
【解答】解：设一瓶洗洁精的售价为x元，一袋洗衣液的售价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：一瓶洗洁精的售价为10元，一袋洗衣液的售价为15元．
8．（2016春 石家庄期末）某超市开业十周 ( http: / / www.21cnjy.com )年举行了店庆活动，对A、B两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元．而店庆期间，购买3件A商品和8件B商品仅需72元，求店庆期间超市的折扣是多少？
【解答】解：设打折前A商品的单价是x元，B商品的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
则3x+8y=3×16+8×4=80（元），
店庆期间超市的折扣为：72÷80=90%．
答：店庆期间超市的折扣是九折．
9．（2016春 嵊州市期末） ( http: / / www.21cnjy.com )为了创建国家卫生城市，需要购买甲、乙（如图）两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，A，B，C三个小区所购买的数量和总价如表所示．
甲型垃圾桶数量（套） 乙型垃圾桶数量（套） 总价（元）
A 10 8 3320
B 5 9 2860
C a b 2580
（1）问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
（2）求a，b的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）设甲型垃圾桶的单价是x元/套，乙型垃圾桶的单价是y元/套．
依题意得：，
解得．
答：甲型垃圾桶的单价是140元/套，乙型垃圾桶的单价是240元/套．
（2）由题意得：140a+240b=2580，
整理，得
7a+12b=129，
因为a、b都是正整数，
所以或．
10．（2016春 青田县期末）用 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为x厘米，y厘米和30厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木块锯成两块刚好能做箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，x＞y）．
（1）用含x，y的代数式表示这三块木板的面积；
（2）若甲块木块的面积比丙块木块的面积大300平方厘米，乙块木块的面积为1800平方厘米，求x，y的值；【版权所有：21教育】
（3）如果购买一块长120厘米，宽为（x+y）的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求+的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）甲：xy+30x，乙：30x+30y，丙：xy+30y．
（2）由题意得：，
解得：；
（3）由题意可得：
=，
整理得：xy=18（x+y），
则+===．
11．（2016春 邳州市期末）用二元一次方程组解决问题：
已知甲、乙两人今年的年龄之和为63，数年前，甲的年龄是乙的年龄的一半，乙恰是甲现在的年龄，求甲、乙两人今年的年龄．21cnjy.com
【解答】解：设甲今年的年龄为x岁，乙今年的年龄为y岁，
根据题意可得：，
解得；
答：甲今年的年龄为27岁，乙的今年的年龄为36岁．
12．（2016春 定陶县期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）为满足市民对优质教育的需求，我县某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分校舍、建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中新建校舍只完成了计划的80%，拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．
（1）求原计划拆、建面积分别是多少平方米？
（2）若绿化1平方米新校舍需200元，那么在实际完成的拆、建中节余的资金用来绿化新校舍大约是多少平方米？
【解答】解：（1）设拆除旧校舍x平方米，建新校舍y平方米
根据题意列方程得：，
解得：，
答：原计划拆除旧校舍4800平方米，建新校舍2400平方米；
（2）实际比原计划节约资金（4800×80+2400×700）﹣（4800×1.1×80+2400×0.8×700）=297600元
可绿化面积297600÷200=1488（平方米），
答：在实际完成的拆、建中节余的资金用来绿化新校舍大约是多1488平方米．
13．（2016春 秦淮区期末）随着“互联网 ( http: / / www.21cnjy.com )+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/公里计算，耗时费按q元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
速度y（公里/时） 里程数s（公里） 车费（元）
小明 60 8 12
小刚 50 10 16
（1）求p，q的值；
（2）如果小华也用该打车方式，车速55公里/时，行驶了11公里，那么小华的打车总费用为多少？
【解答】解：（1）小明的里程数是8km，时间为8min；小刚的里程数为10km，时间为12min．
由题意得，
解得；
（2）小华的里程数是11km，时间为12min．
则总费用是：11o+12q=17（元）．
答：总费用是17元．
14．（2016春 南陵县期末）某次考试结束后，班主任老师和小强进行了对话：
老师：小强同学，你这次考试的语数英三科总分348分，在下次考试中，要使语数英三科总分达到382分，你有何计划？
小强：老师，我争取在下次考试中，语文成绩保持124分，英语成绩再多16分，数学成绩增加15%，则刚好达到382分．
请问：小强这次考试英语、数学成绩各是多少？
【解答】解：设小强的英语成绩为x分，数学成绩为y分，
由题意得，，
解得：
答：小强这次考试英语成绩为104分，数学成绩为120分．
15．（2016春 浦东新区期末）某教具制 ( http: / / www.21cnjy.com )造厂准备利用20厘米和30厘米两种细钢条制作A、B两种型号的长方体框架模型，其中A种型号长方体框架的长、宽、高分別为30厘米、20厘米、20厘米．A，B种型号长方体框架的长、宽、高分別为30厘米、30厘米、20厘米．
（1）请在图中补画出A种型号的长方体框架的直观图；
（2）如果30厘米的细钢条有520根，20厘 ( http: / / www.21cnjy.com )米的细钢条有440根，并全部用于制作这两种型号的长方体框架．请问做成A、B两种型号的长方体框架各有多少个？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图：
( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）设做成A种型号的长方体框架有x个，做成B种型号的长方体框架有y个．
由题意，得，
解得，
答：做成A种型号的长方体框架有30个，做成B种型号的长方体框架有50个．
16．（2016春 隆化县期末）某景点的门票价格规定如表：
购票人数 1﹣50人 51﹣100人 100人以上
每人门票价 13元 11元 8元
（1）我校初二（1），（2）两 ( http: / / www.21cnjy.com )个班共104人准备利用假期去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；问两班各有多少名学生？
（2）你认为有没有最省购票费用的方案？若有，请写出你的方案，并按照你的方案计算一下能省多少钱？
【解答】解：（1）设（1）班x人，（2）班y人，
则x+y=104，13x+11y=1240，
解得x=48，y=56．
（2）两班联合作为一个团体购票8×104=832元，
节省1240﹣832=408元．
最省购票费用的方案：两班合在一起购票，可省1240﹣104×9=304元．
17．（2016春 抚顺县期末）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息www-2-1-cnjy-com
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得：
，
解得：，
答：买1束鲜花33元，买1个礼盒花55元；
（2）由题意得：3×33+4×55=313（元），
答：小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了313元．
18．（2016春 安岳县期中）如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求每块长方形的长和宽分别是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设每块长方形的长是xcm，宽是ycm，根据题意得
解得
答：长是40cm，宽是10cm．
19．（2016 连云港）某数学兴趣小组研究 ( http: / / www.21cnjy.com )我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．2-1-c-n-j-y
（1）求该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房 ( http: / / www.21cnjy.com )进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
解得：．
答：该店有客房8间，房客63人；
（2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱；
若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱；
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算．
20．（2016 宁国市一模）小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： ( http: / / www.21cnjy.com )
小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价．
【解答】解：设上个月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤，
依题意得，
解得：．
（1+30%）x=1.3，（1+40%）y=21．
答：今天萝卜的单价是1.3元/斤，排骨的单价是21元/斤．
21．（2016 淮安二模）某班将举行“趣味数学知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，下面是小明买回奖品时与班长的对话情况：
小明：买了两种不同的笔记本共40本，单价分别为5元和8元，我领了300元，现在找回68元．
班长：你肯定搞错了！
小明：哦！我把自己口袋里的13元一起当作找回的钱款了．
班长：这就对了！
请根据上面的信息，解决问题：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
【解答】解：（1）设一种笔记本买了x本，另一种笔记本买了y本，
根据题意，得：，
解得：，
答：一种笔记本买了25本，另一种笔记本买了15本；
（2）解法一：应找回钱款为300﹣5×25﹣8×15=55≠68，故不能找回68元．
解法二：设买m本5元的笔记本，则买（40﹣m）本8元的笔记本，
依题意得，5m+8（40﹣m）=300﹣68，
解得：m=，
∵m是正整数，
∴m=不合题意，舍去．
∴不能找回68元．
解法三：买25本5元笔记本和15本8元的笔记本的价钱总数应为奇数而不是偶数，故不能找回68元．
22．（2016 西城区二模）列方程或方程组解应用题：
为祝贺北京成功获得2022 ( http: / / www.21cnjy.com )年冬奥会主办权，某工艺品厂准备生产纪念北京申办冬奥会成功的“纪念章”和“冬奥印”．生产一枚“纪念章”需要用甲种原料4盒，乙种原料3盒；生产一枚“冬奥印”需要用甲种原料5 盒，乙种原料10 盒．该厂购进甲、乙两种原料分别为20000盒和30000盒，如果将所购进原料正好全部都用完，那么能生产“纪念章”和“冬奥印”各多少枚？
【解答】解：设生产“纪念章”x套，生产“冬奥印”y套．
根据题意得：，
①×2﹣②得：5x=10 000．
∴x=2000．
把x=2000代入①得：5y=12 000．
∴y=2400．
答：该厂能生产“纪念章”2000套，生产“冬奥印”2400套．
23．（2016 温州校级一模）某超 ( http: / / www.21cnjy.com )市有单价总和为100元的A、B、C三种商品．小明共购买了三次，其中一次购买时三种商品同时打折，其余两次均按单价购买，三次购买商品的数量和总费用如下表：
商品A的数量 商品B的数量 商品C的数量 总费用（元）
第一次 5 4 3 390
第二次 5 4 5 312
第三次 0 6 4 420
（1）小明以折扣价购买的商品是第 次购物．
（2）若设A商品的单价为x元，B商品的单价为y元．
①C商品的单价是 元（请用x与y的代数式表示）；
②求出x，y的值；
（3）若小明单价（没打折）第四次购买商品 ( http: / / www.21cnjy.com )A、B、C的数量总和为m个，其中购买B商品数量是A商品数量的2倍，购买总费用为720元，m的最小值为 ．
【解答】解：（1）分析一二次购物：第二次购物比第一次购物A、B商品购买数量没有减少，C商品购买数量增加总费用反而比第一购物少，
所以小明以折扣价购买的商品是第二次购物．
故答案为：二．
（2）①∵某超市有单价总和为100元的A、B、C三种商品，且A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，21·cn·jy·com
∴C商品的单价为100﹣x﹣y元．
故答案为：100﹣x﹣y．
②结合一三次购物可知：，
解得：．
答：A商品的单价为20元，B商品的单价为50元．
（3）由（2）可知C商品的单价是100﹣20﹣50=30（元），
设第四次购买商品A的数量为a个，则购买商品B的数量为2a个，购买商品C的数量为m﹣3a个，
依据题意可知：20a+50×2a+30×（m﹣3a）=720，即m=24﹣a．
又∵m﹣3a≥0，
∴24﹣4a≥0，解得：a≤6．
∵m关于a的函数单调递减，
∴当a=6时，m最小，此时m=24﹣6=18．
故答案为：18．
24．（2016 阜阳校级二模）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，求能连续搭建正三角形的个数．
【解答】解：设连续搭建正三角形x个数，连续搭建正六边形的y个，由题意得：
，
解得：，
答：连续搭建正三角形292个数，连续搭建正六边形的286个．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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