《欧氏平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型》课件

课件15张PPT。欧氏平行公理与非欧几何模型
——庞加莱模型 在球面上欧氏平行公理不成立的原因，是我们把大圆当作“直线”，因此任意两条“直线”都相交．但是大圆是弯曲的，并非像直线一样是笔直的；大圆的长度是有限的，而直线的长度是可以无限增大的．那么，为什么把大圆作为“直线”呢？ 在球面上，大圆具有直线在平面上的一些最基本的性质。例如，过两点有且只有一条直线；两点之间的连线中直线最短，等等，这些性质球面上的大圆都具备．所以大圆可以作为直线所具有的基本性质的一种说明或解释，这种解释可以视为一种模型． 现在我们来分析一下欧氏平行公理：“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．”在平面上欧氏平行公理是不证自明的．因为这个结论没有加以证明，所以我们当然可以怀疑它是否正确． 在球面上，如果我们把大圆作为“直线”，那么这个结论就不正确．这是一种怀疑方式，即“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”． 我们还可以用另一种方式来怀疑它，即“过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交”．我们把这样改变后的结论称为非欧（双曲）平行公理．有双曲平行公理成立的情况下，推导出来的所有定理所组成的几何体系称为双曲几何． 那么是否在某个特殊的“平面”上，可以把某种曲线叫作“直线”，此时，非欧平行公理是成立的，这个“平面”可作为非欧几何模型． 下面，我们给出法国数学家庞加莱建立的满足非欧平行公理的一种几何模型． 在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘的上半平面（不包含x 上的点）记为 （图8-1），现在考虑 内部的点，我们规定 内部
的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直于x的射线称为“非欧直线”． 那么，在 内、圆心在x上的一段圆弧，或垂直于x的射线上的一条线段是“非欧线段”，两条“非欧直线”的夹角是“非欧角”． 这样，在 内部建立了一个非欧几何的模型，在此模型内满足：过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交．结合图8-1，我们具体说明如下： 设 l 为 内垂直于x的射线，或者圆心在x上的半圆，点A为 l 外的一点，则过点A必可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心在x上，且与 l 相切（显然，切点在x上，而x上的点都不在 内），那么经过点A就有两条“非欧直线”与 l 都不相交，所以在内非欧平行公理是成立的． 当然，在中我们还需要
说明两段“非欧线段”相等
（或说合同）的概念、两个
“非欧角”相等的概念等，这
就要涉及其他的数学知这就要
涉及其他的数学知识．这里就
不再介绍了． 把“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”作为公理推导出的几何称为椭圆几何． 非欧几何主要有椭圆几何和双曲几何，它们与欧氏几何有明显的差异． 上面模型是庞加莱模型，庞加莱模型是一个双曲几何的模型． 当然，这三种几何也有相同的地方：
1. 三角形中两边之和大于第三边；
2. 若两个三角形的三对边对应相等，
则两个三角形全等．