3.4 乘法公式（1）同步练习

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3.4乘法公式（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（3）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．（d+f）·（d-f）等于（ ）
A. d3 -f3 B. d2 -f 2 C. d5 -f5 D. d6 -f6
2．已知，则的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
3．为了应用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是( )
A. [x－(2y＋1)]2 B. [x－(2y－1)][x＋(2y－1)]
C. [(x－2y)＋1][(x－2y)－1] D. [x＋(2y＋1)]2
4．计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
5．计算(a4+b4)(a2+b2)(b-a)(a+b)的结果是( )
A. a8-b8 B. a6-b6 C. b8-a8 D. b6-a6
6．[（c·c2)+（a·a2)][（c·c2)-（a·a2)]等于（ ）
A. c3 -a3 B. c2 -a8 C. c5 -a5 D. c6 -a6
7．用简便方法计算40 EMBED Equation.DSMT4 ×39，变形正确的是( )
A. (40＋)(39＋) B. (40＋)(40－)
C. (40＋)(40－) D. (40－)(40－)
8．如果(2x＋3y)M＝9y2－4x2，那么M表示的式子为( )
A. 2x＋3y B. 2x－3y C. －2x－3y D. －2x＋3y
9．若， ，则a－b的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
10．计算20172－2016×2018＋(－1)2017的结果是( )
A. 0 B. 1 C. －1 D. 3
二、填空题
11．102×98等于_______；
12．(x+2y-3)(x-2y-3)=_____-_____．
13．(x+y-z) (x-y-z)＝（__________） 2-（__________） 2．
14．(a2+1)(a+1)( _____)=a4-1．
15．在一个边长为11.75cm的正方形纸板内，剪去一个边长为8.25cm的正方形，剩下部分的面积等于______cm2.
16．将图1中阴影部分的小长方形变换到图2的位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_____.
三、解答题
17．用简便方法计算：1002－992＋982－972＋…22－12
18．计算：
（）．
（）．
（）．
19．计算：
(1)(3a＋5b－2c)(3a－5b－2c)；
(2)(x＋1)(x2－1)(x－1)．
20．阅读下列材料：正整数的正整数次幂的个位数字是有规律的，以3为例：
∵31＝3,32＝9,33＝27,34＝81，
35＝243,36＝729,37＝2187,38＝6561，
39＝19683，…
∴指数以1到4为一个周期，幂的个位数字就重复出现，一般来说，若ak的个位数字是b，则a4m＋k的末位数字也是b(k为正整数，m为非负整数)．
请你根据上面提供的信息，求出下式：
(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(332＋1)＋1的计算结果的个位数字是几吗？
21．乘法公式的探究及应用.
探究问题
图1是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图2.
（1） （2）
（1）图1中长方形纸条的面积可表示为_______（写成多项式乘法的形式）.
（2）拼成的图2阴影部分的面积可表示为________（写成两数平方差的形式）.
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：____.
结论运用
（4）运用所得的公式计算：
=________； =________.
拓展运用：
（5）计算：
22．(12分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”．
(1)28是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
(3)根据上面的提示，判断2 012是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由；
(4)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？
参考答案
1．B
【解析】根据平方差公式可得：（d+f）·（d-f）=d2 -f 2，故选B.
2．D
【解析】∵，
∴=.
故选D.
3．B
【解析】试题解析：（x+2y-1）（x-2y+1）=[x-（2y-1）][x+（2y-1）]，
故选B．
4．A
【解析】因为,故选A.
5．C
【解析】原式=(a4+b4)(a2+b2)(b2-a2)= (a4+b4) (b4-a4)= b8-a8，故选C.
6．D
【解析】根据平方差公式和同底数幂的乘法法则可得：[（c·c2)+（a·a2)][（c·c2)-（a·a2)]= =c6 -a6，故选D.
点睛：本题考查了平方差公式的运用，两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2，正确运用平方差公式是解本题的关键．解题时注意运算顺序.
7．B
【解析】试题解析：运用平方差进行变形为：40×39=(40＋)(40－).
故选B.
8．D
【解析】试题解析：∵（3y+ 2x）（3y-2x）=9y2-4x2，
∴M表示的式子为3y-2x，即-2x+3y．
故选D．
9．B
【解析】∵， ，
∴由a2 b2=(a+b)(a b)得到： =（a-b），
∴a－b=.
故选：B.
10．A
【解析】试题解析：20172－2016×2018＋(－1)2017
=20172－（2017-1）（2017+1）－1
=20172－20172+1-1
=0.
故选A.
11．9996
【解析】102×98=（100+2）×（100-2）=10000-4=9996.
12． （x-3）2 （2y）2
【解析】试题解析（x+2y-3）（x-2y-3）=（x-3）2-（2y）2．
故答案为：（x-3）2；（2y）2．
13． x-z y
【解析】(x+y-z) (x-y-z)＝.
14．（a-1）
【解析】试题解析：a4-1=（a2+1）（a2-1）=（a2+1）（a+1）（a-1）
故答案为：（a-1）
15．70
【解析】试题解析：剩下部分的面积是11.752-8.252=（11.75+8.25）（11.75-8.25）=20×3.5=70，
故答案为：70．
16．（a+b）（a-b）=a2-b2
【解析】由图可知，两个图象面积相等，（a+b）（a-b）=a2-b2.
17．5050
【解析】试题分析：分别将相邻的两个利用平方差公式进行简便计算，从而将原式转化为1到100的加法计算，从而得出答案．
试题解析：原式=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+…(2+1)×(2-1)=100+99+98+97+…2+1＝5050．
18．(1) ;(2) ;(3) .
【解析】试题分析:利用完全平方公式展开计算即可.
试题解析:（）原式,
（）原式,
（）原式.
19．(1) 9a2＋4c2－25b2－12ac;(2) x4－2x2＋1.
【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）原式先利用平方差公式再利用完全平方公式进行计算即可.
试题解析：（1）原式=[(3a－2c) ＋5b] [(3a－2c) －5b]= (3a－2c)2 －(5b)2=9a2＋4c2－25b2－12ac；
（2）原式=(x＋1) (x－1) (x2－1)= (x2－1)2=x4－2x2＋1.
20．1.
【解析】试题分析：先根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
试题解析：（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）+1
=（32-1）（32+1）（34+1）…（332+1）+1
=（34-1）（34+1）…（332+1）+1
=364-1+1
=364，
∵64÷4=16，
∴（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）+1的个位数字是1．
21．（1）（a+b）·（a-b）；（2）a2-b2；（3）（a+b）（a-b）=a2-b2；（4）4x2-y2， ；（5）
【解析】试题分析：（1）（2）（3）利用面积证明了平方差公式.
(4)应用完全平方公式.
(5)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果.
试题解析：
解：（1）图14-5（1）是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图14-5（2），长方形的长为a+b，宽为a-b，所以图14-5（1）中长方形纸条的面积可表示为（a+b）·（a-b）.
（2）图14-5（2）中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，那么图14-5（2）中阴影部分的面积为a2-b2.
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到的乘法公式为（a+b）（a-b）=a2-b2.
（4）（2x+y）（2x-y）=（2x）2-y2=4x2-y2，
22．(1)是．(2)是．(3)是．(4)不是．
【解析】试题分析：
（1）解方程28=(2n+2)2-(2n)2，看n是不是整数；
（2）计算(2k＋2)2－(2k)2的结果是不是4的倍数；
（3）根据(3)中的规律求解；
（4）比较两个连续偶数平方差与两个连续奇数的平方差(取正数)的形式.
(1)是．∵28＝82－62，∴28是神秘数．
(2)是．∵(2k＋2)2－(2k)2＝8k＋4＝4(2k＋1)，
故两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．
(3)是，∵2 012＝4×503，故2k＋1＝503，k＝251.
∴这两个数为2k＋2＝504，2k＝502，
即2 012＝5042－5022.
(4)不是．
∵两个连续奇数的平方差可表示为(2k＋1)2－(2k－1)2＝8k＝4·2k(k为正整数)，
∴两个连续奇数的平方差是4的偶数倍．
点睛：本题主要考查了整式的混合运算和阅读理解的能力，一般偶数表示为2k(k为整数)，奇数表示为2k+1(k为整数)，两个连续偶数表示为2k，2k+2(k为偶数)，解题的关键是理解“神秘数”的构成.
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