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课题：乘法公式
教学目标：
知识与技能目标：
1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
2．会运用平方差公式进行简单的计算；
过程与方法目标：
1．培养学生观察、猜想、总结的能力；
2．培养学生的动手能力和实践能力；
情感态度与价值观目标：
1．通过学生的观察、对比、发现规律，体验教学活动充满 探索性和创造性；
2．通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；
重点：
平方差公式的应用；
难点：
会灵活用平方差公式进行运算；
教学流程：
1、 情境引入
( http: / / www.21cnjy.com )
靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人喜欢自己动手制作靠垫.图中右下角的靠垫面子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？21世纪教育网版权所有
计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)；
(2) (m+2)(m-2)；
(3) (2x+1)(2x-1) ；
答案:
(1)(x+1)(x-1)= __________；
(2) (m+2)(m-2)=_________；
(3) (2x+1)(2x-1)=________.
规律：
左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。右边是乘式中两项的平方差。
设计说明：教师利用多媒体展示沙发靠垫的设计图，通过熟悉的画面，不仅让学生感受到几何图形无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备.21教育网
2、 自主探究
探究1：
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 .
平方差公式:
(a+b)(a－ b) = a2－ b2 .
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
注：这里的两数可以是数字、字母、单项式也可以是两个多项式等．
( http: / / www.21cnjy.com )
新长方形的面积为：________________
原图形实际面积为：________________
(a+b)(a－ b) a2－ b2 .
平方差公式: (a+b)(a－ b) = a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
左边：是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。
右边：是乘式中两项的平方差，即： （相同项）2-（相反项）2
注：这里的两数可以是数字、字母、单项式也可以是两个多项式等．
1、下列两个多项式相乘，哪些可以用平方差公式？ 哪些不能？
解：××√√√
例题讲解：
例1 运用平方差公式计算：
解：
例2 用平方差公式计算：
解：
设计说明：
对于例题的学习，教师引导学生通过观察、思 ( http: / / www.21cnjy.com )考，寻求解决问题的方法，教师在示范过程中引导学生注意这三题都按多项式相乘的法则进行，运算过程中注意符号，防止漏乘，结果要合并同类项．通过例题的讲解，教师给出了解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养．21cnjy.com
做一做：
1、计算:
(1) 102×98；
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1)102×98 =(100+2)(100-2) = 1002-22
=10000 – 4 = 9996.
（2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
三、达标测评
1.下列各式中能用平方差公式是（ ）
A．（x+y）（y+x）
B．（x+y）（y﹣x）
C．（x+y）（﹣y﹣x）
D．（﹣x+y）（y﹣x）
解：B
2.下列各式中，与（1﹣a）（﹣a﹣1）相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2﹣2a+1
C．a2﹣2a﹣1 D．a2+1
解：A
3.先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？21·cn·jy·com
解：原式=a2﹣1+a﹣a2﹣a=﹣1．
该代数式与a的取值没有关系．
四、拓展延伸
如果一个正整数能表示为两个连续 ( http: / / www.21cnjy.com )偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）当28=m2﹣n2时，m+n= ；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？www.21-cn-jy.com
解：（1）∵28=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），且m﹣n=2，
∴m+n=14；
（2）（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∵k为非负整数，∴2k+1一定为正整数，
∴4（2k+1）一定能被4整除，
则由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．
设计说明：
通过拓广探索，培养学生的创新能力，使学生体验成功的喜悦。
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.步骤：找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．
设计说明：
让学生自己小结，有利于培养学生的概括能力，使学生自主构建知识体系，养成良好的学习习惯。
六、布置作业
教材第75页习题第1、3题.
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乘法公式
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x=2x4 B．a2 a3=a6
C．（﹣2x2）3=﹣8x6 D．（x+3y）（x﹣3y）=x2﹣3y2
2．已知a=20162，b=2015×2017，则（ ）
A．a=b B．a＞b C．a＜b D．a≤b
3．两个连续奇数的平方差一定是（ ）
A．2的倍数，但不一定是4的倍数
B．4的倍数，但不一定是8的倍数
C．8的倍数，但不一定是16的倍数
D．16的倍数，但不一定是32的倍数
4．（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是（ ）
A．x4+16 B．﹣x4﹣16 C．x4﹣16 D．16﹣x4
5．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）
A．（b+a）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4
C．（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1 D．（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4
6．下列各式中，运算结果是9m2﹣16n2的是（ ）
A．（3m+2n）（3m﹣8n） B．（﹣4n+3m）（﹣4n﹣3m）
C．（﹣3m+4n）（﹣3m﹣4n） D．（4n+3m）（4n﹣3m）
7．一个正方形边长增加3cm，它的面积就增加39cm2，这个正方形边长是（ ）
A．8cm B．5cm C．6cm D．10cm
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．（﹣3x2+2y2）（ ）=9x4﹣4y4．
2．已知m+n=3，m﹣n=2，那么m2﹣n2的值是 ．
3．定义运算a b=a2﹣b2，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2 （﹣2）=0；②a b=b a；③若a b=0，则a=b；④（a+b） （a﹣b）=4ab，
其中正确结论的序号是 （填上你认为所有正确结论的序号）
4．观察下列各式：1×3=22﹣1，3×5= ( http: / / www.21cnjy.com )42﹣1，5×7=62﹣1，…请你把发现的规律用含n（n为正整数）的等式表示为 ．21世纪教育网版权所有
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．利用乘法公式简便计算：
（1）﹣992
（2）20152﹣2016×2014．
2．王红同学在计算（2+1）（22+1）（24+1）时，将积式乘以（2﹣1）得：
解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）
=（24﹣1）（24+1）
=28﹣1
根据上题求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字．
3．观察不等式：32﹣12=8×1，52﹣32=8×2，72﹣52=8×3，92﹣72=8×4…
（1）用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律；
（2）请用所学知识验证这个规律的正确性；
（3）借助你发现的规律把400写成两个正整数的平方差的形式：
400=（ ）2﹣（ ）2．
参考答案
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．C
【解析】A、原式不能合并，错误；
B、原式=a5，错误；
C、原式=﹣8x6，正确；
D、原式=x2﹣9y2，错误．
故选C．
2．B
【解析】∵a=20162，
b=2015×2017=（2016﹣1）（2016+1）=20162﹣1，
∴a＞b；
故选：B．
3．C
【解析】设两个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1（n为整数），
根据题意得：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=8n，
则两个连续奇数的平方差一定是8的倍数，但不一定是16的倍数，
故选C
4．C
【解析】原式=（x2﹣4）（x2+4）
=x4﹣16，
故选：C．
5．C
【解答】A：（b+a）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故A选项正确；
B：（m2+n2）（m2﹣n2）=（m2）2﹣（n2）2=m4﹣n4，故B选项正确；
C：（2x+1）（2x﹣1）=（2x）2﹣12=4x2﹣1，故C选项错误；
D：（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=（﹣3x）2﹣22=9x2﹣4，故D选项正确；
故：选C
6．C
【解析】（﹣3m+4n）（﹣3m﹣4n）=9m2﹣16n2，
故选C
7．B
【解析】设边长为x，则（x+3）2=x2+39，
解得：x=5cm．
故选B．
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．﹣3x2﹣2y2．
【解析】∵相同的项是含x的项，相反项是含y的项，
∴所填的式子是：﹣3x2﹣2y2．
2．6．
【解析】m2﹣n2
=（m+n）（m﹣n）
=3×2
=6．
故答案为：6．
3．①④．
【解析】∵a b=a2﹣b2，
∴①2 （﹣2）=22﹣（﹣2）2=0，故此选项正确；
②a b=a2﹣b2，b a=b2﹣a2，故a b与b a不一定相等，故此选项错误；
③若a b=a2﹣b2=0，则a=±b，故此选项错误；
④（a+b） （a﹣b）=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，故此选项正确．
故答案为：①④．
4．（2n﹣1）（2n+1）=（2n）2﹣1．
【解析】根据题意可得：
规律为（2n﹣1）（2n+1）=（2n）2﹣1，
故答案为（2n﹣1）（2n+1）=（2n）2﹣1．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．（1）﹣9801；（2）1．
【解析】（1）原式=﹣（100﹣1）2=﹣（10000﹣200+1）=﹣10000+199=﹣9801；
（2）原式=20152﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )016×2014=20152﹣（2015+1）×（2015﹣1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1．21教育网
2．个位数字是6．
【解析】原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264
∵264个位数字是6，
∴（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数字是6．
3．答案见解析
【解析】（1）用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n（n≥1的整数）；21cnjy.com
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=4n×2=8n；
（3）400=8×50=（2×50+1）2﹣（2×50﹣1）2=1012﹣992．
故答案为：101，99．
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乘法公式
【义务教育教科书浙教版七年级下册】
学校：________
教师：________
情境引入
靠垫是舒适实用的家庭小点缀，一些心灵手巧的人喜欢自己动手制作靠垫.图中右下角的靠垫面子用5块布料拼合而成，应用了哪些数学知识？
情境引入
计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)；
(2) (m+2)(m-2)；
(3) (2x+1)(2x-1) ；
答案:
(x+1)(x-1)= __________；
(2) (m+2)(m-2)=_________；
(3) (2x+1)(2x-1)=________.
x2－1
m2－ 4
4x2－1
规律：
左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。
右边是乘式中二项式中的两项的平方差。
探究1
原图形实际面积为：________________
新长方形的面积为：_________________
b
a
a
b
a-b
b
b
a
b
探究1
平方差公式:
(a+b)(a－ b) =
a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
注：这里的两数可以是数字、字母、单项式也可以是两个多项式等．
左边：是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。
右边：是乘式中两项的平方差，即：
（相同项）2-（相反项）2
做一做
1、下列两个多项式相乘，哪些可以用平方差公式？
哪些不能？
例题讲解
例1 运用平方差公式计算：
解：
例题讲解
例2 用平方差公式计算：
解：
做一做
1、计算:
(1) 102×98；
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1)102×98
=(100+2)(100-2)
= 1002-22
=10000 – 4
= 9996.
(2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
达标测评
1.下列各式中能用平方差公式是（ ）
A．（x+y）（y+x）
B．（x+y）（y﹣x）
C．（x+y）（﹣y﹣x）
D．（﹣x+y）（y﹣x）
B
达标测评
2.下列各式中，与（1﹣a）（﹣a﹣1）相等的是（ ）
A．a2﹣1 B．a2﹣2a+1
C．a2﹣2a﹣1 D．a2+1
A
达标测评
3.先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？
解：原式=a2﹣1+a﹣a2﹣a=﹣1．
该代数式与a的取值没有关系．
拓展延伸
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）当28=m2﹣n2时，m+n= ；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
拓展延伸
解：（1）∵28=m2﹣n2=(m+n)(m﹣n)，且m﹣n=2，
∴m+n=14；
（2）(2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2﹣2k)
=2(4k+2)=4(2k+1)，
∵k为非负整数，∴2k+1一定为正整数，
∴4(2k+1)一定能被4整除，
则由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.步骤：找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．
布置作业
教材:75页习题第1、3题
