2.5 三元一次方程组及其解法同步练习

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2.5三元一次方程组及其解法同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
2. 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．三元一次方程组 的解是（　　）
A. B. C. D.
2．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（　　）
A. 11支 B．9支 C．7支 D．4支
3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是(　 　)
A. 要消去z，先将①＋②，再将①×2＋③ B. 要消去z，先将①＋②，再将①×3－③
C. 要消去y，先将①－③×2，再将②－③ D. 要消去y，先将①－②×2，再将②＋③
4．如果，其中xyz≠0，那么x：y：z=（　　）
A. 1：2：3 B. 2：3：4 C. 2：3：1 D. 3：2：1
5．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时订这三种客房共8间，且每个客房都住满，那么订房方案有( )
A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种
6．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两顶点上的数加起来，将和写在这条边上，已知AB边上的数是3，BC边上的数是7，CD边上的数是12，则AD边上的数是( )
A. 2 B. 7 C. 8 D. 15
7．如图，在某张桌子上放相同的木块，R=34，S=92，则桌子的高度是（　　）
A. 63 B. 58 C. 60 D. 55
二、填空题
8．一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为______．
9．已知﹣ax+y﹣zb5cx+z﹣y与a11by+z﹣xc是同类项，则x=______，y=______，z=_．
10．若x＋y＋z≠0且，则k＝_________．
11．判断是否是三元一次方程组的解：______（填：“是”或者“不是”）．
12．若则x＋y＋z＝__________________．
13．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需_____ 元。
三、解答题
14．若|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，试求x，y，z的值．
15．现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B2件，C1件，共得315元；若售A1件，B2件，C3件，共得285元．问售出A、B、C各一件共得多少元？
16．已知关于的二元一次方程组的解x与y的值互为相反数，试求m的值．
17．解方程组：
（1）；（2）；（3）
18．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，这对夫妇两年前的年龄和是其子女两年前年龄和的10倍，6年后，这对夫妇的年龄和是其子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
19．某次篮球联赛的前12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表：
问每队胜一场，平一场，负一场各得多少分？
试卷第2页，总2页
试卷第2页，总2页
参考答案
1．B
【解析】试题分析：将z=2代入②可得：x+y=0，然后解关于x和y的二元一次方程组，从而得出x和y的值，故选B．
2．D
【解析】试题分析：设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙种钢笔有z支，则，其中x=11，x=9，x=7时都不符合题意；x=4时，y=4，z=4符合题意，故选D．
3．A
【解析】解：利用加减消元法解方程组，要消去z，先将①+②，再将①×2+③，要消去y，先将①+②×2，再将②+③．故选A．
点睛：此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．C
【解析】已知，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．
故选C．
点睛: 本题考查了解三元一次方程组的应用，主要考查学生的计算能力．
5．B
【解析】设订二人间x间，三人间y间，四人间z间根据题意得:
，
由(2)×4-(1)得：y+2x=8．
∵x，y，z都是正整数，（1）当x=1时，y=6，z=1；（2）当x=2时，y=4，z=2；（3）当x=3时，y=2，z=3；（4）当x=4时，y=0，z=4（不符合题意，舍去）．
∴订房方案有3种．
故选B.
点睛：（1）所列方程组中有三个未知数，但只有两个方程，该方程组的解有无数个；（2）结合本题题意可知要求的是该方程组的正整数解.两者结合可解得本题答案.
6．C
【解析】设正方形ABCD的四个顶点上的数分别是a，b，c，d，根据题意，得，
由②-①得：c-a=4，即c=a+4，将其代入③，得a+4+d=12，
∴a+d=8，故AD边上的数是8．
故选C.
7．A
【解析】试题解析：设木块的长为x，宽为y，桌子的高度为z，
由题意得： ，
由①得：y-x=34-z，
由②得：x-y=92-z，
即34-z+92-z=0，
解得z=63；
即桌子的高度是63．
故选A．
8．635
【解析】试题分析：设个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，根据题意可得： ，解得： ，则原三位数为：635．
9． 6 8 3
【解析】试题分析：根据同类项的定义得出方程组： ，解得： ．
10．3
【解析】∵，
∴，
∴，即.
又∵，
∴.
11．是
【解析】∵把 代入： 得：
方程①左边=5+10+（-15）=0=右边；
方程②左边=2×5-10+（-15）=-15=右边；
方程③左边=5+2×10-（-15）=40=右边；
∴是方程组： 的解.
12．3
【解析】在 中，由①+②+③得： ，
∴.
13．6
【解析】试题解析：设甲、乙、丙3种商品的单价分别是x元、y元、z元．
由题意列方程组得
由①×3-②×2得 x+y+z=6
14．x=1，y=2，z=3
【解析】试题分析：首先根据几个非负数的和为零，则每一个非负数都是零得出三元一次方程组，根据方程组的解法求出x、y和z的值．
试题解析：∵|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，
∴， ①﹣②，得：x﹣3z+8=0 ④， ③+④，得：2x﹣2=0，解得：x=1，
将x=1代入①，得：1+2y﹣5=0，解得：y=2， 将y=2代入②，得：4+3z﹣13=0，解得：z=3，
故x=1，y=2，z=3．
点睛：本题主要考查了非负数的性质以及三元一次方程组的解法，属于简单题型．在初中阶段有三种类型的非负数：①、绝对值；②、偶次方；③、二次根式（算术平方根）．当它们任何两个或三个相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0，我们根据这个结论就可以求解这类题目．
15．售出A、B、C各一件共得150元
【解析】试题分析：首先设A一件x元，B一件y元，C一件z元，根据题意列出方程组，本题我们不需要分别求出x、y和z的值，只需要进行求整体即可得出答案．
试题解析：设A一件x元，B一件y元，C一件z元，
依题意，得： ， 两式相加，得4x+4y+4z=600， 即：x+y+z=150，
答：售出A、B、C各一件共得150元．
点睛：本题主要考查了三元一次方程组的应用，属于中等难度题型．本题的关键是要根据题意列出方程组，利用两个方程变形，得出x+y+z的值，考查了整体解题思想．在实际应用的问题里面，我们要根据实际情况来进行计算，并不一定非要求出每个未知数的值，可以通过系数之间的关系求出整体．
16．m=－10
【解析】试题分析: 根据三元一次方程组解的概念，列出三元一次方程组解出x，y的值代入含有m的式子即求出m的值．
试题解析:
由题意得
由③得：x= y，④
把④代入①得，y= m 3，
把④代入②得：x=2m 13，
∴ m 3+2m 13=0，
解得m= 10.
17．（1）；（2）；（3）
【解析】试题分析：（1）方程利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可；
试题解析：
（1）
把①代入②得,
2x+3(3x-6)=15
x=3
把x=3代入①得
y=3
∴方程组的解为
（2）
方程组整理得： ,
由①得y=5x-18 ③
把③代入②得-x+5(5x-18)=-6
x=
把x=代入③得y=5×-18=.
则方程组的解为
(3)
③-②得x=2
③-①得z=3
把x=2代入①得y=0
则方程组的解为
18．这对夫妇共有3个子女．
【解析】试题分析：设这对夫妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可.
设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则
解得
答：这对夫妇共有3个子女．
点睛：在年龄问题中，在同一时间段内，每个人年龄的变化值是相等的.如在本题中，夫妇2人在6年后每人年龄增加6岁，子女3人在6年后每人年龄也都增加6岁.
19．每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
【解析】试题分析：
设每队胜一场得x分、平一场得y分、负一场得z分，由表中所给数量关系可列三元一次方程组，解方程组可求得每队胜一场，平一场，负一场各得多少分.
试题解析：
设每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得z分，
根据题意，得解得
答：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
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