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第2讲 平行线判定与性质
一、知识回顾
一、平行线判定方法：
判定两直线平行方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行. （基本事实）
符号语言：∵∠1=∠2（已知）∴ l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
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推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
判定两直线平行方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3（已知）∴ AB∥CD（内错角相等,两直线平行) 一、平行线判定方法：
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判定两直线平行方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两直线平行.
简单地说成：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言: ∵ ∠2+∠3=180 °∴ AB∥CD（同旁内角互补, 两直线平行）
二、平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
二、经典例题
知识点一、平行线判定一（同位角相等，两直线平行）
例1. 某人骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至 ( http: / / www.21cnjy.com )B处后，右转15°，沿直线向前行驶到C处。（如图）这时他想扔按正东方向行驶，那么他应怎样调整行驶方向？请画出他应继续行驶的路线，并说明理由。
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【解析】他应左转15°
∵ ∠1＝15°，∠2 =15°
∴∠1＝∠2
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
即他行驶的方向为正东方向。
例2. 如图, 木工师傅用直尺画出工件边缘的两条垂线, 这两条垂线平行吗？为什么？
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【解析】同位角定理推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。故a//b。
例3. 如图，直线 EMBED Equation.DSMT4 、被直线所截，∠1=35°，∠2=145°请说明 ∥
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【解析】∵∠3+∠2=180°，∠2=145°
∴∠3=35°，
∵∠1=35°，
∴∠3=∠1，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
例4. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）．
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A. B. C. D.
【解析】试题解析：
∵∠1＝50°，∴∠3＝180°-90°-∠1=40°，
∴∠2 =∠3=40°（同位角相等，两直线平行），故选B．
知识点二、平行线判定二（内错角相等，两直线平行）
例5. 如图,已知∠1=∠2=∠3=∠4,则图形中平行的是( )
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A. AB∥CD∥EF B. CD∥EF
C. AB∥EF D. AB∥CD∥EF，BC∥DE
【解析】:D
例6. 如图，已知DE∥BC，DC平分∠EDB,∠ADE=80°，则∠BCD=_____°．
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【解析】：DE∥BC，∠ADE=80°，
∴∠ABC=∠ADE=80°，
∵DC平分∠BDC，
∴∠BDC=∠BDE=50°．
∴∠BCD=180°-80°-50°=50°
例7. 如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
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A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【解析】试题解析：如图，
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∵直尺的两边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°-20°=25°．
故选C．
例8. 如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线，求征：AE∥BC。21*cnjy*com
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【解析】：∵∠DAC=∠B+∠C，∠B=∠C
∴∠DAC=2∠B，∠1=∠2
∴∠1=∠B
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）
知识点三、平行线判定三（同旁内角互补，两直线平行）
例9. 如图，DF平分∠CDE，∠CDF=50°，∠C=80°，则________∥________.
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【解析】：∵DF平分∠CDE，∠CDF=50°，
∴∠CDE=2∠CDF=100°，
∵∠C=80°，
∴∠C+∠CDE=180°，
∴DE∥BC．(同旁内角互补，两直线平行).
例10. 如图，AC、BC分别平分∠DAB、∠ABE ( http: / / www.21cnjy.com )，且∠1与∠2互余， 则______∥_______，理由是________________________________。【版权所有：21教育】
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【解析】：GD；HE；同旁内角互补，两直线平行
例11. 如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线平行吗？为什么？
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【解析】：平行
∵∠1+∠3=90°，∠2+（90°-∠3）
＝180°
∴∠3=90°-∠1，
∠2+90°-90°+∠1=180°
∴∠2+∠1=180°
∴l1∥l2
知识点四、平行线性质一（两直线平行，同位角相等）
例12. 如图所示，直线a∥b，且a，b被c所截，若∠1=40°，则∠2=______．
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【解析】：40°
知识点五、平行线性质二（两直线平行，内错角相等）
例13. 如图所示，直线a∥b，且a，b被c所截，若∠1=60°，则∠2=_______，∠3=________．
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【解析】：60°，,120°
例14. 如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
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【解析】：可以，∵∠AED=60°，EF平分∠AED
∴∠FED=30°
又∵∠EDB=∠2=30°
∴EF∥BD( 两直线平行，内错角相等)
知识点六、平行线性质三（两直线平行，同旁内角互补）
例15. 如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=65°，∠C=30°，那么∠BDE的度数是_____．
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【解析】：∵∠BAC=65°，∠C=30° ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC中，∠B=85°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=180°-∠B=180°-85°=95°.
例16. 完成下面的证明.
已知：如图，D，F，E分别是BC，AC，AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，
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求证：∠EDF＝∠A.
证明：∵DF∥AB( )，
∴∠A＋∠AFD＝ ( ).
∵DE∥AC(已知)，
∴∠AFD＋ ＝ ( ).
∴∠A＝∠EDF( ).
【解析】试题分析：根据平行线的判定及性质就可填空．
证明：∵DF∥AB(已知)，
∴∠A＋∠AFD＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵DE∥AC(已知)，
∴∠AFD＋∠EDF＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A＝∠EDF(同角的补角相等).
例17. 如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC=100°．若∠1=34°，求证∠2=46°．www.21-cn-jy.com
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【解析】∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠1=34°，∠BAC=100°（ 已知 ）
∴∠2=46°
知识点七、平行线判定与性质综合
例18. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
求证：∠EGF=90°.
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证明：∵HG∥AB(已知)，
∴∠1=∠3( ).
又∵HG∥CD(已知)，
∴∠2=∠4( ).
∵AB∥CD(已知)，
∴∠BEF+___________=180°( ).
又∵EG平分∠BEF(已知)，
∴∠1=∠_____________.
又∵FG平分∠EFD，
∴∠2=___________，
∴∠1+∠2= (___________+______________)，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=90°即∠EGF=90°.
【解析】证明：∵HG∥AB(已知)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等) .
又∵HG∥CD(已知)，
∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等).
∵AB∥CD(已知)，
∴∠BEF+_∠DFE_=180°(两直线平行，同旁内角互补).
又∵EG平分∠BEF(已知)，
∴∠1=∠BEF.
又∵FG平分∠EFD，
∴∠2=∠EFD，
∴∠1+∠2= (∠BEF +∠EFD)，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=90°即∠EGF=90°.
例19. 如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
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【证明】∵ ∠1＝∠2（已知），
∴ ∥ （ ），
∴ ∠DAB＋∠ ＝180°（ ）．
∵ ∠B＝∠D（已知），
∴ ∠DAB＋∠ ＝180°（ ），
∴ AB∥CD（ ）．
【解析】∵∠1=∠2（已知），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B=∠D（已知），
∴∠DAB+∠D=180°（等量代换），
∴AB∥CD
例20. 已知，如图，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠1与∠2互补．求证：DE⊥AC．
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【解析】 证明：如图所示，∵HF⊥AB，CD⊥AB， ∴CD∥HF，
∴∠2+∠3=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1与∠2互补，
∴∠2+∠1=180°，
∴∠1=∠3，
∴DE∥BC，（内错角相等，两直线平行）
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
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例21. 如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠FEC=∠GDB．试说明：GD∥BC21·世纪*教育网
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【解析】∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴BD∥EF， ∴∠FEC=∠DBC，
∵∠FEC=∠GDB，
∴∠DBC=∠GDB，
∴GD∥BC
知识点七、图形的平移
例22. 如图，经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙图案的是（ ）（默认三角形都是全等的）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com )
C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】根据平移和旋转的性质进行选择，平移不改变图形的大小和形状，旋转改变图形的方向，可以作出选择．
解：B、C、D通过旋转和平移，和乙图各点不对应，均错误；
A经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙．故选A．
例23. 如图，将周长为12的△ABC沿着射线BC方向平移4个单位后得到△DEF，则四边形ABFD的周长等于_____________；
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【解析】根据平移的性质得A ( http: / / www.21cnjy.com )D =CF=4，DF=AC，所以四边形ABFD的周长为：AB+BF+FD+AD=AB+BC+4+AC+4，因为AB +BC+AC =12，所以四边形ABFD的周长为12+8=20.
例24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ( http: / / www.21cnjy.com )1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；
（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等。
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【解析】（1）作图， S△A′B′C′=3.5
（2）两个D
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例25. 在正方形网格中，每个小正方形的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )都为1个单位长度， △ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移后得△EDF，使点B的对应点为点D，点A对应点为点E．
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（1）画出△EDF；
（2）线段BD与AE有何位置关系与数量关系 ．
（3）连接CD、BD，则四边形ABDC的面积为 ．
【解析】（1）如图所示：
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（2）平行且相等；
（3）如图所示：
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S四边形ABDC＝S ABD+SACD
＝
＝2+4＝6
例26. 在图示的网格中
①作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
②说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
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【解析】：①
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②是由经过向右平移6格，向下平移2格得到。
三、课堂变式
A组 夯实基础
1) 某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A. 第一次向左拐，第二次向右拐
B. 第一次向左拐，第二次向右拐
C. 第一次向左拐，第二次向右拐
D. 第一次向左拐，第二次向左拐
2) 如图，给出下列条件：其中，能判断AB∥CD的是 （ ）
①∠1=∠2 ②∠3=∠4 ③∠B=∠DCE ④∠B=∠D．
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A. ①或④ B. ②或③ C. ①或③ D. ②或④.
3) 如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（ ）.
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A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4) 如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A=110°，则∠1=__度．
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5) 将一副直角三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，试判断CF与AB是否平行，并说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
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6) 如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，试写出推理过程。
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B组 能力提高
7) 如图，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2; B.∠3＝∠4;
C.∠BAD＋∠ABC＝180°; D.∠ABD＝∠BDC
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8) 如图，由∠1=∠2可得出（ ）
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A. AD∥BC B. AB∥CD C. ∠3=∠4 D. AD∥BC或AB∥CD
9) 如图，已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠3=∠E，求证：AD平分∠BAC．
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10) 已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2.试说明： DE⊥AC．
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11) 已知AD⊥BC于D，FG⊥BC垂足分别为D、G，且∠1=∠2，∠C=50°求∠EDC的度数.
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解：∵AD⊥BC，FG⊥BC
∴∠ADC=________，∠FGC=90°（____________）
∴________//FG（ ____________ ）
∴∠1=∠3（ ________________ ）
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3（ ________________ ）
∴DE//____________（ ________________ ）
∴∠EDC+∠C=180°（ _____________）
∵∠C=50°
∴∠EDC=______°
12) 如图是一块矩形ABCD的场 ( http: / / www.21cnjy.com )地,AB=102m,AD=51m,从A、B两处入口中的路宽都为1m,两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪,则草坪的面积为（ ）
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C组 培优精英
13) 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
求证：BD平分∠ABC；
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14) 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 ( http: / / www.21cnjy.com )B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能的值_____________
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四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 如图，直线c与直线a，b相交，不能判断直线a，b平行的条件是( )
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A. ∠2＝∠3 B. ∠1＝∠4
C. ∠1＋∠3＝180° D. ∠1＋∠4＝180°
2. 将图中的蜜蜂图象通过平移可得到的图是( )
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A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
3. 如图，将一个等腰直角三角板按右图方式放置在一个矩形纸片上，其中∠α＝20°，则∠β的度数为___．
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4. 如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1=∠2，∠3=∠4，则∠A=∠F，请说明理由．
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解：∵∠1=∠2
∠2=∠DGF（ ）
∴∠1=∠DGF
∴BD∥CE（ ）
∴∠3+∠C=180°（ ）
又∵∠3=∠4
∴∠4+∠C=180°
∴ ∥ （ ）
∴∠A=∠F（ ）
B组 能力提高
5. 如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为( ).21·cn·jy·com
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A. 120° B. 130° C. 150° D. 100°
6. 如图，AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是________．
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7. 已知：BC//EF，∠B=∠E，求证：AB//DE.
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C组 培优精英
8. 观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=______度．2-1-c-n-j-y
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9. 如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
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第2讲 平行线判定与性质
一、知识回顾
一、平行线判定方法：
判定两直线平行方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行. （基本事实）
符号语言：∵∠1=∠2（已知）∴ l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
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推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
判定两直线平行方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3（已知）∴ AB∥CD（内错角相等,两直线平行) 一、平行线判定方法：
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判定两直线平行方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两直线平行.
简单地说成：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言: ∵ ∠2+∠3=180 °∴ AB∥CD（同旁内角互补, 两直线平行）
二、平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
二、经典例题
知识点一、平行线判定一（同位角相等，两直线平行）
例1. 某人骑自行车从A地出发，沿正东方向前进至 ( http: / / www.21cnjy.com )B处后，右转15°，沿直线向前行驶到C处。（如图）这时他想扔按正东方向行驶，那么他应怎样调整行驶方向？请画出他应继续行驶的路线，并说明理由。
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【解析】他应左转15°
∵ ∠1＝15°，∠2 =15°
∴∠1＝∠2
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）
即他行驶的方向为正东方向。
例2. 如图, 木工师傅用直尺画出工件边缘的两条垂线, 这两条垂线平行吗？为什么？
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【解析】同位角定理推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。故a//b。
例3. 如图，直线 EMBED Equation.DSMT4 、被直线所截，∠1=35°，∠2=145°请说明 ∥
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【解析】∵∠3+∠2=180°，∠2=145°
∴∠3=35°，
∵∠1=35°，
∴∠3=∠1，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
例4. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）．
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A. B. C. D.
【解析】试题解析：
∵∠1＝50°，∴∠3＝180°-90°-∠1=40°，
∴∠2 =∠3=40°（同位角相等，两直线平行），故选B．
知识点二、平行线判定二（内错角相等，两直线平行）
例5. 如图,已知∠1=∠2=∠3=∠4,则图形中平行的是( )
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A. AB∥CD∥EF B. CD∥EF
C. AB∥EF D. AB∥CD∥EF，BC∥DE
【解析】:D
例6. 如图，已知DE∥BC，DC平分∠EDB,∠ADE=80°，则∠BCD=_____°．
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【解析】：DE∥BC，∠ADE=80°，
∴∠ABC=∠ADE=80°，
∵DC平分∠BDC，
∴∠BDC=∠BDE=50°．
∴∠BCD=180°-80°-50°=50°
例7. 如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
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A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【解析】试题解析：如图，
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∵直尺的两边平行，∠1=20°，
∴∠3=∠1=20°，
∴∠2=45°-20°=25°．
故选C．
例8. 如图，∠B＝∠C，B、A、D三点在同一直线上，∠DAC＝∠B＋∠C，AE是∠DAC的平分线，求征：AE∥BC。21*cnjy*com
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【解析】：∵∠DAC=∠B+∠C，∠B=∠C
∴∠DAC=2∠B，∠1=∠2
∴∠1=∠B
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行）
知识点三、平行线判定三（同旁内角互补，两直线平行）
例9. 如图，DF平分∠CDE，∠CDF=50°，∠C=80°，则________∥________.
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【解析】：∵DF平分∠CDE，∠CDF=50°，
∴∠CDE=2∠CDF=100°，
∵∠C=80°，
∴∠C+∠CDE=180°，
∴DE∥BC．(同旁内角互补，两直线平行).
例10. 如图，AC、BC分别平分∠DAB、∠ABE ( http: / / www.21cnjy.com )，且∠1与∠2互余， 则______∥_______，理由是________________________________。【版权所有：21教育】
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【解析】：GD；HE；同旁内角互补，两直线平行
例11. 如图，已知∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，问直线平行吗？为什么？
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【解析】：平行
∵∠1+∠3=90°，∠2+（90°-∠3）
＝180°
∴∠3=90°-∠1，
∠2+90°-90°+∠1=180°
∴∠2+∠1=180°
∴l1∥l2
知识点四、平行线性质一（两直线平行，同位角相等）
例12. 如图所示，直线a∥b，且a，b被c所截，若∠1=40°，则∠2=______．
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【解析】：40°
知识点五、平行线性质二（两直线平行，内错角相等）
例13. 如图所示，直线a∥b，且a，b被c所截，若∠1=60°，则∠2=_______，∠3=________．
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【解析】：60°，,120°
例14. 如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
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【解析】：可以，∵∠AED=60°，EF平分∠AED
∴∠FED=30°
又∵∠EDB=∠2=30°
∴EF∥BD( 两直线平行，内错角相等)
知识点六、平行线性质三（两直线平行，同旁内角互补）
例15. 如图，△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，如果∠BAC=65°，∠C=30°，那么∠BDE的度数是_____．
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【解析】：∵∠BAC=65°，∠C=30° ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABC中，∠B=85°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=180°-∠B=180°-85°=95°.
例16. 完成下面的证明.
已知：如图，D，F，E分别是BC，AC，AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，
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求证：∠EDF＝∠A.
证明：∵DF∥AB( )，
∴∠A＋∠AFD＝ ( ).
∵DE∥AC(已知)，
∴∠AFD＋ ＝ ( ).
∴∠A＝∠EDF( ).
【解析】试题分析：根据平行线的判定及性质就可填空．
证明：∵DF∥AB(已知)，
∴∠A＋∠AFD＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵DE∥AC(已知)，
∴∠AFD＋∠EDF＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A＝∠EDF(同角的补角相等).
例17. 如图，直线a∥b，∠BAC的顶点A在直线a上，且∠BAC=100°．若∠1=34°，求证∠2=46°．www.21-cn-jy.com
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【解析】∵a∥b，
∴∠1+∠2+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），
∵∠1=34°，∠BAC=100°（ 已知 ）
∴∠2=46°
知识点七、平行线判定与性质综合
例18. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
求证：∠EGF=90°.
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证明：∵HG∥AB(已知)，
∴∠1=∠3( ).
又∵HG∥CD(已知)，
∴∠2=∠4( ).
∵AB∥CD(已知)，
∴∠BEF+___________=180°( ).
又∵EG平分∠BEF(已知)，
∴∠1=∠_____________.
又∵FG平分∠EFD，
∴∠2=___________，
∴∠1+∠2= (___________+______________)，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=90°即∠EGF=90°.
【解析】证明：∵HG∥AB(已知)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等) .
又∵HG∥CD(已知)，
∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等).
∵AB∥CD(已知)，
∴∠BEF+_∠DFE_=180°(两直线平行，同旁内角互补).
又∵EG平分∠BEF(已知)，
∴∠1=∠BEF.
又∵FG平分∠EFD，
∴∠2=∠EFD，
∴∠1+∠2= (∠BEF +∠EFD)，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=90°即∠EGF=90°.
例19. 如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
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【证明】∵ ∠1＝∠2（已知），
∴ ∥ （ ），
∴ ∠DAB＋∠ ＝180°（ ）．
∵ ∠B＝∠D（已知），
∴ ∠DAB＋∠ ＝180°（ ），
∴ AB∥CD（ ）．
【解析】∵∠1=∠2（已知），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B=∠D（已知），
∴∠DAB+∠D=180°（等量代换），
∴AB∥CD
例20. 已知，如图，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠1与∠2互补．求证：DE⊥AC．
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【解析】 证明：如图所示，∵HF⊥AB，CD⊥AB， ∴CD∥HF，
∴∠2+∠3=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1与∠2互补，
∴∠2+∠1=180°，
∴∠1=∠3，
∴DE∥BC，（内错角相等，两直线平行）
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
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例21. 如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠FEC=∠GDB．试说明：GD∥BC21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴BD∥EF， ∴∠FEC=∠DBC，
∵∠FEC=∠GDB，
∴∠DBC=∠GDB，
∴GD∥BC
知识点七、图形的平移
例22. 如图，经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙图案的是（ ）（默认三角形都是全等的）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com )
C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】根据平移和旋转的性质进行选择，平移不改变图形的大小和形状，旋转改变图形的方向，可以作出选择．
解：B、C、D通过旋转和平移，和乙图各点不对应，均错误；
A经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙．故选A．
例23. 如图，将周长为12的△ABC沿着射线BC方向平移4个单位后得到△DEF，则四边形ABFD的周长等于_____________；
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【解析】根据平移的性质得A ( http: / / www.21cnjy.com )D =CF=4，DF=AC，所以四边形ABFD的周长为：AB+BF+FD+AD=AB+BC+4+AC+4，因为AB +BC+AC =12，所以四边形ABFD的周长为12+8=20.
例24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 ( http: / / www.21cnjy.com )1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′，并求△A′B′C′的面积；
（2）在图中找出格点D，使△ACD的面积与△ABC的面积相等。
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【解析】（1）作图， S△A′B′C′=3.5
（2）两个D
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例25. 在正方形网格中，每个小正方形的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )都为1个单位长度， △ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移后得△EDF，使点B的对应点为点D，点A对应点为点E．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）画出△EDF；
（2）线段BD与AE有何位置关系与数量关系 ．
（3）连接CD、BD，则四边形ABDC的面积为 ．
【解析】（1）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）平行且相等；
（3）如图所示：
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S四边形ABDC＝S ABD+SACD
＝
＝2+4＝6
例26. 在图示的网格中
①作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
②说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
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【解析】：①
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②是由经过向右平移6格，向下平移2格得到。
三、课堂变式
A组 夯实基础
1) 某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A. 第一次向左拐，第二次向右拐
B. 第一次向左拐，第二次向右拐
C. 第一次向左拐，第二次向右拐
D. 第一次向左拐，第二次向左拐
【解析】：A、第一次向左拐40°， ( http: / / www.21cnjy.com )第二次向右拐40°，行驶方向相同，故本选项错误；B、第一次向左拐50°，第二次向右拐130°，行驶路线相交，故本选项错误；C、第一次向左拐70°，第二次向右拐110°，行驶路线相交，故本选项错误；D、如图，第一次向左拐70°，∠1=180°-70°=110°，第二次向左拐110°，∠2=110°，所以，∠1=∠2
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2) 如图，给出下列条件：其中，能判断AB∥CD的是 （ ）
①∠1=∠2 ②∠3=∠4 ③∠B=∠DCE ④∠B=∠D．
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A. ①或④ B. ②或③ C. ①或③ D. ②或④.
【解析】①∵∠1=∠2 ，∴AB∥CD,故①正确； ②∵∠3=∠4，∴AD∥BC,故②不正确；
③∵∠B=∠DCE，∴AB∥CD,故③正确； ④∵∠B=∠D不能判定两直线平行，故不正确．故选C.21cnjy.com
3) 如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（ ）.
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A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【解析】：C
4) 如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A=110°，则∠1=__度．
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【解析】：70°
5) 将一副直角三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，试判断CF与AB是否平行，并说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
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【解析】由题可知∠B＝45°，∠DCE＝90°.
∵CF平分∠DCE，
∴∠2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )×90°＝45°（角平分线的定义），
∴∠B＝∠2，
∴CF∥AB.（同位角相等，两直线平行）
6) 如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠D NF，∠1＝∠2，那么MQ∥NP，试写出推理过程。
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【解析】∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2
∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2
即∠QMN=∠PNF，MQ∥NP
B组 能力提高
7) 如图，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠1＝∠2; B.∠3＝∠4;
C.∠BAD＋∠ABC＝180°; D.∠ABD＝∠BDC
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【解析】：D
8) 如图，由∠1=∠2可得出（ ）
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A. AD∥BC B. AB∥CD C. ∠3=∠4 D. AD∥BC或AB∥CD
【解析】试题解析：由∠1=∠2可得出AB∥CD．故选B．
9) 如图，已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠3=∠E，求证：AD平分∠BAC．
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【解析】：证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）．
∴AD∥__EF__（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠1=∠E（__两直线平行，同位角相等_），
∠2=∠3（__两直线平行，内错角相等__）
又∵∠3=∠E（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（___角平分线的定义_____）
10) 已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2.试说明： DE⊥AC．
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【解析】∵CD∥FG，∴∠BCD=∠2.
∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD, ∴DE∥BC.
∵AC⊥BC，∴DE⊥AC
11) 已知AD⊥BC于D，FG⊥BC垂足分别为D、G，且∠1=∠2，∠C=50°求∠EDC的度数.
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解：∵AD⊥BC，FG⊥BC
∴∠ADC=________，∠FGC=90°（____________）
∴________//FG（ ____________ ）
∴∠1=∠3（ ________________ ）
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3（ ________________ ）
∴DE//____________（ ________________ ）
∴∠EDC+∠C=180°（ _____________）
∵∠C=50°
∴∠EDC=______°
【解析】试题分析：先根据垂直的定义得出∠AD ( http: / / www.21cnjy.com )C=90°，∠FGC=90°，故可得出AD∥FG，再由∠1=∠2可知∠2=∠3，所以DE∥AC，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出结论．
试题解析：∵AD⊥BC，FG⊥BC
∴∠ADC=____90°，∠FGC=90°（__垂直的定义___）
∴___AD__//FG（ __同位角相等，两直线平行_ ）
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2
∴∠2=∠3（ 等量代换 ）
∴DE//_AC（内错角相等，两直线平行_ ）
∴∠EDC+∠C=180°（ 两直线平行，同旁内角互补）
∵∠C=50°
∴∠EDC=_130 °
12) 如图是一块矩形ABCD的场 ( http: / / www.21cnjy.com )地,AB=102m,AD=51m,从A、B两处入口中的路宽都为1m,两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪,则草坪的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】水平的向下平移成 ( http: / / www.21cnjy.com )一条直路，竖直的向两边平移成两条直路，此时可认为所求草坪的长为（102－2）m，宽为（51－1）m，即可得草坪部分的面积为（102－2）×（51－1）＝5000m22·1·c·n·j·y
C组 培优精英
13) 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
求证：BD平分∠ABC；
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】：∵AB=AC，AB=AD，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB.
∵∠DAC=∠ABC，∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC.
14) 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 ( http: / / www.21cnjy.com )B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能的值_____________
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
根据题意，当CD//OB时，如图所示：∠BAD＝15°； ( http: / / www.21cnjy.com )
当AD//OB时，如图所示：∠BAD＝45°； ( http: / / www.21cnjy.com )
当CD//OA时，如图所示：∠BAD＝105°； ( http: / / www.21cnjy.com )
当AC//OB时，如图所示：∠BAD＝135°； ( http: / / www.21cnjy.com )
当AB//CD时，如图所示：∠BAD＝150°； ( http: / / www.21cnjy.com )
当CD//OB时，如图所示：∠BAD＝165°； ( http: / / www.21cnjy.com )
当CD//OA时，如图所示：∠BAD＝75°； ( http: / / www.21cnjy.com )
当CD//AB时，如图所示：∠BAD＝30°； ( http: / / www.21cnjy.com )
故答案是：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°。
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 如图，直线c与直线a，b相交，不能判断直线a，b平行的条件是( )
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A. ∠2＝∠3 B. ∠1＝∠4
C. ∠1＋∠3＝180° D. ∠1＋∠4＝180°
【解析】：D
2. 将图中的蜜蜂图象通过平移可得到的图是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】：D
3. 如图，将一个等腰直角三角板按右图方式放置在一个矩形纸片上，其中∠α＝20°，则∠β的度数为___．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】：25°
，
．
4. 如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠1=∠2，∠3=∠4，则∠A=∠F，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：∵∠1=∠2
∠2=∠DGF（ ）
∴∠1=∠DGF
∴BD∥CE（ ）
∴∠3+∠C=180°（ ）
又∵∠3=∠4
∴∠4+∠C=180°
∴ ∥ （ ）
∴∠A=∠F（ ）
【解析】：∵∠1=∠2
∠2=∠DGF（ 对顶角相等）
∴∠1=∠DGF
∴BD∥CE（同位角相等,两直线平行）
∴∠3+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3=∠4
∴∠4+∠C=180°
∴ DF ∥ AC （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）
B组 能力提高
5. 如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为( ).21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 120° B. 130° C. 150° D. 100°
【解析】∵∠CDE=150o, ∠CDE+∠CDB=180o,
∴∠CDB=30o,
∵AB//CD,
∴∠ABD=∠CDB=30o, ∠ABC+∠C=180o,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABD=60o,
又∵∠ABC+∠C=180o,
∴∠C＝180o－∠ABC＝（180－120）o＝60 o；故选A。
6. 如图，AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是________．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图，过点E作EF∥AB，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )两直线平行，同旁内角互补，即可得∠α+∠AEF=180°，又因AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠FED=∠EDC，因∠β=∠AEF+∠FED，∠γ=∠EDC，即可得∠α+∠β-∠γ=180°.www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
7. 已知：BC//EF，∠B=∠E，求证：AB//DE.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
证明: ∵BC∥EF,
∴∠E=∠DPC,
∵∠B=∠E，
∴∠B=∠DPC,
∴AB//DE.
C组 培优精英
8. 观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=______度．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图，分别过P1、P2、P ( http: / / www.21cnjy.com )3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°
∴（1）∠1+∠2=180°，21*cnjy*com
（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，
（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，
（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2 ( http: / / www.21cnjy.com )=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．21教育网
9. 如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ( http: / / www.21cnjy.com )PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】试题分析：（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；【出处：21教育名师】
（2）利用（1）中平行线的性质推知°； ( http: / / www.21cnjy.com )然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；21教育名师原创作品
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK= EMBED Equation.DSMT4 ∠EPK=45°+∠2；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变，是定值45°．
试题解析：（1）如图1，
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∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，∵∠1=∠2，
∴∠3=2∠2．
又∵GH⊥EG，
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2．
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2．
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2．
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°，
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
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