2.4 二元一次方程组的应用同步练习

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2.4二元一次方程组的应用同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 由实际问题列方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
2. 二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．某班有x人，分y个学习小组，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则不足5人，求全班人数及分组数．正确的方程组为（　　）
A. B. C. D.
2．已知有含盐20%与含盐5%的盐水，若配制含盐14%的盐水200千克，设需含盐20%的盐水x千克，含盐5%的盐水y千克，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，设他们中有x个成人，y个儿童．根据图中的对话可得方程组（ ）
A. B. C. D.
4．甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6：5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（　　）
A. B. C. D.
5．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出方程组为（　　）
A. B.
C. D. 以上各式均不对
6．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
7．如图，点C在直线AB上，∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，设∠ACD和∠BCD的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（　　）
A. B. C. D.
8．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD比∠BAE大48°.设∠BAD和∠BAE的度数分别为x°、y°，那么x、y所适合的一个方程组是(　　)
A. B. C. D.
9．甲、乙两地相距880千米，小轿车从甲地出发2小时后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4小时两车相遇．已知小轿车比大客车每小时多行20千米．设大客车每小时行x千米，小轿车每小时行y千米，则可列方程组为（　 　）
A. B. C. D.
10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．
问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题
11．甲、乙两个车间工人人数不等，若甲车间调10人给乙车间，则两车间人数相等；若乙车间调10人给甲车间，则甲车间现有的人数就是乙车间余下人数的2倍，设原来甲车间有x名工人，原来乙车间有y名工人，可列方程组为___________．
12．六一儿童节，某动物园的成人门票8元，儿童门票半价（即每张4元 ），全天共售出门票3000张，共收入15600元，设这天售出成人票张，儿童票张，根据题意，列出方程组：_________________
13．一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，假设飞机本身的速度是xkm/h，风速是ykm/h，依题意列出二元一次方程组____________．
14．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，则应安排 ________名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为__________________．
16．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进几个球的人数分布情况，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，则投进3个球的有____人，投进4个球的有___人．
进球数n(个) 0 1 2 3 4 5
投进n个球的人数 1 2 7 2
三、解答题
17．现有甲、乙两个体育用品商店出售乒乓球拍和乒乓球，球拍每块价格为48元，乒乓球每个价格为2元，已知甲店制定的优惠方法是买一块球拍送6个乒乓球，乙店按总价的90%收费，某球队需要买球拍4块，乒乓球若干（不少于24个）．
（1）当购买多少个乒乓球时，两个商店的收费一样多？
（2）当需要购买240个乒乓球时，选择哪家商店购买更优惠？请说明理由．
18．已知小明骑车和步行的速度分别为240米/分，80米/分，小红每次从家步行到学校所需时间相同．请你根据小红和小明的对话内容(如图)，求小明从家到学校的路程和小红从家步行到学校所需的时间．
19．太仓港区道路绿化工程工地有大量货物需要运输，某车队有载重量为8吨和10吨的卡车共15辆，所有车辆运输一次能运输128吨货物．
（1）求该车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
（2）随着工程的扩大，车队需要一次运输货物170吨以上，为了完成任务，车队准备增购这两种卡车共5辆（两种车都购买），请写出所有可能的购车方案．
20．某寄宿制学校有大、小两种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8人，小宿舍每间可住6人．该校360名住宿生恰好住满50间宿舍．求大、小宿舍各有多少间？
21．小明有5个小饰品，其中有40克和60克两种，饰物总重260克，则小明的两种饰品各有多少个？
22．如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，相关数据图中所示，则图中阴影部分的面积为多少．（8分）
23．“中国制造”是世界上认知度最高的标签之一，因此，我县越来越多的群众选择购买国产空调，已知购买1台A型号的空调比1台B型号的空调少200元，购买2台A型号的空调与3台B型号的空调共需11200元，求A、B两种型号的空调的购买价各是多少元？
24．已知关于x,y的方程组
（1）请直接写出方程的所有正整数解
（2）若方程组的解满足x+y=0,求m的值
（3）无论实数m取何值，方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值。
试卷第4页，总4页
试卷第2页，总2页
参考答案
1．A
【解析】试题解析：由每人7个,则余下3个,可得
由每人8个,则不足5个,可得
所以联立成方程组可得
故选A.
2．C
【解析】试题分析：根据含盐20%的盐水质量+含盐5%的盐水质量=200可得x+y=200；
含盐20%的盐水x千克中含盐20%x，含盐5%的盐水y千克中含盐5%y，含盐14%的盐水200千克中含盐200×14%，根据含盐20%的盐水中的纯盐质量+含盐5%的盐水中的纯盐质量=含盐14%的盐水中的纯盐质量可得：20%x+5%y=200×14%，
故所列方程组为： ．
故选C．
点睛：本题考查列二元一次方程组问题，得到溶液总质量和纯盐总质量的等量关系是解决本题的关键．
3．C
【解析】试题分析：题目中的等量关系为：1、大人数＋儿童数＝8；2、大人票钱数＋儿童票钱数＝195，
设他们中有x个成人，y个儿童，根据题意得：
，
故选C．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是从题目中找到两个等量关系并根据等量关系列出方程．
4．D
【解析】设（1）班得x分，（5）班得y分，
根据题意得： ，
故选：D．
5．C
【解析】解：设原数十位数字为x，个位数字为y．
根据题意列出方程组为．故选C．
点睛：本题需注意两位数的表示方法为：十位数字×10+个位数字．
6．A
【解析】试题解析：根据共有190张铁皮，得方程x+y=190；
根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x=22y．
列方程组为．
故选：A．
7．B
【解析】根据题意可得，等量关系有：①由图可得，∠ACD和∠BCD组成了平角，则和是180；②∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，根据等量关系列方程组得：
故选B.
8．D
【解析】由题意得,故选D.
9．D
【解析】试题解析：设大客车每小时行x千米，小轿车每小时行y千米，
由题意得，
．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
10．A
【解析】试题解析：根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
故选A.
11．
【解析】根据：若甲车间调10人到乙车间，则两车间人数相等，得： ，根据：若乙车间调10人到甲车间，则甲车间的人数就是乙车间人数的2倍，得： ，所以得方程组： ，
故答案为.
点睛:本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程组．
12．
【解析】因为全天售出门票共3000张,所以x+y=3000,又因为成人票和儿童票共收入15600元,所以8x+4y=15600,所以可列方程组: ,故答案为: .
点睛:本题考查二元一次方程组解决实际问题,解决本题对的关键是从题目中正确找出等量关系,根据等量关系列出方程.
13．
【解析】解：根据顺风飞行，每小时飞行500km，得方程x+y=500；
根据逆风飞行，每小时飞行460km，得方程x﹣y=460．
可列方程组．故答案为： ．
点睛：本题为顺风逆风问题，掌握好顺风逆风速度的求法，就可列出方程．
14．25
【解析】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，由题意得：
，解得： ．即安排25名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
故答案为：25．
点睛：本题考查理解题意能力，关键是能准确得知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，根据此正确列出方程．
15．
【解析】设有x人，物品价格为y钱，根据题意，
可列方程组： ，
故答案为： .
点睛：此题考查了二元一次方程的应用，注意：找出问题中的已知条件及它们之间的关系；找出题中两个关键的未知量，并用字母表示出来；挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程；根据未知数的实际意义求其整数解.
16． 9 3
【解析】设投进3个球的有x人，投进4个球的有y人，则
，
解得x=9，y=3.
故答案为(1). 9；(2). 3.
点睛：本题主要考查了加权平均数的定义，如果x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，……，xn出现fn次，则这组数据的平均数是,根据加权平均数的定义列方程组求解.
17．（1）当购买144个乒乓球时，两个商店的收费一样多；（2）在乙店购买更优惠．
【解析】试题分析：(1)首先设当购买x个乒乓球时,两个商店的收费一样多,根据题意得等量关系:4块球拍钱+(x-24)个乒乓球钱=(4块球拍钱+x个乒乓球钱) ×90％,根据等量关系列出方程,再解即可;
(2)分别计算出购买240个乒乓球时在甲店的花费和乙店的花费,再比较即可.
解：（1）设当购买x个乒乓球时，两个商店的收费一样多，由题意得：
4×48+2（x﹣4×6）=（4×48+2x）×90%
解得：x=144．
答：当购买144个乒乓球时，两个商店的收费一样多
（2）甲店花费：4×48+（240﹣24）×2=624（元）
乙店花费：（4×48+240×2）×90%=604.8（元）
∵624＞604.8
∴在乙店购买更优惠．
点睛：本题考查了列一元一次方程解应用题，一般步骤是： ①审题，找出已知量和未知量；②设未知数，并用含未知数的代数式表示其它未知量；③找等量关系，列方程；④解方程；⑤检验方程的解是否符合题意并写出答案.
18．小明从家到学校的路程为720米，小红从家步行到学校所需的时间为7分钟
【解析】试题分析：通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．根据这两个等量关系可列出方程．
试题解析：解：设小明从家到学校的路程为x米．依题意得.解得x＝720， ＋4＝7（分钟）．
答：小明从家到学校的路程为720米，小红从家步行到学校的时间是7分钟．
点睛：本题是行程问题，解题关键是找出题中存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．
19．（1）8吨的有11辆，10吨的有4辆（2）购车方案：8吨1辆10吨4辆或者8吨2辆10吨3辆或者8吨3辆10吨2辆
【解析】试题分析：（1）设该车队载重量为8吨的卡车有x辆，载重量为10吨的卡车有y辆，由题意可得等量关系：①卡车共15辆；②一次能运输128吨货物，根据等量关系列出方程组，再解即可；（2）设增购8吨的卡车有a辆，则增购10吨的卡车有（5-a）辆，由题意可得不等关系：8吨的卡车（11+a）辆运输的货物+10吨的卡车（9-a）辆运输的货物＞170吨，根据不等关系列出不等式，再解即可．
试题解析：（1）设该车队载重量为8吨的卡车有x辆，载重量为10吨的卡车有y辆，由题意得： ，
解得： ，
答：8吨的有11辆，10吨的有4辆；
（2）设增购8吨的卡车有a辆，则增购10吨的卡车有（5﹣a）辆，由题意得：
（11+a）×8+10（5﹣a+4）＞170，
解得：a＜4，
∵a为正整数，
∴a=1，2，3，
购车方案：8吨1辆10吨4辆或者8吨2辆10吨3辆或者8吨3辆10吨2辆．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，列出方程组和不等式．
20．原两位数是45．
【解析】试题分析: 设原两位数的十位数字为x,个位数字为y, 根据一个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9可得: , 根据把它的十位数字与个位数字对调,得到了一个新的两位数,这个新的两位数恰好也比原来的两位数大9可得: ,然后联立方程组得: ,再利用消元法解方程组即可求解.
试题解析:设原两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意得:
解得,
答:原两位数是45.
21．大宿舍有30间，小宿舍有20间．
【解析】试题分析:可设大宿舍有x间,小宿舍有y间,根据题目中的等量关系列出方程组,再利用消元法解方程组即可求解.
试题解析:设大宿舍有x间,小宿舍有y间,根据题意得:
,解得 ,
答:大宿舍有30间,小宿舍有20间.
22．40克的饰品有2个，60克的饰品有3个.
【解析】试题分析: 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系；本题的等量关系一是小明共有5个小饰品，二是两种饰物共重260克；从而列出方程组求解.
解:设40克有x个，60克的有y个，由题意得
，
解之得
.
答：40克的饰品有2个，60克的饰品有3个。
点睛：此类题目旨在考查根据题意列方程（组）：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程（组），是用数学知识解决实际问题的一种重要方法。列方程（组）解实际问题的关键是找到“等量关系”.
23．18.
【解析】设小长方形的长为x,宽为y。
，
阴影面积为(4+3)*9-9*5*1=18.
24．A、B两种型号的空调购买价分别为2120元、2320元
【解析】试题分析：根据题意，设出A、B两种型号的空调购买价分别为x元、y元，然后根据“已知购买1台A型号的空调比1台B型号的空调少200元，购买2台A型号的空调与3台B型号的空调共需11200元”，列出方程求解即可.
试题解析：设A、B两种型号的空调购买价分别为x元、y元，依题意得：
解得：
答：A、B两种型号的空调购买价分别为2120元、2320元
25．（1）， （2）m=（3）（4）
【解析】试题解析：（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解；
（2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程x-2y+mx+5=0即可求m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程组，解方程组即可；
（4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可.
试题分析：（1）
（2） 解得
把代入，解得m=
（3）
（4）解得
解得
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