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课题： 三元一次方程组及其解法
教学目标：
知识与技能目标：
能正确说出三元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是三元一次方程（组）的解；
会根据实际问题列出简单的三元一次方程或三元一次方程组。
过程与方法目标：
通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。
能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。
情感态度与价值观目标：
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。www-2-1-cnjy-com
重点：
掌握三元一次方程及三元一次方程组的概念，理解它们解的含义；
判断一组数是不是某个三元一次方程组的解.
难点：
从实际问题中抽象出三元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。
教学流程：
课前回顾
我们在前面的学习中，已经知道了二元一次方程组的相关知识：
1、解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2、它们的实质是什么？
①消元法
②加减法
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
活动探究
一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张. 问老师分给甲、乙、丙各几张牌？2-1-c-n-j-y
讨论：这个问题中要求的未知数有几个？你能得到几个等式关系？请试一试.
3个未知数.
甲的牌数=2倍乙的牌数
丙的牌数+乙的牌数=甲的牌数+2
设甲、乙、丙的牌数分别为x、y、z,根据题意得
设1元、2元、5元的张数分别为x、y、z,根据题意得
①x+y+z=54
②x=2y 即 21·cn·jy·com
③+y=x+2
(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？试一试.
解【版权所有：21教育】
①-②×2，得x-y=54-2x-4,即
得到方程组：
把带入①，得z=24.
所以，甲的牌数为20张，乙的牌数伟10张，丙的牌数为24张.
活动讨论：
1.观察 x+y+z=54，具有怎样的特征？
特征：
①3个未知数；
②1个等式；
③未知数的项的次数都为1次.
2.观察方程组即，具有怎样的特征？
特征：
①3个等式；
②3个未知数；
③未知数的项的次数都为1次.
【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
新课讲解
三元一次方程的定义：
含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
三元一次方程组的定义：
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程， 叫做三元一次方程组．
三元一次方程组的解的定义：
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解.
【设计意图】使得学生理解新的知识点。
巩固练习
列方程组中，是三元一次方程组的是( D )
A. B. 21*cnjy*com
C. D.
小结：
三元一次方程组需满足的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；
(3)每个方程均是整式方程．
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考和探究下一个新的知识。
讲授新课
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考和探究下一个新的知识。
讲授新课
三元一次方程组的解的定义：
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解.
1.解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或 “加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程，用简图表示为：
2.求解方法：加减消元法和代入消元法．
3．解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；21教育网
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
例题讲解
例2.解方程组
解:将③ 分别代入① ②消去x得:
解这个方程组得:
将带入③得，x=-2.
∴这个三元一次方程组的解为：
巩固练习：
试一试：试着求解我们前面列出的三元一次方程组．
把③分别代入①②，得
把y=2代入③ ，得x=8.
三元解方程组得
所以原方程组的解为
小结：
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．21cnjy.com
例2 解三元一次方程组：www.21-cn-jy.com
解：①＋③ ，得5x＋5y=25 ④
①x2- ②，得5x-y=19. ⑤，则
解这个方程组，得
把x＝4，y＝1代入① ，得z=-1
因此，三元一次方程组的解为
巩固练习：
试一试：求解三元一次方程组:2·1·c·n·j·y
①-×2，得x-y=54-2x-4,即
得到方程组：21·世纪*教育网
把带入①，得z=24.
∴三元一次方程组的解为.
小结：
当方程组中含有相同未知数的项的系数的绝对值相等或成倍数关系时，通常用加减消元法，消去这个未知数．
【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
综合扩展
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝2；当x＝2时，y＝8；当x＝5时，y＝158，求a，b，c的值．21*cnjy*com
分析：把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a，b，c的值．【出处：21教育名师】
解：根据题意，得21教育名师原创作品
巩固练习：
某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5h, 从乙地到甲地需要2.3h. 假设汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30km, 20km, 40km，则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
等量关系：
①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；
②甲地乙地:上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；
③乙地甲地，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km，y km和z km.由题意得 【来源：21·世纪·教育·网】
解得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考。
能力提升
1.列方程是三元一次方程的是_____．(填序号)
①x＋y－z＝1; ②4x y＋3z＝7；
③ ④6x＋4y－3＝0.
2.判断下列方程组是不是三元一次方程组
3.解方程组
解: ③-②，得x-y=-1. ④
①+④，得2x=2.即x=1.
把x=1带入方程①、②，分别得y=2、z=3.
∴元方程组的解为
4.解方程组
解：把①带入②得，y+1+2z=-2，即y+2z=-3. ④
③-④，得-3z=6，解得z=-2.
把z=-2分别带入②、③，解得x=2、y=1.
∴原方程组的解为：.
5.甲、乙、丙三人的年龄之和为20岁，甲年龄的2倍比乙大1岁，乙年龄的1/3等于丙的1/2.问甲、乙、丙三人各几岁？21世纪教育网版权所有
解：设甲、乙、丙年龄分别为x、y、z, 则
解得【来源：21cnj*y.co*m】
答：甲、乙、丙的年龄分别为：．
【设计意图】强化、检测知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
小结
1.三元一次方程:含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
2.三元一次方程组:由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程， 叫做三元一次方程组．
3.解三元一次方程组方法：消元法、加减法.基本思路是消元：三元 二元 一元.
【设计意图】强化知识点，巩固知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
布置作业
教材51页习题第1题.
教材51页习题第3、4、2、6题。
【设计意图】强化知识点，让学生用自己学到的知识去解决问题，并对学生的掌握程度做一个检测。
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 7 页 （共 7 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
三元一次方程组及其解法
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．以为解建立一个三元一次方程，不正确的是（ ）
A．3x－4y+2z=3 B．x－y+z=－1
C．x+y－z=－2 D．－y－z=1
2．若满足方程组的x的值是－1，y的值是1，则该方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．解三元一次方程组得（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则等于（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
5．解方程组 时，可以先求出x+y+z=（ ）
A．30 B．33 C．45 D．9021cnjy.com
6．已知等式y=ax2+bx+c，且当x=1时y=2；当x=－1时y=－2；当x=2时y=3，你能求出a，b，c的值吗？（ ）21·cn·jy·com
A．a=，b=2，c= B．a=，b=2，c=
C．a=1，b=2，c=3 D．a=－1，b=－2，c=－3
7．关于x、y的方程组的解互为相反数，求a的值（ ）
A．－2 B．21 C．7 D．5 www.21-cn-jy.com
8．解三元一次方程组若求y值，最好由（1）、（2）两式化为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角．3种包装的饮料每瓶各多少元？（ ）
A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元
B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元
C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元
D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元
10．如果的解，a，b之间的关系是（ ）.
A．4b－9a=7 B．3a+2b=1 C．9a+4b+7=0 D．4b－9a+7=0
三、简答题（共60分）
11.解下列方程组：（25分）
（1） （2）
（3） （4）．
12．（12分）在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0,；当x=-1时，y=0；当x=0时，y=5.求a,b,c的值.21教育网
13．（13分）一次足球比赛共赛11轮，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队所负场数是所胜场数的 ，结果共得20分，该队共平几场？2·1·c·n·j·y
参考答案
选择题
1．解ABC、D四个方程都是三元一次方程，但不是方程x+y－z=－2的解．答C
2．解：x的值是－1，y的值是1，代入任意一个方程中得z=0，所以该方程组的解是
答：A
3．解：（1）×2－（2）得：5x+y=3
（1）×3－（3）得：7x+5y=－3
解方程组得x=1，y=－2
把x=1，y=－2代入任意一个方程中得z=3
所以方程组的解为
答：B
4．解：由已知可得=0，=0，=0解得a=1，b= －2，c= －3
则等于1+4+9=14
答：C
5．解：把、、相加得：2x+2y+2z=90
所以x+y+z=45
答：C
6．知识点：三元一次方程组在数学问题中的应用。
知识点的描述：在解决各种数学问题时，也要注意应用三元一次方程组
解：由已知可得
答：A
7．知识点：含有字母已知数的方程组
知识点的描述：含有字母已知数的方程组的解法和一般的方程组的解法相同，只是始终要注意把字母已知数看成数。21世纪教育网版权所有
解：把（1）代入（2）得：，
将代入（1）得：
∵x、y互为相反数，∴（）＋（）=0，∴
答：C
8．知识点：三元一次方程组的解法
知识点的描述：无论是代入法还是加减法，其目的就是为了消元，解方程组时一定要明确先求什么就要消去其他字母而留下想求的字母。【来源：21·世纪·教育·网】
解：要求y值，就要消去x和z，用加减法消去x和z，就要把x和z用y来表示。
答：C
9．知识点：三元一次方程组的实际应用
知识点的描述：设立适当的未知数，把题目的涵义用方程表达出来，解方程组就行。
解：设1个大瓶x元，1个中瓶y元， 1个小瓶z元，则y=2z－0.2
x=y+z+0.4 x+y+z=9.6
解得：x=5 y=3 z=1.6
答：C
10．知识点：二元一次方程组的解
知识点的描述：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程．即：既是方程①又是方程②的解．
解：的解，那么代入方程组得：
①，②
①×3+②×2消掉c得：，即9a+4b+7=0
答：C
简答题
11.（1）解：①×2-②，得 3x+7y=-5 ④
②+③×2,得 7x +3y=15 ⑤
由④和⑤组成方程组得
解这个方程组得
把x=3，y=-2代入②，得3-（-2）+2z=7
所以z=1
因此，三元一次方程组的解是
（2）解：①-②，得 2x+y=4 ③
①-③, 得 x-y=-1 ④
由③和④组成方程组，得
解这个方程组，得
把x=1,y=2代入②，得 2+ z+1=10,所以z=7.
所以三元一次方程组的解是
（3） 解：设x=k,则y=2k,z=7k.
把它们代入②，得 2k-2k+21k=21
解得 k=1.
所以 x=1, y=2, z=7.
因此，原方程组的解为
（4）解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝-2代入②，得
∴原三元一次方程组的解为：
12．解：依题意，得
解得
13．解：设该队胜x场，平y场，负z场，
依题意得
解得
答：该队共平2场.
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三元一次方程组
数学zj版 七年级下
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1、解二元一次方程组有哪几种方法？
2、它们的实质是什么？
二元一次方程组
代入
②加减法
消元
一元一次方程
化未知为已知、化归转化思想
代入消元法和加减消元法
①消元法
教学目标
课前回顾
一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张. 问老师分给甲、乙、丙各几张牌？
教学目标
探究知识
讨论：这个问题中要求的未知数有几个？你能列出关于这些未知数的几个方程？请试一试.
甲的牌数+乙的牌数+丙的牌数=54张
甲的牌数=2倍乙的牌数
丙的牌数+乙的牌数=甲的牌数+2
①甲的牌数+乙的牌数+丙的牌数=54张
②甲的牌数=2倍乙的牌数
③丙的牌数+乙的牌数=甲的牌数+2
设甲、乙、丙的牌数分别为x、y、z,根据题意得
即
①x+y+z=54
③+y=x+2
②x=2y
1.观察x+y+z=54，具有怎样的特征？
特征：
①3个未知数；
②1个等式；
③未知数的项的次数都为1次.
教学目标
探究结果
2.观察方程组，具有怎样的特征？
教学目标
探究结果
特征：
①3个等式；
②3个未知数；
③未知数的项的次数都为1次.
三元一次方程的定义：
教学目标
讲授新知
三元一次方程组的定义：
含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程， 叫做三元一次方程组．
三元一次方程组的解的定义：
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解.
教学目标
讲授新知
例如：满足方程组的各个方程，
所以是方程组的解.
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
D
教学目标
巩固练习
分析：A.x的次数为2，错；B.未知数的次数不为1，错；
C.含有四个未知数,错.
三元一次方程组需满足的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；
(3)每个方程均是整式方程．
总 结
1.解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或 “加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程，用简图表示为：
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程组
2.求解方法：加减消元法和代入消元法．
教学目标
讲授新知
3．解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
教学目标
例题讲解
例1.解方程组
课中探究
解:将③ 分别代入① ②消去x得:
解这个方程组得:
将带入③得，x=-2.
∴这个三元一次方程组的解为：
试一试：解下列三元一次方程组：
把③分别代入①②，.
解方程组得
教学目标
巩固练习
把y=2代入③ ，得x=8.
三元一次方程组的解为.
小 结
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可
以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程
组选择最为简便的解法．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
例2.解三元一次方程组：
解：①＋③ ，得5x＋5y=25 ④
教学目标
例题讲解
①x2- ②，得5x-y=19. ⑤，则
解这个方程组，得
把x＝4,y＝1代入① ,得z=-1
因此，三元一次方程组的解为
试一试：求解三元一次方程组:
①-③×2，得x-y=54-2x-4,即
得到方程组：
把带入①，得z=24.
∴三元一次方程组的解为.
教学目标
巩固练习
小 结
当方程组中含有相同未知数的项的系数的绝对
值相等或成倍数关系时，通常用加减消元法，消去
这个未知数．
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝2；当x＝2时，y＝8；当x＝5时，y＝158，求a，b，c的值．
解：根据题意，得
教学目标
综合扩展
分析：把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a，b，c的值．
②－①，得a＋b＝2，④
③－①，得4a＋b＝26，⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
因此即a，b，c的值分别为8，－6，－12.
把a＝8，b＝－6代入①，得c＝－12.
教学目标
巩固练习
某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5h, 从乙地到甲地需要2.3h. 假设汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30km, 20km, 40km，则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
等量关系：
①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；
②甲地 乙地:上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；
③乙地 甲地，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km，y km和z km.由题意得
解得 .
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．
总 结
1.下列方程是三元一次方程的是______．(填序号)
①x＋y－z＝1; ②4x y＋3z＝7；
③ ④6x＋4y－3＝0.
①
教学目标
能力提升
2.判断下列方程组是不是三元一次方程组
方程个数不一定是三个,但至少要有两个.
方程中含有未知数的个数是三个.
√
×
①
②
③
×
方程中含有未知数的项的次数都是一次
教学目标
能力提升
拓展训练
3.解方程组
解: ③-②，得x-y=-1. ④
①+④，得2x=2.即x=1.
把x=1带入方程①、②，分别得y=2、z=3.
∴原方程组的解为
教学目标
能力提升
解：把①带入②得，y+1+2z=-2，即y+2z=-3. ④
4.解方程组
③-④，得-3z=6，解得z=-2.
把z=-2分别带入②、③，解得x=2、y=1.
∴原方程组的解为：.
教学目标
能力提升
教学目标
能力提升
解：设甲、乙、丙年龄分别为x、y、z, 则
5.甲、乙、丙三人的年龄之和为20岁，甲年龄的2倍比乙大1岁，乙年龄的等于丙的.问甲、乙、丙三人各几岁？
解得
答：甲、乙、丙的年龄分别为：5、9和6．
回顾旧知
三元一次方程组
教学目标
课堂小结
3.解三元一次方程组方法：消元法、加减法.基本思路是消元：三元
二元
一元．
1.三元一次方程:含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
2.三元一次方程组:由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程， 叫做三元一次方程组．
教学目标
课后练习
教材51页习题第1题。
教材52页习题第2、3、4、6题。
谢 谢！
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