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课题： 二元一次方程组的应用2
教学目标：
知识与技能目标：
会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组.
继续熟练二元一次方程组的解法和基本思路.
过程与方法目标：
让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实 世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力.【来源：21·世纪·教育·网】
加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略.
情感态度与价值观目标：
1.通过方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学趣味性、现实性、科学性.
2.培养学生的创新、开拓、克服学习中困难的科学精神.
重点：
经历和体验列方程组解决实际问题的过程；增强学生的数学应用能力。
难点：用二元一次方程组解决实际问题。
教学流程：
课前回顾
我们在前面的学习中，已经知道了二元一次方程组的简单应用，现在我们一起回忆一下相关概念。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审→设→找→列→解→验→答
(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.
(2)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x，y).
(3)找：找出能够表示应用题全部意义的两个等量关系.
(4)列：根据这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组.
(5)解：解所列方程组，得未知数的值.
(6)验：检验所求未知数的值是 否符合题意，是否符合实际.
(7)答：写出答案(包括单位名称).
那么，今天我们将进一步的走进二元一次方程组，一起学习求解二元一次方程组在实际生活的其他应用。
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
例题讲解
在今天的学习中，我们将讨论以下这么几个应用：
1.行程问题
2.工程问题
3.图表信息问题
4.几何图形问题
5.增长率问题
6.百分比问题
7.方案优化问题
8.分段计费问题
1.行程问题
①相遇(追及)问题：
相向而遇：两者所走的路程之和=两者原来的距离；
同向追及：快者所走的路程-慢者所走的路程=两者原来的距离．
②错车问题：
错车问题属于特殊的行程问题，它与行程问题的主要区别是：行程问题不考虑车本身的长，而错车问题要考虑车本身的长．与错车问题类似的还有过桥问题、过隧道问题等．21·世纪*教育网
1.张明沿公路匀速前进，每隔4 min就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6 min就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变,而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度．
分析：
(1)“相向而遇”:两者所走的路程之和=两者原来的距离；
(2)“同向追及”:快者所走的路程-慢者所走的路程=两者原来的距离．
解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min.根据题意，得
解这个方程组，得
答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是250 m/min.
2.一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长150 m，运货火车长250 m．若两车相向而行．从车头相遇到车尾离开共需10 s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需100 s，试求两车的速度．
分析：本题是一道特殊的相遇与追及结合的应题．
①两车相向而行是相遇问题，相遇时两车行驶的路程总和＝两车车身长之和；
②载客火车从后面追赶运货火车是追及问题，追上时两车所走的路程差＝两车车身长之和．
解：设载客火车的速度为x m/s，运货火车的速度为y m/s.
由题意得
解得 21世纪教育网版权所有
答：载客火车的速度是22 m/s，运货火车的速度是18 m/s.
3.A，B两地相距80 千米，一艘船从A地出发顺水航行4小时到达B地，而从B地出发逆水航行5小时到达A地，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别为船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．2-1-c-n-j-y
AB:顺水：时间×（船在静水的速度+水速）=AB距离
BA:逆水：时间×（水速-船在静水的速度）=AB距离
解：设船在静水中的速度为x千米/时,水流速度为y千米/时，
由题意得 解得
答：船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时．
2.工程问题
工程问题与行程问题相类似，关键是抓住三个基本量的关系，即“工作量＝工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间＝工作量÷工作效率，工作效率＝工作量÷工作时间”．注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
4．小明家准备装修一套房子，若请甲、乙两个装修公司合作，则需6 周完成，需花费工钱5.2 万元；若先请甲公司单独做4 周后，剩下的请乙公司来做，则还需9 周才能完成，需花费工钱4.8 万元．若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选甲公司还是乙公司？【来源：21cnj*y.co*m】
甲乙合作：时间×（甲工作效率+乙工作效率）=1
甲做乙再做:4×甲工作效率+9×乙工作效率）=1
解：设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效
率为y. 依题意，得解得【版权所有：21教育】
即甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周．
3.图表信息问题
图表问题需要分析清楚图表中的等量关系，然后根据等量关系设未知数和列方程组.
5.根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的度．
梅花鹿身高+4=长劲鹿身高
梅花鹿身高的3倍+1=长劲鹿身高
解：设梅花鹿高x m，
长颈鹿高y m，由题意得
解得
答：梅花鹿和长颈鹿现在的高度分别为1.5 m，5.5 m.
4.几何图形问题
从几何图形中获取信息列方程组的关键是，认真分析几何图形，从中找到相关的等量关系根据等量关系，设相对应的未知数，然后列方程组、解方程组.
6．小强用8 个边长不全相等的正三角形拼成如图所示的图案，其中阴影部分是边长为1 cm的正三角形．试求出图中正三角形A、正三角形B的边长分别是多少厘米．
B边长=2个A的边长
B边长=C边长+1=E边长+1+1=A边长+1+1+1
解：设正三角形A的边长为x cm，正三角形B的边长为y cm， 根据题意，得21·cn·jy·com
解得
答：正三角形A的边长为3 cm，正三角形B的边长为6 cm.
5.增长率问题
增长率问题关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，根据题意设元，然后列出方程组或方程．
7.某公园六一期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大的折扣，张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动，王斌也想去，就打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱．王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他算一下，需准备__34__元钱买门票．21教育名师原创作品
3×成人票+4×儿童票=38
4×成人票+2×儿童票=44
分析：设成人票每张x元，儿童票每张y元，根据题意得
解得
∴3x＋2y＝3×10＋2×2＝34.
6.百分比问题
百分比问题关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程组或方程．
8.某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校学生将增加10%，则该学校现有初中在校学生多少人？高中在校学生多少人？
初中在校生+高中在校生=4200
一年后增加初中在校生+增加的高中在校生=4200×10%
解：设该校现有初中在校学生x人，高中在校生y人．根据
题意，得解得21*cnjy*com
答:该校现有初中在校学生1400人,高中在校学生2800人．
7.方案优化问题
设计方案问题应从不同角度去考虑，先考虑多种方案的可能，再列方程组，解方程组，根据结果合理地选择购买方案.【出处：21教育名师】
9.某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000 元，B型每台4 000 元，C型每台2 500 元．某中学计划将100 500 元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择．
电脑的总数=36台
学校所花的钱=2500=所买型号的电脑的单价×数量
解:设购进A,B,C型号的电脑数量分别为x台、y台、z台．
(1)只购进A型和B型电脑，依题意，得
解得
(不合题意，舍去)
(2)只购进A型和C型电脑，依题意，得
解得
(3)只购进B型和C型电脑，依题意，得
解得
所以有两种购买方案可供该校选择，
第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；
第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．
8.分段计费问题
1.解题关键：找准题中的等量关系，然后列方程组，解方程组.
2.常考类型：
A．阶梯电(水)价问题
B．出租车计费问题
C．通信计费问题
10.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭月用电量在80 千瓦时以下(含80 千瓦时，1 千瓦时俗称1度)时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80 千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．www.21-cn-jy.com
小张家2014 年4 月份用电100 千瓦时，缴电费68 元；5 月份用电120 千瓦时，缴电费88 元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少．21*cnjy*com
基本电价×80+（100-80）×提高电价=68
基本电价×80+（120-80）×提高电价=88
解：设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得
解得
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价” 为1元/千瓦时．
反思这些例子对我们有什么启示？
二元一次方程组在实际的应用一般有以下几种类型：行程问题、工程问题、图表信息问题、几何图形问题、增长率问题、百分比问题、方案优化问题、分段计费问题.
在解题的时候，要仔细分析题意，找出等量关系，利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题.
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考和探究下一个新的知识。
能力提升
1.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 米，下坡路每分钟走80 米，上坡路每分钟走40 米，则他从家里到学校需10 分钟，从学校到家里需15 分钟. 问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
家到学校：走平路时间+走下坡路时间=10
学校到家：走上坡路时间+走平路时间=15
解:设小华从家里到学校平路有x米,下坡路有y米,由题意得
解得则300＋400＝700(米)．www-2-1-cnjy-com
答：小华家离学校700米．
2．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种工作服150 套，按这样的生产进度，在客户要求的期限内只能完成订货量的；现在工厂改进了人员结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这样不仅比规定时间少用1 天，而且比订货量多生产25 套，求要定做的工作服是多少套，要求的期限是多少天．
原来的生产量150×原定值的天数=总定值套数
改进后的生产量×（原定值天数-1）=定值的总套数+25
解：设要定做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，
得 解得
答：要定做的工作服是3 375套，要求的期限是18天．
3.图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的质量为( A )21cnjy.com
A．5克 B．10克 C．15克 D．20克
4.小敏做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下了一个边长为2 cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
①3小长方形的长=5个小长方形的宽
②2小长方形的宽-1小长方形的长=2
解:设每个小长方形的长为x cm,宽为y cm，
由题意得
解得
答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm.
5. 体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元．
(1)购进篮球和排球各多少个？
(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 95 60
排球个数+篮球个数=20
排球利润+篮球利润=260
解：(1)设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
解得
答：购进篮球12个,购进排球8个．
解：（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，
由题意得：6×(60－50)＝(95－80)a，
解得a＝4.
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等.
6.某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1 元/条，发送网外短信0.15 元/条．该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150 条，依照该收费标准共支出短信费用19 元．问小王该月发送网内、网外短信各多少条？21教育网
网内短信条数+网外短信条数=150
网内短信费用+网外短信费用=19
解：设小王该月发送网内短信x条,网外短信y条,根据题意，
得
解这个方程组得
答：小王该月发送网内短信70条，网外短信80条．
【设计意图】强化、检测知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
小结
1.二元一次方程组在实际的应用一般有如下：行程问题、工程问题、图表信息问题、几何图形问题、增长率问题、百分比问题、方案优化问题、分段计费问题几种情况，具体问题具体分析.2·1·c·n·j·y
2. 一般地，二元一次方程组解决实际问题：
①理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系；
②制定计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组；
③执行计划：列出方程组并求解，得到答案；
④回顾：检查和方思解题过程，检查答案的正确性以及是否符合题意.
【设计意图】强化知识点，巩固知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
布置作业
教材48页习题第1、2题。
教材49页习题第3、4题。
【设计意图】强化知识点，让学生用自己学到的知识去解决问题，并对学生的掌握程度做一个检测。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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二元一次方程组的应用2
班级：___________姓名：___________得分：__________
（共11题，满分120分.第1到10题，每题10分，第11题20分）
1．从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？21教育名师原创作品
2．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？21*cnjy*com
（2）已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可用（1）（2）问的条件及结论）
3．某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省线的租车方案，并求出最少租金．
4．“六一”儿童节有一投球入盆的游戏，深受同学们的喜爱，游戏规则如下：如图，在一大盆里放一小茶盅（叫幸运区）和小茶盅外大盆内（环形区）分别得不同的分数，投到大盆外不得分；每人各投6个球，总得分不低于30分得奖券一张．现统计小刚、小明、小红三人的得分情况如下图：2-1-c-n-j-y
（1）每投中“幸运区”和“环形区”一次，分别得多少分？
（2）根据这种得分规则，小红能否得到一张奖券？请说明理由．
5．某同学用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，如图，求每块地砖的面积是多少？
6．学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：21cnjy.com
（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？
（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？
7．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV汽车CS35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．www-2-1-cnjy-com
（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？
（2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，购车人需要交纳车辆购置各种税费杂费路桥保险等为每台汽车价格的22%，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元？客户实际需要花多少钱才能够买一辆自动型的CS35汽车？
8．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信：（水价计费=自来水销售费用+污水处理费用）
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.80
超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元
（1）求a、b的值；www.21-cn-jy.com
（2）6月份小王家用水32吨，应交水费多少元．
9．上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招--“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．
流量阶梯定价标准
使用范围 阶梯单价（元/MB）
1-100MB a
101-500MB 0.07
501MB-20GB b
语音阶梯定价标准
使用范围 阶梯资费（元/分钟）
1-500分钟 0.15
501-1000分钟 0.12
1001-2000分钟 m
【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600-500）=87元】21世纪教育网版权所有
（1）甲定制了600MB的月流量，花费48元；乙定制了2GB的月流量，花费120.4元，求a，b的值．（注：1GB=1024MB）21·cn·jy·com
（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m的值．2·1·c·n·j·y
10．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n为正整数），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，如：二元码01101的第1位码元为0，第5位码元为1．
（1）二元码100100的第4位码元为 1；21*cnjy*com
（2）二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：【来源：21cnj*y.co*m】
其中运算 定义为：0 0=0，1 1=0，0 1=1，1 0=1．
①计算：0 1 1 0=0 ；
②现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了0101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 .【出处：21教育名师】
答案
1. 解：设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，依题意得：
解得
答：A、B两地间国道和高速公路分别是90、200千米．
2. 解：（1）设：甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店付y元．由题意得
解得
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元．
（2）单独请甲组需要的费用：300×12＝3600元．
单独请乙组需要的费用：24×140＝3360元．
答：单独请乙组需要的费用少．
（3）请两组同时装修，理由：
甲单独做，需费用3600元，少赢利200×12＝2400元，相当于损失6000元；
乙单独做，需费用3360元，少赢利200×24＝4800元，相当于损失8160元；
甲乙合作，需费用3520元，少赢利200×8＝1600元，相当于损失5120元；
因为5120＜6000＜8160，
所以甲乙合作损失费用最少．
答：甲乙合作施工更有利于商店．
3. 解：（1）设每辆小客车能坐x人，每辆大客车能坐y人，据题意：
解得：
答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人；
（2）①由题意得：20m＋45n＝400，
∴n＝，
∵m、n为非负整数，
∴或或，
∴租车方案有三种：
方案一：小客车20车、大客车0辆，
方案二：小客车11辆，大客车4辆，
方案三：小客车2辆，大客车8辆；
②方案一租金：150×20＝3000（元），
方案二租金：150×11＋250×4＝2650（元），
方案三租金：150×2＋250×8＝2300（元），
∴方案三租金最少，最少租金为2300元．
4. 解：（1）设投中“幸运区”一次得x分，投中“环形区”一次得y分，
根据题意得：，
解得：．
答：投中“幸运区”一次得10分，投中“环形区”一次得3分．
（2）2×10＋4×3＝32（分），
∵32＞30，
∴根据这种得分规则，小红能得到一张奖券．
5.解：设每个小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由题意可得
，
解得：,
则每块地砖的面积是30×10＝300（cm2），
答：每块地砖的面积是300cm2．
6. 解：（1）设采摘黄瓜x千克，茄子y千克．根据题意，得
，
解得．
答：采摘的黄瓜和茄子各30千克、10千克；
（2）30×（1.5 1）＋10×（2 1.2）＝23（元）．
答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元．
7. 解：（1）设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x，y台，根据题意，得
，
解得：，
答：政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为560台和400台．
（2）手动型汽车的补贴额为：560×（1＋30%）×8×5%＝291.2（万元）；
自动型汽车的补贴额为：400×（1＋25%）×9×5%＝225（万元）；
∴291.2＋225＝516.2（万元）．
客户购买实际花费：9×（1＋22%） 9×5%＝10.98 0.45＝10.53（万元）
答：政策出台后第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴516.2万元．客户实际需要花10.53万元才能够买一辆自动型的汽车．21教育网
8.解：（1）由题意可得：
，
解得；
答：a＝2.2，b＝4.2；
（2）（32 17）×4.2＋17×2.2＋2×6＋32×0.8＝96（元）．
答：当月交水费96元．
9. 解：（1）依题意得：
，【来源：21·世纪·教育·网】
解得：．
∴a的值为0.15元/MB，b的值为0.05元/MB．
（2）设甲的套餐中定制x（x＞1000）分钟的每月通话时间，则丙的套餐中定制（x＋300）分钟的每月通话时间，丙定制了1GB的月流量，需花费100×0.15＋（500 100）×0.07＋（1024 500）×0.05＝69.2（元），依题意得：21·世纪*教育网
；
解得：m＝0.08．
答：m的值为0.08元/分钟．
10.解：（1）在二元码100100中，第4个数字为1．
故答案为：1．
（2）①0 1 1 0＝1 1 0＝0 0＝0．
故答案为：0．
②∵1 0 0 1＝1 0 1＝1 1＝0，1 1 0 1＝0 0 1＝0 1＝1，0 0 1 1＝0 1 1＝1 1＝0，【版权所有：21教育】
∴校验后可知4、5、6、7正确，错误出在x2 x3、x1 x3．
∵一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误，
∴k＝3．
故答案为：3．
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二元一次方程组的应用2
数学zj版 七年级下
21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
回顾旧知
审→设→找→列→解→验→答
(1)审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.
(2)设：设未知数(一般求什么，就设什么为x，y).
(3)找：找出能够表示应用题全部意义的两个等量关系.
(4)列：根据这两个等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组.
(5)解：解所列方程组，得未知数的值.
(6)验：检验所求未知数的值是 否符合题意，是否符合实际.
(7)答：写出答案(包括单位名称).
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
教学目标
复习引入
二元一次方程组的应用的几大题型考查
1.行程问题
2.工程问题
3.图表信息问题
4.几何图形问题
5.增长率问题
6.百分比问题
7.方案优化问题
8.分段计费问题
教学目标
新课讲解
1.行程问题
①相遇(追及)问题：
相向而遇：两者所走的路程之和=两者原来的距离；
同向追及：快者所走的路程-慢者所走的路程=两者原来的距离．
②错车问题：
错车问题属于特殊的行程问题，它与行程问题的主要区别是：行程问题不考虑车本身的长，而错车问题要考虑车本身的长．与错车问题类似的还有过桥问题、过隧道问题等．
教学目标
新课讲解
1.张明沿公路匀速前进，每隔4 min就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔6 min就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变,而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度．
分析：
(1)“相向而遇”:两者所走的路程之和=两者原来的距离；
(2)“同向追及”:快者所走的路程-慢者所走的路程=两者原来的距离．
教学目标
新课讲解
解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min.根据题意，得
解这个方程组，得
答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是250 m/min.
教学目标
新课讲解
2.一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长150 m，运货火车长250 m．若两车相向而行．从车头相遇到车尾离开共需10 s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需100 s，试求两车的速度．
分析：本题是一道特殊的相遇与追及结合的应题．
①两车相向而行是相遇问题，相遇时两车行驶的路程总和＝两车车身长之和；
②载客火车从后面追赶运货火车是追及问题，追上时两车所走的路程差＝两车车身长之和．
教学目标
新课讲解
解：设载客火车的速度为x m/s，运货火车的速度为y m/s.
解得
答：载客火车的速度是22 m/s，运货火车的速度是18 m/s.
由题意得
教学目标
新课讲解
解：设船在静水中的速度为x千米/时,水流速度为y千米/时，
由题意得
3. A，B两地相距80 千米，一艘船从A地出发顺水航行4小时到达B地，而从B地出发逆水航行5小时到达A地，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别为船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．
解得
答：船在静水中的速度为18千米/时，水流速度为2千米/时．
A B:顺水：时间×（船在静水的速度+水速）=AB距离
B A:逆水：时间×（水速-船在静水的速度）=AB距离
教学目标
新课讲解
2.工程问题
工程问题与行程问题相类似，关键是抓住三个基本量的关系，即“工作量＝工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间＝工作量÷工作效率，工作效率＝工作量÷工作时间”．注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
教学目标
新课讲解
解：设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效
率为y. 依题意，
4．小明家准备装修一套房子.若请甲、乙两个装修公司合作,则需6 周完成,需花费工钱5.2 万元；若先请甲公司单独做4 周后,剩下的请乙公司来做，则还需9 周才能完成，需花费工钱4.8 万元．若只请一个公司单独完成，从节约开支的角度来考虑，小明家应该选甲公司还是乙公司？
解得
即甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周．
甲乙合作：时间×（甲工作效率+乙工作效率）=1
甲做乙再做:4×甲工作效率+9×乙工作效率）=1
教学目标
新课讲解
解：设请甲公司工作一周需花费工钱a万元，请乙公司工作一周需花费工钱b万元，依题意，得
解得
∴请甲公司单独完成需花费工钱10×0.6＝6(万元)，请乙公司单独完成需花费工钱15×＝4(万元)．
答：从节约开支的角度来考虑，小明家应该选乙公司．
教学目标
新课讲解
3.图表信息问题
列二元一次方程组解图表信息题的关键是读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组．
教学目标
新课讲解
5.根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的度．
解：设梅花鹿高x m，长颈鹿高y m，由题意得
解得
答：梅花鹿和长颈鹿现在的高度分别为1.5 m，5.5 m.
梅花鹿身高+4=长劲鹿身高
梅花鹿身高的3倍+1=长劲鹿身高
教学目标
新课讲解
从几何图形中获取信息列方程组的关键是，认真分析几何图形，从中找到相关的等量关系根据等量关系，设相对应的未知数，然后列方程组、解方程组.
4.几何图形问题
教学目标
新课讲解
6．小强用8 个边长不全相等的正三角形拼成如图所示的图案，其中阴影部分是边长为1 cm
的正三角形．试求出图中正三角形A、
正三角形B的边长分别是多少厘米．
解：设正三角形A的边长为x cm，正三角形B的边长为y cm， 根据题意，得
解得
答：正三角形A的边长为3 cm，正三角形B的边长为6 cm.
B边长=2个A的边长
B边长=C边长+1=E边长+1+1=A边长+1+1+1
教学目标
新课讲解
5.增长率问题
增长率问题关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，根据题意设元，然后列出方程组或方程．
教学目标
新课讲解
7.某公园六一期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大的折扣，张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动，王斌也想去，就打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱．王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他算一下，需准备________元钱买门票．
34
分析：设成人票每张x元，儿童票每张y元，根据题意得
解得
∴3x＋2y＝3×10＋2×2＝34.
3×成人票+4×儿童票=38
4×成人票+2×儿童票=44
教学目标
新课讲解
百分比问题关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程组或方程．
6.百分比问题
教学目标
新课讲解
8.某中学现有学生4 200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校学生将增加10%，则该学校现有初中在校学生多少人？高中在校学生多少人？
解：设该校现有初中在校学生x人，高中在校生y人．根据
题意，得
解得
答:该校现有初中在校学生1400人,高中在校学生2800人．
初中在校生+高中在校生=4200
一年后增加初中在校生+增加的高中在校生=4200×10%
教学目标
新课讲解
7.方案优化问题
设计方案问题应从不同角度去考虑，先考虑多种方案的可能，再列方程组，解方程组，根据结果合理地选择购买方案.
教学目标
新课讲解
9.某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000 元，B型每台4 000 元，C型每台2 500 元．某中学计划将100 500 元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择．
解:设购进A,B,C型号的电脑数量分别为x台、y台、z台．
(1)只购进A型和B型电脑，依题意，得
解得
(不合题意，舍去)
学校所花的钱=2500=所买型号的电脑的单价×数量
电脑的总数=36台
教学目标
新课讲解
(2)只购进A型和C型电脑，依题意，得
解得
(3)只购进B型和C型电脑，依题意，得
解得
所以有两种购买方案可供该校选择，
第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；
第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．
教学目标
新课讲解
1.解题关键：找准题中的等量关系，然后列方程组，解方程组.
8.分段计费问题
2.常考类型：
A．阶梯电(水)价问题
B．出租车计费问题
C．通信计费问题
教学目标
新课讲解
10.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭月用电量在80 千瓦时以下(含80 千瓦时，1 千瓦时俗称1度)时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80 千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
小张家2014 年4 月份用电100 千瓦时，缴电费68 元；5 月份用电120 千瓦时，缴电费88 元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少．
基本电价×80+（100-80）×提高电价=68
基本电价×80+（120-80）×提高电价=88
教学目标
新课讲解
解：设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得
解得
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价” 为1元/千瓦时．
教学目标
新课讲解
反思这些例子对我们有什么启示？
二元一次方程组在实际的应用一般有以下几种类型：
行程问题、工程问题、图表信息问题、几何图形问题、增长率问题、百分比问题、方案优化问题、分段计费问题.
在解题的时候，要仔细分析题意，找出等量关系，利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题.
小 结
教学目标
课堂小结
教学目标
巩固提升
1.小华从家到学校的路一段平路和一段下坡路,设他始终保持平路每分钟走60 米,下坡路每分钟走80 米,上坡路每分钟走40 米,则他从家里到学校需10 分钟,从学校到家里需15 分钟. 问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
解:设小华从家里到学校平路有x米,下坡路有y米,由题意得
家到学校：走平路时间+走下坡路时间=10
学校到家：走上坡路时间+走平路时间=15
解得则300＋400＝700(米)．
答：小华家离学校700米．
教学目标
巩固提升
2．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种工作服150 套，按这样的生产进度，在客户要求的期限内只能完成订货量的；现在工厂改进了人员结构和生产流程，每天可生产这种工作服200 套，这样不仅比规定时间少用1 天，而且比订货量多生产25 套，求要定做的工作服是多少套，要求的期限是多少天．
解：设要定做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，
得
原来的生产量150×原定值的天数=总定值套数
改进后的生产量×（原定值天数-1）=定值的总套数+25
解得
答：要定做的工作服是3375套，要求的期限是18天．
教学目标
巩固提升
3.图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的质量为( )
A．5克 B．10克 C．15克 D．20克
A
教学目标
巩固提升
解:设每个小长方形的长为x cm,宽为y cm.由题意得
教学目标
巩固提升
4.小敏做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下了一个边长为2 cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
解得
答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm.
①3小长方形的长=5个小长方形的宽
②2小长方形的宽-1小长方形的长=2
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 95 60
5. 体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润260元．
(1)购进篮球和排球各多少个？
教学目标
巩固提升
解：(1)设购进篮球x个，购进排球y个，
由题意得：
解得
答：购进篮球12个,购进排球8个．
排球个数+篮球个数=20
排球利润+篮球利润=260
解：设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，
由题意得：
(2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
6×(60－50)＝(95－80)a，
解得a＝4.
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等.
教学目标
巩固提升
6.某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1 元/条，发送网外短信0.15 元/条．该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150 条，依照该收费标准共支出短信费用19 元．问小王该月发送网内、网外短信各多少条？
教学目标
巩固提升
解：设小王该月发送网内短信x条,网外短信y条,根据题意，
得
解这个方程组得
答：小王该月发送网内短信70条，网外短信80条．
网内短信条数+网外短信条数=150
网内短信费用+网外短信费用=19
二元一次方程组的应用
1.行程问题
2.工程问题
3.图表信息问题
4.几何图形问题
5.增长率问题
6.百分比问题
7.方案优化问题
8.分段计费问题
教学目标
课堂总结
二元一次方程组解决实际问题时注意点：
①理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系；
②制定计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组；
③执行计划：列出方程组并求解，得到答案；
④回顾：检查和方思解题过程，检查答案的正确性以及是否符合题意.
教学目标
课堂总结
教学目标
课后练习
教材49页习题第3、4题。
教材48页习题第1、2题。
谢 谢！
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