3.4 乘法公式（2）同步练习

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3.4 乘法公式（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
（4）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如果多项式 EMBED Equation.DSMT4 是完全平方式，那么M不可能是（ ）
A. B. C. 1 D. 4
2．[c-（a2)2]2等于（ ）
A. c -a2 B. c2 -2a4c+a8 C. c2 -a2 D. c2 -a4
3．下面计算错误的是（ ）
A. (y-z).(y+z)=y2-z2 B. (m-n)2=n2-m 2 C. (y+z)2=y2+2yz+z2 D. (y-z)2=y2-2yz+z2
4．下列各式计算结果等于a2b4－2ab2＋1的是( )
A. (a2b2－1)2 B. (ab2＋1)2 C. (ab2－1)2 D. (－a2b2－1)2
5．已知(a＋b)2=9，(a－b)2=5，则ab的值为( )
A. －1 B. 1 C. －4 D. 4
6．用完全平方公式计算79.82的最佳选择是( )
A. (80－0.2)2 B. (100－20.2)2 C. (79＋0.8)2 D. (70＋9.8)2
7．若(ax＋3y)2=4x2＋12xy＋by2，则a、b的值分别为( )
A. a=4，b=3 B. a=2，b=3 C. a=4，b=9 D. a=2，b=9
8．若,则A为( )
A. 2ab B. -2ab C. 4ab D. -4ab
二、填空题
9．已知， ，则__________．
10．已知， ，则__________．
11．若那么__________.
12．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．
13．已知x＋y＝3，且（x＋2）（y＋2）＝12，则x2＋3xy＋y2的值为_____.
14．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为=ad－bc.则二阶行列式的值为___.
15．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律.
（1）请仔细观察，填出(a＋b)4的展开式中所缺的系数．(a＋b)4＝a4＋4a3b＋_____a2b2＋4ab2＋b4
（2）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期____．
三、解答题
16．计算：
(1)29.8×30.2；
(2)46×512；
(3)2052．
17．计算：
（）．
（）．
18．已知：x+y=6，xy=4．(1)求x2+y2的值；(2)求(x-y)2的值；(3)求x4+y4的值
19．如图，小明想把一长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形．
（）若设小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．
（）当时，求这个盒子的体积．
20．先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若, 求m和n的值
解：∵
∴
∴
∴，
∴，
问题：(1)若，求的值．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足,且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
21．把四块长为a，宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：
(1)按要求用含a，b的式子表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）：
①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S= ；
②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S= ；
(2)由①、②可得等式 ；
(3)用整式的乘法验证(2)中的等式成立.
参考答案
1．D
【解析】A.当M= 时，原式==(x3+2x)2,故正确；
B. 当M= 时，原式==(2x2+2x)2,故正确；
C. 当M= 1时，原式==(2x2+1)2,故正确；
D. 当M= 4时，原式=,不能变形为完全平方的形式，故不正确．
故选D.
2．B
【解析】根据完全平方公式与幂的乘方法则可得：[c-（a2)2]2=c2 -2a4c+a8 ，故选B.
3．B
【解析】选项A，原式= y2-z2；选项 B，原式= m2-2mn+n 2；选项C，原式= y2+2yz+z2 ;选项D，原式= y2-2yz+z2.故选B.
4．C
【解析】试题解析：A. (a2b2－1)2= a4b4－2a2b2＋1, 不符合题意；
B. (ab2＋1)2= a2b4+2ab2＋1, 不符合题意；
C. (ab2－1)2= a2b4－2ab2＋1,符合题意；
D. (－a2b2－1)2 =a4b4－2a2b2＋1, 不符合题意.
故选C.
5．B
【解析】试题解析：∵（a+b）2=9，（a-b）2=5，
∴a2+2ab+b2=9①，a2-2ab+b2=5②，
①-②得4ab=4，
∴ab=1.
故选A.
6．A
【解析】试题解析：A、79.82=（80-0.2）2=902-2×90×0.2+0.22，
B、（100-20.2）2=1002-2×100×20.2+20.22，
C、（79+0.8）2=892+2×89×0.8+0.82，
D、（70+9.8）2=802+2×80×9.8+9.82，
选项B、C、D都不如选项A好算，
故选A．
7．D
【解析】试题解析：∵（ax+3y）2=a2x2+6axy+9y2，
∴a2x2+6axy+9y2=4x2+12xy+by2，
∴6a=12，b=9，
解得a=2，b=9．
故选D．
8．C
【解析】试题解析：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，
∴A=（a+b）2-（a-b）2=4ab．
故选C．
点睛：完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．
9．13
【解析】因为,所以,故答案为:13.
10．16
【解析】 ，
故答案为：16.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是要熟记完全平方公式，并能通过变形来解决实际问题.
11．7
【解析】∵，
∴，
∴，即，
∴.
故答案为： .
点睛：（1）熟记“完全平方公式： ”是解答本题的基础；（2）通过本题的解答可知：①若，则；②若，则.
12．2或-2
【解析】因为a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab,所以a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=,所以,所以,所以a+b=－2或a+b=2，故答案为: 2或-2.
13．15
【解析】∵（x＋2）（y＋2）＝12， ， .
，，.
.
14．1
【解析】试题解析：由题意可得（x-3）2-（x-2）（x-4）=x2-6x+9-x2+6x-8=1.
故答案为：1.
15． 6 四
【解析】试题解析：（1）（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab2+b4，
（2）∵814=（7+1）14=714+14×713+91×712+…+14×7+1，
∴814除以7的余数为1，
∴假如今天是星期三，那么再过814天是星期四．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n-1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
16．①899.96；②1012；③42025．
【解析】试题分析:(1)利用平方差公式进行简便计算,(2)先将46变形为212,再利用积的乘方进行简便计算,(3)利用完全平方公式进行简便计算.
试题解析:(1)29.8×30.2=（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96,
(2)46×512=212×512=（2×5）12=1012,
(3)2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025.
17．（）;（）
【解析】试题分析:(1)利用完全平方公式展开去括号,然后合并同类项,
(2)利用完全平方公式展开计算,然后合并同类项即可.
试题解析:（）原式,
（）原式.
18．（1）28；（2）20；（3）368
【解析】试题分析：（1）利用x2+y2=（x+y）2-2xy计算即可；
（2）利用（x-y）2=x2+y2-2xy计算即可；
（3）利用x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2计算即可．
试题解析：∵x+y=6，xy=4，
∴（1）x2+y2=（x+y）2-2xy=62-2×4=28；
（2）（x-y）2=x2+y2-2xy=28-2×4=20；
（3）x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=（x2+y2）2-2（xy）2=202-2×42=368．
19．(1) ;(2)7500cm3.
【解析】试题分析:(1)根据图形可求出阴影部分的长,阴影部分的宽为: ,再根据长方形面积公式计算可得,(2)根据(1)代入计算求解.
试题解析:（）解:阴影部分的面积: ,
（）解:当时, ,
这个盒子的体积为: .
20．(1)4;(2)
【解析】试题分析:(1)先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式计算即可；
(2)先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出a、b的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．
解: (1) ∵,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
(2) ∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
∵ a，b，c是△ABC的三边，
∴ c的取值为： .
又∵ c是△ABC中最长的边，且,
c的取值为： .
点睛:本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，三角形三边关系，(2)一定要特别注意c为最长边这一条件.利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键.
21．（1）① ; ② (2) ;(3)答案见解析
【解析】试题分析: （1）①观察图形，可得图中大正方形的边长为a+b，每一块长方形木板的长为a，宽为b，根据正方形的面积=边长的平方，长方形的面积=长×宽即可求解；
②观察图形，可得图中空心部分的正方形边长为a-b，根据正方形的面积=边长的平方即可求解；（2）根据空心部分的正方形的面积不变即可得到等式；
（3）利用完全平方公式证明即可．
②
（2）
（3） 验证： 左边 =
=
=
=
∵ 左边 = 右边
∴ （2）中的等式成立
点睛:此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键．
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