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第3讲 平行线复习
一、知识回顾
同位角、内错角、同旁内角.2. 平行线的判定与性质
1）判定方法
同位角相等，两直线平行. （基本事实）
推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补,两直线平行.
2）性质
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
3. 平移
图形沿某一直线方向移动,叫做_________；移动后的新图形与移动前的旧图形_________和_____________相同；
新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段_ __ 且______
二、经典例题
1) 两直线的位置关系
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行或相交，而不在同一平面内，不重合的两条直线还存在着既不平行也不相交这种位置关系．
一、同一平面内两直线的位置关系
1．下列说法正确的有( )
(1)同一平面内两直线有相交、平行、重合三种情况；
(2)两直线垂直是相交的一种特殊情况；
(3)同一平面内，两直线不垂直，则这两直线平行；
(4)同一平面内三条直线既不重合也不平行，则它们最多有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】：B
2．三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是( )
A．a⊥b B．a∥b
C．a⊥b或a∥b D．无法确定
【解析】：B
3．在同一平面内画三条直线，使它们分别满足以下条件：
(1)它们没有交点；
(2)它们有一个交点；
(3)它们有两个交点；
(4)它们有三个交点．
【解析】：
二、不在同一平面内两直线的位置关系
(第4题)
4．如图，长方体ABCD A1B1C1D ( http: / / www.21cnjy.com )1中，与棱A1B1平行的棱有________；与棱CC1在同一平面内且垂直的棱有________________；与棱BC既不平行也不相交的棱有______________．
【解析】：AB，CD，C1D1；CD，BC，C1D1，B1C1；A1B1，C1D1，AA1，DD1
2) “三线八角”的识别方法
两条直线被第三条直线所截，可得到“三线八角 ( http: / / www.21cnjy.com )”，识别两个角属于何种类别时可联想英文大写字母，即“F”形的为同位角，“Z”形的为内错角，“U”形的为同旁内角，每类角都有一个共同点，即：有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上．
一、识别同位角、内错角、同旁内角
1．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．
(第1题)
【解析】：∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠7 ( http: / / www.21cnjy.com )是同位角，∠1与∠BAD是同旁内角，∠2与∠9没有特殊的位置关系，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角．
二、从复杂图形中找同位角、内错角、同旁内角
2．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．
(第2题)
【解析】：(1)当直线AB ( http: / / www.21cnjy.com )，BE被AC所截时，所得到的内错角有：∠BAC与∠ACE，∠BCA与∠FAC；同旁内角有：∠BAC与∠BCA，∠FAC与∠ACE.
(2)当AD，BE被AC所截时，内错角有：∠ACB与∠CAD；同旁内角有：∠DAC与∠ACE.
(3)当AD，BE被BF所截时，同位角有：∠FAD与∠B；同旁内角有：∠DAB与∠B.
(4)当AC，BE被AB所截时，同位角有：∠B与∠FAC；同旁内角有：∠B与∠BAC.
(5)当AB，AC被BE所截时，同位角有：∠B与∠ACE，同旁内角有：∠B与∠ACB.
3) 常见辅助线的作法
在解决平行线的问题时，当无法直接得到角 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．
一、加截线(连接两点或延长线段)
1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．
(第1题)
【解析】：∠BFE＝∠FEC.
理由一：连接BC，如图①.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，
即∠FBC＝∠ECB.
∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT92.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT92.tif" \* MERGEFORMAT
(第1题)
理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.
∵AB∥CD，∴AG∥CD.
∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABF＝∠G.
∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．
(第2题)
【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝25°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.
∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\AB.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/AB.tif" \* MERGEFORMAT (第2题)
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.
∵AB∥PM，
∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°.
方法三：连接BC，略。
方法四：延长BP交CD于M（或延长CP交AB于N），略。
b．“”形图
3．如图，已知AB∥CD，请你猜想一下∠B＋∠BED＋∠D的度数，并说明理由．
(第3题)
【解析】：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由如下：
理由一：如图①，过E作EF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT95.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT95.tif" \* MERGEFORMAT (第3题)
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵EF∥AB，∴∠B＋∠1＝180°.
∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝180°＋180°＝360°，
即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
理由二：如图②，过E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)．
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF.
又∠BED＋∠BEF＋∠DEF＝360°，
∴∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
(第4题)
【解析】：∠BCD＝∠B－∠D.
理由：如图，过点C作CF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\mn15.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/mn15.tif" \* MERGEFORMAT (第4题)
∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF(等式的性质)．
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝72°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．
(第5题)
【解析】：如图，过点C作CF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT96.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT96.tif" \* MERGEFORMAT (第5题)
∵AB∥CF，
∴∠BCF＝∠B＝72°.
∵AB∥CF，AB∥DE，
∴CF∥DE.
∴∠CDE＋∠DCF＝180°.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°.
∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝72°－40°＝32°.
三、 平行线间多折点角度问题探究
6．(1)如图①，AB∥CD，则∠BEF＋∠FGD与∠B＋∠EFG＋∠D有何关系？并说明理由．
(2)如图②，若AB∥CD，又能得到什么结论？
(第6题)
【解析】：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.
理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，
如图，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，
所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.
因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT97.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT97.tif" \* MERGEFORMAT
(第6题)
(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.
4) 几何计数的四种常用方法
1.对于几何中的计数问题，掌握一定 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数．
2．计数的原则是不重复、不遗漏．
一、按顺序计数问题
1．如图，两条直线相交于一点O，则图中共有( )对邻补角．
(第1题)
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】：C
2．在同一平面内有A，B，C，D，E五个点，以其中任意两点画直线最多有________条．
【解析】：1021·世纪*教育网
二、 按画图计数问题
3．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？
【解析】：图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．【来源：21cnj*y.co*m】
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY2.tif" \* MERGEFORMAT
4．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
【解析】：
三、按基本图形计数问题
5．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？
(第5题)
【解析】：此题可以按基本图形进行计 ( http: / / www.21cnjy.com )数，以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
四、按从特殊到一般的思想方法计数问题
6．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．
(第6题)
(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；
……
(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；
(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
【解析】：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1)
(5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016×(2 016－1)＝2 016×2 015＝4 062 240.21cnjy.com
7．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？
【解析】：画图如下：
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY11.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY11.tif" \* MERGEFORMAT (第7题)
列表如下：
直线条数 1 2 3 4 … n …
平面最多被分成的部分数 2 4 7 11 … …
当n＝1时，平面被分成2个部分；
当n＝2时，增加2个，分成2＋2＝4(个)部分；
当n＝3时，增加3个，分成2＋2＋3＝7(个)部分；
当n＝4时，增加4个，分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…；
所以n条直线分成2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝(个)部分．
5) 活用判定两直线平行的六种方法
1.直线平行的判定方法很多，我们要根据图形的特征和已知条件灵活选择方法．
2．直线平行的判定常结合角平分线、对顶角、邻补角、垂直等知识．
3．直线平行的判定和性质常常结合在一起，解决有关角度的计算或证明角相等等问题．
一、利用平行线的定义
1．下面几种说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行
B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行
D．以上三种说法都不正确
【解析】：C
二、利用“同平行于第三条直线的两直线平行”
2．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF.
(第2题)
【解析】：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝ ( http: / / www.21cnjy.com )25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.因为∠B＝25°，∠E＝10°，所以∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN.所以AB∥CM，EF∥ND.又因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.所以∠DCM＝∠CDN.所以CM∥ND.所以AB∥EF.
三、利用“同垂直于第三条直线的两直线平行(在同一平面内)”
3．如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，DE∥CA，CE平分∠ACB，试说明∠EDF＝∠BDF.21世纪教育网版权所有
(第3题)
【解析】：∵DF⊥AB，CE⊥AB，∴DF∥CE.
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC.
∵DE∥CA，∴∠DEC＝∠ACE.
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCE.
∴∠DCE＝∠DEC.
∴∠EDF＝∠BDF.
四、利用“同位角相等，两直线平行”
4．(探究题)如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．2·1·c·n·j·y
(第4题)
【解析】：EC∥DF，理由如下：
∵∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠ECB.
又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.
∴EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．
五、利用“内错角相等，两直线平行”
5．如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3，说明AB∥CD.
(第5题)
∵CB平分∠ACD，∴∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴AB∥CD.
六、利用“同旁内角互补，两直线平行”
6．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
(第6题)
【解析】：AB∥CD，理由如下：
如图，延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．
因为∠BEC＝95°，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )∠CEF＝180°－95°＝85°.又因为∠DCE＝35°，所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.又因为∠ABE＝120°，所以∠ABE＋∠BFC＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．【来源：21·世纪·教育·网】
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6) 思想方法荟萃
1.本章体现的主要方法有：基本图形(添加辅助线)法、分离图形法、平移法．
2．几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．
一、基本图形(添加辅助线)法
1．已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．
(第1题)
【解析】：∠APC＝∠PCD－∠PAB.
理由如下：如图，过点P作PE∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY19.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY19.tif" \* MERGEFORMAT
(第1题)
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.
∴∠PAB＋∠APE＝180°，∠PCD＋∠CPE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠APE＝180°－∠PAB，∠CPE＝180°－∠PCD.
∴∠APC＝∠APE－∠CPE＝(180°－∠PAB)－(180°－∠PCD)＝∠PCD－∠PAB.
二、分离图形法
2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？
(第2题)
【解析】：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角．21*cnjy*com
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INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\MN16.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/MN16.tif" \* MERGEFORMAT
(第2题)
三、平移法
3．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路(阴影部分)，余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？www-2-1-cnjy-com
(第3题)
【解析】：
(第3题)
如图，把小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是长方形．
∵ CF＝32－2＝30(m)，CG＝20－2＝18(m)，∴长方形EFCG的面积＝30×18＝540(m2)．
答：绿化的面积为540 m2.
四、转化思想
4．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE.
(第4题)
【解析】：如图，过点E作EF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY30.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY30.tif" \* MERGEFORMAT (第4题)
∵AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠DEF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．
又∠D＝∠2，
∴∠DEF＝∠2(等量代换)．
同理可得∠BEF＝∠1.
又∵∠1＋∠2＋∠BEF＋∠DEF＝180°(平角定义)，
∴∠1＋∠2＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED＝90°.∴BE⊥DE.
五、数形结合思想
5．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.www.21-cn-jy.com
(第5题)
【解析】：由对顶角相等，
得∠CNF＝∠END.
又∠CNF＋∠BMN＝180°，
所以∠END＋∠BMN＝180°.
所以AB∥CD.
因为∠EMB＋∠BMN＝180°，
所以∠EMB＝∠END.
又因为∠1＝∠2，
所以∠END＋∠2＝∠EMB＋∠1，
即∠ENQ＝∠EMP.所以MP∥NQ.
六、分类讨论思想
6．如图，已知直线l1∥ ( http: / / www.21cnjy.com )l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
(第6题)
【解析】：当点P在C，D之间时，过P点作PE∥AC，则PE∥BD，如图①.
∵PE∥AC, ∴∠APE＝∠1(两直线平行，内错角相等)．
∵PE∥BD，∴∠BPE＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵∠2＝∠APE＋∠BPE，
∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点C重合时，∠1＝0°，如图②.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY31.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY31.tif" \* MERGEFORMAT (第6题)
∵l1∥l2(已知),
∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝0°， ∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点D重合时，∠3＝0°，如图③.
∵l1∥l2(已知)，
∴∠2＝∠1(两直线平行，内错角相等)．
∵∠3＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.
综上所述，当点P在线段CD上运动时，∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3.
三、课后巩固
一、选择题
1. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ）
（A）10°. （B）15°. （C）20°. （D）25°.
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2. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
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A． 65° B． 70° C． 75° D． 80°
3. 如图，∠1与∠2是（ ）
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A． 对顶角 B． 同位角 C． 内错角 D． 同旁内角
4. 如图，已知a//b,则（）
A． B. C. D.
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5. 如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）．
(A) ∠2； (B) ∠3； (C) ∠4； (D) ∠5．
( http: / / www.21cnjy.com )
6. 如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点EF，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G．若
∠1=42°，则∠2的大小是（ ）
A．56° B．48° C．46° D．40°
7. 如图4，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠AEF＝50°，则∠EFC的大小是（ ）21教育网
A、40° B、50° C、120° D、130°
8. 如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（ ）21·cn·jy·com
A.115° B.125° C.155° D.165°
9. 如图所示，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠1=50°，则∠AEF等于( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题
10. 如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是 ．
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11. 如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1+∠2的度数是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
12. 如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= .
13. 如图，直线a//b,n直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50 °，则∠2= °.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
14. 如图，直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1 =70°，那么∠3的度数是 .
15. 如图，直线，被所截，若∥，，，则__________度．
( http: / / www.21cnjy.com )
16. 如图，直线∥，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若，则 ．【出处：21教育名师】
17. 如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
18. 某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白部分为两条宽度均为2米的小路，则草地的实际面积 ． 21教育名师原创作品
三、解答题
19. 已知：如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2.
求证：∠E=∠F．
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20. 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，试说明：∠1=∠2．
( http: / / www.21cnjy.com )
21. 已知，如图∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？
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22. 如图所示，BC为固定的木条 ( http: / / www.21cnjy.com )，且BC=a，AB，AC为可伸缩的橡皮筋．当点A在与BC平行的轨道MN上滑动时（MN与BC的距离为b），你能说明△ABC的面积将如何变化吗？请说明你的理由．
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23. 如图，已知E、A、B三点在同一直线上，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=50°，求∠EAD，∠DAC，∠C的度数．
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24. 如图，电讯公司在由西向东埋设 ( http: / / www.21cnjy.com )通讯电缆线，他们从点A埋设到点B时突然发现碰到了一个具有研究价值的古墓，不得不改变方向绕开古墓，结果改为沿南偏东40°方向埋设到点O，再沿古墓边缘埋设到点C处，测∠BOC=60°．现要恢复原来的正东方向CD，则∠OCD应等于多少度？
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E
D
C
2
1
b
a
1
2
a
b
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第3讲 平行线复习
一、知识回顾
同位角、内错角、同旁内角.2. 平行线的判定与性质
1）判定方法
同位角相等，两直线平行. （基本事实）
推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补,两直线平行.
2）性质
性质1：两直线平行，同位角相等.
性质2：两直线平行，内错角相等.
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
3. 平移
图形沿某一直线方向移动,叫做_________；移动后的新图形与移动前的旧图形_________和_____________相同；
新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点,连接各组对应点的线段_ __ 且______
二、经典例题
1) 两直线的位置关系
在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行或相交，而不在同一平面内，不重合的两条直线还存在着既不平行也不相交这种位置关系．
一、同一平面内两直线的位置关系
1．下列说法正确的有( )
(1)同一平面内两直线有相交、平行、重合三种情况；
(2)两直线垂直是相交的一种特殊情况；
(3)同一平面内，两直线不垂直，则这两直线平行；
(4)同一平面内三条直线既不重合也不平行，则它们最多有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】：B
2．三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是( )
A．a⊥b B．a∥b
C．a⊥b或a∥b D．无法确定
【解析】：B
3．在同一平面内画三条直线，使它们分别满足以下条件：
(1)它们没有交点；
(2)它们有一个交点；
(3)它们有两个交点；
(4)它们有三个交点．
【解析】：
二、不在同一平面内两直线的位置关系
(第4题)
4．如图，长方体ABCD A1B1C1D ( http: / / www.21cnjy.com )1中，与棱A1B1平行的棱有________；与棱CC1在同一平面内且垂直的棱有________________；与棱BC既不平行也不相交的棱有______________．
【解析】：AB，CD，C1D1；CD，BC，C1D1，B1C1；A1B1，C1D1，AA1，DD1
2) “三线八角”的识别方法
两条直线被第三条直线所截，可得到“三线八角 ( http: / / www.21cnjy.com )”，识别两个角属于何种类别时可联想英文大写字母，即“F”形的为同位角，“Z”形的为内错角，“U”形的为同旁内角，每类角都有一个共同点，即：有两条边在截线上，另外两条边在被截直线上．
一、识别同位角、内错角、同旁内角
1．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠2与∠9，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．
(第1题)
【解析】：∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠7 ( http: / / www.21cnjy.com )是同位角，∠1与∠BAD是同旁内角，∠2与∠9没有特殊的位置关系，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角．
二、从复杂图形中找同位角、内错角、同旁内角
2．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．
(第2题)
【解析】：(1)当直线AB ( http: / / www.21cnjy.com )，BE被AC所截时，所得到的内错角有：∠BAC与∠ACE，∠BCA与∠FAC；同旁内角有：∠BAC与∠BCA，∠FAC与∠ACE.
(2)当AD，BE被AC所截时，内错角有：∠ACB与∠CAD；同旁内角有：∠DAC与∠ACE.
(3)当AD，BE被BF所截时，同位角有：∠FAD与∠B；同旁内角有：∠DAB与∠B.
(4)当AC，BE被AB所截时，同位角有：∠B与∠FAC；同旁内角有：∠B与∠BAC.
(5)当AB，AC被BE所截时，同位角有：∠B与∠ACE，同旁内角有：∠B与∠ACB.
3) 常见辅助线的作法
在解决平行线的问题时，当无法直接得到角 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．
一、加截线(连接两点或延长线段)
1．如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系？并说明理由．
(第1题)
【解析】：∠BFE＝∠FEC.
理由一：连接BC，如图①.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠BCD－∠DCE，
即∠FBC＝∠ECB.
∴BF∥CE(内错角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT92.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT92.tif" \* MERGEFORMAT
(第1题)
理由二：延长AB，CE相交于点G，如图②.
∵AB∥CD，∴AG∥CD.
∴∠DCE＝∠G(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠ABF＝∠DCE，
∴∠ABF＝∠G.
∴BF∥CG(同位角相等，两直线平行)．
∴∠BFE＝∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数．
(第2题)
【解析】：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.∵AB∥CD，∴PN∥CD.
∴∠4＝∠2＝25°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.
∴∠BPC＝∠3＋∠4＝57°.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\AB.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/AB.tif" \* MERGEFORMAT (第2题)
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.
∵AB∥PM，
∴∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.∴∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°.
方法三：连接BC，略。
方法四：延长BP交CD于M（或延长CP交AB于N），略。
b．“”形图
3．如图，已知AB∥CD，请你猜想一下∠B＋∠BED＋∠D的度数，并说明理由．
(第3题)
【解析】：∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由如下：
理由一：如图①，过E作EF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT95.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT95.tif" \* MERGEFORMAT (第3题)
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵EF∥AB，∴∠B＋∠1＝180°.
∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝180°＋180°＝360°，
即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
理由二：如图②，过E作EF∥AB.
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF(两直线平行，内错角相等)．
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF.
又∠BED＋∠BEF＋∠DEF＝360°，
∴∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
(第4题)
【解析】：∠BCD＝∠B－∠D.
理由：如图，过点C作CF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\mn15.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/mn15.tif" \* MERGEFORMAT (第4题)
∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF(等式的性质)．
∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，
∴∠BCD＝∠B－∠D.
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝72°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．
(第5题)
【解析】：如图，过点C作CF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT96.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT96.tif" \* MERGEFORMAT (第5题)
∵AB∥CF，
∴∠BCF＝∠B＝72°.
∵AB∥CF，AB∥DE，
∴CF∥DE.
∴∠CDE＋∠DCF＝180°.
∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－140°＝40°.
∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝72°－40°＝32°.
三、 平行线间多折点角度问题探究
6．(1)如图①，AB∥CD，则∠BEF＋∠FGD与∠B＋∠EFG＋∠D有何关系？并说明理由．
(2)如图②，若AB∥CD，又能得到什么结论？
(第6题)
【解析】：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.
理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，
如图，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，
所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.
因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\GT97.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/GT97.tif" \* MERGEFORMAT
(第6题)
(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.
4) 几何计数的四种常用方法
1.对于几何中的计数问题，掌握一定 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法能够让我们准确、高效地得出结果，常见的计数方法有：按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数．
2．计数的原则是不重复、不遗漏．
一、按顺序计数问题
1．如图，两条直线相交于一点O，则图中共有( )对邻补角．
(第1题)
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】：C
2．在同一平面内有A，B，C，D，E五个点，以其中任意两点画直线最多有________条．
【解析】：1021·世纪*教育网
二、 按画图计数问题
3．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？
【解析】：图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．【来源：21cnj*y.co*m】
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY2.tif" \* MERGEFORMAT
4．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
【解析】：
三、按基本图形计数问题
5．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？
(第5题)
【解析】：此题可以按基本图形进行计 ( http: / / www.21cnjy.com )数，以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
四、按从特殊到一般的思想方法计数问题
6．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．
(第6题)
(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；
……
(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；
(5)根据探究结果，求2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
【解析】：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n－1)
(5)当2 016条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 016×(2 016－1)＝2 016×2 015＝4 062 240.21cnjy.com
7．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？
【解析】：画图如下：
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY11.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY11.tif" \* MERGEFORMAT (第7题)
列表如下：
直线条数 1 2 3 4 … n …
平面最多被分成的部分数 2 4 7 11 … …
当n＝1时，平面被分成2个部分；
当n＝2时，增加2个，分成2＋2＝4(个)部分；
当n＝3时，增加3个，分成2＋2＋3＝7(个)部分；
当n＝4时，增加4个，分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…；
所以n条直线分成2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝(个)部分．
5) 活用判定两直线平行的六种方法
1.直线平行的判定方法很多，我们要根据图形的特征和已知条件灵活选择方法．
2．直线平行的判定常结合角平分线、对顶角、邻补角、垂直等知识．
3．直线平行的判定和性质常常结合在一起，解决有关角度的计算或证明角相等等问题．
一、利用平行线的定义
1．下面几种说法中，正确的是( )
A．同一平面内不相交的两条线段平行
B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行
D．以上三种说法都不正确
【解析】：C
二、利用“同平行于第三条直线的两直线平行”
2．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF.
(第2题)
【解析】：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝ ( http: / / www.21cnjy.com )25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.因为∠B＝25°，∠E＝10°，所以∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN.所以AB∥CM，EF∥ND.又因为∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，所以∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.所以∠DCM＝∠CDN.所以CM∥ND.所以AB∥EF.
三、利用“同垂直于第三条直线的两直线平行(在同一平面内)”
3．如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，DE∥CA，CE平分∠ACB，试说明∠EDF＝∠BDF.21世纪教育网版权所有
(第3题)
【解析】：∵DF⊥AB，CE⊥AB，∴DF∥CE.
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC.
∵DE∥CA，∴∠DEC＝∠ACE.
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠DCE.
∴∠DCE＝∠DEC.
∴∠EDF＝∠BDF.
四、利用“同位角相等，两直线平行”
4．(探究题)如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．2·1·c·n·j·y
(第4题)
【解析】：EC∥DF，理由如下：
∵∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠ECB.
又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.
∴EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．
五、利用“内错角相等，两直线平行”
5．如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3，说明AB∥CD.
(第5题)
∵CB平分∠ACD，∴∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴AB∥CD.
六、利用“同旁内角互补，两直线平行”
6．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
(第6题)
【解析】：AB∥CD，理由如下：
如图，延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．
因为∠BEC＝95°，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )∠CEF＝180°－95°＝85°.又因为∠DCE＝35°，所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.又因为∠ABE＝120°，所以∠ABE＋∠BFC＝180°.所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．【来源：21·世纪·教育·网】
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY18.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY18.tif" \* MERGEFORMAT (第6题)
6) 思想方法荟萃
1.本章体现的主要方法有：基本图形(添加辅助线)法、分离图形法、平移法．
2．几种主要的数学思想：方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．
一、基本图形(添加辅助线)法
1．已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．
(第1题)
【解析】：∠APC＝∠PCD－∠PAB.
理由如下：如图，过点P作PE∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY19.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY19.tif" \* MERGEFORMAT
(第1题)
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.
∴∠PAB＋∠APE＝180°，∠PCD＋∠CPE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠APE＝180°－∠PAB，∠CPE＝180°－∠PCD.
∴∠APC＝∠APE－∠CPE＝(180°－∠PAB)－(180°－∠PCD)＝∠PCD－∠PAB.
二、分离图形法
2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？
(第2题)
【解析】：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角．21*cnjy*com
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY20.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY20.tif" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\MN16.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/MN16.tif" \* MERGEFORMAT
(第2题)
三、平移法
3．如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的小路(阴影部分)，余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？www-2-1-cnjy-com
(第3题)
【解析】：
(第3题)
如图，把小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是长方形．
∵ CF＝32－2＝30(m)，CG＝20－2＝18(m)，∴长方形EFCG的面积＝30×18＝540(m2)．
答：绿化的面积为540 m2.
四、转化思想
4．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE.
(第4题)
【解析】：如图，过点E作EF∥AB.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY30.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY30.tif" \* MERGEFORMAT (第4题)
∵AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠DEF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．
又∠D＝∠2，
∴∠DEF＝∠2(等量代换)．
同理可得∠BEF＝∠1.
又∵∠1＋∠2＋∠BEF＋∠DEF＝180°(平角定义)，
∴∠1＋∠2＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED＝90°.∴BE⊥DE.
五、数形结合思想
5．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.www.21-cn-jy.com
(第5题)
【解析】：由对顶角相等，
得∠CNF＝∠END.
又∠CNF＋∠BMN＝180°，
所以∠END＋∠BMN＝180°.
所以AB∥CD.
因为∠EMB＋∠BMN＝180°，
所以∠EMB＝∠END.
又因为∠1＝∠2，
所以∠END＋∠2＝∠EMB＋∠1，
即∠ENQ＝∠EMP.所以MP∥NQ.
六、分类讨论思想
6．如图，已知直线l1∥ ( http: / / www.21cnjy.com )l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
(第6题)
【解析】：当点P在C，D之间时，过P点作PE∥AC，则PE∥BD，如图①.
∵PE∥AC, ∴∠APE＝∠1(两直线平行，内错角相等)．
∵PE∥BD，∴∠BPE＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵∠2＝∠APE＋∠BPE，
∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点C重合时，∠1＝0°，如图②.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\15下典中点7ZJ\\YY31.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../七下zj课件制作资料/word/15下典中点7ZJ%20%20pdf+word/YY31.tif" \* MERGEFORMAT (第6题)
∵l1∥l2(已知),
∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝0°， ∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点D重合时，∠3＝0°，如图③.
∵l1∥l2(已知)，
∴∠2＝∠1(两直线平行，内错角相等)．
∵∠3＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.
综上所述，当点P在线段CD上运动时，∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3.
三、课后巩固
一、选择题
1. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（ ）
（A）10°. （B）15°. （C）20°. （D）25°.
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【解析】：D
2. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
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【解析】：B
A． 65° B． 70° C． 75° D． 80°
3. 如图，∠1与∠2是（ ）
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【解析】：B
A． 对顶角 B． 同位角 C． 内错角 D． 同旁内角
4. 如图，已知a//b,则（）
A． B. C. D.
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【解析】：C
5. 如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）．
(A) ∠2； (B) ∠3； (C) ∠4； (D) ∠5．
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【解析】：A
6. 如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点EF，过点F作FG⊥FE，交直线AB于点G．若
∠1=42°，则∠2的大小是（ ）
A．56° B．48° C．46° D．40°
【解析】：B
7. 如图4，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，若∠AEF＝50°，则∠EFC的大小是（ ）21教育网
A、40° B、50° C、120° D、130°
【解析】：D
8. 如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1=25°，则∠2的度数为（ ）21·cn·jy·com
A.115° B.125° C.155° D.165°
【解析】：A
9. 如图所示，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠1=50°，则∠AEF等于( )
A.110° B.115° C.120° D.130°
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【解析】：B
二、填空题
10. 如图所示，AB∥CD，∠D=27°，∠E=36°，则∠ABE的度数是 ．
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【解析】：63°
11. 如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1+∠2的度数是 ．
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【解析】：180°
12. 如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，∠1=35°，则∠2= .
【解析】：55°
13. 如图，直线a//b,n直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50 °，则∠2= °.2-1-c-n-j-y
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【解析】：40°
14. 如图，直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1 =70°，那么∠3的度数是 .
【解析】：70°
15. 如图，直线，被所截，若∥，，，则__________度．
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【解析】：80°
16. 如图，直线∥，一个含有30°角的直角三角板放置在如图所示的位置，若，则 ．【出处：21教育名师】
【解析】：36°
17. 如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是 ．
【解析】：55°【版权所有：21教育】
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18. 某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白部分为两条宽度均为2米的小路，则草地的实际面积 ． 21教育名师原创作品
【解析】：128
三、解答题
19. 已知：如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2.
求证：∠E=∠F．
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【解析】：证明：∵∠BAP+∠APD=180°，
∴AB∥CD.∴∠BAP=∠APC.
又∵∠1=∠2,
∴∠BAP ∠1=∠APC ∠2，即∠EAP=∠APF，
∴AE∥FP.∴∠E=∠F.
20. 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，试说明：∠1=∠2．
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【解析】：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已 ( http: / / www.21cnjy.com )知），
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠3=∠C（已知），
∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）．21*cnjy*com
21. 已知，如图∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？为什么？
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【解析】：∵CF⊥DF，
∴∠CFD= ( http: / / www.21cnjy.com )90°．
∵∠1+∠CFD+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90．
∵∠1与∠D互余，
∴∠1+∠D=90°，
∴∠2=∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
22. 如图所示，BC为固定的木条 ( http: / / www.21cnjy.com )，且BC=a，AB，AC为可伸缩的橡皮筋．当点A在与BC平行的轨道MN上滑动时（MN与BC的距离为b），你能说明△ABC的面积将如何变化吗？请说明你的理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】：设△ABC的边BC上的高为b．
∵轨道与BC平行，即MN∥BC，
而两平行线间的距离处处相等，
∴MN与BC之间的距离不变，即△ABC中BC边上的高b不变．根据S△ABC= ab可知，△ABC的面积保持不变．
23. 如图，已知E、A、B三点在同一直线上，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=50°，求∠EAD，∠DAC，∠C的度数．
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【解析】：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B=50°，
又AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC=∠EAD=50°，
又AD∥BC，
∴∠C=∠DAC=50°．
24. 如图，电讯公司在由西向东埋设 ( http: / / www.21cnjy.com )通讯电缆线，他们从点A埋设到点B时突然发现碰到了一个具有研究价值的古墓，不得不改变方向绕开古墓，结果改为沿南偏东40°方向埋设到点O，再沿古墓边缘埋设到点C处，测∠BOC=60°．现要恢复原来的正东方向CD，则∠OCD应等于多少度？
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【解析】：过点O作OE∥BM，过点C作 ( http: / / www.21cnjy.com )CF∥BM，则BM∥EO∥CF，
由沿南偏东40°方向埋设到点O可知，∠MBO=40°，
∵BM∥EO∥CF，
∴∠BOE=∠MBO=40°，
又∵∠BOC=60°，
∴∠EOC=∠OCF=20°，
∴∠OCD=∠OCF+∠DCF=110°．
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