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第9讲 乘法公式
一、知识回顾
一、平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差. 简记:（a＋b）（a－b）﹦a2－b221*cnjy*com
（1）这个公式叫做（乘法的）.
（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；
（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.
二、完全平方公式
两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
即两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
两数差的完全平方公式：（a- b）2＝a2- 2ab＋b2
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
2、 经典例题
一、平方差公式
例1. 运用平方差公式计算(5x＋3y)(5x－3y)的结果是( B )
A．25x－9y B．25x2－9y2
C．25x2－3y2 D．25x－3y
例2. 下列计算正确的是 ( B )
A．(1－x)(1＋x)＝x2－1
B．(x＋3y)(x－3y)＝x2－9y2
C． (2x－y)(－2x－y)＝4x2－y2
D．(2b＋3a)(2b－3a)＝4b2－3a2
例3. 用平方差公式计算2013×2011正确的是( A )
A．(2012＋1)×(2012－1)
B．(2012＋1)×(2013－2)
C．(2011＋2)×(2012－1)
D．(2010＋3)×(2010＋1)
例4. 与(5a－b)的积等于b2－25a2的因式为( C )
A．5a－b B．5a＋b C．－5a－b D．b－5a
例5. 计算：(b＋2)(b－2)＝_ b2－4_ __；
(3a＋2b)(2b－3a)＝_4b2－9a2_ __．
(x－2y)(－x－2y)＝_4y2－x2_ __．
例6. 计算：(1)98×102＝__9996 __．
(2)10×9＝_99_ _ ．
例7. 已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2= 12 ．
例8. 将图3－4－1甲中阴影部分的小长方形变换 ( http: / / www.21cnjy.com )到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是__ (a＋b)(a－b)＝a2－b2__．
( http: / / www.21cnjy.com )
图3－4－1
例9. 计算：（3+a）（3﹣a）+a2
解：9
例10. 运用平方差公式计算：
(1)31×29； (2)498×502.
解：(1)31×29＝(30＋1)×(30－1)＝900－1＝899；
(2)498×502＝(500－2)×(500＋2)
＝5002－22＝249996.
例11. 计算：
(1)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)；
(2)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)．
(3)计算：3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)．
解：(1)原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.
(2)原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)
＝(a4－b4)(a4＋b4)
＝a8－b8.
(3)原式＝3x2＋6－3(x2—1) ＝3x2＋6－3x2＋3＝9.
例12. 先化简，再求值
(1) a(a＋1)－(a＋1)(a－1)，其中a＝3.
(2) (a＋b)(a－b)＋b(b－2)，其中a＝2，b＝1.
解：(1)原式＝a2＋a－(a2－1)＝a2＋a－a2＋1＝a＋1.
当a＝3时，原式＝3＋1＝4.
(2)原式＝a2－b2＋b2－2b＝a2－2b.
当a＝2，b＝1时，原式＝22－2×1＝2.
例13. 街心花园有一块边长为a m的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2 m，而东西向要缩短2 m，问改造后的长方形草坪的面积是多少？2-1-c-n-j-y
解：依题意得(a＋2)(a－2)＝a2－4(m2)．
答：改造后的长方形草坪的面积为(a2－4)m2.
二、完全平方公式
例14. 计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为 ( D )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
例15. 计算(3m＋5)(－3m－5)的结果为 ( C )
A．9m2－25 B．－9m2－25
C．－9m2－30m－25 D．－9m2＋30m－25
例16. 下列计算正确的是 （ A ）
A．2x﹣x=x B．a3 a2=a6
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2+b2
例17. 已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ C ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
例18. 如图3－4－4，从边长为(a＋4) cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm的小正方形(a>0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为 ( D )
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图3－4－4
A．(2a2＋5a) cm2 B．(3a＋15) cm2
C．(6a＋9) cm2 D．(6a＋15) cm2
例19. 计算： (2a－b)2＝__4a2－4ab＋b2 __；
例20. 计算：(3x＋4y)2＝_9x2＋24xy＋16y2_ __；
例21. 化简：(a＋1)2－(a－1)2＝__4a __．
例22. 已知a－b＝1，ab＝6，则a2＋b2＝__ 13 __．
例23. 观察等式：①9－1＝2×4，②25－1＝4×6，③49－1＝6×8，…按照这种规律写出第n个等式： _(2n＋1)2－1＝2n(2n＋2)_ __．
例24. 化简：(x＋1)2－x(x＋2)．
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－2x＝1.
例25. 先化简，再求值：－b2，其中a＝－2，b＝3.
解：原式＝4a2－4ab＋b2－b2＝4a2－4ab.
将a＝－2，b＝3代入上式，得
原式＝4×(－2)2－4×(－2)×3＝16＋24＝40.
例26. 已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2.
解：A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2[]
＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)
＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2＝8xy.
例27. 求值： (1)已知x ＋ y＝－5 ，xy＝6，求x2 ＋y2的值．
(2)已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，求m2＋n2的值．
解：(1)值为__13__
(2)值为__5__
例28. 求值：(1)已知ab＝－1，a＋b＝2，求代数式＋的值．
(2)已知x＋＝3，求代数式x2＋ 的值
解：(1) 值为－6_
(2) 值为__7__.
三、课堂拓展
一、选择题
1. 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
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A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2 D．a2﹣ab=a（a﹣b）
2. 下列式子是完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab﹣b2 B．a2+2a+1
C．a2+ab+b2 D．a2+2a﹣1
3. 若a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，则a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4. 已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．a2 B．a2+b2 C．a2+2ab+b2 D．a2+ab+b2
5. 如图，从边长为（a+1）c ( http: / / www.21cnjy.com )m的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
二．填空题
6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的 ( http: / / www.21cnjy.com )小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （填写序号）．21教育网
①（a+b）2=a2+2ab+b2②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．
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7. 若代数式x2﹣（a﹣2）x+9是一个完全平方式，则a= ．
8. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘 ( http: / / www.21cnjy.com )人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．
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（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ a2b2+ ab2+b4
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期 ．【来源：21·世纪·教育·网】
9. 利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1= ．
10. 一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为 cm．
11. 已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2=0，设M=x2﹣xy+y2，则M的取值范围是 ．
三．解答题
12. 计算：（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）．
13. 用乘法公式计算：（1）59.8×60.2；（2）1982．
14. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
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（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
15. 请阅读下面解题过程：
已知实数a、b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，求a﹣b的值．
解：因为a+b=8，ab=15，
所以：（a﹣b）2=a2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )2ab+b2=a2+2ab+b2﹣4ab=（a+b）2﹣4ab=82﹣4×15=4因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以a﹣b=2．21·cn·jy·com
请利用上面的解法，解答下面的问题．
已知实数x满足x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，且x＜0，求x+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
16. 已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求x2+y2与xy的值．
17. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．2·1·c·n·j·y
例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积 ( http: / / www.21cnjy.com )不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
18. 阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…
（1）（1﹣x）（ ）=1﹣x8
（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）= ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）= ．
②1+2+22+23+24+…+22007= ．
19. 在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
① ② ③ ④
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达： ．
（3）利用（2）的结论计算992+198+1的值．
20. 乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重 ( http: / / www.21cnjy.com )新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；21教育名师原创作品
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 ；
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8，②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．
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四、课后巩固
一．选择题
1. 若a+b=﹣1，则a2+b2+2ab的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
2. 下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）=a2﹣2b2 D．（﹣a+b）2=a2﹣2ab+b2
3. 计算（a+1）（a﹣1）（a2+1）（a4+1）的结果是（ ）
A．a8﹣1 B．a8﹣a4+1
C．a8﹣2a4+1 D．以上答案都不对
4. 如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：
①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）； ④（a﹣b）2．
其中正确的表示方法有（ ）
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A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
5. 若4x2﹣2（k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±2 B．±5 C．7或﹣5 D．﹣7或5
二．填空题
6. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的公式为 ．【出处：21教育名师】
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7. 若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m= ．
8. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形（a＞b）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是 ．【版权所有：21教育】
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9. 已知x2+mx+9是完全平方式，则常数m等于 ．
10. 如图，矩形ABCD的周长是20cm， ( http: / / www.21cnjy.com )以AB、AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是 cm2．
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11. 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞ ( http: / / www.21cnjy.com )n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ．
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12. 利用图形中面积的等量关系可以得 ( http: / / www.21cnjy.com )到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是 ．
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13. （﹣2m+3）（ ）=4m2﹣9，（﹣2ab+3）2= ．
14. 若a+b=5，ab=6，则a2+b2= ．
三．解答题
15. 某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：21*cnjy*com
3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=162﹣1=255．
请借鉴该同学的经验，计算： ( http: / / www.21cnjy.com )．
16. 20112﹣2010×2012（用简便方法计算）
17. 已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
18. 王明和李玲玩纸片拼图游戏，发现利用图① ( http: / / www.21cnjy.com )中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式：
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图①所示的 块， 块， 块．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案，指出以下关系式：
（1）xy= ( http: / / www.21cnjy.com )（2）x+y=m（3）x2﹣y2=m n（4）x2+y2= ( http: / / www.21cnjy.com )
其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个．
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19. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与 ( http: / / www.21cnjy.com )小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
20. 观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1，
（1）根据前面各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）= （其中n为正整数）．
（2）根据（1）求1+2+22+23+…+262+263的值，并求出它的个位数字．
21. 用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；
（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
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22. 已知ab=9，a﹣b=﹣3，求a2+3ab+b2的值．
23. a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），以b为边长作正方形，分别以c、a为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？为什么？
24. 有一系列等式：
1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
25. 下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如：
（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数．
（a+b）=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+ a3b+ a2b2+ ab3+b4．
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26. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．
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27. 已知a+b=3，ab=﹣12，求下列各式的值．
（1）a2﹣ab+b2
（2）（a﹣b）2．
28. 已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．
29. 将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程．
30. 请先观察下列算式，再填空：
32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．
①72﹣52=8× ；
②92﹣（ ）2=8×4；
③（ ）2﹣92=8×5；
④132﹣（ ）2=8× ；
…
（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．
（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
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第9讲 乘法公式
一、知识回顾
一、平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差. 简记:（a＋b）（a－b）﹦a2－b221*cnjy*com
（1）这个公式叫做（乘法的）.
（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；
（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.
二、完全平方公式
两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
即两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。
两数差的完全平方公式：（a- b）2＝a2- 2ab＋b2
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
2、 经典例题
一、平方差公式
例1. 运用平方差公式计算(5x＋3y)(5x－3y)的结果是( B )
A．25x－9y B．25x2－9y2
C．25x2－3y2 D．25x－3y
例2. 下列计算正确的是 ( B )
A．(1－x)(1＋x)＝x2－1
B．(x＋3y)(x－3y)＝x2－9y2
C． (2x－y)(－2x－y)＝4x2－y2
D．(2b＋3a)(2b－3a)＝4b2－3a2
例3. 用平方差公式计算2013×2011正确的是( A )
A．(2012＋1)×(2012－1)
B．(2012＋1)×(2013－2)
C．(2011＋2)×(2012－1)
D．(2010＋3)×(2010＋1)
例4. 与(5a－b)的积等于b2－25a2的因式为( C )
A．5a－b B．5a＋b C．－5a－b D．b－5a
例5. 计算：(b＋2)(b－2)＝_ b2－4_ __；
(3a＋2b)(2b－3a)＝_4b2－9a2_ __．
(x－2y)(－x－2y)＝_4y2－x2_ __．
例6. 计算：(1)98×102＝__9996 __．
(2)10×9＝_99_ _ ．
例7. 已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2= 12 ．
例8. 将图3－4－1甲中阴影部分的小长方形变换 ( http: / / www.21cnjy.com )到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是__ (a＋b)(a－b)＝a2－b2__．
( http: / / www.21cnjy.com )
图3－4－1
例9. 计算：（3+a）（3﹣a）+a2
解：9
例10. 运用平方差公式计算：
(1)31×29； (2)498×502.
解：(1)31×29＝(30＋1)×(30－1)＝900－1＝899；
(2)498×502＝(500－2)×(500＋2)
＝5002－22＝249996.
例11. 计算：
(1)(a＋2b)(a－2b)－b(a－8b)；
(2)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)．
(3)计算：3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)．
解：(1)原式＝a2－4b2－ab＋4b2＝a2－ab.
(2)原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4)
＝(a4－b4)(a4＋b4)
＝a8－b8.
(3)原式＝3x2＋6－3(x2—1) ＝3x2＋6－3x2＋3＝9.
例12. 先化简，再求值
(1) a(a＋1)－(a＋1)(a－1)，其中a＝3.
(2) (a＋b)(a－b)＋b(b－2)，其中a＝2，b＝1.
解：(1)原式＝a2＋a－(a2－1)＝a2＋a－a2＋1＝a＋1.
当a＝3时，原式＝3＋1＝4.
(2)原式＝a2－b2＋b2－2b＝a2－2b.
当a＝2，b＝1时，原式＝22－2×1＝2.
例13. 街心花园有一块边长为a m的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2 m，而东西向要缩短2 m，问改造后的长方形草坪的面积是多少？2-1-c-n-j-y
解：依题意得(a＋2)(a－2)＝a2－4(m2)．
答：改造后的长方形草坪的面积为(a2－4)m2.
二、完全平方公式
例14. 计算(x＋2)2的结果为x2＋□x＋4，则“□”中的数为 ( D )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
例15. 计算(3m＋5)(－3m－5)的结果为 ( C )
A．9m2－25 B．－9m2－25
C．－9m2－30m－25 D．－9m2＋30m－25
例16. 下列计算正确的是 （ A ）
A．2x﹣x=x B．a3 a2=a6
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2+b2
例17. 已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ C ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
例18. 如图3－4－4，从边长为(a＋4) cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm的小正方形(a>0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为 ( D )
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图3－4－4
A．(2a2＋5a) cm2 B．(3a＋15) cm2
C．(6a＋9) cm2 D．(6a＋15) cm2
例19. 计算： (2a－b)2＝__4a2－4ab＋b2 __；
例20. 计算：(3x＋4y)2＝_9x2＋24xy＋16y2_ __；
例21. 化简：(a＋1)2－(a－1)2＝__4a __．
例22. 已知a－b＝1，ab＝6，则a2＋b2＝__ 13 __．
例23. 观察等式：①9－1＝2×4，②25－1＝4×6，③49－1＝6×8，…按照这种规律写出第n个等式： _(2n＋1)2－1＝2n(2n＋2)_ __．
例24. 化简：(x＋1)2－x(x＋2)．
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－2x＝1.
例25. 先化简，再求值：－b2，其中a＝－2，b＝3.
解：原式＝4a2－4ab＋b2－b2＝4a2－4ab.
将a＝－2，b＝3代入上式，得
原式＝4×(－2)2－4×(－2)×3＝16＋24＝40.
例26. 已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2.
解：A2－B2＝(2x＋y)2－(2x－y)2[]
＝(4x2＋4xy＋y2)－(4x2－4xy＋y2)
＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋4xy－y2＝8xy.
例27. 求值： (1)已知x ＋ y＝－5 ，xy＝6，求x2 ＋y2的值．
(2)已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，求m2＋n2的值．
解：(1)值为__13__
(2)值为__5__
例28. 求值：(1)已知ab＝－1，a＋b＝2，求代数式＋的值．
(2)已知x＋＝3，求代数式x2＋ 的值
解：(1) 值为－6_
(2) 值为__7__.
三、课堂拓展
一、选择题
1. 在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
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A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2 D．a2﹣ab=a（a﹣b）
【解答】解：左阴影的面积s=a2﹣b2，右平行四边形的面积s=2（a+b）（a﹣b）÷2=（a+b）（a﹣b），
两面积相等所以等式成立a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．这是平方差公式．故选：A．
2. 下列式子是完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab﹣b2 B．a2+2a+1
C．a2+ab+b2 D．a2+2a﹣1
【解答】选B
3. 若a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，则a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【解答】解：∵a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
∴（a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=22，∴a2﹣2a ( http: / / www.21cnjy.com )+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=4，
∴a2﹣2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4，∴a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=6．故选D．
4. 已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ）
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A．a2 B．a2+b2 C．a2+2ab+b2 D．a2+ab+b2
【解答】解：图中的正方形的边长为a+b，
∴最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2．故选：C．
5. 如图，从边长为（a+1）c ( http: / / www.21cnjy.com )m的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm2
【解答】解：矩形ABCD的面积是S正方形EFGH﹣S正方形HQNM
=（a+1）2﹣（a﹣1）2=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1）=4a（cm2），
故选C．
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二．填空题
6. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的 ( http: / / www.21cnjy.com )小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ③ （填写序号）．21教育网
①（a+b）2=a2+2ab+b2②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．
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【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故可以验证③．
7. 若代数式x2﹣（a﹣2）x+9是一个完全平方式，则a= 8或﹣4 ．
【解答】解：∵代数式x2﹣（a﹣2）x+9是一个完全平方式，
∴﹣（a﹣2）x=±2 x 3，
解得：a=8或﹣4，
故答案为：8或﹣4．
8. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘 ( http: / / www.21cnjy.com )人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．
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（1）请仔细观察，填出（a+b）4的展开式中所缺的系数．（a+b）4=a4+4a3b+ 6 a2b2+ 4 ab2+b4
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过814天是星期 四 ．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b4，
故答案为：6，4；
（2）∵814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，
∴814除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四，
9. 利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1= 216 ．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=216．
10. 一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为 5 cm．
【解答】解：设原来正方形的边长是xcm．根据题意得：
（x+3）2﹣x2=39，
∴（x+3+x）（x+3﹣x）=3（2x+3）=39，解得x=5．
11. 已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2=0，设M=x2﹣xy+y2，则M的取值范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )≤M≤6 ．
【解答】解：由x2+xy+y2﹣2=0得：x2+2xy+y2﹣2﹣xy=0，
即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥﹣2；
由x2+xy+y2﹣2=0得：x2﹣2xy+y2﹣2+3xy=0，
即（x﹣y）2=2﹣3xy≥0，所以xy≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴﹣2≤xy≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴不等式两边同时乘以﹣2得：
（﹣2）×（﹣2）≥﹣2xy≥ ( http: / / www.21cnjy.com )×（﹣2），即﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )≤﹣2xy≤4，
两边同时加上2得：﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+2≤2﹣2xy≤4+2，即 ( http: / / www.21cnjy.com )≤2﹣2xy≤6，
∵x2+xy+y2﹣2=0，∴x2+y2=2﹣xy，
∴M=x2﹣xy+y2=2﹣2xy，
则M的取值范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )≤M≤6．
三．解答题
12. 计算：（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）．
【解答】解：（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）
=[a﹣（2b﹣3c）][a+（2b﹣3c）]
=a2﹣（2b﹣3c）2
=a2﹣（4b2﹣12bc+9c2）
=a2﹣4b2+12bc﹣9c2．
13. 用乘法公式计算：（1）59.8×60.2；（2）1982．
【解答】（1）59.8×60.2=（60﹣0.2）（60+0.2）=602﹣0.22=3599.96；21世纪教育网版权所有
（2）1982=（200﹣2）2=2002﹣2×200×2+22=39204．
14. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
【解答】解：（1）如图，
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
=25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5=（2﹣1）5=1．
( http: / / www.21cnjy.com )
15. 请阅读下面解题过程：
已知实数a、b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，求a﹣b的值．
解：因为a+b=8，ab=15，
所以：（a﹣b）2=a2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )2ab+b2=a2+2ab+b2﹣4ab=（a+b）2﹣4ab=82﹣4×15=4因为a＞b，所以a﹣b＞0，所以a﹣b=2．21·cn·jy·com
请利用上面的解法，解答下面的问题．
已知实数x满足x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，且x＜0，求x+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：∵x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=8，
∴x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2=8，
∴x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=10，
∴（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2=12，
∴x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=±2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵x＜0，
∴x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
16. 已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求x2+y2与xy的值．
【解答】解：∵（x+y）2=x2+y2+2xy=1①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=49②，
∴①+②得：2（x2+y2）=50，即x2+y2=25；
①﹣②得：4xy=﹣48，即xy=﹣12．
17. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．2·1·c·n·j·y
例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积 ( http: / / www.21cnjy.com )不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=20，请求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b） b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )a2= ( http: / / www.21cnjy.com )a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )b2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )ab= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b）2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )ab= ( http: / / www.21cnjy.com )×102﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×20=50﹣30=20．www-2-1-cnjy-com
18. 阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…
（1）（1﹣x）（ 1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7 ）=1﹣x8
（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= 1﹣xn+1 ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）= x11﹣1 ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）= ﹣63 ．
②1+2+22+23+24+…+22007= 22008﹣1 ．
【解答】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）=1﹣x8；
（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）=x11﹣1；
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=﹣63；
②1+2+22+23+24+…+22007=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22007）=22008﹣1．
故答案为：（1）1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7；（2）①1﹣xn+1；②x11﹣1；（3）①﹣63；②22008﹣1．
19. 在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．
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① a2 ② 2ab ③ b2 ④ （a+b）2
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达： a2+2ab+b2=（a+b）2 ．
（3）利用（2）的结论计算992+198+1的值．
【解答】解：（1）a2、2ab、b2、（a+b）2；
（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；
（3）992+198+1=（99+1）2=10000．
故答案为：a2、2ab、b2、（a+b）2；（a+b）2．
20. 乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重 ( http: / / www.21cnjy.com )新拼成一个矩形，它的宽是 a﹣b ，长是 a+b ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）；21教育名师原创作品
（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ；
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.2×9.8，②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．
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【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，
所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（4）①解：原式=（10+0.2）×（10﹣0.2）=102﹣0.22
=100﹣0.04=99.96；
②解：原式=[2m+（n﹣p）] [2m﹣（n﹣p）]，
=（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣n2+2np﹣p2．
四、课后巩固
一．选择题
1. 若a+b=﹣1，则a2+b2+2ab的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵a+b=﹣1，
∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．故选：A．
2. 下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）=a2﹣2b2
D．（﹣a+b）2=a2﹣2ab+b2
【解答】解：A、原式=a2﹣2ab+b2，错误；
B、原式=a2+2ab+b2，错误；
C、原式=a2﹣4b2，错误；
D、原式=a2﹣2ab+b2，正确，
故选D
3. 计算（a+1）（a﹣1）（a2+1）（a4+1）的结果是（ ）
A．a8﹣1 B．a8﹣a4+1
C．a8﹣2a4+1 D．以上答案都不对
【解答】解：（a+1）（a﹣1）（a2+1）（a4+1），
=（a2﹣1）（a2+1）（a4+1）=（a4﹣1）（a4+1）
=a8﹣1．故选A．
4. 如图“L”形的图形的面积有如下四种表示方法：
①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）； ④（a﹣b）2．
其中正确的表示方法有（ ）
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A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【解答】解：如图①，
( http: / / www.21cnjy.com )
图①中，大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，所以整个图形的面积为a2﹣b2；
如图②，
( http: / / www.21cnjy.com )
一个矩形的面积是b（a﹣b），另一个矩形的面积是a（a﹣b），所以整个图形的面积为a（a﹣b）+b（a﹣b）；21cnjy.com
如图③，
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在图③中，拼成一长方形，长为a+b，宽为a﹣b，则面积为（a+b）（a﹣b）．
综上所知：矩形的面积为①a2﹣b2；②a（a﹣b）+b（a﹣b）；③（a+b）（a﹣b）共3种方法正确．故选：C．21·世纪*教育网
5. 若4x2﹣2（k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为（ ）
A．±2 B．±5 C．7或﹣5 D．﹣7或5
【解答】解：∵4x2﹣2（k﹣1）x+9是完全平方式，
∴k﹣1=±6，解得：k=7或﹣5，故选C
二．填空题
6. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的公式为 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ．【出处：21教育名师】
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【解答】解：阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2﹣b2，乙的面积=（a+b）（a﹣b）．
即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
所以验证成立的公式为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
7. 若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m= ﹣1或7 ．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m﹣3）=±8，
解得：m=﹣1或7，故答案为：﹣1或7．
8. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形（a＞b）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ．【版权所有：21教育】
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【解答】解：阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
9. 已知x2+mx+9是完全平方式，则常数m等于 ±6 ．
【解答】解：x2+mx+9=x2+mx+32，
∵x2+mx+9是完全平方式，
∴mx=±2 x 3，
解得：m=±6，
故答案为：±6．
10. 如图，矩形ABCD的周长是20cm， ( http: / / www.21cnjy.com )以AB、AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是 16 cm2．
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【解答】解：设AB=x，AD=y，根据题意，得
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由②得：x+y=10，
由①，得（x+y）2﹣2xy=68，100﹣2xy=68，
∴2xy=100﹣68=32，∴xy=16．
矩形ABCD的面积是16cm2．
11. 图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞ ( http: / / www.21cnjy.com )n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 （m﹣n）2 ．
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【解答】解：图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，∴正方形的边长为：m+n，
∵由题意可得，正方形的边长为（m+n），
正方形的面积为（m+n）2，
∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．
故答案为：（m﹣n）2．
12. 利用图形中面积的等量关系可以得 ( http: / / www.21cnjy.com )到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是 （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 ．
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【解答】解：用两种方法表示出边长为（a﹣b）的正方形的面积为：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
13. （﹣2m+3）（ ﹣2m﹣3 ）=4m2﹣9，（﹣2ab+3）2= 4a2b2﹣12ab+9 ．
【解答】解：（1）4m2﹣9=（﹣2m+3）（﹣2m﹣3），故填（﹣2m﹣3）；
（2）（﹣2ab+3）2=4a2b2﹣12ab+9．故填4a2b2﹣12ab+9．
14. 若a+b=5，ab=6，则a2+b2= 13 ．
【解答】解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=13．
三．解答题
15. 某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：21*cnjy*com
3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=162﹣1=255．
请借鉴该同学的经验，计算： ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：原式=2（1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）+ ( http: / / www.21cnjy.com )=2（1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）+ ( http: / / www.21cnjy.com )=2．
16. 20112﹣2010×2012（用简便方法计算）
【解答】解：原式=20112﹣（2011﹣1）（2011+1）=20112﹣（20112﹣1）=20112﹣20112+1=1．
17. 已知4m+n=90，2m﹣3n=10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
【解答】解：∵4m+n=90，2m﹣3n=10，
∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2
=[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）]
=（4m+n）（3n﹣2m）=﹣900．
18. 王明和李玲玩纸片拼图游戏，发现利用图① ( http: / / www.21cnjy.com )中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式： （a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图①所示的 2 块， 7 块， 3 块．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案，指出以下关系式：
（1）xy= ( http: / / www.21cnjy.com )（2）x+y=m（3）x2﹣y2=m n（4）x2+y2= ( http: / / www.21cnjy.com )
其中正确的有 D
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个．
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【解答】解：（1）图③可以解释为等式是（a+2b）（2a+b）=2a2+ab+4ab+2b2=2a2+5ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2．
（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+7ab+3b2，
故答案为：2，7，3．
（3）∵m2﹣n2=4xy，∴（1）正确；
∵x+y=m，∴（2）正确；
∵x+y=m、x﹣y=n，
∴（x+y）（x﹣y）=mn，即x2﹣y2=m n，故（3）正确；
∵m2+n2=（x+y）2+（x﹣y）2=2x2+2y2=2（x2+y2），
∴（4）正确；故答案为：D．
19. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与 ( http: / / www.21cnjy.com )小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
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【解答】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b） b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )a2= ( http: / / www.21cnjy.com )a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )b2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )ab= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b）2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )ab= ( http: / / www.21cnjy.com )×102﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×20=50﹣30=20．
20. 观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1，
（1）根据前面各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）= xn+1﹣1 （其中n为正整数）．
（2）根据（1）求1+2+22+23+…+262+263的值，并求出它的个位数字．
【解答】解：（1）根据各式的规律可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=xn+1﹣1；
（2）根据各式的规律得：1+2+22+23+…+262+263=（2﹣1）（263+262+…+23+22+2+1）=264﹣1，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，且64÷4=16，
∴264个位上数字为6，
则1+2+22+23+…+262+263的个位数字为5．
故答案为：（1）xn+1﹣1．
21. 用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料（如图1）拼成一个大矩形（如图2）或大正方形（如图3），中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求（如图1）矩形材料的面积；（用含a，b的代数式表示）
（2）通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；
（3）根据（如图4），利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式．
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【解答】解：（1）S=长×宽=ab；
（2）根据图形可得：矩形的长=（2b+a），宽=a；正方形的边长=a+b，矩形的面积=2ab+a2，正方形的面积=a2+2ab+b2，
正方形面积﹣矩形的面积=b2，∴正方形的面积大；
（3）根据图形可得：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．
22. 已知ab=9，a﹣b=﹣3，求a2+3ab+b2的值．
【解答】解：∵ab=9，a﹣b=﹣3，
∴a2+3ab+b2=a2﹣2ab+b2+5ab=（a﹣b）2+5ab=9+45=54．
23. a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），以b为边长作正方形，分别以c、a为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？为什么？
【解答】解：以b为边长的正方形面积大．
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∵a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），
∴a=b﹣1，c=b+1，
∴以c、a为长和宽作长方形的面积为ac=（b﹣1）（b+1）=b2﹣1，∴b2﹣1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大．
24. 有一系列等式：
1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2
2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2
3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2
4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2
…
（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 892
（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．
【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；
故答案为：892；
（2）依此类推：n（n+1）（n+2） ( http: / / www.21cnjy.com )（n+3）+1=（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，
等式右边=（n2+3n+1）2=（n2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1）2+2 3n （n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，
左边=右边．
25. 下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如：
（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数．
（a+b）=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+ 4 a3b+ 6 a2b2+ 4 ab3+b4．
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【解答】解：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：4，6，4．
26. 请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．
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【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：
a2+b2或 （a+b）2﹣2ab；
（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；
（3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，
∴①（a+b）2=a2+b2+2ab=53+2×14=81∴a+b=±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a+b=9．
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②∵a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b），
且∴a﹣b=±5
又∵a＞b＞0，
∴a﹣b=5，
∴a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b）=53×9×5=2385．
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27. 已知a+b=3，ab=﹣12，求下列各式的值．
（1）a2﹣ab+b2
（2）（a﹣b）2．
【解答】解：（1）将a+b=3两边平方得：（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵ab=﹣12，
∴a2﹣24+b2=9，即a2+b2=33，则a2﹣ab+b2=33+12=45；
（2）∵a2+b2=33，ab=﹣12，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=33+24=57．
28. 已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．
【解答】解：∵（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，
∴x2+y2+2xy=18，x2+y2﹣2xy=6，
两式相加得，2（x2+y2）=24，∴x2+y2=12；
两式相减得，4xy=12，∴xy=3．
29. 将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方．则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程．www.21-cn-jy.com
【解答】解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是
添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；
添加﹣4x，得4x2+1﹣4x=（2x﹣1）2；
添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；
添加﹣4x2，得4x2+1﹣4x2=12；
添加﹣1，得4x2+1﹣1=（2x）2．
30. 请先观察下列算式，再填空：
32﹣12=8×1，52﹣32=8×2．
①72﹣52=8× ；
②92﹣（ ）2=8×4；
③（ ）2﹣92=8×5；
④132﹣（ ）2=8× ；
…
（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．
（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
【解答】解：
①3；
②7；
③11；
④11，6．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式可变为（n+2+n）（n+2﹣n）=（n+2）2﹣n2=4n+4=8× ( http: / / www.21cnjy.com )（n+2+n）=8× ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
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