《用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式》课件

课件13张PPT。用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式球面二角形 球面上任意两个大圆都相交
于球面上的一对对径点，因
此，球面上的两个大圆将球
面分成4部分，其中每一部
分都由球面上的两个半大圆
围成. 我们把这种由两个半大圆围成的图形称为球面二角形，如图2.1中的阴影部分就是一个球面二角形，记为球面二角形 . 球面二角形 的元素对于球面二角形，我们把对径点 P与 称为这个二角形的顶点，半大圆弧 与 称为这个二角形的边，球面角 与球面角 称为这个二角形的内角，在不产生混淆的情况下，简记为 ，它们既表示二角形的两个内角，也表示这两角内角的大小.例2.1 已知地球的半径
为6371km，上海位于北
纬31°14′东经
121°29′，北京位于
北纬39°56′，东经
116°20′，如图2.2所示，试求过北京B与上海的经线所围成的球面二角形的面积.解 因为

所以
球面三角形 设A,B,C是球面上不在同一条球面直线上的三点，我们把其中任两点用球面线段连接. 所得的图形称为球面三角形球面三角形,记为球面 . 点A,B,C称为这个球面三角形的顶点，球面线段
称为这个球面三角形的边，三边的长称为这个球面三角形的边长，也用记号 .定理2.1 定理2.1 球面三角形的面积等于它的三内角和减去的差再乘以球面半径的平方，即
. （2.1）
其中，R为球面的半径.证 如图2.3所示，设点A,B,C的对径点分别为
将球面角CAB的边AC与AB延长至 ，得球面二角形 . 我们用 表示球面 的面积，用A表示球面角A的弧度数，其他球面三角形的面积与球面角的弧度数采用类似的记法，则有
. 推论 推论1 对于单位球面上的球面 ，有
.推论2 球面三角形三内角和大于 .例2.2 设球面的半径为 ,点P是球线
段 的极，求球面 的面积.谢谢