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课题： 二元一次方程
教学目标：
1、知识与技能目标：
1. 理解二元一次方程的定义；
2. 能够准确叙述处二元一次方程的解的概念；
3. 能熟练的求出二元一次方程的一个解。
二、过程与方法目标：
经历探索二元一次方程的解的过程，培养学生的数学交流和归纳猜想的能力；
三、情感态度与价值观目标：
体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
重点：
1. 探索二元一次方程的解的过程；
2. 利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。
难点：二元一次方程的解的求解。
教学流程：
1、 课前回顾
我们在前面的学习中，已经知道了一元一次方程的概念，主要讲了一元一次方程的定义的相关概念。我们一起回忆一下相关概念。21教育网
一元一次方程是指“含有一个未知数，并且未知数的的项的次数为一次的方程”。
例如“x=3x 、2x=6x-1 、9 ( http: / / www.21cnjy.com )x-6=2x”都是一元一次方程，特别注意的是这里的一元是指含有一个未知数，一次是指未知数的次数为一次。21cnjy.com
那么如果含有两个未知数，那又是什么方程呢？那么这节课，我们将进一步走近方程，来学习有两个未知数的方程的相关知识。www.21-cn-jy.com
2、 活动探究
同学们，我们首先探究一下有未知数的时候该怎么列方程呢？
探究①
大家先看下这个例子：例子里有多少个未知数，我们又是如何列方程的呢？
学生活动：看例子并思考问题。
发现这里有一个未知数，于是我们根据“总价= ( http: / / www.21cnjy.com )单价×数量”，可得：20=2×数量，在设数量为x以后，可以列出方程20=2x。这里有一个未知数，我们列出了一个一元一次方程。
探究②
大家继续看这个例子，仍然思考这里有几个未知数，而又该列怎样的方程？
学生活动：看例子思考回答问题。
同学们，根据“总价=第一种贺卡总价+第二种 ( http: / / www.21cnjy.com )贺卡总价”可以得到“10.8=2×数量 + 1.2×数量”，这里有两个未知数。那如何列出有两个未知数的式子呢？
探究③
我们一起继续探究，大家继续看这个例子，仍然思考刚刚大家思考的问题，并重点思考怎么设未知数怎么列方程呢。2·1·c·n·j·y
学生活动：看例子思考回答问题。
很快的，同学们可以根据“总 ( http: / / www.21cnjy.com )价=面额为6角的总价+面额为8角的总价”得到“3.3=0.6×6角张数+0.8×8角张数”，在题目里已经设6角张数为x，8角张数为y，所以可以很快的得到“3.3=0.6x+0.8y”，这里有两个未知数，并且未知数的次数都为一次。
探究④
在刚才的探究中，我们接触了有两个未知数 ( http: / / www.21cnjy.com )的时候，发现当未知数分别被设为两个字母表示时候，这个式子是可以表示的，现在大家看这一例子，思考一下该怎么列方程。
学生活动：看例子思考回答问题。
根据“轿车2小时的路程=卡车3小时 ( http: / / www.21cnjy.com )的路程+29”可以得到“2×轿车速度=3×卡车速度+29”，这里有两个未知数，因为设轿车速度为a，卡车速度为b，所以可得到“2a=3b+29”。
探究结果：
观察2a=3b+29、3.3=0.6x+0.8y、10.8=2x+1.2y，想一想它们有什么共同点？
观察后，我们发现，这些方程都有一个共同点，它们都是整式方程，并且含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次。【来源：21·世纪·教育·网】
三、讲授新知
只有一个未知数且未知数次数为一次的方程叫做一元一次方程，那含有两个未知数且未知数的次数都为一次的方程叫什么呢？21·世纪*教育网
像刚刚的式子，含有两个未知数，且未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
跟一元一次方程类似地，二元是指两个未知数，一次是指未知数的项的次数为一次。
四、做一做
1.根据题意列出方程：
（1）甲数比乙数大42.设甲数为x，乙数为y；
x=y+42
（2）甲、乙工作一起工作6天，完成零件52件.设甲每天生产零件x件，乙每天生产y份；
6x+6y=52
（3）一长方形的周长为30cm.设长为a，宽为b。
（a+b）×2=30
2.判断下列各式是否为二元一次方程：
（1）、2/x+b2=23 （2）、2/x+y
（3）、1/x+y=0 （4）、(1/2)x+6y=20
（5）、（1/2）xy+6y=20 （5）、3y+6x=20-x2
解析: （1）：未知数为2个，y的 ( http: / / www.21cnjy.com )次数为1，b的次数为2，不是；（2）：未知数为2个，y的次数为1，x在分母上不为1，且不为等式，不是；（3）x在分母上，次数不为1次，不是；（4）：未知数为2个，y和x的次数都为1，是；（5）未知数为2个，且未知数的次数为1的方程，是；（6）未知数为2个，x的次数都为2，不是。www-2-1-cnjy-com
小结：
1. 当问题里有两个未知数的时候，可以列二元一次方程.
2. 判断是否为二元一次方程：
1 方程：式子为一个方程，即是等式有等号；
2 二元：未知数的个数为两个；
3 一次：未知数的项的次数为一次。
五、探究理解
对于一元一次方程，使等式两边相等的x的值称为一元一次方程的解。那么对于二元一次方程，方程的解又是什么呢？2-1-c-n-j-y
首先我们先探究二元一次方程“8x+6y=20”的解是什么。
二元一次方程 x y
8x+6y=20 1 2
2 2/3
3 -2/3
4 -2
5 -10/3
… …
探究结果：
可以发现，对于二元一次方程，使得方程两边的值相等的未知数有很多对。例如：从探究结果可以方程使8x+6y=20成立的值有很多对。21世纪教育网版权所有
那么，这些使得二元一次方程的等号成立的这些未知数的值叫做什么呢？
对于二元一次方程，使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
特别说明：二元一次方程的解有很多对，但是每一对是唯一的。
六、例题讲解
例1 已知方程3x+2y=10.
（1）用关于x的代数式表示y.
（2）求当x=-2,0,3时对应的y值，并写出3x+2y=10的三个解.
分析：要用关于x的代数式表示y，只要把3x+2y=10看做未知数是y的一元一次方程.
解：（1）移项，得2y=10-3x.
（2）当x=-2时，y=5-3/2×（-2）=8；
当x=0时，y=5-3/2×0=5；
当x=3时，y=-3/2×3=1/2。
由二元一次方程的解的意义，可 ( http: / / www.21cnjy.com )以得到x=2，y=8；x=0，y=5；x=3，y=1/2 都是方程3x+2y=10的解.21·cn·jy·com
例2 已知二元一次方程2xn-2+ym+1=6，求m、n的值.
解：∵ 2xn-2+ym+1=6是二元一次方程
∴未知数x和y的次数都得为1
∴n-2=1，m+1=1
解得n=3；m=0
∴n=3；m=0.
例3 如果x=1，y=3是方程6x+2by=6的一个解，求b的值.
解：∵ x=1，y=3是6x+2by=6的一个解
∴这一对值满足方程6x+2by=6
∴6×2+2×b×3=6
即12+6b=6
解得b=-1
∴b=-1.
七、达标测评
1．检验下列各组数是不是方程2a-3b=20的解。
（1）a=4，b=3； （2）a=5，b=-10/3； （3）a=100，b=60.
解：（1）将a=4带入方程得2×4-3b=20，解得b=-4≠3，所以不是方程解.
（2）将a=5带入方程得2×5-3b=20，解得b=-10/3=-10/3，所以是方程的解.
（3）将a=100带入方程得100×2-3b=20，解得b=60=60，所以是方程的解.
2．已知二元一次方程2x+3y=2.
（1）用关于y的代数式表示x.
（2）根据给出的y值，求出对应的x的值，填入表内.
y 0 2 -2 2/3 1 …
x 1 -2 4 1/2 -1/2 …
解：（1）2x=2-3y
即x=1-3/2y
（2）填入表格内.
3. 已知二元一次方程2xn+3ym-2=2.
（1）求n和m的值.
（2）当y=10时，求出对应的x的值.
解：（1）∵方程为二元一次方程，未知数的项的次数为1
∴n=1，m-2=1
∴n=1，m=3.
（2）∵方程为二元一次方程
∴方程为2x+3y=2
∴当y=10时，带入方程得2x+30=2
∴此时x=-14.
八、体验收获
本节课我们学习了二元一次方程的相关知识，现在我们一起再来回忆一遍：
1. 二元一次方程是指：含有两个未知数，且未知数的项的次数都是一次的方程。
2. 而二元一次方程的解是指：使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3. 特别注意的是：二元一次方程有无数个解，求解的关键是将二元一次方程转换为一元一次方程，即“消元法”。
九．布置作业
教材第34页，1、4、5、6题。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 4 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
二元一次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下面为二元一次方程的是 （ ）
A．x+3y B．x+y2=0 C．x+y=2x D．x+x2=6
2．下面说法正确的是 （ ）
A．二元一次方程的解是唯一的 ．
B．二元一次方程有无数个解．
C．二元一次方程中有一个未知数．
D．二元一次方程中的二元是指未知数的项的次数为二次．
3．下列哪组是二元一次方程2a+3b=8的一个解 ( )
A．a=1,b=2 B．a=1,b= 1 C．a=2 ,b=1 D．a=2,b=221·cn·jy·com
4． 小红用20元买了3只铅笔和1和文具盒 ( http: / / www.21cnjy.com )，求铅笔和文具盒的单价.设铅笔的单价为x元，文具盒的单价为y元，则可列出什么方程 （ ）www.21-cn-jy.com
A． y-3x=20 B.3x+y=20 C.3y+x=20 D.3x-y=20【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题(每空4分，共20分)
5．已知二元一次方程3x+y=0，当x=1时，y=___．
6．已知对于x、y的二元一次方程mx+nyn +（m-1）z=0，则m= ，n= ．
7．写出二元一次方程2a+3b=6的一个解： a= ，b= ．(只需填写一组你认为合适的数字即可)．www-2-1-cnjy-com
3、简答题（每题20分，共60分）
8. 根据题意列出方程：
（1）买5㎏苹果和3㎏香蕉共需30元，分别求出苹果和香蕉的单价．
设苹果的单价为每千克x元，香蕉的单价为每千克y元．
（2）七年级二班男生人数的2倍比女生人数的3倍少10人，求男、女生的人数．
设男生人数为x，女生人数为y．
9. 已知二元一次方程3a+6b=12．
（1）用 含有a的式子表示b；
（2）计算当a=0,2,4时对应的b值.
10. 已知二元一次方程6x+6=3y.
（1）根据给出的x值，求出对应的y值，填入表内：
x -2 -1 0 1 2 3
y
（2）写出6x+6=3y的6个解.
参考答案
1、 选择题
1. C
【解析】二元一次方程是指有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个未知数，并且未知数的项的次数为一次的方程，A选项没有“=”号，不是；B选项y的次数为2不是1，不是；C选项有x和y两个未知数其次数都是1，是；D选项只有一个未知数，不是.21世纪教育网版权所有
2. B
【解析】对于二元一次方程，当有一个未知 ( http: / / www.21cnjy.com )数x值确定具有另一个未知数y的值与之对应，一个x值和一个对应的y组成二元一次方程的一个解。x可以取无数个，这样的解也就有无数个，所以正确答案为B.21教育网
3. A
【解析】当a=1时，带入方程得到2+3 ( http: / / www.21cnjy.com )b=8，解得b=2，A答案正确，B答案错误；当a=2时，带入方程得到2×2+3b=8，解得b=，C、D答案错误.21cnjy.com
4. C
【解析】根据20=铅笔的总价+文具盒的总 ( http: / / www.21cnjy.com )价，可以得到20=3×铅笔单价+文具盒单价，根据所设的未知数可以得到20=3x+y；因此正确答案为C. 2·1·c·n·j·y
二、填空题
5、-3
【解析】当x=1时，方程变化为3×1+b=0，解得b=-3.
6、1；1
【解析】
∵mx+nyn +（m-1）z=0为二元一次方程
∴n=1且m-1=0
∴n=1，m=1
7、3；0（答案不唯一）
【解析】
对于二元一次方程2a+3b=6，只要任取一个a值，就有一个b值对应，只要a、b值能使等式两边成立都正确，答案不唯一．21·世纪*教育网
2、 简答题
8、 （1）解：根据题意可列方程：
5x+3y=30
（2） 解：根据题意可列方程：
2x=3y-10
9、 （1）3a+6b=12
移项可得：6b=12-3a
化系数为1：b=2-a
∴b=2-a
（2）当a=0时，带入方程得到0×3+6b=12，解得b=2；
当a=2时，带入方程得到2×3+6b=12，解得b=1；
当a=4时，带入方程得到4×3+6b=12，解得b=0；
10、解：（1）当x=-2时，带入方程得到(-2)×6+6=3y，解得y=2；
当x=-1时，带入方程得到(-1)×6+6=3y，解得y=0；
当x=0时，带入方程得到0×6+6=3y，解得y=2；
当x=1时，带入方程得到1×6+6=3y，解得y=4；
当x=2时，带入方程得到2×6+6=3y，解得y=6；
当x=3时，带入方程得到3×6+6=3y，解得y=8；
x -2 -1 0 1 2 3
y 2 0 2 4 6 8
（2）根据（1）可得，方程的解可以为：
①x=-2；y=2；
②x=-1；y=0；
③x=0；y=2；
④x=1；y=4；
⑤x=2；y=6.（答案不唯一，只要这组x和y值使等式成立即可）
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二元一次方程
【义务教育教科书北师版七年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
一元一次方程
定义：
含有一个未知数，并且未知数的的项的次数为一次的方程。
注：
元：一个未知数.
一次：未知数的次数为一次.
例子：
x=3x 、2x=6x-1 、9x-6=2x
活动探究
1.小杰买了单价为2元的贺卡一共花了20元，问他买了多少张这样的贺卡？（列出方程即可）
解：设：他买了x张这样的贺卡，则
∴2x=20
只有一个未知数x，x的次数为一次
一元一次方程
∵“总价=单价×数量”
活动探究
2.小杰买了单价为2元和1.2元的贺卡若干张，花了10.8元.问这两种贺卡各买了多少张？
∴10.8=第一种单价×数量+第二种单价×数量
∵总价=第一种贺卡总价+第二种贺卡总价
∴10.8=2×数量 + 1.2×数量
解：
未知数
未知数
那如何列出有两个未知数的式子呢？
10.8=2x+1.2y
2个未知数，x和y，次数都为一次
活动探究
3.小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元3角.小红有面额为6角和8角的邮票若干张，问各自需要多少张这两种面额的邮票？如果设需要面额为6角的邮票x张，面额为8角的邮票y张，你能列出方程吗？
2个未知数
∴3.3=0.6×6角张数+0.8×8角张数
∵总价=面额为6角的总价+面额为8角的总价
∴3.3=0.6x+0.8y
2个未知数，x和y，次数都为一次
解：
活动探究
4.在告诉路上，一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程还多29千米.如果设轿车的速度为a千米/小时，卡车的速度为b千米/小时，你能列出怎样的方程？
∵已经设轿车速度为a，卡车速度为b
轿车2小时的路程=卡车3小时的路程+29
2个未知数，a和b，次数都为一次
2×轿车速度=3×卡车速度+29
∴可得方程：2a=3b+29
解：
探究结果
观察2a=3b+29、3.3=0.6x+0.8y、10.8=2x+1.2y，想一想它们有什么共同点？
共同点：
整式方程；
未知数的个数为2个；
含有未知数项的次数个数为1.
讲授新课
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1的方程.
二元一次方程的定义：
1.根据题意列出方程：
（1）甲数比乙数大42.设甲数为x，乙数为y；
（2）甲、乙工作一起工作6天，完成零件52件.设甲每天生产零件x件，乙每天生产y份.
x=y+42
6x+6y=52
做一做
（3）一长方形的周长为30cm.设长为a，宽为b.
（x+y）=30
做一做
x的次数不为1，b的次数为2
不为等式
x的次数不为1
2.判断下列式子是不是二元一次方程：
x的次数为2
×
×
×
√
√
×
小 结
二元一次方程
1.当问题里有两个未知数的时候，可以列二元一次方程.
2.判断是否为二元一次方程：
①方程：式子为一个方程，即是等式有等号；
②二元：未知数的个数为两个；
③一次：未知数的项的次数为一次.
活动探究
对于一元一次方程，
使等式两边相等的x的值称为一元一次方程的解.
对于二元一次方程，方程的解又是什么呢？
活动探究
对于二元一次方程“8x+6y=20”的解是什么呢？
二元一次方程 X值 y值
8x+6y=20
1
2
2
3
4
-2
5
…
…
探究结果
对于二元一次方程：
使得方程两边的值相等的未知数有很多对。
例如 使8x+6y=20成立的值有很多对：
x=1
y=2
x=2
x=3
x=4
y=-2
x=5
x=…
y=…
使得方程两边的值相等的这些未知数叫做什么呢？
讲授新课
对于二元一次方程：
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
特别说明：
二元一次方程的解有很多对，但是每一
对是唯一的。
一元一次方程的解 二元一次方程的解
个数
解的形式
比一比
一元一次方程的解和二元一次方程的解有什么异同呢？
一个
无数个
一个未知数的值
一对未知数的值
实例讲解
解：（1）移项，得2y=10-3x.
分析：要用关于x的代数式表示y，只要把3x+2y=10看做未知数是y的一元一次方程.
例1 已知方程3x+2y=10.
（1）用关于x的代数式表示y.
（2）求当x=-2,0,3时对应的y值，并写出方程的三个解.
（2）当x=-2时，y=5-3/2×（-2）=8；
当x=0时，y=5-3/2×0=5；
当x=3时，y=-3/2×3=1/2.
由二元一次方程的解的意义， 都是方程3x+2y=10的解.
x=-2，
y=8，
x=3，
x=0，
y=5，
实例讲解
例2 已知二元一次方程2xn-2+ym+1=6，求m、n的值.
解：∵ 2xn-2+ym+1=6是二元一次方程
∴未知数x和y的次数都得为1
∴n-2=1，m+1=1
解得n=3；m=0
∴n=3；m=0.
实例讲解
例3 如果x=1，y=3是方程6x+2by=6的一个解，求b的值.
解：∵ x=1，y=3是6x+2by=6的一个解
∴这一对值满足方程6x+2by=6
∴6×2+2×b×3=6
即12+6b=6
解得b=-1
∴b=-1.
达标检测
解：（1）将a=4带入方程得2×4-3b=20，解得b=-4≠3，所以不是方程解.
1.检验下列各组数是不是方程2a-3b=20的解.
（1）
a=4，
b=3.
（2）
a=5，
（3）
a=100，
b=60.
（2）将a=5带入方程得2×5-3b=20，解得b=-10/3=-10/3，所以是方程的解.
（3）将a=100带入方程得100×2-3b=20，解得b=60=60，所以是方程的解.
达标检测
2.已知二元一次方程2x+3y=2.
（1）用关于y的代数式表示x.
（2）根据给出的y值，求出对应的x的值，填入表内.
y 0 2 -2 2/3 1 ...
x
...
把y看成已知数，当只有未知数x的一元一次方程
2x=2-3y
即x=1-3/2y
1
把y值带入方程，化为一元一次方程，求出对应的x值.
-2
4
1/2
-1/2
达标检测
3.已知二元一次方程2xn+3ym-2=2.
（1）求n和m的值.
（2）当y=10时，求出对应的x的值.
二元一次方程未知数的项的指数都为1
n=1
m-2=1
∴n=1，m=3.
∵方程为二元一次方程
∴方程为2x+3y=2
∴当y=10时带入方程得2x+30=2
∴此时x=-14.
体验收获
总 结
1.二元一次方程：
2.二元一次方程的解：
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
含有两个未知数，且未知数的项的次数都是一次的方程.
3.求二元一次方程的解：
消元法.
布置作业
教材34页习题第1、4、5、6题。
